Элективный курс по математике «Модуль числа при решении уравнений, неравенств и построении графиков функций» Разработала учитель математики МОУ « Лямбирская СОШ № 1» Фетхуллова Эльвира Абуевна Лямбирь, 2006 год Пояснительная записка Реализация элективных курсов преследует своей целью подготовку учащихся к ситуациям выбора направления дальнейшего образования. Элективные курсы в школе являются пропедевтическими и выполняют задачи практико - ориентированной помощи в приобретении личностного опыта выбора собственного содержания образования. Цели и категории учащихся. Курс предназначен для подготовки учащихся 10 класса с ориентацией на естественно- математический профиль. Содержание учебного материала программы соответствует целям элективного курса и обладает новизной для учащихся. Актуальность курса определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах решения уравнений и неравенств, содержащих абсолютную величину. Общие принципы отбора содержания материала курса: - системность; - целостность; - объективность; - научность; - доступность для учащихся; - реалистичность с точки зрения возможности усвоения основного содержания курса за 14 часов. Полнота содержания- курс содержит все сведения, необходимые для достижения запланированных целей обучения. Инвариантность содержания- курс применим для разных групп школьников, что достигается обобщенностью включенных в неё знаний, их отбором в соответствии с задачами предпрофильного обучения. Практическая направленность содержания- содержание курса обеспечивает приобретение знаний и умений, необходимых для решения уравнений , неравенств и построений графиков функций, содержащих модуль. Систематичность содержания обеспечивается логикой развёртывания учебного содержания. Реалистичность программы выражается в том, что она может быть изучена за 14 часов в течение любого времени. Место курса в системе школьного математического образования. Предлагается элективный курс в объеме 14 часов, который включается либо в конце учебного года , либо в течение года на факультативных или групповых занятиях. Данный образовательный курс является источником знаний, который расширяет и углубляет базовый компонент. Значимость, роль и место данного курса определяется также необходимостью подготовки учащихся к сдачи ЕГЭ и выбору профессиональной деятельности. По замыслу автора, этот курс позволит полнее учесть интересы и профессиональные намерения старшеклассников, следовательно, сделать обучение более интересным для учащихся и, соответственно, получить более высокие результаты. Цели и задачи курса. Воспитательные: воспитывать любовь к предмету математика, чувство товарищеской взаимопомощи; Образовательные: расширить, закрепить и систематизировать знания учащихся по изучению темы « Модуль числа» в процессе решения уравнений, неравенств и построения графиков функций, содержащих модуль. Развивающие: развить и выработать прочные умения и навыки использования изученного материала ;развитие речи, мышления и способности наблюдать и делать выводы, составлять алгоритм решения задач. Предполагаемые результаты изучения курса. Предлагаемый курс по математике должен помочь учащимся усвоить основные ( базовые ) математические понятия, способы решения уравнений , неравенств и построения графиков функций, содержащих абсолютную величину и расширить базовый компонент. Уровень обязательной подготовки определяется следующими требованиями: - знать и уметь правильно употреблять термины, связанные с понятием модуля; - уметь понимать смысл условий задач; - уметь представлять геометрическую интерпретацию уравнения х а и неравенств х а и х а ; - уметь пользоваться техникой решения уравнений и неравенств, содержащих неизвестную под знаком модуля; -знать и уметь правильно переходить от одного способа решения к другому; -уметь пользоваться простейшими приёмами преобразования графиков и их построение; -уметь пользоваться справочным материалом для нахождения нужных формул и их использование при решении задач. Методы преподавания курса. Методы преподавания определяются целями и задачами данного курса, направленного на формирование способностей учащихся. Учащиеся овладевают математическими понятиями, способами математического исследования. Важнейшим принципом методики изучения курса является постановка вопросов и заданий, позволяющих учителю и учащимся проверить уровень усвоения основных дидактических единиц и степень сформированности умений, приобретённых в процессе изучения курса. Это различные виды тестовых заданий и задания творческого характера. Методическое обеспечение 1.Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа ,10-11 класс. М., «Просвещение»,2002 г. № Содержание обучения ( название темы) Кол.часов Тип занятия 2. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ, 10 класс. М., «Просвещение», 1999г. 3. Галицкий М.Л. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. М., «Просвещение»,1999 г 4. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10-11 класс. М., «Просвещение»,1998 г 5. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М. «Просвещение»,1997 г 6. Шарыгин И.В. Факультативный курс по математике. Решение задач. М., «Просвещение»,1997г. Тематическое планирование элективного курса по математике «Модуль числа» 1 2 Понятие модуля. Геометрическая интерпретация Преобразование выражений, содержащих модули 1 2 3 Уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля 3 4 Неравенства, содержащие неизвестную под знаком модуля 3 5 Построение графиков функций, содержащих модуль 2 6 7 Задачи повышенного уровня сложности Самостоятельная работа 2 1 лекция 1- Лекция 1- практика 1- лекция 2- практика 1- лекция 2- практика 1- лекция 1- практика практика практика Содержание курса. 1.Понятие модуля. Геометрическая интерпретация. Из курса математики 6 класса и алгебры 8 класса учащиеся усвоили определение модуля числа а а, еслиа 0 а а, еслиа 0 Геометрический смысл модуля числа а заключается в том, что модуль числа а есть расстояние от начала отсчета до точки , изображающей это число а . 5 5 3 3 ,т.е. если -3<0 ,то 3 = -(-3)=3 Модуль раскрывается исходя из определения . Например, а 5, еслиа 5 0 a 5, еслиа 5 а) а 5 т.е. a 5 (а 5), еслиа 5 0 а 5, еслиа 5 3 х, если3 х 0 3 х, еслих 3 б) 3 х т.е. 3 х (3 х), если3 х 0 х 3, еслих 3 2 2 х х 6, еслих х 6 0 в) х х 6 т.е. 2 2 ( х х 6), еслих х 6 0 2 2 х х 6, еслих 3, х 2 х х6 2 6 х х , если 3 x 2 2 2.Преобразование выражений , содержащих модули Задача. Упростите выражения. 1) х2 2х 1 2) х 2 2 х 1 х 3 при а) х<1 б) 1 х 3 в) х>3 при а) х<1 б) х 1 1 при а) а>2 а 4а 4 1 4) (х-3) 2 при а) x>3 х 6х 9 3) (2-a) б) a<2 2 б) x<3 5) y= х2 8х 16 х2 12 х 36 при а) х<4 б) 4 х 6 в) x>6 1 1 1 1 6) у= 4 х2 4 х 1 9 х2 6 х 1 при а) х< б) х в)x> 3 3 2 2 7) (а в ) 2 ав где a>b 3. Уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля. Наиболее распространенным методом решения уравнений и систем уравнений ,содержащих абсолютные величины ,является метод , при котором знак модуля раскрывается на основании её определения. Например , решить уравнение 3х 4 =х+5. Решение. 1) Если 3х-4 0 , то 3х 4 =3х-4 , т.е. х 4 3 3х-4=х+5 х=4.5 4 3 3х 4 = -(3х-4) , т.е. Корень х=4.5 принадлежит х 2) Если 3х-4<0 , то х< 4 3 -(3х-4) = х+5 х=-0.25 Корень х=0.25принадлежит х< 4 3 Ответ: х1=-0.25 , х2=4.5 Иногда уравнения могут содержать не один , а несколько абсолютных величин , тогда выше изложенный способ окажется слишком громоздким и может запутать ученика. В таких случаях более приемлем другой способ решения уравнений по следующему алгоритму: 1. Находятся те значения неизвестных, при которых каждое подмодульное выражение обращается в ноль; 2.Числовая прямая разбивается этими значениями на промежутки ; 3. Для каждого промежутка раскрыть каждый модуль. Получаются несколько уравнений, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение; 4. Решить полученные уравнения и корни соотнести с ограничениями. Пример. Решить уравнение 2 x 1 5 3x 1 4 x 0 решение. 1) 2х+1=0 1 х=2 2) х<- 5-3х=0 2 х=1 3 1 1 2 2 , - х1 , х>1 . 2 2 3 3 а) х<- 3) 1 2 2х+1<0 -(2x-1)+(5-3x)+1-4x=0 5 5 1 x= ; 9 9 2 1 2 б) - х 1 2х+1>0 5-3x>0 2 3 (2х+1)+(5-3х)+1-4х=0 2 2 1 2 х= 1 1 ;1 5 5 2 3 2 2x+1>0 5-3x<0 3 (2x+1)+(3x-5)+1-4x=0 2 x=3 3 1 ; 3 в) х> 1 Ответ. х 1 = 1 2 3 х 2 =3 5-3x>0 Или несколько другой способ решения уравнений. 3х 2 5 х 4 2 х 1 Пример. Решить уравнение Исходя из определения модуля, х а, а 0 х а, х а, 2х-1 0 1 х 2 тогда исходному уравнению соответствуют два уравнения: можно наложить условие для 2х-1 2 3х +5х-4=2х-1 2 3х -3х-3=0 3х +5х-4=-(2х-1) 3х +7х-5=0 7 109 7 109 , х2 1 6 6 х условию х Ответ. х 2 2 7 109 1 5 1 6 2 подходят х= 2 и х= 7 109 1 5 2 6 2 , х 1 Решить уравнения: 2 1) х х 2 0 х 2 26 10 х2 х 2 3) 4) х 2 2 2 5) х 2 2 х 1 2 6) х 2 -4 х +3=0 7) (х-1) х 2 2 8) 2х-7= х 4 9) 10) 11) 1 5 1 5 , х2 2 2 Задания для закрепления. 2) х 6 2 х 3х 1 х 2 х 1 х2 9 х2 4 5 12) х 1 3 2 х 2 2 х 5 х 5 х 2 3х 13) 14) cos x cos 3x sin 2x 15) 4 cos x 3 4 sin 2 x 1 cos 2 2 x 16) x 1 x 1 x 1 x 1 17) 18) 1 х х 2 х х 3 6 х 2 tgx 1 4.Неравенства, содержащие неизвестную под знаком модуля Обычный путь решения неравенств, содержащих абсолютные величины, состоит в том, что числовая прямая разбивается на участки,на каждом из которых на основании определения абсолютной величины ,знак модуля можно снять. 1. Например, решить неравенство х 2 3х 2 2 х 1 5 Решение 1) х2-3х+2=0 2х+1=0 х=1 х=2 х= - 0,5 2) рассмотрим четыре случая: а) х<-0,5 б)-0,5 х 1 в) 1<x<2 г) х 2 3) а) х<-0,5 х2-3х+2-(2х+1) 5 х2-5х-4 0 5 41 5 41 х 2 2 с учетом условия б)-0,5 х 1 х< - 0,5 , получим 5 41 х <-0,5 2 х2-3х+2+2х+1 5 х2-х-2 0 -1 х 2 0,5;1 1;2 значит, решением является 0,5;1 в) 1<x<2 -(x2-3x+2)+2x+1 5 x2-5x+6 0 x2 x3 решением является 1<x<2 г)х 2 х2-3х+2+2х+1 5 х2-х-2 0 -1 х 2 подходит лишь х=2. Таким образом,решением исходного неравенства являются 5 41 х <-0,5 , -0,5 x 1 , 1<x<2 , x=2 2 5 41 то есть х2 2 5 41 Ответ: х2 2 Другой подход к неравенствам,содержащим абсолютные величины, состоит в ранее изученных в 8 классе неравенствах: х а. а 0 х а , а>0 х а , х а х а или х а -a х а х а или х а При помощи этого приёма мы во многих случаях можем последовательно избавляться от знака абсолютной величины ,уединяя выражения под этим знаком в одну из частей неравенства. Например, решить неравенство х 2 3х 2 2 х 1 5 Перепишем исходное неравенство в виде Тогда х 2 3х 2 5 2 х 1 2 х 3х 2 5 2 х 1 2 х 1 х 2 3х 3 2 2 х 1 х 3х 3 2 2 х 1 х 3х 7 2 2 х 1 х 3 х 7 откуда отсюда х 2 2 х 2 х 2 х х 2 3х 2 5 2 х 1 . 2 х 1 х 2 3х 3 2 х 1 х 2 3х 7 х20 5х 4 0 5х 6 0 х8 0 5 41 х 2. 2 5 41 х 2. Ответ. 2 1 х 2 5 41 х 5 41 2 2 х 2илих 3 х любое 2. Решить неравенство х3 х 3 5 х3 х 8 Это неравенство не так просто решить стандартным путём. В то время, как переходя к системе и т.д. мы решим его без особого труда. Решение. х 3 х 3 х 3 х 13 х3 х 3 5 х3 х 8 х 3 х 3 х 3 х 13 х 3 х 3 х 3 х 13 3 3 3 3 3 3 х х 3 5 х х 8 х х 3 х х 3 х х 3 х х 3 3 3 х х 3 х х 3 х 8 3 х 5 3 х 0 х 3 3 5 х 8 х любое -3 5 х 8 Ответ. - 3 5 х 8 . Задания для закрепления. Решить неравенства: 1) х 4 х 4 10 2) х 2 5х 6 3) 2х 3 4х 3 4) х 2 4х 3 x 3 5) x 2 x 1 x 2 3x 4 6) x x 1 7) х+2 х 2 2 х 3 8) 5 2х х 3 5 9) 2х 7 х 8 8 10) х 3 2 х 3х 2 11) х 3 2 х 2 х 3 х2 12) 13) 14) 15) 16) 9 3 x 2 x 1 2 4 x 1 4 16 x4 x 25 5 2x 2 x 3 2x 2 x 5 17) x2 1 0 x 1 5. Построение графиков функций, содержащих модуль. Если известен график функции f(x) , то не составляет труда построить график функции f (x) . Известно, что f ( x), еслиf ( x) 0 f ( x) f ( x), еслиf ( x) 0 Поэтому, достаточно построить график функции f(x) , после чего часть графика, лежащую в у 0 сохранить, а часть, лежащую ниже оси ОХ симметрично отобразить относительно оси ОХ . Например, у= х 2 4 х f ( x), еслих 0 f( х )= f ( x), еслих 0 Строим график функции f(x) при х 0 и отражаем его относительно оси ординат. Например, у=( х -2) 2 Равенство у f (x) не задаёт функции, поскольку при f(x)>0 имеем два значения у, соответствующие данному значению х : у=f(x) и y=-f(x) , а при f(x)<0 - ни одного такого значения. Линия, имеющая уравнение y f (x) строится следующим образом: Строим график функции f(x) , отбрасываем его часть, находящуюся ниже оси абсцисс и дополняем оставшуюся линию её образом при осевой симметрии относительно оси абцисс. Например, построить график функции у х 2 4 х Однако, это не единственный способ построения графиков функций , содержащих модули. Можно использовать определение модуля, преобразовав этим самым функцию при определённых ограничениях неизвестной. Например, построить график функции у=2 Построение. х х . х х У=2 а) х 0 у=2х+х=22х=(22)х=4х таким образом, необходимо построить график функции у=4х для х 0 . б) х<0 y=2x+(-x)=20=1 следовательно, провести прямую у=1 для х<0 Задания для закрепления. 1) у= х 1 2) у= 1 2 х 3) у= х х 4 4) у= х х 1 5) у=х+ х 6) у= х 2 2 7) у= 2 ( х 1) 2 8) у= 1 х 2 9) у=2х х 3х 4 10) у=2х 2 3 х 4 11) у=х-2х х 12) у=х х 2 х 13) у=х х 2 х 14) у= 2 х х 3 15) у=х2+2 х 1 16) у=х х 1 17) у= х 2 х 4 18) у= 19) у= х 2 х 1 х 3 х 2 20) у=2sinx cos x 21) y= log 2 x 1 22) y=log2 х 1 1 23) y=sin х 24) y= sin x 25) y=cos x 26) y= cos x 27) y= tgx 28) y=tg x 29) y=1-2 sin 3x 30) y= cos 2 x 1 2 Задачи повышенного уровня сложности. 1)Решить уравнения: а) х 3 х 1 3 х 3 х 1 7 б) х 3 х 2 1 4 х 3 х 2 3 5х 7 27 х 7 в) 2) Решить неравенства: а)4х( 161 х 1 2) 4 4 x 1 б) в) x 2 x 3 1 2x 5 1 x 1 г) 2 x 2 x a 8 x 2 2 x 2a 4 3) Построить графики функций: а) у=(1-х) х 2 2х2 б) у=х х +(х-1) х 1 в) у= х 2 2 х 1 4)Найдите наибольшее значение функции: а) у=(1-х) х 2 2 х 2 б) у= х 2 2 2 х 3х 2