Экзаменационная программа по линейной алгебре для студентов

Кафедра 803
Экзаменационные вопросы по линейной алгебре для студентов
1-го курса 2, 6, 9 факультетов (спец.)
1. Матрицы, виды матриц. Операции над матрицами, свойства этих операций.
2. Определитель n-го порядка (индуктивное определение). Разложение
определителя по элементам строки (столбца) без доказательства.
3. Свойства определителей.
4. Определитель произведения квадратных матриц.
5. Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной
матрицы.
6. Матричные уравнения АХ=В, YА=В.
7. Правило Крамера решения систем уравнений.
8. Понятие линейного пространства (примеры).
9. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов,
свойства.
10. Базис и размерность линейного пространства.
11. Координаты вектора. Теорема о разложении вектора по базису
(единственность разложения).
12. Понятие базисного минора, ранг матрицы.
13. Теорема о ранге матрицы.
14. Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров и методом
элементарных преобразований.
15. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя n-го
порядка.
16. Системы линейных уравнений, основные определения. Матричная запись
системы линейных уравнений.
17. Теорема Кронекера – Капелли.
18. Алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений.
19. Однородные системы уравнений. Фундаментальная система решений.
Свойства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
20. Структура общего решения однородной системы линейных алгебраических
уравнений.
21. Структура
общего
решения
неоднородной
системы
линейных
алгебраических уравнений.
22. Понятие линейного преобразования линейных пространств. Матрица
линейного преобразования (примеры).
23. Собственные векторы и собственные значения матрицы линейного
преобразования.
24. Характеристический многочлен. Алгоритм нахождения собственных векторов
и собственных значений.
25. Свойства собственных векторов. Приведение матрицы линейного
преобразования к диагональному виду в случае простого спектра.
26. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Канонический и
нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции.
27. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
28. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.
Критерий Сильвестра.
29. Базис геометрических векторов на прямой, на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора в данном базисе, выражение через координаты начала и
конца. Линейные операции над векторами в координатной форме.
30. Ортогональные проекции векторов. Скалярное произведение векторов.
Свойства. Выражение через координаты сомножителей в ортонормированном
базисе.
31. Геометрические приложения скалярного произведения. Необходимое и
достаточное условие ортогональности векторов.
32. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение векторов. Свойства.
Выражение через координаты сомножителей в ортонормированном базисе.
33. Геометрические приложения векторного произведения. Необходимое и
достаточное условие коллинеарности векторов.
34. Смешанное произведение векторов. Свойства. Выражение через
координаты сомножителей в ортонормированном базисе.
35. Геометрические приложения смешанного произведения. Необходимое и
достаточное условие компланарности векторов.
36. Понятие об уравнении линии и поверхности. Алгебраические линии и
поверхности, их порядок.
37. Прямая линия на плоскости. Нормальный и направляющий векторы прямой.
Различные виды уравнения прямой на плоскости (векторно-параметрическое,
параметрическое, каноническое, уравнение прямой, проходящей через две
точки, уравнение прямой в отрезках, общее уравнение прямой, уравнение по
точке и угловому коэффициенту).
38. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми, условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
39. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
40. Плоскость в пространстве как поверхность 1-го порядка. Нормальный вектор
плоскости. Различные виды уравнения плоскости (по точке и нормальному
вектору, уравнение плоскости в отрезках, параметрическое, уравнение
плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум векторам, по
трем точкам, общее уравнение плоскости).
41. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями, условие
параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
42. Расстояние от точки до плоскости.
43. Прямая линия в пространстве. Различные виды уравнения прямой в
пространстве (векторно-параметрическое, параметрическое, каноническое,
общее уравнение прямой).
44. Переход от общего уравнения прямой к каноническому.
45. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых. Скрещивающиеся прямые, взаимное
расположение двух прямых в пространстве.
46. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Условия
параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
Условие принадлежности прямой плоскости.
47. Угол между прямой и плоскостью. Точка пересечения прямой и плоскости.
48. Алгебраические кривые 2-го порядка. Эллипс. Определение, вывод
канонического уравнения.
49. Гипербола. Определение, вывод канонического уравнения.
50. Парабола. Определение, вывод канонического уравнения.
51. Алгебраические поверхности 2-го порядка. Теорема о поверхности
вращения.
52. Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды. Канонические уравнения.
Исследование формы поверхности методом параллельных сечений.