Тема 1. Лекция 4. Исследование и решение систем

Тема 1.
Лекция 4. Исследование и решение систем алгебраических уравнений.
Основные вопросы.
1. Основные типы уравнений и способы их исследования.
2. Ранг матрицы.
3. Теорема Кронекера – Капели.
4. Системы линейных однородных уравнений.
Введение.
При раскрытии понятий определителя и матрицы, при решении систем линейных уравнений мы рассматривали в основном систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.
Однако, число уравнений может быть не равно числу неизвестных.
Кроме того, в правой части уравнений свободные члены могут быть отличны
от нуля, а могут быть равны нулю. При решении систем уравнений, как
известно, возможны случаи единственности решения, отсутствия решения и
бесчисленного их множества. В связи с этими фактами укажем примерную
типизацию систем линейных уравнений.
1. Основные типы систем линейных уравнений
и способы их исследования.
В общем случае система линейных уравнений может включать в себя m
уравнений и n неизвестных.
Система линейных уравнений, в которой все свободные члены равны
нулю, называется однородной , а в которой хоть один свободный член
отличен от нуля – неоднородной .
Система уравнений, которая имеет единственное решение, называется
определенной , а которая имеет бесчисленное множество решений – неопределенной .
Система уравнений, которая имеет хотя бы одно решение, называется
совместной , а которая совсем не имеет решений – несовместимой .
Представим эти типы систем в виде таблицы 3.2. с указанием критериев,
на основании которых проводятся исследования систем линейных уравнений: определителей и ранга матриц.
Таблица 3.2.
m  n
Системы
линейных
уравнений
однородная
в1 = 0 ; в2 = 0
единственное
решение
хотя бы
одно
решение
Од
определенная
∆≠0 r(A)=r(В)=n
Од
совместная
∆≠0
∆ х ≠0 r(A)=r(В)
∆ у ≠0
а11 х  а12 у  в1

а 21 х  а 22 у  в 2
неоднородная
в1 ≠ 0 ; в 2 ≠ 0
неопределенная
∆=
=∆ х = r(A)=r(В)
=∆ у =
=0
бесчисленное
множество решений
несовместная
∆=0
∆ х ≠0
∆ у =0
или
r(A)=r(В)
∆ х =0
∆ у ≠0
нет
решений
Итак, возможны два способа исследования систем линейных уравнений .
1-ый способ заключается в использовании определителей системы ∆,
∆ х ,∆ у, … . По существу этот способ был рассмотрен при
изучении метода Крамера для решения систем уравнений.
2-ой способ
заключается в использовании ранга матриц, сущность
которого выражается теоремой Кронекера - Капелли.
2. Ранг матрицы.
Важной характеристикой матрицы является её ранг.
Определение.
Рангом матрицы называется порядок самого старшего
минора этой матрицы не равного нулю.
Из определения следует, что рангом обладает всякая матрица. Ранг
матрицы А будем обозначать r(A) . Если равны нулю все миноры порядка t
данной матрицы А, то r(A) < t .
Количество миноров различного порядка той или иной матрицы обычно
очень велико. Поэтому вычисление r(A) основанное на вычислении миноров,
очень затруднительно. Существуют особые приемы, значительно облегчающие определение r(A). Один из них основан на следующей теореме.
Теорема. Ранг матрицы не меняется если :
1) все строки заменить столбцами, т.е. матрицу протранспонировать;
2) поменять местами две строки (два столбца);
3) умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот
же множитель, отличный от нуля;
4) сложить одну строку (столбец) с другой строкой (столбцом), увеличенной в λ раз.
Пример. Определить ранг матрицы.
1 7 3

2 5 8
А
4 5 3

10 25 35

1
1
1
5
4

3
2

15 
Решение.
1) Сократим общий множитель в четвертой строке (: 5)
1 7 3 1 4


2
5
8
1
3


4 5 3 1 2


2
5
7
1
3


2) Вычтем четвертую строку из 1-ой, 2-ой, 3-ей.
  1 2  4 0 1


 0 0 1 0 0
 2 0  4 0  1


2
5
7
1
3


3) Умножим 2-ую строку на 4 и 7 и сложим соответственно с 1-й, 3-й и 4-й
строкой
  1 2 0 0 1


 0 0 1 0 0
 2 0 0 0  1


2
5
0
1
3


4) Умножим 4-й столбец на -2, -5, -3 и сложим соответственно с 1-м, 2-м и 5м столбцами
 1 2 0 0 1 


 0 0 1 0 0
 2 0 0 0 1 


0
0
0
1
10


5) Меняя местами строки, матрицу запишем в виде:
 2 0 0 0 1 



1
2
0
0
1


 0 0 1 0 0 


 0 0 0 1 10 
Отсюда видно, что ранг последней матрицы равен четырем, т.к. минор
четвертого порядка
2 0 0 0
1 2 0 0
40 .
0 0 1 0
0 0 0 1
Следовательно, и r(A) = 4 .
3. Теорема Кронекера - Капелли.
Рассмотрим общий случай исследования неоднородной системы линейных уравнений: m уравнений и n неизвестных
а11 х1  а12 х 2    а1n x n  в1
а х  а х    а x  в
 21 1
22 2
2n n
2



а m1 х1  а m 2 х 2    а mn x n  в m
(21)
Решением такой системы будем называть совокупность таких числовых значений для неизвестных х1  с1 , х2  с2 , , хn  cn  , которые
удовлетворяют всем уравнениям системы, т.е. обращают их в тождества:
 а11

a
А   21


a
 m1
а12
a 22

am2
 а1n 
 а11


 a 2n 
 a 21
,
В


 


a
 a mn 
 m1
а12
a 22

am2
 а1n в1 

 a2n в 2 

 

 a mn в m 
Сформулируем теорему о совместимости системы линейных уравнений
(без доказательства).
Теорема 1. (теорема Кронекера- Капелли) (1823-1891 немецкий математик 1855-1910 итальянский математик).
Для того чтобы система линейных уравнений была совместна , необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы
А равнялся рангу расширенной матрицы В, т.е. r(A)= r(В).
При этом возможны два частных случая:
1) Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и равен
числу неизвестных, то система имеет единственное
решение: r(A)= r(В)= n ;
2) Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное
множество различных решений: r(A)= r(В)< n.
Замечание. Если то система имеет единственное решение: r(A)≠ r(В) ,
то система линейных уравнений несовместна и не имеет
решений.
Пример 1. Исследовать и решить систему уравнений
 х1  2 х 2  х3  3х 4  3

2 х1  5 х 2  4 х3  х 4  1
4 х  х  2 х  5 х  4.
2
3
4
 1
Решение. 1. Составим матрицу А и найдем r(A) :
1)
1 2 1 3 


А   2  5 4  1
4 1 2
5 

I
[  2]
2) Миноры третьего порядка ∆
r(A)<3 .
II
[+]
1
= ∆
2
= ∆
3
III
[]
=∆
4
[-]
= 0 . Следовательно,
3) Умножим 1-ю строку на 2, сложим со 2-ой и эту сумму вычтем из 3-ей,
получим
1 2 1 3 


А ~  2  5 4  1
 экв .
0 0
0
0 

Легко убедиться, что миноры 2-го порядка не равны нулю.
Отсюда r  A  2 , а значит и r(A) = 2 .
2. Составим матрицу В и найдем r(В) :
1)
 1 2  1 3 3


В   2  5 4  1 1
4 1 2
5 4 

I
[  2]
II
[+]
[]
III
[-]
2) Выполним те же преобразования
3 
1 3
3
1 2 1 3


 2  5 4  1 1   4  4  4  1 1  33  0 .
0 0
0
0  3 
0
0 3

Отсюда r(В)=3≠ r(А)= 2 .
Следовательно, данная система несовместна, т.е. не имеет решений.
4. Системы линейных однородных уравнений.
В общем случае однородная система линейных уравнений имеет вид
 а11 х1  а12 х 2    а1n x n  0
a x  a x    a x  0
 21 1
22 2
2n n




 
a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  0
(22)
Однородная система всегда совместна .
Это следует из теоремы Кронекера-Капелли, а также очевидно, что
х1  0, х 2  0,..., х n  0 , является решением системы.
Это решение называется нулевым или тривиальным .
Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевое решение. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 2.
Для того чтобы однородная система имела ненулевое
решение необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
системы был меньше числа неизвестных: r(A)< n .
Следствие 1. Если в однородной системе число неизвестных n больше
числа уравнений m , то система, помимо нулевого решения, обладает ещё и ненулевым.
Следствие 2. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными обладала и ненулевыми решениями
необходимо и достаточно, чтобы равнялся нулю
определитель системы.
Пример 2. Решить систему
 х1  х 2  2 х3  х 4  0
2 х  х  5 х  3х  0
 1
2
3
4

4 х1  2 х 2  х3  4 х 4  0
2 х1  5 х 2  14 х3  13х 4  0
(23)
А. Исследование системы
Решение. 1. Найдем r(A)
1 
1  1  2


2
1
5

3


1) А= 
4 2 1
4 


2
5
14

13


6
3
15
 9
I
II
[х(-3)]
III
(-6 -3 -15 9 )
[+]
[∑]
[+]
[∑]
2) Сложим 3-ю и 4-ю строки и эту сумму вычтем из 2-ой строки, умноженной на 3 (или сложим со 2-ой, умноженной на -3), получим
1 1  2 1 


0
0 
0 0
,
А ~ 
4 2 1
4 


 2 5 14  13 


т.е. r(A)< 4 .
Отсюда r(A)= 3 , так как минор 3-го порядка
1 1 2
 1  4  2 1  27 , т.е. r(A)= 3< n = 4 .
2 5 14
Следовательно, система имеет и ненулевые решения .
Замечание. Исходная система (23) эквивалентна системе (24) , которая
составлена на основании выбранного минора. Конечно,
можно было взять и другой минор матрицы А , если бы
проделать другие преобразования над ней при определении ранга.
(А в данном случае можно исключить из системы (23) второе уравнение и решить систему (24)).
В. Решение системы.
2. Решим систему
 х1  х 2  2 х3  х 4  0

4 х1  2 х 2  х3  4 х 4  0
2 х  5 х  14 х  13х  0
2
3
4
 1
(24)
Пусть х4 = t , где t - параметр, принимающий произвольное числовое
значение . Решим полученную систему трех линейных уравнений с тремя
неизвестными, например , по формулам Крамера.
х1  х 2  2 х3   t
4 х1  2 х 2 
х3  4t
2 х1  5 х 2  14 х3  13t
1 1 2
  4  2 1  27 ,
2 5 14
t
 õ   4t
 13t
1 t 2
 x  4  4t
1  135t ,
2  13t 14
Следовательно,
2
 х1 16
 t,

9
 х3
10
х3 
  t,

9
х1 
х2 
1

õ3
 2
 2  1  48t
5 14
1 1 t
 4  2  4t  30t
2 5  13t
 х2
 5t ,

х4  t
Путем подстановки этого решения во все четыре уравнения системы (23) легко убедиться, что система решена правильно.