Задача 2.1. Проводник с током, равномерно распределённым по его поперечному сечению и имеющему плотность j, имеет форму трубки, внешний и внутренний радиусы которой равны R0 и R соответственно. Магнитная проницаемость меняется по закону =f(r). Построить графически распределения модулей векторов индукции магнитного поля B и напряжённости магнитного поля H, а также модуля вектора намагниченности J в зависимости от r в интервале от R до R0. Определить поверхностную плотность токов намагничивания i'п на внутренней и внешней поверхностях трубки и распределение объёмной плотности токов намагничивания i'об(r). R0 2 R 3 3 3 R0 R r ( r) 3 r Решение: В качестве контура возьмём окружность с центром на оси трубки и радиусом R<r<R0. Найдём циркуляцию вектора H по этому контуру: ∫ Hdl=I 2 H 2r j r R 2 j r R H( r) 2 2 2r , R<r<R0 Найдём магнитную индукцию в магнетике. Так как B=μμ0H , тогда индукция магнитного поля при R<r<R0: B( r) 2 3 2 0 j 9 R r r R 2 4 2r , R<r<R0 Найдём намагниченность в магнетике. Так как J=χH, тогда намагниченность в магнетике: J( r) 9 R3 r3 r2 R2 1 j 3 2r r , R<r<R0 Построим графики H(r), B(r) и J(r): 1 График H(r) График B(r): График J(r): 2 Найдём объёмную плотность токов намагничивания j' в магнетике: j'=rot(J) В цилиндрической системе координат: j'=((1/2)(∂Jz/∂φ)-∂Jφ/∂z)er+(∂Jr/∂z-∂Jz/∂r)eφ+(1/2)(∂(rJφ)/∂r-∂Jz/∂φ)ez Учитывая осевую симметрию получаем: j'(r)=(1/r)∙∂(rJ)/∂r j'( r) 1 2 3 r 3 9R3 r3 jr2 R2 9R3 r3 1 j 4 r 3 r , R<r<R0 График J(r): 3 Найдём ток намагничивания I' в магнетике. Циркуляция вектора J: ∫ Jdl=I' Циркуляция вектора J по окружности радиусом R<r<R0: J 2 r I'( r) I' 9 R3 r3 2 2 1 j r R 3 r I'(r)-ток намагничивания, охватываемый контуром радиуса r. Тогда B(r) можно найти другим способом. Циркуляция вектора B: ∫ Bdl=μ0(I+I') Циркуляция вектора B по окружности радиусом R<r<R0: B(r)∙2πr=μ0(I(r)+I'(r)) I(r)-ток проводимости, охватываемый контуром радиуса r: I(r)=jπ∙(r2-R2) Откуда: B( r) 2 2 3 4 2r 3 0 j r R 9 R r , R<r<R0 Это выражение полностью совпадает с выражением для B(r), полученным выше. Найдём молекулярные токи намагничивания i'внутр и i'внеш на внутренней и внешней поверхностях. На внутренней поверхности ток намагничевания i'внутр=0, а на внешней поверхности ток намагничивания равен: i'внеш=I'(R0)/(2πR0) I'(R0)=(-21/8) )∙jπR2 - это ток намагничивания, протекающий через всё поперечное сечение трубки. Этот ток противоположен по направлению току проводимости I. i'внеш=(-21/32) ∙jR 4