Тригонометрические уравнения с параметрами

1
XV районная научно-практическая конференция молодых
исследователей «Юность - будущему»
Исследовательская работа
«Тригонометрические уравнения с параметрами»
Автор: ученик 11а класса
МБОУ «СОШ №3»
Булгаков Алексей
Научный руководитель: учитель математики
МБОУ «СОШ №3»
Стрелкова Ольга Алексеевна
Вязники
2014г.
2
Содержание
Введение ………………………………………………………………………….3
Решение тригонометрических уравнений с параметрами……………………4
Уравнения, которые требуют преобразований………………………………..6
Уравнения, в которых вводится дополнительная переменная………………..9
Использование графиков………………………………………………………...10
Использование чётности функции………………………………………………11
Использование неотрицательности функции…………………………………..11
Заключение………………………………………………………………………..12
Задачи для самостоятельного решения…………………………………………13
Список использованной литературы……………………………………………14
3
Введение
Тригонометрическими уравнениями называются такие уравнения, в которых
неизвестная переменная находится под знаком тригонометрических функций.
Особенность тригонометрических уравнений состоит в том, что если они имеют
решение, то множество, или не имеют ни одного решения.
Методы решения тригонометрических уравнений состоят в последовательной
замене данного уравнения эквивалентными (равносильными ему) с тем, чтобы, в конце
концов, получить одно или несколько уравнений простейшего типа. Поэтому основой для
умения решать тригонометрические уравнения являются хорошее знание формул и четкое
понимание понятия эквивалентности уравнения.
Эквивалентность или равносильность уравнений состоит в том, чтобы не потерять
корни (сужая их область определения) и не получить посторонний корень (расширяя
область определения уравнения).
Особую группу составляют тригонометрические уравнения, в которые помимо
неизвестных, входят параметры. Возникает вопрос о значениях параметров, при которых
решения существуют, прежде чем найти эти решения.
Объект исследования: тригонометрические уравнения с параметрами.
Предмет
исследования:
подходы
и
методы
тригонометрических
уравнений
с
решения
тригонометрических
уравнений
с
параметрами.
Цель
работы:
овладеть
методами
параметрами.
Задачи:
 изучить различные подходы и методы решений тригонометрических уравнений с
параметрами;
 выделить основные типы тригонометрических уравнений с параметрами и методы
их решения на основе рассмотрения примеров;
 составить методические рекомендации для решения уравнений и подобрать
уравнения из вариантов ЕГЭ.
Методы исследования:
изучение литературы; обработка материалов и результатов;
анализ; классификация; обобщение.
Актуальность работы:
данная работа поможет при подготовке и успешной сдачи ЕГЭ.
4
Решение тригонометрических уравнений с параметрами
Определение: Решить уравнение f (х; а) = 0 с параметром а – это значит, для каждого
действительного значения а найти значения х, удовлетворяющих уравнению, или установить,
что таких нет.
При решении тригонометрических уравнений с параметром наряду с единичной
окружностью можно пользоваться координатной прямой для параметра. По мере решения
уравнения на прямой появляются точки, разбивающие прямую на части, над каждой из которых
записываем множество корней уравнения. Если координатная прямая заполнена, то это
свидетельствует о том, что решение закончено и можно записывать ответ. Рассмотрим сначала
решение несложных тригонометрических уравнений с параметром.
Пример 1. Решить уравнение: sin x = a – 1
ОДЗ: х
a
. |sin x| ≤ 1.
1) Пусть | а - 1| < 1, то есть -1 < а – 1 < 1, 0 < а < 2, тогда х = (-1)к arcsin (а – 1) + πк, к
2) | а - 1| = 1; а – 1 = 1,
а = 2,
а – 1 = -1
а = 0.
если а = 0, то решаем уравнение sin x = -1, х = - + 2πn, n
**
если а = 2, то решаем уравнение sin x = 1, х =
***
+ 2πm, m
3) | а - 1| > 1, а > 2,
а < 0.
Решений нет.
0
Ответ: если а = 0, то х = - + 2πn, n
если а = 2, то х = + 2πm, m
;
;
если 0 < а < 2, то х = (-1)к arcsin (а – 1) + πк, к
если
а > 2 или а < 0, то решений нет.
Пример 2. Решить уравнение: cos
a
2
=2а.
Решение: Так как |соs t| ≤ 1, то имеем два случая.
1. При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений.
Z;
Z*
5
2. При |a| ≤0,5 имеем:
а)
= arccos2a+2πn.
Так как уравнение имеет решение, если arccos2а+2πn≥0, то n может принимать
значения n=0, 1, 2, 3,....
Решением уравнения является х = 1+(2πn+аrссоs2а)2 , n=0, 1, 2, 3,....
б)
= -аrссоs2а+πn.
Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а+2πn>0, то n=1, 2, 3,... и
решение уравнения. х=1+(2πn-arccos2a)2 .
Ответ: если |a| > 0,5, решений нет;
если |a| ≤0,5, х = 1+(2πn+аrссоs2а)2 при n = 0, 1, 2,... и х=1+(2πn- arccos2a)2 при n
N.
Пример 3. Решить уравнение: tg ax2 =
Решение:
ах2 =
+πn, n
Z
Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение
параметра. В данном случае:
1. Если а=0, то уравнение не имеет решений.
2. Если а
0, то х2 =
,n
Уравнение имеет решение, если
Z.

3а

п
а
 0.
6
откуда n ≥
и а > 0 или n ≤
Итак, уравнение имеет решение х = ±
1) а > 0
и n = 1,2,3,…
и а < 0.

3а
или

п
а
, если
2) а < 0 и n
Z.
Ответ: при а = 0 решений нет;
при а > 0
и n =0, 1,2,3,… или
а < 0 и n = -1,-2,-3,… х = ±
Уравнения, которые требуют преобразований
Пример 4. Решить уравнение cоs4х+ sin4х = а
Решение. Производим преобразования левой части уравнения
cоs4 х + sin4 х = 1 По условию
1 2
3  соs 4 х
sin 2х =
.
2
4
3  соs 4 х
= а, откуда соs4х = 4а – 3.
4
Так как соs 4х 1, то –1  4а – 3  1 ,
если 4а-3  - 1,т.е. а
1
;
2
если 4а-3  1 , т.е. а1, уравнение не имеет решения,
остается
1
 а  1, это из -1  4а - 3 1.
2
соs 4х = 4а-3,
х=
1
т
1
arccоs (4a-3) +
, при
 а 1, nZ
4
2
2
Ответ: если а
если
1
и а1, то решения нет,
2
1
1
т
 а 1, то х=  arccоs (4a-3) +
, nZ.
2
4
2

3а

п
а
.
7
Пример 5. Решить уравнение
3 sin х – 3cosх =2а –1.
Решение. Преобразуем уравнение, вынеся
3 (sin х –
sin х –
3 за скобки:
3 cosх ) = 2а –1,
3 cosх =
2а  1
3
.
Разделим обе части равенства на 2, получим
3
1
2а  1
sin х –
cosх=
.
2
2
2 3
sin( х-

1
1
2а  1
2а  1
)=
, где -1 
1, откуда - 3  а  + 3 .
2
2
3
2 3
2 3
х-

1
1
2а  1
= (-1)karcsin
+ k, kZ при - 3  а  + 3 .
2
2
3
2 3
х=

1
1
2а  1
+(-1)karcsin
+k, kZ при - 3  а  + 3 .
2
2
3
2 3
Ответ: х=

1
1
2а  1
+(-1)karcsin
+k, kZ при - 3  а  + 3 .
2
2
3
2 3
Пример 6. Решить уравнение 2соs 2х - 4а соsх + а2 + 2 = 0 и найти при каких значениях а
уравнение решения не имеет.
Решение. Применив формулу соs2х = 2соs2х - 1, преобразуем уравнение. Оно примет вид:
4соs2х –4асоsх+а2=0, проведем преобразования
(2соsх - а)2 = 0, соsх =
а
.
2
а
Если  1, тогда а2, уравнение решения не имеет, так как cos x  1 ;
2
если -1
а
а
 1, -2 а  2 уравнение имеет решение и х=  аrccos + 2n, n Z.
2
2
Ответ:
при -2  а  2 х=  аrccos
а
+ 2n, n Z;
2
при а < -2 или а  2 корней нет.
Пример 7. Определить количество корней уравнения
соsх сtgх – sinх = асоs2х на отрезке х [0:2  ].
Решение. ОДЗ: sinx  0 ,
соs 2 x - sin 2 x
= асоs2х;
sin х
соs 2 х
= а соs2х;
sin х
соs2х(
1
- а) = 0.
sin х
8
Получим два уравнения:
1) соs2х=0, х=
 n
 3
5
7
+
, nZ, причем на отрезке [0; 2] - четыре корня: , , , 
4
4
4 2
4 4
независимо от параметра.
2)
1
= а;
sin х
1
sinх= ,
a
при а 1 , х1 = arcsin
получим два корня на отрезке [0; 2]:
1
а
и
х2 =  - arcsin
1
,
а
при а =  2 получается четыре корня,
Ответ: Если а  1 или а=  2 , то уравнение имеет четыре корня,
если а = 1, то корней пять, если а  1, то корней шесть.
Пример 8. Найти наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение
cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение.
Решение: Преобразуем заданное уравнение: cos2x + asinx = 2a – 7;
1 – 2sin2х + asinx = 2a – 7;
sin2х -
1
asinx + a – 4 = 0;
2
1. (sinх – 2) = 0;
snx = 2;
Решений нет.
2.
а

при   2  ≤ 1.
2

а

Неравенство   2  ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое
2

значение параметра а равно 6.
Ответ: 6.
9
Уравнения, в которых вводится дополнительная переменная
Пример 9. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
cos4 x – (а + 2)cos2x – (а + 3) = 0 имеет решение.
Решение.
Введем новую переменную:
вид:
. Тогда данное уравнение принимает
x, t
t2 – (а + 2)t – (a + 3) = 0.
Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его
дискриминант: D = a2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a2 + 8a + 16 = (a + 4)2. Так как D ≥ 0, квадратное
уравнение имеет решение.
t1,2 =
=
;
t1 =
t2 =
Число -1 не принадлежит промежутку
таким образом, заданное нам
тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии
0 ≤а +3 ≤ 1, -3 ≤ а ≤ -2.
Ответ: а
.
Пример 10. Найдите все значения параметра р, при которых уравнение
6sin3x = p – 10cos2x не имеет корней.
Решение.
6sin3x = p – 10cos2x;
6sin3x + 10cos2x = p;
6sin3x + 10(1 – 2sin2x) = p;
6sin3x – 20sin2x + 10 = p.
Введем новую переменную:
,t
тогда тригонометрическое уравнение
примет вид 6t3 – 20t2 + 10 = p.
Рассмотрим функцию у = 6t3 – 20t2 + 10 и исследуем ее на наибольшее и наименьшее
значения на отрезке
Находим производную:
Определяем критические точки функции:
10
Число 2
не принадлежит промежутку
, поэтому вычисляем значения функции в
точке 0 и на концах отрезка:
у(0) = 0 – 0 + 10 = 10,
у(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,
у(1) = 6 – 20 + 10 = -4.
-
+
f'(t)
-1
t
1
0
max y(t) = 10, min y(t) = -16 на отрезке
Значит, при р
.
исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: уравнение 6sin3x=p–10сos2x не имеет корней при р
Использование графиков
Пример 11. Найдите значение параметра а, при каждом из которых уравнение
cos( a 2  x 2 )  1 имеет ровно восемь различных решений.
Решение. cos( a 2  x 2 )  1
a 2  x 2  2п, п  
f(x) =
a 2  x 2 - полуокружность с центром (0;0) и R= |a|
у = 2п, п   - прямые, параллельные оси абсцисс
y
|a|
y = 6π
y = 4π
y = 2π
6π<|a|<8π
Ответ: (-8π; 6π)  (6π; 8π).
11
При решении или исследовании уравнений, содержащих параметр, часто приходится
пользоваться особенностями и свойствами функции (непрерывность, ограниченность,
четность, нечетность, монотонность и т.д.).
Использование чётности функции
Пример 12. Найти все значения параметра а, при которых уравнение a 2 cos 2 x  x 2  a  0
имеет единственный корень.
Решение.
Функция f ( x)  a 2 cos 2 x  x 2  a является чётной, т.к. D( f )  R, f ( x)  f ( x) .
Если х0 – корень уравнения, то (-х0) – тоже корень. Поэтому единственный корень х=0
Если х=0, то a 2  a  0 , т.е. а = 0 или а = 1.
Если а=0, то –х2=0, т.е. х=0.
Если а=1, то cos 2 x  1  x 2  0, cos 2 x  x 2  1
Т.к. 0 < cos 2 x  1 , х2 +1 ≥ 1, то х=0.
Ответ: а = 0, а = 1.
Использование неотрицательности функции
Пример 13. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно два
решения.
( x 2  6 x  a  6) 2  (1  cos
18
)0
a
Так как в левой части уравнения стоит сумма неотрицательных выражений, то уравнение
равносильно системе:
Уравнение
1) При
системы имеет ровно два корня в двух случаях:
тогда уравнение
2) При условии
одно целое значение
Ответ: a = -3; a = 9.
выполняется при
Отсюда имеем
и
Из неравенства
получаем
12
Заключение
В данной работе рассмотрел несколько подходов решения тригонометрических
уравнений с параметрами. Их использование может намного упростить решение многих
сложных заданий. Можно выделить несколько способов решения тригонометрических
уравнений с параметрами.
Способы решения тригонометрических уравнений с параметрами.

Сведение к простейшим тригонометрическим уравнениям.
 Использование чётности функции.
 Использование неотрицательности функции.
 Введение дополнительной переменной.
 Графический способ.
Приведённые примеры дают представление об основных типах задач с параметрами.
Основные типы задач с параметрами
 задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений
параметра из заданного промежутка. (Примеры 1, 2, 3, 4, 5)
 задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения
параметра. (Пример 6 )
 задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет
заданное количество решений. (Примеры 11, 12, 13 )
 задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество
решений удовлетворяет заданным условиям. (Пример 7)
 задачи, в которых необходимо найти значения параметра, удовлетворяющих
некоторым условиям. (Пример 8)
Считаю, что задачи, которые поставил перед собой при выполнении работы,
достигнуты. Исследование имеет практическую пользу, так как знания пригодятся при
решении С1 и С5 на ЕГЭ. Подборкой уравнений я поделился с одноклассниками на
факультативном занятии.
13
Задания для самостоятельного решения
1. Решите уравнение cos
=m+1
Ответ: если m = -2, то x = ( π + 2πt)2, t = 0; 1; 2; 3…
если m = 0, то x = 4π2l2, l = 0; 1; 2; 3…
если -2 < m < 0 то х = (arccos (m + 1) +
x = (-arccos (m + 1) +
если m
)2, k = 0; 1; 2; 3…
)2, n = 1; 2; 3…
(-∞; -2) (0; +∞), то решений нет.
2. Решите уравнение tg 2x – tg (x Ответ: если с = 0, то х =
+πk, k
если с = 2, то x = πn, n
)=c–1
Z;
Z;
если с
(-∞; 0)
(2; +∞), то, х =
если с
(0; 2), то решений нет.
arctg
+ πm, m
Z;
3. Решите уравнение cos2x + 6 sin x = 4a2 – 2
Ответ: если | a | ≤
, то х = (-1)k arcsin (3 - 2
если | a | =
, то х =
+πn, n
если | a | >
, то решений нет.
) + πk, k
Z
Z
4. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
sin x· cos 2у = а2 + 1
sin 2у· cos х = а имеет решения и решите систему.
Ответ: система имеет решение только при а = 0. x =
у=
+π(k +n),
(k – n), n,k
Z.
14
Список литературы
1. А. Г. Мордкович Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 9 и 10 классов
средней школы М., Мнемозина, 2009.
2. М.И.Башмаков Алгебра и начала анализа. М., Дрофа,2001.
3. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов Н.Х.Розов Пособие по математике для поступающих
в вузы., Наука, 1970.
4. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы (под ред.
М.И. Сканави), М., Высшая школа, 1980. Просвещение, 1989.
5. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Уравнения и неравенства с параметрами:
количество решений. Математика ЕГЭ.
6. А.Х. Шахмейстер Задачи с параметром в ЕГЭ (под ред. Б.Г. Зива), Москва 2006.
7. С.А. Субханкулова Задачи с параметрами, Илекса 2010.