Косинский Ю.И., «Вывод уравнения адиабаты

Косинский Ю.И.
Вывод уравнения адиабаты термодинамической
системы
Продолжение статьи ”Примеры термодинамических систем. Энергия этих
систем”.
Известны два подхода:
1. уравнение Пуассона,
2. медленное расширение при постоянной энтропии.
Уравнение адиабаты можно вывести также из следующего уравнения:
V

2 
!
p(V )  n(V ) E (V0 )   p(V ' )dV ' 
3
NV

0


при этом оставаясь в рамках известных законов. Будем считать это третьим
методом. Во всех трех случаях работа, совершаемая термодинамической
системой над внешними телами, а также работа, совершаемая над системой,
выражалась в такой форме:
dW   p  dV ,
т.е. в перемещении поршня при определенном давлении. Работа, вернее ее
совершение, заключается в движении, в динамике поршня.
К понятию проделанной, совершенной работы можно подойти ис
другой стороны. Работа – это те изменения в потенциальной энергии
внешних тел, которые возникли в результате перехода термодинамической
системы из одного состояния в другое. Потенциальная энергия, полученная
после деятельности системы, уже не принадлежит системе и может
сохраняться бесконечно долго или быть превращенной в другие виды
энергии
m3
m2 m3
m1 m2 m3
h2
h1
.
при
dU  g  m1  h1  g  m2  h2
m1  m 2  m j  m
m2
dU  g  m h j  g  h  dm
m1
Итак работа – это не результат движения поршня, а результат, который
остается после движения поршня.
dW  dU  V  dp
(17)
Выведем уравнение адиабаты четвертым способом, вкладывая в понятие
работы изменение потенциальной энергии термодинамической системы.
Полная энергия термодинамической системы равна:
2
  (1   ) N  E
3
(15)
-
количество
степеней
свободы
расширения
или
сжатия
термодинамической системы под действием внешних сил. В простейшем
случае это может достигаться увеличением или уменьшением веса поршня
(  1).
N - количество частиц системы.
E - средняя энергия одной частицы.
Изменение полной энергии в адиабатическом процессе
изменения энергии потенциальных сил системы.
идет за счет
p
    V  dp
(18)
p0
Про дифференцировав (15) и подставив в результат
найдем изменение кинетической энергии системы.
E 
соотношение (18),
p

2
(1   ) N
3
 V  dp
(19)
p0
Уравнение состояния (2) перепишем в таком виде:
pV 
2
2
NE  N ( E 0  E )
3
3
(20)
Подставим (19) и получим интегральное уравнение:
2
pV  N ( E 0 
3

2
N (1   )
3
p
 V  dp)
(21)
p0
Разделим на V
p
2
p  n( E 0  k  V  dp)
3
p
k
Про дифференцируем
d
dp

0
2
N (1   )
3
(22)
p
2 dn
2
1
( E 0  k  V  dp)  k  n V
3 dp
3
p
(23)
0
Исключим множитель с интегралом
1
dn p 2
 k  n V
dp n 3
(24)
Второе слагаемое правой части упрощается
k  n V 
т.к.

2
1 
3
V
n
N

2
1 
3
,
N
 n , (24) запишем в таком виде:
V
2 
dn p
2 
3
1

,
 1  1

2
2
3
dp n
3
3  2
1 
1 
3
3
dp dn
1

p
n
(25)
Результат решения (25):
 1  d ln p  d ln n
1

 p  1
n

 
n0
 p0 
n V0
Известно, что

n0 V
p  n  1
 
p 0  n0 
или
p V

p 0  V0
p 2
 E,
n 3
p0 2
 E0 ,
n0 3



1

1
(27)
p n0
E

,
p0 n E0
1
E  n  1
 
E 0  n0 
E
E0
V

 V0



1
(26)
p
n

p 0 n0
 n

 n0
1
 1


1
1
(28)
1

1
(29)
1
1
E  p 

 
E0  p0 
1
2
2
1 
, 1 1 
.
1
3
3  2
 1
p V

p 0  V0




5
3
,
E V

E 0  V0




2
3
,
(29А)
E  p

E 0  p 0
2
5
 .

(30)