Задачи древней Греции

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №12
Московская область г. Коломна, ул. Зелёная, д.3
Нестандартный урок
(6 класс)
«Задачи Древней Греции»
Учитель математики
высшей квалификационной категории
Быкова Елена Анатольевна
2014г.
Тема: «Задачи Древней Греции».
Цели:
 развитие кругозора;
 развитие речи;
 формирование умения создавать математическую модель жизненной
ситуации;
 развитие умения выражать свою мысль на языке математики;
 отработка навыков решения уравнений;
Оборудование: ноутбук, проектор, экран, оверхед.
Структура урока:
1.Постановка цели урока.
2.Знакомство с Древней Грецией.
3.Разбор домашнего задания (отчитывается каждая группа).
4.Знакомство с Греческой антологией.
5.Решение задач из Греческой антологии (по группам).
6.Решение задачи из трактата «Арифметика».
7.Подведение итога.
Ход урока.
1. Постановка цели урока.
Здравствуйте ребята!
Сегодняшний урок мы посвятим древней Греции. Нам предстоит
познакомиться с некоторыми древнегреческими математиками, разобрать
ряд интересных и непростых задач.
Напоминаю, что трем группам было дано домашнее задание: вы должны
были дома решить предложенную вам задачу и подготовить краткую
историческую справку об авторе этой задачи. Все группы готовы?
Тогда начнем.
2.Знакомство с Древней Грецией (просмотр слайдов).
Учитель:
О, светло светлая и украсно украшенная земля греческая!
Много бесценных даров преподнесла ты миру.
Здесь родились и творили Софокл и Еврипид – основатели первого театра,
И великий Гомер, рассказавший о приключениях Одиссея,
и мудрый философ Сократ, учивший людей мыслить и
бороться.
Не зря восклицают: «О, спорт – ты мир!» Спорт подарили миру греки.
Здесь, на высокой горе Олимп, где жили античные боги, был зажжён
олимпийский огонь.
И затихали распри, и прекращались войны, и воцарялся мир.
О, древняя и прекрасная Греция!
Неоценим твой вклад в развитие европейской культуры и науки.
Математика как наука начала складываться в условиях античной Греции
V – IV в.в до нашей эры. Хотя Греция была рабовладельческим
государством, но в управлении государством проявлялся известный
демократизм, распространявшийся, конечно, только на свободных граждан.
Вопросы управления, жизни и государственных дел обычно обсуждались на
собраниях свободных граждан (являвшихся в большинстве своем
рабовладельцами). Эти обсуждения, высказывания, речи и споры
способствовали общению граждан, появлению и развитию логики,
формированию отдельных наук и, в частности, становлению математики как
науки. Математика теперь развивается благодаря философам и ученым,
имена которых и даже их сочинения хорошо известны нашим
современникам. Это Пифагор, Гиппократ, Фалес, Аристотель, Евклид,
Архимед и многие другие.
Яркий представитель этого времени - Пифагор - древнегреческий философ и
математик.
3 .Разбор домашнего задания.
I группа дает краткую справку о Пифагоре (просмотр слайдов).
Ученик:
Пифагор родился около 570 лет до нашей эры на острове Самос. Является
основателем «Пифагорейского союза», просуществовавшего около двух
веков. В основу философии пифагорейского союза было положено
мистическое учение о числе. Пифагорейцы стремились доказать
существование незыблемого, вечного мирового порядка, определенной
мировой гармонии. Свою школу Пифагор создает как тайную организацию
со строго ограниченным числом учеников. Попасть в нее было не просто.
Претендент должен был выдержать ряд испытаний, по утверждению
некоторых историков, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего
молчания. В течение этих пяти лет ученики
могли слушать учителя только из –за занавеса, а увидеть могли только
тогда, когда их «души будут очищены музыкой и тайной гармонией чисел».
В области математики Пифагору приписывается введение доказательств в
геометрию, создание учения о подобии, доказательство теоремы носящей его
имя теоремы Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников
и многогранников. Благодаря Пифагору математические знания из Египта и
Вавилона передавались в Грецию.
Учитель:
А вот как говорили о нем его современники:
Жил среди нас некий муж, умудренный безмерным познаньем,
Подлинно мыслей высоких владевший сокровищем ценным,
В разных искусствах премудрых свой ум глубоко изощривший.
Ибо как скоро всю силу ума напрягал он к познанью,
То без труда созерцал все несчётные мира явленья,
За десять или за двадцать людских поколений провидя.
I группа представляет решение домашней задачи (пленка 1).
№1. Задача Пифагора.
Однажды Пифагора спросили:
- Скажи знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и
слушают твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть –
музыку, седьмая часть прибывает в молчании, и, кроме того, есть еще три
женщины.
Давай те же узнаем, сколько учеников было у мудрого Пифагора?
Решение:
Пусть Х учеников было у Пифагора, тогда
1
 -изучало математику
2
1
 - музыку
4
1
 - пребывали в молчании, и ещё было 3 женщины
7
Составим уравнение:
1
1
1
  3  
2
4
7
  28
Ответ: у Пифагора было 28 учеников.
Учитель:
Математика греков достигла своего расцвета к III веку нашей эры. От этой
эпохи сохранился до нашего времени ряд трактатов по математике.
Греческие математики довели до большого совершенства логическое
построение математики и положили начало методам алгебры. Один из
известных греческих математиков этого времени – Диофант.
II группа дает краткую справку о Диофанте (просмотр слайдов).
Ученик:
Диофант. древнегреческий математик из Александрии, жил в 250 году. О его
жизни нет почти никаких сведений. Диофант является автором
математического трактата «Арифметика», правда из 13 книг до нас дошло
только 6. Он впервые ввел буквенную символику в алгебру. Методы
решения задач у Диофанта крайне остроумны и своеобразны.
II группа представляет решение домашней задачи (пленка 2).
№2. Задача Диофанта
Бассейн получает воду из 4 труб. Первая наполняет его в день, вторая – в два
дня, третья – в три, а четвертая в четыре. Требуется узнать, во сколько
времени наполнится бассейн, если все четыре трубы открыть одновременно.
Решение:
Пусть объём всего бассейна 1, тогда
1 труба наполнит за 1ч.
1
часть бассейна
24
1
бассейна
48
1
3 труба за 1ч. бассейна
72
1
4 труба за 1ч. - бассейна
96
2 труба за 1ч .-
Тогда работая вместе в течение часа, они наполнят
1
1
1
1



=
24 48 72 96
25
часть бассейна. Чтобы наполнить весь бассейн потребуется 1 :
288
25
13
 11 ч.
288
25
13
Ответ: потребуется 11 часа.
25
Учитель:
Ну и еще один древнегреческий философ и математик – Метродор.
III группа дает краткую справку о Метродоре (просмотр слайдов).
Ученик:
Метродор
Об этом математике информация практически отсутствует. Известно только,
что Метродор из Лампсака жил в 3 веке до нашей эры и был последователем
и другом Эпикура, а также что он являлся автором ряда задач в стихах,
вошедших в рукописные сборники того времени. Позднее в Греции был
выпущен сборник - «Греческая Антология» содержащий 48 задач, условия
которых написаны в стихотворной форме. В него вошли и задачи
составленные Метродором.
III группа представляет решение домашней задачи (пленка 3).
№3. Задача Метродора
Корона весит 60 мин (греческая мера) и состоит из сплава золота, меди,
олова и железа.
Золото и медь составляют вместе 2/3, золото и олово- ¾, золото и железо -3/5
общего веса.
Определить вес каждого металла в отдельности.
Решение:
2
1)  60  40 (мин) золота и меди,
3
3
2)  60  45 (мин) золота и олова,
4
3
3)  60  36 (мин) золото и железо,
5
4) 40 + 45 + 36 =121 (мин),
5) 121 – 60 = 61 (мин) двойное количество золота,
6) 61:2 = 30,5 (мин) золота,
7) 40 – 30,5 = 9,5(мин) меди,
8) 45 – 30,5 = 14.5(мин) олова,
9) 36 – 30,5 = 5,5 (мин) железа.
Ответ: сплав содержит 30,5 мин золота, 9,5 мин меди, 5,5 мин железа, 14.5
мин олова.
4.Знакомство с Греческой антологией.
Учитель:
Сегодня, когда ребята рассказывали о Метродоре, прозвучало название
одного известного сборника «Греческая антология». Я вас просила найти
лексическое значение незнакомого нам слова «антология».
С. Ожёгов дает такое толкование слова «антология»:
Антология – сборник избранных художественных произведений разных
авторов.
Итак, «Греческая антология» содержит 48 задач в стихах. С некоторыми
задачами из этого сборника мы сейчас познакомимся.
У нас три задачи: Статуя Полифема, Эрот и яблоки, Жизнь Диофанта.
Каждая группа разбирает самостоятельно одну из этих задач, а затем
представляет нам свое решение.
5.Решение задач из «Греческой антологии».
I группа.
№4. Задача «Жизнь Диофанта».
Прах Диофанта гробница покоит
дивись ей - и камень.
Мудрым искусством его
скажет усопшего век.
Волей богов
шестую часть жизни он прожил ребенком,
и половину шестой
встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая,
подружкою он обручился.
С ней пять лет проведя,
сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской
возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца
ранней могилой своей.
Дважды два года
родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел
жизни печальной своей.
Решение: (слайд)
Век жизни Диофанта - х лет
1
x
6
1
x
Протекла юность 12
Прожил ребёнком -
1
7
Минула седьмая часть жизни – x
Прошло пять лет - 5
Сын прожил -
1
x
2
Четыре года Диофант -4
оплакивал сына
Составим уравнение:
1
1
1
1
x x x5 x4  x
6
12
7
2
x  84
Ответ: Диофант прожил 84г.
II группа.
№5. Задача «Статуя Полифема».
Вот Полифема циклопа из меди статуя отлита.
Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво.
Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто.
И в настоящее время влагу уста изливают.
Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна
Весь водоем до краев через три дня переполнить.
Оку – достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых,
Вместе все три водоем скоро ли могут наполнить?
Решение: (слайд)
Весь объем работы - 1
1
72
1
Труба в оке за 1 час наполнит 24
Труба в руке за 1 час наполнит –
Труба в устах за 1 час наполнит –
наполнят 1:
5 2
48
( от 24ч. т.е.
дня, тогда за 1ч. они
48 5
5
48
5

),
5
48
Время одновременной работы 3-х труб – х ч.
Составим уравнение:
1
1
5


)х = 1
72 24 48
6
х = 6 (ч.)
23
(
Ответ: работая вместе три трубы наполнят водоём за 6
6
ч.
23
III группа.
№6. Задача «Эрот и Яблоки».
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя огорчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало, - Эрот отвечает, Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятую долю взяла. Талия – долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора,
С частью седьмою Эрато стремглав от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти, что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю».
Решение: (слайд)
Решение:
Всего было плодов –х
Евтерпа взяла –
1
x
12
1
5
1
Талия – x
8
Клио – x
Мельпомена –
1
x
20
1
4
Терпсихора – x
Эрато –
1
x
7
Полимния – 30
Урания – 120
Каллиопа – 300
Осталось - 50
Составим Уравнение:
1
1
1
1
1
1
x x x
x  x  x  30  120  300  50  x
12
5
8
20
4
7
x  3360
Ответ: у Эрота было 3360 плодов.
Учитель:
Молодцы. А теперь мы с вами рассмотрим еще одну задачу Диофанта из его
трактата «Арифметика».
6.Решение задачи из трактата «Арифметика».
№7. Задача.
Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая часть от первого
деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы
большая часть от второго деления была втрое более меньшей части от
первого деления.
7. Итог урока.
Учитель:
Ну что же. Мы с вами совершили небольшое путешествие в древнюю
Грецию. Познакомились с великими математиками того времени.
К большому сожалению, ваш багаж знаний в области математики пока
невелик и не дает нам возможности углубиться в эту тему, но у нас еще все
впереди и новые имена, и интересные сложные задачи. Поэтому мы с вами
закончим наше сегодняшнее занятие словами «До встречи, Греция……».