Олимпиада 2011г. 7 класс I тур В парке росли липы и клены
advertisement
Олимпиада 2011г. 7 класс I тур 1. В парке росли липы и клены. Кленов среди них было 60%. Весной в парке посадили липы, после чего кленов стало 20%. А осенью посадили клены, и кленов стало снова 60%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год? (5 баллов) 2. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля-Меркурий, Плутон-Венера, Земля-Плутон, Плутон-Меркурий, Меркурий-Венера, Уран-Нептун, Нептун-Сатурн, Сатурн-Юпитер, Юпитер-Марс и МарсУран. Можно ли добраться с Земли до Марса? (5 баллов) 3. В доску вбито 20 гвоздиков (см. рисунок). Расстояние между любыми соседними равно 1 дюйму. Натяните нитку длиной 19 дюймов от первого гвоздика до второго так, чтобы она прошла через все гвоздики. (6 баллов) 4. Шестиклассники школы Сладкоежек собирают конфетные фантики трех цветов: зеленого, синнего и красного и обмениваются ими по правилам: либо меняют 3 синих фантика на 5 зеленых (и, наобарот, 5 зеленых на 3 синих), либо 7 зеленых фантиков на 11 красных (и наоборот- 11 красных на 7 зеленых). Могло ли у ребят из 6А класса в конце месяца оказаться 1111 фантиков, если в начале месяца у них было 1000 фантиков? (7 баллов) 5. Инженер ежедневно приезжал на станцию в одно и то же время, и в это же время за ним подъезжала машина, на которой он ехал на завод. Однажды инженер приехал на станцию на 55 минут раньше обычного, сразу пошёл навстречу машине и приехал на завод на 10 минут раньше обычного. Во сколько раз скорость инженера меньше скорости машины? (7 баллов) II тур 1. Три бегуна — Антон, Серёжа и Толя — участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал, Серёжа находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Серёжа — Толя находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон, когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.) (5 баллов) 2. Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них — 30 красных, 20 жёлтых и 20 розовых мерседесов. Известно, что никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Докажите, что тогда какие-то три мерседеса, стоящие подряд, одного цвета. (5 баллов) 3. Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого 2/3 метра? (6 баллов) 4. У девочек было по 10 конфет. Каждая девочка подарила несколько конфет другим (конфеты, полученные в подарок, девочки оставляют себе). В результате у всех девочек оказалось разное число конфет. Докажите, что какая-то из девочек подарила конфет не меньше, чем у нее их оказалось в конце. (7 баллов) 5. Турист отправляется в поход из А в В и обратно и проходит весь путь за 3 часа 41 минуту. Дорога из А в В идёт сначала в гору, потом по ровному месту и затем под гору. На каком протяжении дорога проходит по ровному месту, если скорость туриста составляет при подъеме в гору 4 км/час, на ровном месте 5 км/час и при спуске с горы 6 км/час, а расстояние АВ равно 9 км? (7 баллов) Олимпиада 2011г. (решения) 7 класс I тур 1. В парке росли липы и клены. Кленов среди них было 60%. Весной в парке посадили липы, после чего кленов стало 20%. А осенью посадили клены, и кленов стало снова 60%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год? Решение Первое решение. До начала посадок липы составляли 2/5, а клёны - 3/5 всех деревьев в парке. К лету число клёнов не изменилось, однако они стали составлять 1/5 всех деревьев. Следовательно, количество всех деревьев в парке увеличилось втрое. При этом липы составляли 4/5 всех деревьев. К зиме не изменилось количество лип, но они стали составлять 2/5 всех деревьев. Следовательно, количество всех деревьев увеличилось ещё вдвое. Таким образом, за год количество деревьев увеличилось в 6 раз. Второе решение. Сначала лип было в 1,5 раза меньше, чем клёнов, а потом стало в 4 раза больше. При этом количество клёнов не менялось. Значит, лип стало в 1,5 · 4=6 раз больше. Заметим, что к концу года отношение числа клёнов к числу лип стало таким же, как было в начале. Поскольку осенью количество лип не менялось, количество клёнов тоже увеличилось в шесть раз. То есть число деревьев в парке увеличилось в шесть раз. Ответ: в 6 раз. 2. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля-Меркурий, Плутон-Венера, Земля-Плутон, Плутон-Меркурий, Меркурий-Венера, Уран-Нептун, Нептун-Сатурн, Сатурн-Юпитер, Юпитер-Марс и МарсУран. Можно ли добраться с Земли до Марса? Решение Нарисуем схему: планетами будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам непересекающиеся между собой линии. Теперь видно, что долететь от Земли до Марса нельзя. 3. В доску вбито 20 гвоздиков (см. рисунок). Расстояние между любыми соседними равно 1 дюйму. Натяните нитку длиной 19 дюймов от первого гвоздика до второго так, чтобы она прошла через все гвоздики. Ответ 4. Шестиклассники школы Сладкоежек собирают конфетные фантики трех цветов: зеленого, синнего и красного и обмениваются ими по правилам: либо меняют 3 синих фантика на 5 зеленых (и, наобарот, 5 зеленых на 3 синих), либо 7 зеленых фантиков на 11 красных (и наоборот- 11 красных на 7 зеленых). Могло ли у ребят из 6А класса в конце месяца оказаться 1111 фантиков, если в начале месяца у них было 1000 фантиков? Ответ: не могло. Решение: Заметим, что после каждого обмена количество фантиков у ребят из 6А класса изменяется на четное число(либо на 2, либо на 4). Но так как у них изначально было равно 1000 фантиков – четное число, то после каждого обмена общее количество фантиков у ребят из 6А класса должно оставаться четным числом. А число 1111 нечетное. 5. Инженер ежедневно приезжал на станцию в одно и то же время, и в это же время за ним подъезжала машина, на которой он ехал на завод. Однажды инженер приехал на станцию на 55 минут раньше обычного, сразу пошёл навстречу машине и приехал на завод на 10 минут раньше обычного. Во сколько раз скорость инженера меньше скорости машины? Решение: II тур 1. Три бегуна — Антон, Серёжа и Толя — участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал, Серёжа находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Серёжа — Толя находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон, когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.) Решение 9 Поскольку скорость Толи составляет 10 от скорости Серёжи, то к моменту, когда финишировал 9 9 Антон, Толя пробежал 10 расстояния, преодолённого Серёжей, т.е. 90 10 = 81 м. Значит, к этому моменту Толя отставал от Антона на (100 - 81) = 19 м. Ответ: 19 м. 2. Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них — 30 красных, 20 жёлтых и 20 розовых мерседесов. Известно, что никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Докажите, что тогда какие-то три мерседеса, стоящие подряд, одного цвета. Решение У нас есть 70 мерседесов и 30 других машин. По условию, рядом с мерседесом может стоять либо мерседес того же цвета, либо другая машина. Чем больше мерседесов будут стоять парами, тем меньше понадобится других машин. Но пар мерседесов 35, а на их "окружение" понадобится 33 другие машины. Если мерседесы стоят не обязательно парами, то других понадобится ещё больше. Но других машин по условию всего 30, значит, поставить можно только 32 пары. То есть должны рядом стоять три одинаковых мерседеса. 3. Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого 2/3 метра? Решение 1 2 2 1 1 Если от шнурка отрезать 4, останется как раз 50 см. Действительно, 3 − (3 ∙ 4) = 2. Ответ Если от шнурка отрезать 1/4 длины, останется 50 см. 4. У девочек было по 10 конфет. Каждая девочка подарила несколько конфет другим (конфеты, полученные в подарок, девочки оставляют себе). В результате у всех девочек оказалось разное число конфет. Докажите, что какая-то из девочек подарила конфет не меньше, чем у нее их оказалось в конце. Ответ. Допустим, что каждая девочка подарила конфет меньше, чем у нее оказалось в конце. Тогда у каждой девочки оказалось в конце не менее 6 конфет. Так как у всех девочек в конце было разное число конфет, то суммарное количество конфет, которое было в конце у всех девочек, не меньше чем 6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=105 Этого не может быть, потому что вначале у девочек было в сумме 100 конфет. 5. Турист отправляется в поход из А в В и обратно и проходит весь путь за 3 часа 41 минуту. Дорога из А в В идёт сначала в гору, потом по ровному месту и затем под гору. На каком протяжении дорога проходит по ровному месту, если скорость туриста составляет при подъеме в гору 4 км/час, на ровном месте 5 км/час и при спуске с горы 6 км/час, а расстояние АВ равно 9 км? Решение:
