Изучение теории затухающих колебаний пружинного маятника.

Лабораторная работа №3
ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРИИ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Задачей данной работы является ознакомление с простейшим случаем затухающих колебаний пружинного маятника
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
- набор пружин и грузов
- измерительная установка
грузов
- секундомер
для
отсчета
отклонений
МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Пружинный маятник – это грузик, подвешенный на пружине (рис. 3.1). После отклонения от положения равновесия
он будет совершать вертикальные гармонические ко лебания, если упругая пружина такова, что сила деформации
пропорциональна величине удлинения пружины ( F  k  l ,
где k – коэффициент упругости).
Рис. 3.1
32
Колебания грузика описываются уравнением:
x 
k
x  0.
m
(3.1)
Это – дифференциальное уравнение собственных незату хающих колебаний с частотой:
0 
k
.
m
Если в колеблющейся системе действуют диссипативные
силы типа сил трения, пропорциональные скорости, то ко лебания системы будут затухающими (рис. 3.2).
Рис. 3.2
Уравнение колебаний будет иметь вид:
x 
b
k
x  x  0 ,
m
m
(3.2)
b
  – коэффициент затухания колебаний.
2m
Решение дифференциального уравнения (3.2) имеет вид:
где
33
k
t .
m
X  A0  e   t  cos
(3.3)
Из выражения (3.3) видно, что амплитуда колебаний
уменьшается со временем по закону:
A(t )  A0  e  t .
(3.4)
Период затухающих колебаний больше периода собст венных незатухающих колебаний:
З 
TЗ 
k
2 ,
m
2
k
2
m
.
(3.5)
(3.6)
Затухание колебаний принято характеризовать логариф мическим декрементом затухания:
  ln
Учитывая, что  
A(t )
   TЗ .
A(t  TЗ )
(3.7)
b
,
2m

b
 T1 .
2m
(3.8)
Пусть X N будет отклонение, которое имеет место через
время t  N  T1 , т.е. через N колебаний после отклонения
X 1 . Тогда можно записать:
34
XN
A0  e   t

 e    N T1  e  N  ,
X1
A0
откуда
ln
X1
 N ,
XN

X
1
 ln 1 .
N
XN
(3.9)
Для пружинного маятника, колеблющегося в воздухе, ве личина логарифмического декремента лежит в пределах от
0,01 до 0,1. Из теории затухающих колебаний следует, что
вид ln A(t )  f (t ) имеет вид прямой. Здесь A(t ) – амплитуда
колебания.
Энергия колебательного движения изменяется по закону
E t   E0  e

2t

,
(3.10)
где  – постоянная времени затухания (время релаксации),
показывающая, что амплитуда колебания уменьшаетс я за
время  в e  2,7 раз.  – величина, обратная коэффициенту
затухания  .
Из (3.10) видно, что энергия осциллятора расходуется на
работу против диссипативных сил и превраща ется во внутреннюю энергию.
Мощность потерь, т.е. скорость рассеяния энергии, с од ной стороны,
Nn  
d  E (t )
,
dt
35
а с другой, с учетом (3.10),

Nn  E .
2
(3.11)
Качество колебательной системы, ее способность сохра нять запасенную энергию характеризуется добротностью Q,
которая определяется отношением запасенной энергии к
T 
потерям за время  :
2 
Q
E
.
n
N
(3.12)

C учетом (3.11) выражение для добротности принимает
вид:
Q

2


T
.
(3.13)
Из (3.13) следует, что добротность колебательной сис темы равна числу колебаний за время  ; причем за это
время амплитуда уменьшается в e  23 раза, а энергия в
e 2  535 раз.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.
Упражнение 1
1.Эксперимент проводят по схеме рис. 3.1.
2. Несколько раз (4-5) измерить время t1 , за которое грузик совершит N1  15  20 колебаний. Полученные значения
36
занести в таблицу 1. Вычислить средний период затухающих колебания по формуле:
TЗ 
t1
.
N1
Вычислить среднее значение периода TЗ , абсолютную
TЗ и относительную ошибку измерений. Результат занести
в таблицу 1.
Таблица 1
Определение среднего значения периода
№
пп
Число
колебаний
N1
Время
колебаний
t1 , c
Период
колебаний
TЗ , c
TЗ , c
TЗ
1
2
…
5
Упражнение 2
3. Установить первоначальное значение амплитуды
(наибольшее отклонение от положения равновесия) A0 около 5 см. Отпустив грузик, одновременно измерить время t 2
и число полных колебаний N 2 , за которое амплитуда уменьшится на 50% от первоначальной величины: A(t 2 )  0,5 A0 .
Провести данный опыт не менее 5 раз при одном и том же
значении A0 . Полученные значения занести в таблицу 2.
Вычислить средние значения t 2 и N 2 , Результат занести
в таблицу 2.
37
№
пп
Число
колебаний
N2
Время
колебаний
t2 , c
N2
N 2
Таблица 2
t2
1
2
…
5
4. Вычислить значение коэффициента затухания:
ln 2
t2

и его абсолютную ошибку
  E (t 2 )   ,
где E (t 2 ) – относительная ошибка t 2 .
5. Вычислить коэффициент сопротивления:
b  2m  
и его абсолютную ошибку
b  E (t 2 )  b.
6. Рассчитать время релаксации:

t2
ln 2
и его абсолютную ошибку
 
38
t 2

ln 2
t 2
7. Рассчитать значение логарифмического декремента
затухания:

1
ln 2
N2
и его абсолютную ошибку
  E ( N 2 )  ,
где E ( N 2 ) – относительная ошибка N 2 .
8. Вычислить теоретическое значение логарифмического
декремента затухания
 T  TЗ ,
взяв значение TЗ из п.2, а значение  – из п.4.
Найти относительную ошибку
E (T )  E 2 (  )  E 2 (TЗ ) ,
где E(  ) и E (TЗ ) – относительные ошибки  и TЗ .
Рассчитать абсолютную ошибку
T  T  E (T ).
Сравнить теоретическое и экспериментальное значение
логарифмического декремента из пп.7,8 с учетом ошибок
измерений и сделать вывод.
9. Вычислить значение добротности:
Q

2



,
2  TЗ  2  TЗ
39
используя значение TЗ из п.2, а  – из п.4.
Рассчитать относительную ошибку добротности, исполь зуя относительные ошибки E(  ) и E (TЗ ) :
E (Q)  E 2 (  )  E 2 (TЗ )
и абсолютную ошибку
Q  E(Q)  Q .
Упражнение 3
10. Одеть на грузик пластину для увеличения сопротив ления воздуха. Схема эксперимента представлена на рис. 3.3.
Повторить пп. 3-9. Результаты занести в таблицу 3, анало гичную таблице 2. Сравнить полученные значения коэффициента затухания  и логарифмического декремента  ,
сделать выводы.
Рис. 3.3
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Оцените относительную ошибку в определении k .
2. Сформулируйте основное предположение метода наименьших квадратов (МНК), используйте МНК при постро ении графиков.
40
3. Начертите график Т 2 =f(m) по МНК.
4. Оцените абсолютную и относительную ошибку при из мерении массы.
5. Оцените абсолютную и относительную ошибку в опре делении tg (наклона прямой).
6. Начертите график Т 2 =f(m) по МНК.
7. Найдите по графику среднее значение К.
8. Оцените, совпадают ли и с какой точностью значения
К i, полученные по графику и рассчитанные в упражнении 1.
9. Объясните, почему не рекомендуется брать большие значения начальной амплитуды А 0 ?
10. Оцените относительную погрешность измерения А 0 и
А(t),
11. Оцените относительную погрешность определения ло A
T
гарифмического декремента затухания   ln 0
t A(t )
12. Оцените относительную погрешность определения ко эффициента сопротивления b.
13. Оцените абсолютную и относительную погрешность
определения периода (в упражнении 1) .
14. Выведите уравнение для энергии затухающих колеба ний в зависимости от времени, нарисуйте график.
15. Объясните, что характеризует время релаксации (пос тоянная времени затухания).
16. Оцените мощность потерь энергии.
17. Укажите, как связаны добротность и время релакса ции.
18. Выведите уравнение затухающих колебаний?
19. Чем определяется период затухающих колебаний?
20. Как зависит от времени амплитуда затухающих ко лебаний?
21. Как связан логарифмический декремент затухания и
амплитуда колебаний?
22. Как связан логарифмический декремент затухания с
коэффициентом сопротивления и периодом?
41
23. Выведите выражение для энергии затухающих коле баний.
24. Как связаны потери энергии и добротность?
25. Определите выражение для добротности контура.
26. Как связаны добротность и логарифмический декре мент затухания?
27. Определите время релаксации. Свяжите его с коэффициентом сопротивления и логарифмическим декремен том.
28. Какими являются колебания в данной работе – затухающими или незатухающими?
29. При каком значении коэффициента сопротивления ко лебания прекращаются?
30. Чем отличаются колебания пружинного маятника в горизонтальной и вертикальной плоскости?
42