Математический кружок 6 класс

Математический кружок 6 класс
Занятие №7
Логика.
1. На острове живут рыцари, лжецы и хитрецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы
всегда лгут, а хитрецы могут соврать или не соврать, как им захочется. Одного жителя
спросили: «Вы кто?». И он ответил: «Я лжец». Кто этот житель на самом деле?
2. Жили-были три брата: Гоша, Степа и Никита. На все вопросы они всегда отвечали
неправду. Как-то однажды их спросили: «Кто из вас самый старший, а кто – самый
младший?» Братья ответили: Никита: «Я младший из братьев». Стёпа: «Я старший из
братьев». Гоша: «А я еще старше, чем Стёпа». Кто же из братьев самый старший, а
кто – самый младший?
3. У рассеянной хозяйки есть три ящика для рассады с надписью «Огурцы», «Цветы»
и «Ромашки». Она посадила семена ромашек, огурцов и колокольчиков в эти ящики
так, что все надписи оказались неверными. Что вырастет в ящике с надписью
«Ромашки»?
4. Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале. Когда кошка
в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если сыр на
столе, а кошка – в подвале, то мышка в комнате. Сейчас идет дождь, а
сыр лежит на столе. Где сейчас мышка?
5. Говорят, что Тортила отдала золотой ключик Буратино не просто так, а вынесла
три коробочки. На красной коробочке было написано: «Здесь лежит золотой ключик»,
на синей – «Зеленая коробочка пуста», а на зеленой – «Здесь сидит гадюка». Тортила
прочла надписи и сказала: «Действительно, в одной коробочке лежит золотой ключик,
в другой гадюка, а третья пуста, но все надписи неверны». Где лежит золотой
ключик?
Дополнительные задачи
6. Однажды Алиса повстречала Льва и
Единорога, отдыхавших под деревом.
Странные это были существа. Лев лгал по
понедельникам,
вторникам
и
средам
и говорил правду во все остальные дни
недели. Единорог же вел себя иначе: он лгал
по четвергам, пятницам и субботам и
говорил правду во все остальные дни недели.
Они высказали следующие утверждения:
Лев: Вчера был один из дней, когда я лгу.
Единорог: Вчера был один из дней, когда я тоже лгу.
Из этих двух высказываний Алиса сумела вывести, какой день недели был вчера.
Что это был за день?
7. Милиционер Пронькин поймал хулигана Семёна с женским
зонтиком. Хулиган признался, что встретил на улице Ирину, Лину и
Полину и отобрал зонт у одной из них. Вечером в отделение милиции
позвонили, и женский голос сказал: «Меня ограбили!». «Кого
ограбили?», – переспросил Пронькин. «Полину», – ответили ему. Кому Пронькин
должен вернуть зонтик, если ему известно, что Ирина всегда говорит правду, Лина –
всегда лжет, а Полина через раз говорит то правду, то ложь?
8. Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто
утверждений:
«В этой тетради ровно одно неверное утверждения»;
«В этой тетради ровно два неверных утверждения»;
«В этой тетради ровно три неверных утверждения»;
...
«В этой тетради ровно сто неверных утверждений».
Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?
9. Первый вторник месяца Митя провёл в Париже, а первый вторник после первого
понедельника — в Лондоне. В следующем месяце Митя первый вторник провёл
в Москве, а первый вторник после первого понедельника — в Питере. Сможете ли
вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?
10. В детском саду воспитатель раздала 40 детям карточки со словами «рыцарь» и
«лжец», каждому – по одной, объяснив, что теперь рыцари должны говорить только
правду, а лжецы, наоборот, только неправду. Пока она говорила, дети поменялись
карточками так, что у каждого снова оказалась ровно одна карточка. После этого 15
детей (следуя ролям, написанным на новых карточках) сказали, что их роли
поменялись, а остальные – что их роли остались прежними. Сколько могло быть
карточек со словом «рыцарь»?
Методические комментарии.
Тема занятия логика. В середине занятия стоит разобрать решение на примере какойнибудь задачи, например второй. Важно чтобы дети поняли, что недостаточно просто
подобрать ответ и проверить, что он подходит. Нужно так же объяснить, почему все
остальные варианты не проходят, а для этого необходимо осознавать по какому
признаку эти варианты перебираются. Так, например, в первой задаче мы перебирали
все возможности, кем может быть житель острова: рыцарь, лжец, хитрец. В задаче про
братьев множество перебора – все комбинации старшинства. Кроме полного перебора
бывает также перебор по какому-либо признаку. Какой-то факт выясняется
перебором: во всех вариантах, кроме одного получают противоречие, а потом
оставшиеся факты выводятся прямо. Противоречие в каком-то варианте перебора
может получиться не быстро. Бывает, что для каждого из вариантов перебора
приводятся длинные логические цепочки, ведущие к противоречию. Так же в этой
задаче можно составить таблицу: из условия получаем, что Степа не самый старший.
Никита не самый младший, а Гоша не старше Степы, т.е. по крайней мере не самый
старший:
старший
Гоша
-
Степа
-
средний
Никита
младший
–
Откуда старшим может быть только Никита:
старший
Гоша
-
Степа
-
Никита
+
средний
младший
–
далее:
старший
Гоша
-
Степа
-
Никита
+
средний
младший
–
–
А так как Гоша не старше Степы, то Степа средний, а Гоша старший.
старший
средний
Гоша
-
Степа
-
+
Никита
+
–
младший
+
–
Конечно, решение может быть и целиком «дедуктивным», как, например, в задаче 4
про кошку, мышку и сыр.
В любом случае, ребенок должен хорошо осознавать, почему других вариантов быть
не может.
Решения.
1. На острове живут рыцари, лжецы и хитрецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы
всегда лгут, а хитрецы могут соврать или не соврать, как им захочется. Одного
жителя спросили: «Вы кто?». И он ответил: «Я лжец». Кто этот житель на самом
деле?
Решение. На поставленный вопрос рыцарь ответит «я рыцарь», лжец ответит… как
угодно, но только не «лжец», хитрец ответит вообще что угодно.
Ответ: это был хитрец.
2. Жили-были три брата: Гоша, Степа и Никита. На все вопросы они всегда отвечали
неправду. Как-то однажды их спросили: «Кто из вас самый старший, а кто – самый
младший?» Братья ответили: Никита: «Я младший из братьев». Стёпа: «Я старший
из братьев. Гоша: «А я еще старше, чем Стёпа». Кто же из братьев самый старший,
а кто – самый младший?
Решение. Никита – либо старший, либо средний. Стёпа – либо средний, либо
младший. Гоша младше Стёпы. Так как Гоша младше Стёпы, то Стёпа не может
быть младшим, значит, он средний, а Гоша – младший. Ну а Никита должен быть
старшим.
Замечание: Подразумевается, что все братья разного возраста (даже если они
двойняшки, все равно кто-то родился раньше, а кто-то позже.)
3. У рассеянной хозяйки есть три ящика для рассады с надписью «Огурцы», «Цветы»
и «Ромашки». Она посадила семена ромашек, огурцов и колокольчиков в эти
ящики так, что все надписи оказались неверными. Что вырастет в ящике с
надписью «Ромашки»?
Решение. В ящике с надписью «цветы» не могут вырасти ни ромашки, ни
колокольчики (иначе надпись была бы верной), значит, там вырастут огурцы. В
ящике с надписью «ромашки» не могут вырасти ромашки, а огурцы уже
использованы, значит, там вырастут колокольчики. В оставшемся ящике с
надписью «огурцы» вырастут ромашки.
4. Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале. Когда кошка в комнате,
мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если сыр на столе, а кошка – в
подвале, то мышка в комнате. Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Где
сейчас мышка?
Решение. Раз идет дождь, значит кошка сидит в комнате или подвале. Но в комнате
она сидеть не может, т.к. в этом случае сыр лежал бы в холодильнике. Значит,
кошка в подвале и сыр на столе => мышка в комнате.
5. Говорят, что Тортила отдала золотой ключик Буратино не просто так, а вынесла
три коробочки. На красной коробочке было написано: «Здесь лежит золотой
ключик», на синей – «Зеленая коробочка пуста», а на зеленой – «Здесь сидит
гадюка». Тортила прочла надписи и сказала: «Действительно, в одной коробочке
лежит золотой ключик, в другой гадюка, а третья пуста, но все надписи неверны».
Где лежит золотой ключик?
Решение. Надпись на синей коробке не верна => зеленая коробка не пуста.
Надпись на зеленой коробке не верна => там не сидит гадюка.
Значит, зеленая коробка не пуста и там нет гадюки, т.е. там золотой ключик.
6. Однажды Алиса повстречала Льва и Единорога, отдыхавших под деревом.
Странные это были существа. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам
и говорил правду во все остальные дни недели. Единорог же вел себя иначе: он
лгал по четвергам, пятницам и субботам и говорил правду во все остальные дни
недели. Они высказали следующие утверждения:
Лев: Вчера был один из дней, когда я лгу.
Единорог: Вчера был один из дней, когда я тоже лгу.
Из этих двух высказываний Алиса сумела вывести, какой день недели был вчера.
Что это был за день?
Ответ: среда.
Решение. Если некто говорит «Вчера был один из дней, когда я лгу» – это означает,
что у него со вчерашнего дня сменилась роль (вчера лгал, и сегодня в этом честно
признается, либо вчера говорил правду, но сегодня отрицает это).
В какой день недели меняется роль и у Льва, и у Единорога? В ночь со среды на
четверг.
7. Милиционер Пронькин поймал хулигана Семёна с женским зонтиком. Хулиган
признался, что встретил на улице Ирину, Лину и Полину и отобрал зонт у одной из
них. Вечером в отделение милиции позвонили, и женский голос сказал: «Меня
ограбили!». «Кого ограбили?», – переспросил Пронькин. «Полину», – ответили
ему. Кому Пронькин должен вернуть зонтик, если ему известно, что Ирина всегда
говорит правду, Лина – всегда лжет, а Полина через раз говорит то правду, то
ложь?
Решение. Итак, звонивший сделал 2 утверждения:
1) Меня ограбили;
2) Полину ограбили.
Если звонил честный человек (Ирина), то их надо понимать так: «Меня ограбили, я
Полина». Ирина не могла такого сказать.
Если звонил лжец (Лина), то утверждения надо понимать так: «ограбили не меня и
не Полину». Такой вариант вполне возможен. Получается, что ограбили Ирину, а
звонила Лина.
Если звонила Полина, то утверждения могут означать «ограбили не меня, ограбили
Полину» или «ограбили меня, но не Полину». В обоих случаях утверждается, что
«Полина не я». Противоречие.
Ответ: нужно вернуть зонтик Ирине (а звонила Лина).
8. Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто
утверждений:
«В этой тетради ровно одно неверное утверждения»;
«В этой тетради ровно два неверных утверждения»;
«В этой тетради ровно три неверных утверждения»;
...
«В этой тетради ровно сто неверных утверждений».
Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?
Решение. Пусть в тетради Х верных утверждений. Тогда неверных 100 – Х.
Во всех утверждениях идет речь про одно и то же число 100 – Х, поэтому среди
этих утверждений не более одного верного. Разберем случаи:
1) Х = 0. Все утверждения неверны. Но тогда надпись «В этой тетради ровно
сто неверных утверждений» истинна. Противоречие.
2) Х = 1. Неверных утверждений 100 – 1 = 99. Надпись «В этой тетради ровно
99 неверных утверждений» верна. Все сходится
9. Первый вторник месяца Митя провёл в Париже, а первый вторник после первого
понедельника — в Лондоне. В следующем месяце Митя первый вторник провёл
в Москве, а первый вторник после первого понедельника — в Питере. Сможете ли
вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?
Решение. Поскольку Митя не мог провести один и тот же день и в Париже
и в Лондоне, значит, месяц начинался во вторник (ведь если месяц начинается в
другой день, то первый вторник и первый вторник после первого понедельника
совпали бы). Аналогично заключаем, что и второй месяц должен начинаться
во вторник. Это возможно только в случае, когда один месяц — февраль,
а другой — март, причём год не високосный. Отсюда уже легко получить, что
в Париже Митя был 1 февраля, в Лондоне — 8 февраля, в Москве — 1 марта,
в Питере — 8 марта.
10.В детском саду воспитатель раздала 40 детям карточки со словами «рыцарь» и
«лжец», каждому – по одной, объяснив, что теперь рыцари должны говорить
только правду, а лжецы, наоборот, только неправду. Пока она говорила, дети
поменялись карточками так, что у каждого снова оказалась ровно одна карточка.
После этого 15 детей (следуя ролям, написанным на новых карточках) сказали, что
их роли поменялись, а остальные – что их роли остались прежними. Сколько могло
быть карточек со словом «рыцарь»?
Решение. Кто заявит, что его роль поменялась?
1) тот, кто был лжецом, а стал рыцарем (была карточка ЛЖЕЦ, а после обмена
на новой карточке написано РЫЦАРЬ);
2) тот, кто был и остался лжецом (была карточка со словом ЛЖЕЦ и после
обмена на новой карточке написано ЛЖЕЦ).
Все остальные скажут обратное: рыцарь, получивший карточку лжеца, солжет и
скажет, что его роль не поменялась; рыцарь, получивший карточку рыцаря,
скажет правду, что его роль не поменялась.
Заметим, что те и только те, кто изначально был «лжецом» (дети из категорий 1 и
2) заявят, что их роль поменялась. Значит карточек «лжец» 15 штук.
Ответ: 40 – 15 = 25 карточек со словом «рыцарь».