Решения задач Школьного этапа олимпиады по математике

Решения задач
Школьного этапа олимпиады по математике
2013/2014 учебного года
8 класс
1.
Как
расставить
числа
4 2 5 32
, , ,
,
513 9 4 3
какие-то
из
знаков
арифметических операций ("+", "-", "×", "/") между ними и, при
необходимости, скобки так, чтобы полученное число равнялось 2014?
Решение.
32 4  2 5  32 513 53 2  4  4  3  9  19  53
:
   




3 513  9 4  3 4 36
3 4  4 9
.
 2  19  53  2014
2.
Найдите все функции f(x), для которых выполнено:
f(2x+1)=4x2+14x+7.
Решение. Имеем: f(2x+1)=4x2+14x+7=(2х+1)2+5(2х+1)+1, откуда
f(x)=х2+5х+1.
Ответ: f(x)=х2+5х+1.
3.
Известно, что
x y x y

 3 . Найдите значение выражения
x y x y
x2  y2 x2  y2

.
x2  y2 x2  y 2
Решение.
Складывая
дроби
в
левой
части
уравнения
x y x y
2x2  2 y 2
x2  y2 3

 3 , получаем
 3 , откуда 2

и
x y x y
x2  y2
x  y2 2
x 2  y 2 x 2  y 2 3 2 13

   .
x2  y2 x2  y2 2 3 6
Ответ:
13
.
6
4.
Укажите треугольник, который можно разделить на три равных
треугольника.
Решение. Искомый треугольник – прямоугольный с углами 30°, 60°,
90°. Рассмотрим вначале правильный треугольник, в котором
проведены высоты. Высоты делят правильный треугольник на 6
равных треугольников. Поэтому треугольник с углами 30°, 60°, 90°,
являющийся
половиной
правильного
треугольника,
оказывается
разбитым на 3 равных треугольника.
Ответ: прямоугольный треугольник с углами 30°, 60°, 90°.
5.
На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь
(который всегда говорит правду), либо лжец (который всегда лжет).
Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего
соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в
итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?
Решение. Предположим, что описанная ситуация возможна, тогда,
каждая из фраз произнесена по 1234:2=617 раз. При любом разбиении
жителей на пары существует только три возможных вида пар:
1)
два рыцаря;
2)
два лжеца;
3)
рыцарь и лжец.
В парах первого и второго вида каждый произнес: "Он — рыцарь!", а в
парах третьего вида каждый произнес: "Он — лжец!". Таким образом,
каждая из фраз в любом случае произнесена четное количество раз, что
противоречит тому, что их должно быть по 617.
Ответ: не могло.