Система уравнений с двумя переменными на едином

Математика, 11 класс
Кармакова Тамара Сергеевна, ХГПУ
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ НА ЕДИНОМ
ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
В соответствии с контрольно-измерительными материалами (КИМ) Единого
государственного экзамена по рассматриваемой теме контролю подлежат умения решать:






Системы, содержащие одно или два рациональных уравнения;
Системы, содержащие одно или два иррациональных уравнения;
Системы, содержащие одно или два тригонометрических уравнения;
Системы, содержащие одно или два показательных уравнения;
Системы, содержащие одно или два логарифмических уравнения;
Системы, содержащие уравнения разного вида (иррациональные,
тригонометрические, показательные, логарифмические);
 Системы уравнений с параметром.
Рассмотрим примеры перечисленных видов и способы их решения.
 у  х 2  6 х  9  2,
Пример 1. Пусть х0 ; у0  - решение системы уравнений 
, найдите
 х  3  у.
значение выражения 3х0  2 у0 .
Данную систему можно решить двумя способами.
Первый способ: Подставив в первое уравнение вместо у выражение 3  х , получим
3  х  х2  6 х  9  2 или 5  х  х 2  6 х  9 . Возведя обе части полученного уравнения в
квадрат, при условии, что 5  х  0 , х  5, получим
25  10 х  х 2  х 2  6 х  9 ,
х  4 , у  1 .
Значит 3х0  2 у0  12  2  14 .
5  х  х  32 ,
Второй способ: Выполнив преобразования и подстановку, получим 
,
 у  3  х.
5  х  x  3 ,
применив тождество a 2  a , получим систему 
, которая равносильна
 у  3  х.
совокупности двух систем в соответствии с определением модуля:
5  x  x  3,
5  x   x  3,
или 
.

x  3  0
 x  3  0.
Решение первой системы x  4 . Вторая система не имеет решения. Из уравнения y  3  x
получаем у  1 , то есть 3х0  2 у0  14 .
Ответ: 14.
 y  3  x  2 ,
Пример 2. Пусть x0 ; y0  решение системы 
. Найдите сумму x0  y0 .
 y  2 x 1.
Эту систему решим графически.
Решение:
 y  x  2  3,
.

 y  2 x 1
График первого уравнения можно получить из графика функции y  x сдвигом на 2
единицы по оси 0x вправо и на 3 единицы вверх, по оси 0 y .
График второго уравнения получается из графика показательной функции y  2 x
параллельным переносом на +1 вдоль оси 0x , то есть на единицу вправо.
y  2 x 1 и y  x  2  3
x
y
x
y
Построенные графики пересекаются в единственной точке
-3 0,0625 -318
8
(3;4). Подстановкой координат найденной точки в
-2
0,125
-216
7
уравнения исходной системы убеждаемся, что пара (3;4)
-1
0,25
-1
6
14
является решением системы. Значит x0  y0  3  4  7 .
0
0,5
0
5
12
Пример 3. Решите систему уравнений
1
1
1
4
10
2
2
2
3
 x  y  xy  9
3
4
38
4

y 3,
 x
4
8
46
5



5
16
54
6
y
x
2

2
Решение: Особенностью системы является то, что одно
0
уравнение системы – рациональное, а другое –
-4
-2
0
2
4
6 иррациональное. Область допустимых значений системы
x  0 , y  0 и x, y - одного знака.
x
, t  0 . Тогда второе уравнение примет вид
y
1
1
2t 2  3t  2  0 , откуда t1  2 , t 2   . Так как t 2   не удовлетворяет условию t  0 , то
2
2
x
из уравнения
 2 , получаем x  4 y и исходная система будет равносильна системе
y
 x  y  xy  9
.

x  4 y
9

Решением системы является две пары чисел (4;1) и   9;  , которые удовлетворяют
4

области допустимых значений.
9

Ответ: (4;1) и   9;  .
4

3
3
3 3
 x  y  x y  17
Пример 4. Решите систему уравнений 
 xy  x  y  5
.
Решение: Данная система является симметрической, то есть такой, которая не меняется при
замене в каждом уравнении x на у и у на х. Как и всякую симметрическую систему, её
целесообразно решать путём введения двух новых переменных u  x  y , v  xy .
Введём новое переменное t 


Так как x 3  y 3  x  y x 2  xy  y 2   x  y  x  y   3xy  u u 2  3v  , то данная система
2
u  3uv  v  17,
примет вид 
. Применяя формулу суммы кубов для u 3  v 3 и осуществляя
v  u  5.
3
3
5(u 2  uv  v 2 )  3uv  17,
подстановку u  v  5 в первое уравнение, получаем 
.Выполняя
v  u  5.
5((u  v)2  2uv)  8uv  17,uv  6, u  2, u  3,
тождественные переходы, получим 
.
или 


v  u  5;v  3;
v  2.
v  u  5;
Следовательно,
исходная
система
равносильна
совокупности
двух
систем
 x  y  2,  x  y  3,
. Первая система решения не имеет, а решение второй - две пары чисел
и

 xy  3;
 xy  2.
(1;2) и (2;1).
Ответ: (1;2) и (2;1).
2 2
2
3 x y  x  2 xy  12  0,
Пример 5. Решите систему уравнений  2 2
5 x y  2 x 2  3 xy  6  0. .
Решение: Имеем систему двух рациональных уравнений. Если первое уравнение умножить
на (-2) и сложить со вторым уравнением, то получим уравнение  x 2 y 2  7 xy  18  0 . Из
этого уравнения получаем xy  2 и xy  9 . Значит исходная система равносильная
совокупности двух систем
 xy  2,
 2 2
2
3x y  x  2 xy  12  0;
 xy  9,
 2 2
2
3x y  x  2 xy  12  0 .
9 

Из первой системы получаем пары чисел (2;1) и (-2;-1), а из второй -  213;
и
213 

9 

  213;
.
213 

9  
9 

Ответ: (2;1); (-2;-1);  213;
.
 ;   213;
213  
213 

Пример 6. Решите систему уравнений

x3
 xy  24  ,
y


3
y

 xy  6  x .
Решение: Область допустимых значений системы x  0 , y  0 .
Перемножив, левые и правые части уравнений системы, получим уравнение
( xy  24)( xy  6)  x 2 y 2 . Решив полученное уравнение относительно ху, получим xy  8 .
Значит, исходная система равносильна системе
8

 xy  8,
8
y ,


 x  4,
 x  4,
y  ,


x
3
или 
откуда 
или 
x
x или 

4
 y  2.
 y  2,
 x 4  256,
8  24  x
 xy  24  y



8
Ответ: (4;2); (-4;-2).
Пример 7. Решите систему уравнений
sin x * cos y  0,5,
.

cos x * sin y  0,5.
Решение: В данной системе оба уравнения тригонометрические. Сложив уравнения и вычтя
из первого второе, получим новую систему уравнений
 x  y  n ,
sin( x  y )  0,

откуда 
,  z, k z,


cos( x  y )  1;
 x  y  2  2k ;

 n
2 x   n  2k ,   z , k  z , x  
 k ,   z , k  z ,
2
4 2

n 
2 y  n   2k ,   z , k  z , x 
  k ,   z , k  z .
2
2 4
 n
n 
 k ;   k ),   z , k  z .
Ответ: ( 
4 2
2 4
  4 y  5x  2
  y  3x  1,

Пример 8. Решите систему уравнений   2 y  3x  2
.
36 2 y  3 x  36  37 * 6 2 y * 63 x.

Решение: Выполним преобразования степеней во втором уравнении
36 2 y  3 x  36  37 * 6 2 y * 63 x , получим 62( 2 y  3 x )  36  37 * 62 y  3 x  0 . Пусть t  62 y  3 x , где
t  0 . Тогда уравнение примет вид t 2  37t  36  0 , откуда t1  36 , t2  1 .
Если t  36 , то 62 y  3 x  62 , тогда  2 y  3 x  2 или  2 y  3x  2  0 . Но  2 y  3x  2  0 ,
так как это знаменатель первого уравнения, значит t  36 - постороннее решение. Если t  1,
то 62 y  3 x  60 ,  2 y  3 x  0 , 3 x  2 y
2
Подставим в первое уравнение 3 x  2 y или x  y . Получим систему
3
3
8

  4 y  5x  2
5
y  2,  y  ,


  y  3x  1, 2 y  y  1  y  1,  3


4
3

  2 y  3x  2


2
1
3 x  2 y;
 x  y;  x  .
3x  2 y;



3
2
Так как преобразования были равносильные, то проверку подстановкой можно не проводить.
1 3
Ответ:  ;  .
2 4
3x  2 y 1

 ,
 3x  2 y  1 
4
2
Пример 9. Решите систему уравнений 
 x  5y  y .
 3x  2 y  2 2
Решение: Так как левая и правая части первого уравнения имеют общую часть (3x  2 y  1) ,
то найдём её. Пусть t  3x  2 y  1 , t  0 , тогда 3x  2 y  t  1 и первое уравнение принимает
t 1 1
 , 4 t  t  3 , 16t  t 2  6t  9 , t 2  10t  9  0 , t1  1, t2  9 .
вид t 
4
2
Если t  1, то есть 3x  2 y  1  1 , то 3x  2 y  2  0 . Но 3x  2 y  2  0 , так как это
знаменатель второго уравнения, то есть t1  1 - постороннее решение. Если t  9 , то
3 x  10
3 x  2 y  1  9 , 3x  2 y  10 , y 
.
2
3x  10

5(3x  10)
x
 y  2 ,
3x  10
2
Исходная система принимает вид 
откуда
,

x

5
y
y
3
x

(
3
x

10
)

2
4

 ;
 3x  2 y  2 2
2 x  15 x  50 3x  10 17 x  50 3 x  10


,
, 17 x  50  12x  40 , 5x  10 , x  2 ,
2*8
4
16
4
6  10
y
 2 .
2
3* 2  2 * 2 1 
5 1

 ,  9  ,
 3 * 2  2 * 2  1 
4
2 
2 2 3  3,
Сделаем проверку подстановкой 
оба


2  10
2
8
1  1;



 ;
  1;
 3 * 2  2 * 2  2
 8
2
равенства верны, следовательно, (2;-2) – решение системы.
Ответ: (2;-2)
Пример 10. Решите систему уравнений
 3xy  2 x
 y  6  4  3 x,


3
log 4 x  x  81  4  2 log 2  5 x .
9
 3
4 y
Решение: Преобразуем первое уравнение системы, выразив у через х, получим
3xy  2 x  4 y  24  3xy  18 x , 20 x  4 y  24  0 , 5 x  y  6  0 , y  6  5 x .
 y  6  5,

Данная система равносильна системе 
4 x  x 3  81
log
 4  2 log 9 2  5 x .
 3
4  6  5x

4 x  x3  81
 4  log 3 2  5 x  , используя формулу
Решим второе уравнение log 3
5x  2
4 x  x 3  81
1
4 x  x3  81
log a p t  log a t , получим log 3
2  5 x   4 ,
 log 3 2  5 x   4 , log 3
p
5x  2
5x  2
log 3 81  x 3  4 x   4 , 81  x 3  4 x  81 , x 3  4 x  0 , x( x 2  4)  0 , x1  0 , x2  2 , x3  2 .
Если x  0 , то y  6 , но при y  6 знаменатель первой дроби первого уравнения обращает в
0, то есть x=0 – не является корнем. Если x  2 , то log 9 2  5 x  не имеет смысла, то есть
x  2 , - не является корнем. Если x  2 , то y  6  10  16 .
Проверим подстановкой удовлетворяет ли (-2;16) исходной системе.
 3(2)16  2(2)
  96  4)

4


6
,
 4  6,

 10
 6  6,
16  6



log  8  8  81  4  2 log 2  10; log 81  4  2 log 12; log 3 81  log 3 12  4  log 3 12;
9
3
 3
 3 12
 12
 6  6,
Оба равенства верны.

 4  4.
Ответ: (-2;16).
2
 x  3x  3xy  9 y  0,

Пример 11. Решите систему уравнений 
.
2
2

8
log
(
x

3
y

1
)

log
(
x
(
x

1

xy
)).
3
3

Решение: Преобразуем первое уравнение системы x( x  3)  3 y ( x  3)  0 , ( x  3)( x  3 y )  0,
x  3 или x  3 y  0 .
Исходная система будет равносильна совокупности двух систем
a)
 x  3,

2
2
8 log 3 ( x  3 y  1)  log 3 ( x ( x  1  xy));
  x  3,
 
2
 8 log 3 (2  3 y )  log 3 (9(2  3 y )).
log a xy  log a x  log a y,
Решим второе уравнение, воспользовавшись формулами:
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2 .
Получим:
8 log 3 (2  3 y )  (2  log 3 (2  3 y )) 2 ,
8 log 3 (2  3 y )  4  4 log 3 (2  3 y )  log 3 (2  3 y ),
2
log 3 (2  3 y )  4 log 3 (2  3 y )  4  0,
2
(log 3 (2  3 y )  2) 2  2,
2  3 y  9,
7
y .
3
7
Значит (3; ) - решение системы (a).
3
 x  3 y  0,
b)

2
2
8 log 3 ( x  3 y  1)  log 3 ( x ( x  1  xy)).
Система (b) не имеет решения, так как при x  3 y  0 , первое слагаемое второго уравнения
8 log 3 ( x  3 y  1) , не имеет смысла x  3 y  1  0 .
7
Ответ: (3; ) .
3
2
 x  3x  12 y  4 xy  0,

Пример 12. Решите систему уравнений 
4 xy
2
2
log 5 (1  2 y  x)  log 5 ( x 2  32 y 4  4 x 2 y ).

Решение: Преобразуем первое уравнение системы x 2  3x  12 y  4 xy  0 ,
x( x  3)  4 y (3  x)  0,
( x  3)( x  4 y )  0,
x  3 или x  4 y .
2
2
Если x  3 , тогда 1  2 y  x  2 y  2  0 , то есть, log 5 (1  2 y 2  x) не определен.
Следовательно, x  3 не может быть решением данной системы уравнений
Подставим x  4 y во второе уравнение и получим:
16 y 2
2
log 5 (1  2 y 2  4 y )  log 5 (
) Из уравнения следует, что y  0 ,так как при
16 y 2  32 y 4  64 y 3
16 y 2
2
y  0 log 5 (
) , не определен. Поэтому это уравнение равносильно
16 y 2  32 y 4  64 y 3
уравнению
1
2
log 5 (1  2 y 2  4 y )  log 5 (
),
1  2 y2  4 y
log 5 (1  2 y 2  4 y )  log 5 (1  2 y 2  4 y )
2
1
 log a x 1   log a x ).
x
Обозначив log 5 (1  2 y 2  4 y ) , через t, получаем t  t 2 или t (1  t )  0 , то есть t1  0 ,
Если t  0 , то log 5 (1  2 y 2  4 y )  0 ,
(воспользовались формулами log a
t2  1 .
1  2 y 2  4 y  1,
 2 y 2  4 y  0,
y ( y  2)  0,
то есть y1  0 , y2  2 . Так как y  0 , то y  2 и x  4 y  8. Если t  1, то
log 5 (1  2 y 2  4 y )  1 ,
1  2 y 2  4 y  5,
Корней нет.
2 y 2  4 y  4  0,
D  0.
Ответ: (8;2).
log 3 ( x  y  1)  log 3 (1  2 y )  2,
Пример 13. Решите систему уравнений 
 x  y  1  2 y  1  2 x  y  3.
Решение: Так как логарифм определен только для положительных чисел, то из первого
уравнения следует, что x  y  1  0 и 1  2 y  0 . Тогда по определению модуля
x  y 1  x  y 1, и 2 y 1  1  2 y .
Второе уравнение системы примет вид
x  y  1  1  2 y  2 x  y  3,
 x  2 y  1,
x  2 y  1 .
Подставим x  2 y  1 в первое уравнение системы
log 3 (2 y  1  y  1)  log 3 (1  2 y )  2,
log 3 (3 y )  log 3 (1  2 y )  2,
log 3 3  log 3 ( y )  log 3 (1  2 y )  2
(воспользовались теоремой: log a xy  log a x  log a y ).
Получим 1  log 3 (2 y 2  y )  2 (воспользовались свойствами логарифма log a a  1 и
log a x  log a y  log a xy ), тогда
log 3 (2 y 2  y )  1,
2 y 2  y  3,
2 y2  y  3  0
y1  1 ,
y2 
3
.
2
Найдем соответствующее значение х из уравнения x  2 y  1 , получим
x1  1,
.
x2  7
Проверим подстановкой, удовлетворяют ли пары, (1;-1) и (-7;3/2), данной системе.
(1;-1):
log 3 (1  1  1)  log 3 (1  2)  2,

 1  1  1   2  1  2  1  3,
log 3 3  log 3 3  2,

3  3  6,
2  2,

6  6.
Оба равенства верны.
(-7;3/2) – не удовлетворяет первому уравнению исходной системы, так как
3
x  y  1  7   1  0 .
2
Ответ: (1;-1) – решение системы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Предлагаемые ниже задачи являются контрольным заданием для учащихся 11 классов. Для
зачета вам рекомендуется решить не менее 6 задач. Правила оформления, адрес и другая
полезная информация – в конце журнала. Желаем Вам успехов.
Решите системы уравнений
log 15 4  x  y   log 15 (2 y  1)  1,
М.11.4.1. 
 4  x  y  2 y  1  1  x;
 x 2  3 xy  x  3 y  0,

М.11.4.2. 

3xy
2
2 
log 12 1  2 y  3 x   log 12  18 y 4  x 2  27 xy2 ;



2
 x  7 x  2 xy  14 y  0,
М.11.4.3. 
8 log 7  x  2 y  2  log 7 ( x 2 5  5 y  xy);
  y  10 x  11
 5 y  15 x  22,

М.11.4.4.   2 y  5 x
25 2 y  5 x  25  26 * 5 2 y * 5 5 x ;

xy  6 x

3  y  3  x,

М.11.4.5. 
3
0.5 log 16 x  x  25  1  log 2  x ;
5
25

1 y
3x  y

 6 x  2 y  7  4  1,
М.11.4.6. 
 x  11y  8  x  y;
 3x  y  16
sin y  5 sin x,
М.11.4.7. 
3 cos x  cos y  2;
10 y  x   x 4  9,
М.11.4.8. 
 4  y  2 x  2 ;
 x  y  3,
М.11.4.9.  4
2
2
 x  3x y  4 y  0;
7 2
 2
2
3x  y  4 x y,
М.11.4.10. 
2 xy  y 2  1 xy2 .

6