Косинский Ю.И., «Вывод основных соотношений между

Косинский Ю.И.
Вывод основных соотношений между потенциальной
и кинетической энергией термодинамической системы
Основные соотношения статистической физики были получены при теоретическом
исследовании взаимодействия между макроскопической системой и термостатом (метод
Гиббса). При этом под макроскопическими понимались системы, построенные из
большого числа частиц, которые в случае идеального газа обладают только кинетической
энергией поступательного движения. Материальные тела и силы, ограничивающие
движение частиц газа и объем исследуемых систем, в определение макроскопических
систем не входят. В теории этим факторам отведена второстепенная роль или термостата
или внешних параметров.
В действительности, газ в стационарном состоянии не может существовать без
сосуда, в котором он находится, и без поршня с его потенциальной энергией, который
удерживает газ в определенном объеме. Поэтому представляет несомненный интерес
найти энергетические соотношения такой термодинамической системы газового
состояния.
Термодинамическая система
Фрагмент взаимодействия частиц с поршнем
h
V0
v x (t ) - скорость частицы в зоне взаимодействия частицы с поршнем.
v x (t )  v x  a  t
a - ускорение действующее на частицу в зоне взаимодействия.
h - длина проникновения частицы в зону взаимодействия.
2t h - время нахождения частицы в зоне взаимодействия.
v
th  x ,
a
a  t h2 v x2
h  vx  th 
 .
2
2a
Будем считать, что частицы, обладающие определенной скоростью v ,
распределены равномерно по объему термодинамической системы с плотностью
n v , где
nv   l   s
 l - линейная плотность частиц со скоростью v ,
 s - поверхностная плотность.
N1 2
 s 
.
s
N
 l  1 ,
l
v
N
N1  N1 
1
N1
2
l
v
t - интервал времени, через которое частицы, обладающие скоростью v ,
влетают в зону взаимодействия (для одной траектории).
t 
l
N1
2
vx

2
,
 l  v x
Al - количество частиц, одного сорта
v , которые находятся в зоне
взаимодействия (для одной траектории).
Al 
2t h  l  v x2

t
a
Al S - количество частиц, имеющие скорость v , которые находятся в зоне
взаимодействия по всей площади поршня.
S - площадь поршня.
AlS  Al   s  S 
v x2
nv  S
a
Поршень и частицы, которые находятся
отталкиваются друг от друга с силой Fv , где
в
зоне
взаимодействия,
Fv  AlS  m  a  m  v x2  nv  S
При этом частицы оказывают давление p
p 
F
 m  v x2  n v
S
nv - плотность атомов, имеющие скорость v в интервале dv x , dv y , dv z .
n v  C  f (v 2 )  dv x  dv y  dv z  C  f (v 2 )  v 2  dv  Sin ( )  d  d .
С определим из условия формировки:
2


0
0
0
n0   nv  C   d   Sin ( )  d   f (v 2 )  v 2  dv  C  2  2 1
C
таким образом:
nv 
n0
,
4
n0
f (v 2 )  v 2  dv  Sin( )  d  d .
4
Про суммируем вклады от всех ансамблей.
p   p,
2  m  n0
p
4 

2
v x  v  Cos( )
2
 d  Cos
0

2
( )  Sin ( )  d  v 2 f (v 2 )  v 2 dv
0
0

p
2
mv2
2
n0 
f (v 2 )  v 2 d v  n 0 E ,
3 0 2
3
где E - средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну частицу.
F - суммарная сила, распределенная по поверхности термодинамической
системы, которая удерживает атомы в локальном объеме V .
F  p  S  n0  E
2
S
3
для сферы
R
4
V  R 3
3
4 3 1
1
F  2n 0 E ( R )  2n 0 EV
3
R
R
S  4R 2
для куба
l
S  6l 2
V  l3
1
1
 2n0 EV
l
l
2
2
Для этих случаев потенциальная энергия U поверхностных сил равна
U  FR  F l  2n0VE  2 NE
2
где N  n0V - количество атомов в термодинамической системе.
F  2n0 E (l 3 )
Подсчитаем потенциальную энергию поверхностных
термодинамической системы произвольной формы.
2
n 0 E  dS
3
  2
  2
U   d F  R  n0 E  R d S  n0 E  ( R x dS x  R y dS y  R z dS z )
3
3
S
dF 
сил
для
U
2
2
n 0 E  ( x  dy  dz  y  dz  dx  z  dx  dy )  n 0 E  3V  2 NE
3
3
S
Таким образом доказано, что для термодинамической системы произвольной
формы справедливо соотношение:
(1)
E пот  2E кин

где

E пот   R  d F  FR  F l
2
E кин  N  E
Полученный результат можно записать в известной форме:
p
2
n0 E ,
3
умножив на V , получим
pV 
2
NE
3
(2)
Согласно (1),термодинамическая система состоит из потенциальной и
кинетической энергий, между которыми существуют определенные
соотношения (1).
Потенциальная энергия поверхности противостоит кинетической
энергии частиц газа и удерживает их в определенном объеме.
Полная энергия термодинамической системы E полн равна их сумме:
E полн  E пот  E кин
(3)
Подставив (1) в (3), получим:
(4)
E полн  3E кин
3
E пот
2
2
 E полн
3
E полн 
или
E пот
(5)
(6)
Соотношения (1), (6) известны в механике. Их дает вириальная теорема для
частного случая, когда частицы находятся в поле потенциальных сил,
энергия которых пропорциональна первой степени координаты.
Соотношение записывается в таком виде:
(7)
U  2T
где U  потенциальная энергия,
T  кинетическая энергия.
Черта обозначает усреднение по времени.
Эта теорема указывает на то, что полная энергия системы равна:
 U T ,
откуда можно получить:
U
2
,
3
1
T  .
3
Соотношения (1) и (6) совпадают с известными (7) и (8) соответственно.
(8)
Следует отметить, что соотношение (2) (известное в термодинамике),
которое эквивалентно (1), по форме совпадает с (8), если ошибочно
предположить, что:
pV  E пот  U
NE  E полн  
(9)
Именно эти предположения и были сделаны в термодинамике.
Соотношение (6) справедливо только для тех термодинамических
систем, у которых поверхностные силы, удерживающие газ в определенном
объеме, скомпенсированы силами сопротивления газа. При этом имеется в
виду, что газ полностью окружен элементарными бесконечно маленькими
подвижными поршнями,
расположенными вплотную друг к другу.
Примером может служить резиновый шар, наполненный газом при
определенном давлении.