Оптимальный полином, доопределяющий частичную функцию

УДК 004 (06) Информационные технологии
О.Л. КУЗЬМИНА
Научный руководитель – Д.Г. МЕЩАНИНОВ, к.ф.-м.н., доцент
Московский энергетический институт (технический университет)
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОЛИНОМ, ДООПРЕДЕЛЯЮЩИЙ ЧАСТИЧНУЮ ФУНКЦИЮ НАД
ПОЛЕМ GF(q)
Рассматривается задача о нахождении доопределения частичной функции, которому соответствует полином
наименьший в смысле числа слагаемых. Получен новый алгоритм решения этой задачи, основанный на использовании
алгебраической структуры кольца функций над полем GF(q), в частности, на использовании явного описания идеалов
этого кольца в терминах характеристических функций. Рассмотрен частный случай строения множества неопределенности, позволяющий напрямую вычислить искомое доопределение.
Рассмотрим функцию f(x) от n переменных, аргументы и значения которой берутся в поле из q = pr элементов GF(q). Как известно, любая такая функция представляется полиномом над GF(q) от n переменных.
Пусть на произвольном множестве X {GF(q)}n значения функции неизвестны. Пусть также |X| = m. Рассматривается задача о нахождении такого доопределения функции, которому будет соответствовать полином с наименьшим числом слагаемых (кратчайший полином).
Множество функций от n переменных над GF(q) является коммутативным кольцом R с единицей. Пусть
I(Y) – множество функций из R, равных нулю на Y. Тогда I(Y) – идеал в R, и всякий идеал I кольца R имеет
вид I(Y) для некого Y {GF(q)}n. Сопоставление YI(Y) определяет взаимно однозначное соответствие
между идеалами кольца R и подмножествами из {GF(q)}n.
Характеристическая функция подмножества X есть функция fX такая, что fX принимает значение 1 только на X, а в остальных точках равна нулю. Пусть Y = {GF(q)}n \X. Базис идеала I(Y) как пространства над
полем из q элементов составят характеристические функции fx всех точек x из X. Тогда любые два доопределения частично определенной функции f(x) отличаются на функцию из I(Y). Следовательно, перебор всех
доопределений сводится к перебору qm линейных комбинаций характеристических функций.
Использование кода Грея[1] позволяет осуществить перебор всех возможных доопределений, на каждом
шаге добавляя к текущему доопределению только одну характеристическую функцию, что существенно
улучшает временные результаты поиска.
Преимущество предложенного метода заключается в том, что он не зависит от известных значений
функции f(x), а характеристические функции точек неопределенности могут быть вычислены заранее.
Также рассматривается частный случай строения множества X. Пусть для всякого xX и всякого yY
верно, что x>y или x и y несравнимы. В этом случае доопределение функции f(x), соответствующее кратчайшему полиному, может быть найдено по прямым формулам, без использования перебора всех возможных доопределений.
Случай q=2 был рассмотрен в [2].
Список литературы
1.
2.
Закревский А.Д., Торопов Н.Р. Полиномиальная реализация частичных булевых функций и систем. Москва, 2003.
Кузьмина О.Л., Мещанинов Д.Г. Метод доопределения булевой функции до кратчайшего полинома // Вестник МЭИ, выпуск 6.
2004, с. 73.
_______________________________________________________________________
ISBN 5-7262-0633-9. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2006. Том 15
1