Задание № 1. требуется:

Задание № 1.
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих варианту №16,
требуется:
1. Построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из
признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного   ,
другой - результативного   . Причинно-следственные связи между признаками
установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров
уравнения.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации.
Сделать выводы.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и коэффициента
корреляции с уровнем значимости 0,05.
4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата Y при прогнозном
значении признака-фактора X, составляющим 105% от среднего уровня X. Оценить
точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с
вероятностью 0,95.
Приложение А
Таблица 1 – Показатели деятельности производственных предприятий за 2005 год
Дебиторская
Дивиденды
Собственные
Балансовая
задолженность начисленные Курсовая
№
оборотные
прибыль,
по
по
цена акции,
Наблюдения средства,
млн. руб.
результатам
результатам руб.
млн. руб.
деятельности
деятельности
А
1
2
3
4
5
16
1386
122
40
20,52
114
95
1199
119
39
20,4
125
Решение:
В качестве признака-фактора в данном случае выберем курсовую цену акций, так как от
прибыльности акций зависит величина начисленных дивидендов. Таким образом,
результативным будет признак дивиденды, начисленные по результатам деятельности.
Для облегчения расчетов построим расчетную таблицу, которая заполняется по ходу
решения задачи. (Таблица 1)
Yi
Для наглядности зависимости Y от X представим графически. (Рисунок 2)
Корреляционное поле зависимости суммы
дивидентов от курсовой цены акций
Дивиденты
21
20.5
20
Ряд1
19.5
19
0
50
100
150
200
Курсовая цена акций
Таблица1 – Расчетная таблица
№
Yi
Xi
Yi  X i
Xi
2
Yi
2
Yi



(Yi  Yi )
(Yi  Yi )
2
( X i  X i )2
(Yi  Yi ) 2
16
20.52
114
2339.28
12996.0
421.07
20.35
0.17
0.029
252.81
0.1086
17
20.28
133
2697.24
17689.0
411.28
20.54
-0.26
0.068
1218.01
0.0080
18
19.97
116
2316.52
13456.0
398.80
20.37
-0.4
0.160
320.41
0.0486
19
19.97
85
1697.45
7225.0
398.80
20.06
-0.09
0.008
171.61
0.0486
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
92
20.1
85
1708.50
7225.0
404.01
20.06
0.04
0.002
171.61
0.0082
93
20.01
89
1780.89
7921.0
400.40
20.1
-0.09
0.008
82.81
0.0326
94
20.21
121
2445.41
14641.0
408.44
20.42
-0.21
0.044
524.41
0.0004
95
20.4
125
2550.00
15625.0
416.16
20.46
-0.06
0.004
723.61
0.0439
Итого
1615.24
7848
158788.03
804520.0
32619.47
1615.28
X
3.769
34631.2
6.9660
В
20.19
98.1
1984.85
10056.5
407.74
20.19
X
0.047
432.89
0.0871

1. Построим уравнение регрессии вида: Yi  a0  a1 X i
Для этого необходимо определить параметра уравнения a 0 и a1
X i  Yi  X i  Yi
Определим a1  a1 
Xi  (Xi )
2
,
2
где X i - среднее из значений  i , возведенных в квадрат;
2
X  - среднее значение 
2
в квадрате.
1984,85  20,19  98,1
4,21
a1 

 0,01
10056,5  9623,61
432,89
Определим параметр а0:
a0  Yi  a1 X i  20,19  0,01  98,1  19,21
Получим уравнение регрессии следующего вида:
Yi  19,21  0,01  X i
i
i
Параметр a 0 показывает, сколько составили бы дивиденды, начисленные по
результатам деятельности при отсутствии влияния со стороны курсовой цены акций. На
основе параметра a1 можно сделать вывод, что при изменении курсовой цены акций на 1
руб. произойдет изменение дивидендов в ту же сторону на 0,01 млн. руб.
2. Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент
детерминации.
Линейный коэффициент парной корреляции определим по формуле:
X  Y  X i  Yi
r i i
,
 x  y
Определим  x и  y :
x 
y 
 X
 Xi 
2
i
n
 Y
i
 Yi 
n
 432,89  20,806
2
 0,0871  0,295
Тогда
1984  20,19  98,1 3,361
r

 0,548
20,806  0,295
6,138
Коэффициент корреляции, равный 0,548, позволяет судить о связи между
результативным и факторным признаками.
Коэффициент детерминации равен квадрату линейного коэффициента
корреляции:
r 2  (0,548) 2  0,300 30%
Коэффициент детерминации показывает, что на 30% вариации начисленных
дивидендов зависит от вариации курсовой цены акций, и на 70% - от остальных
неучтенных в модели факторов.
3. Оценим значимость параметров уравнения регрессии и линейного коэффициента
корреляции по t-критерию Стьюдента. Необходимо сравнить расчетные значения tкритерия для каждого параметра и сравнить его с табличным.
Для расчета фактических значений t-критерия определим  ост :
 Y
 îñò 
 Yi
2
i
 0,047  0,217
n
Тогда
t a0  a 0 
n2
 îñò
n2
 19,21
78
 781,83
0,217
78
 20,806  8,47
 îñò
0,217
Далее определим t табл . при уровне значимости   0,05 и числе степеней свободы
равном v  n  2  80  2  78 :
t табл (  0,05; v  78)  2,000
t a  t табл
Сравним t a0 и t a1 с t табл : 0
, следовательно, оба параметра уравнения
t a1  t табл
регрессии признаются значимыми.
Проверим значимость линейного коэффициента корреляции:
n2
78
tr  r 
 0,548
 0,548 111,43  5,78
2
1  0,30
1 r
Сравниваем t r с уже известным нам значением t табл : t r  t табл , следовательно,
линейный коэффициент корреляции существенен.
t a1  a1 
 x  0,01
4. Выполним прогноз ожидаемого значения признака-результата Y при прогнозном
значении признака-фактора X, составляющим 105% от среднего уровня X.
Точечный прогноз рассчитывается по линейному уравнению регрессии:
 p  a 0  a1   p ,
В нашем случае X
p
 X i  1,05  98,1  1,05  103,01
Тогда Y  19,21  0,01  103,01  20,24
Оценим ошибку прогноза:
p
p 

 Y

2
2
 Yi  1
X p  Xi
 1 
 n   X  X 2
n2
i
i

i
2

  3,769  (1  1  103,1  98,1 ) 

78
80
34631,2

 0,0486  0,221
После этого определим интервал, к которому с вероятностью 0,95 принадлежит
прогнозное значение признака Y:
Y p  t   p ;Y p  t   p ,


где t  2,000 – табличное значение t-критерия при   0,05 и числе степеней
свободы v  n  2  80  2  78 .
В данном случае интервал будет такой:
20,24  2,000  0,221; 20,224  2,000  0,221
19,80; 20,68
То есть, с вероятностью 0,95 прогнозируемая величина дивидендов при курсовой
стоимости акций равной 103,01 руб. будет принадлежать интервалу от 19,80 до 20,68 млн.
руб.
Задание № 2.
На основе данных, приведенных в таблице 1 Приложении и соответствующих
варианту №16 (таблица 2 Приложение А), требуется:
1.
Построить уравнение множественной регрессии. Для этого, оставив
признак-результат тем же выбрать несколько признаков-факторов из таблицы 1
Приложения А (границы их наблюдения должны совпадать с границами наблюдения
признака-результата, соответствующих Вашему варианту). При выборе факторов нужно
руководствоваться как экономическим содержанием, так и формальными подходами
(например, матрица парных коэффициентов корреляции). Пояснить смысл параметров
уравнения.
2.
Рассчитать частные коэффициенты эластичности.
3.
Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (β- эффициенты).
4.
На основе полученных результатов сделать вывод о силе связи результата с
каждым из факторов.
5.
Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также
множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
6.
Дать оценку полученного уравнения с помощью общего F-критерия
Фишера.
Приложение А
Таблица 2
№ варианта
16
№ начального
№ конечного
наблюдения
наблюдения
16
95
№ признаков из
табл. 1
ПриложенияА
2,4
Решение:
По условию задачи, результативный признак должен остаться тот же, значит Y дивиденды, начисленные по результатам деятельности. В качестве факторных
признаков выберем следующие:
1 – балансовая прибыль;
 2 - дебиторская задолженность по результатам деятельности.
Определим уравнение регрессии следующего вида:
Yi  a0  a1 X 1  a2 X 2
Для определения параметров уравнения связи, а также для дальнейших расчетов
построим дополнительную таблицу. (Таблица 2)
Таблица 2 - Дополнительная таблица
№
Yi
X1
X2
X1
2
X2
2
Yi
2
Yi  X 1
Yi  X 2
Yi


(Yi  Yi ) 2
X1  X 2
16
20.52
122
40
14884
1600
421.070
2503.44
820.8
20.55
0.000888
4880
17
20.28
118
47
13924
2209
411.278
2393.04
953.16
20.45
0.029867
5546
18
19.97
119
47
14161
2209
398.801
2376.43
938.59
20.49
0.266173
5593
19
19.97
102
49
10404
2401
398.801
2036.94
978.53
19.93
0.001344
4998
…
…
….
…
…
…
…
…
…
…
…
…
92
20.1
107
49
11449
2401
404.010
2150.7
984.9
20.10
1.35E-06
5243
93
20.01
105
68
11025
4624
400.400
2101.05
1360.68
20.13
0.014109
7140
94
20.21
123
53
15129
2809
408.444
2485.83
1071.13
20.65
0.19244
6519
95
20.4
119
39
14161
1521
416.160
2427.6
795.6
20.45
0.002065
4641
Итого
1615.24
8736
4090
960446
224732
32619.47
176538.9
82419.8
1614.59
3.543352
439782
В
20.19
109.20
51.13
12005.58
2809.15
407.74
2206.74
1030.25
20.18
0.04
5497.28
Для определения параметров двухфакторного уравнения регрессии необходимо
решить систему нормальных уравнений:
a 0 n  a1  X 1  a 2  X 2   Yi

2
a 0  X 1  a1  X 1  a 2  X 1 X 2   Yi X 1

2
a 0  X 2 a1  X 1 X 2  a 2  X 2   Yi X 2
В нашем случае система нормальных уравнений примет вид:
80a0  8739a1  4090a 2  1615.24

8736a0  960446a1  439782a 2  176538.9
4090a  439782a  224732à  82419.8
0
1
2

В результате решения данной системы получим следующие коэффициенты
регрессии:
a0  16,3092
a1  0,0331
a2  0,00506
Окончательное уравнение регрессии примет вид:
Yi  16,3092  0,0331X 1  0,00506 X 2 .
При отсутствии влияния со стороны факторных признаков, учтенных в данной
модели, значение результативного признака будет составлять 16,3092 млн. руб. При
изменении балансовой прибыли на 1 млн. руб. произойдет изменение начисленных
дивидендов в ту же сторону на 0,0331 млн. руб., а при изменении дебиторской
задолженности на 1 млн. руб. следует ожидать изменения величины начисленных
дивидендов на 0,00506 млн. руб.
Определим частные коэффициенты эластичности:
X
109,2
Ý 1  à1 1  0,0331
 0,18% ,
Yi
20,19
X
51,13
Ý 2  à2 2  0,00506
 0,013% .
Yi
20,19
Частные коэффициенты эластичности показывают влияние отдельных факторов
на результативный показатель. Так, при изменении балансовой прибыли на 1% при
неизменности второго фактора произойдет в среднем изменение величины начисленных
дивидендов на 0,18%, а при изменении дебиторской задолженности на 1% при
фиксированном положении первого фактора произойдет изменение величины
начисленных дивидендов в среднем на 0,013%.
Теперь рассчитаем β-коэффициенты:

8,996
1  à1 x1  0,0331
 1,0094
y
0,295
 2  a2
 x2
13,978
 0,00051
 0,0240
y
0,295
Анализ β-коэффициентов показывает, что на величину начисленных дивидендов
из двух исследуемых факторов с учетом уровня их вариации большее влияние оказывает
балансовая прибыль  2  .
С учетом всех рассчитанных показателей и параметров уравнения регрессии
можно сделать вывод о том, что наибольшая связь величины начисленных дивидендов
отмечается с размером балансовой прибыли.
Далее, определим парные, частные коэффициенты корреляции и множественный
коэффициент корреляции.
I.
Парные коэффициенты корреляции: измеряют тесноту связи между двумя из
рассматриваемых признаков.
Y X Y  X
2206,74  109,2  20,19 1,992

 0,750 ,
ryx1  i 1 i 1 
 x1   y
8,996  0,295
2,654
ryx2 
Yi X 2  Yi  X 2 1030,25  51,13  20,19  2,065

 0,501 ,

 x2   y
13,978  0,295
4,124
rx1x2 
X 1 X 2  X 1  X 2 5497,28  109,2  51,13  86,12

 0,685 .,

 x2   x1
8,996  13,978
125,75
Коэффициент корреляции между факторными признаками, равный -0,685,
позволяет оставить в модели оба фактора, так как связь между факторами не тесная
 0,8 .
II.
Частные коэффициенты корреляции: характеризуют степень влияния одного
из факторов на функцию при условии, что остальные независимые переменные
закреплены на постоянном уровне.
rx1 y  rx2 y  rx1x2
0,750  (0,501)( 0,685)
0,407
0,407
ryx1 ( x2 ) 



 0,568
2
2
(1  0,47)(1  0,563)
0,514 0,717
(1  rx x )(1  rx y )
1 2
ryx2 ( x1 ) 
1
rx2 y  rx1 y  rx1x2
(1  rx21x2 )(1  rx21 y )
=
 0,501  0,750(0,685) 0,013

 0,016 ,
0,815
(1  0,469)(1  0,251)
rx2 x1  rx1 y  rx1 y
rx1x2 ( y ) 
(1  ryx2 2 )(1  ryx2 1 )

 0,685  0,75(0,685)  0,685  0,514  0,171  0,171



 0,463
0,369
(1  0,25)(1  0,562)
0,438  0,311
0,136
Близкая к тесной прямая связь результативного признака наблюдается с
балансовой прибылью (0,568), практически отсутствует связь между начисленными
дивидендами и дебиторской задолженностью (0,016).
III. Множественный коэффициент корреляции: показывает тесноту связи между
результативным и обоими факторными признаками.
R
ryx2 1  ryx2 2  2ryx1  ryx2  rx1x2
(1  rx21x2 )

0,750 2  0,5012  2(0,75(0,501)( 0,685))

(1  0,469)
0,814  0,515
0,299

 0,750
0,531
0,531
Таким образом, выявлена тесная связь 0,750  0,700 между начисленными
дивидендами и следующими признаками: балансовая прибыль и дебиторская
задолженность.
Множественный коэффициент детерминации определим как квадрат
множественного коэффициента корреляции:
R yx2 1x2  (0,750) 2  0,563 .

На основе коэффициента детерминации делаем вывод, что на 56,3% вариации
величины начисленных дивидендов находится в зависимости от изменения балансовой
прибыли и суммы дебиторской задолженности, и на 43,7% – влиянием прочих
неучтенных в модели факторов.
На завершительном этапе анализа проверим значимость параметров уравнения
регрессии и модели в целом.
Проверим значимость модели в целом с помощью F-статистики Фишера. Для
этого определим остаточную дисперсию результативного признака:
(Yi  Yi) 2 3,543

2
 îñò 

 0,0443 ,
n
80
Тогда
 y2
n  m 0,087 78


 153,18 ,
m  1 0,0443 1

Fтабл (  0,05; v1  1; v2  78)  4,00 ,
F расч  Fтабл , следовательно, модель в целом признается значимой.
Fðàñ÷ 
2
îñò

Задание № 3.
На основе данных, приведенных в таблице 1 Приложения Б и соответствующих
варианту №16 (таблица 2 Приложение Б) провести идентификацию модели с помощью
необходимого и достаточного условия идентификации.
Эконометрическая модель содержит три уравнения. Количество эндогенных
переменных   , экзогенных переменных   и вид уравнения определяются вариантом
контрольной работы (таблицы 1 и 2 Приложения Б).
Например, для варианта №1 (зачетная книжка заканчивается на 01) формируется
система уравнений, содержащая уравнения Y11 (1-ый вариант, соответствующий
уравнению Y1), Y21 (1-ый вариант, соответствующий уравнению Y2), Y32 (2-ой вариант,
соответствующий уравнению Y3) (см. таблицу 3). Коэффициенты при переменных
берутся из таблицы 1:
Y 11
Y 21
Y 32
Y2
0
Y3
0
Y1
b 12
Y1
b 13
Y3
b32
Y2
0
X1
а 11
X1
0
X2
а 21
X2
0
X1
0
X2
а 23
X3
а 31
X3
а 32
X3
а 33
Таким образом, окончательно система уравнений, соответствующая варианту 01 ,
примет вид:
Y1  a11  X 1  a 21  X 2  a31  X 3
Y2  b12  Y1  b32  Y3  a32  X 3
Y3  b13  Y1  a 23  X 2  a33  X 3
Задание № 4.
Па основе данных, приведенных в таблице 1 Приложения В и соответствующих
Вашему варианту (таблица 2 Приложение В), требуется:
1.
Проанализировать автокорреляцию уровней временного ряда, выявить и
охарактеризовать его структуру.
2.
Построить аддитивную и мультипликативную модель временного ряда,
характеризующую зависимость уровней ряда от времени.
3.
На основе лучшей модели сделать прогноз на следующие два квартала с
учетом выявленной сезонности.