Kвадратные уравнения Квадрат, квадратный стол, квадратная площадь - за всеми этими выражениями мы видим ясный наглядный смысл. И вдруг появляется квадратное уравнение, квадратный корень. Что же квадратное мы видим, например, в уравнении x2 + 10x = 39 или в числе ? Мы привыкли произносить "икс квадрат", "квадрат суммы", "удвоенный квадрат", не придавая этим выражениям геометрического смысла. На самом деле все они отражают взгляд на алгебру, который сложился еще в глубокой древности, потому что людям приходилось решать геометрические задачи на вычисление площадей. В клинописных текстах древнего Вавилона (около 2000 лет до нашей эры) обнаружена такая задача. "Площадь 1000 состоит из суммы двух квадратов, и сторона меньшего составляет две трети стороны другого, уменьшенные на 10. Какова сторона бóльшего квадрата?" Решить такую задачу - это все равно, что решить уравнение .В клинописном тексте нет формулы для решения этого уравнения, но перечисляются необходимые этапы вычисления, которые приводят к корню x = 30. Фактически вавилонский метод дает решение системы , которая представляет собой запись задачи нахождения сторон прямоугольника с данным периметром и площадью. Теорема Виета, с изучения которой начинается этот параграф, связывает решение этой системы с решением квадратного уравнения. Аналогичная связь находилась уже в "Началах" Евклида, где сформулированы в виде некоторых геометрических тождеств правила решения квадратного уравнения или, что то же самое, написанной выше системы. Вот одна из теорем Евклида: "Если отрезок разделен на два неравных отрезка, то площадь прямоугольника, сторонами которого являются эти отрезки, сложенная с площадью квадрата, сторона которого равна их полуразности, равна площади квадрата, сторона которого равна половине исходного отрезка". Обозначив длину отрезка через p, а длины его частей через x и y, мы запишем теорему Евклида в виде тождества Из этого тождества, зная xy = q, находится . Зная и , мы легко находим x и y. Если ответ записать в виде алгебраического выражения, то мы и получим формулу корней квадратного уравнения: x2 - px + q = 0: , которую мы выведем чуть позже (обозначив коэффициент при x через p, а не -p, как в предыдущей задаче). Знаменитое уравнение Аль-Хорезми: x2 + 10x = 39 (IX век) тоже имеет в оригинале геометрическую формулировку: "Квадрат и десять корней равны 39". Напомним, что геометрический метод его решения соответствует выделению полного квадрата: x2 + 10x = 39 x+5=8 x=3 Этот метод, примененный к уравнению x2 + px = q с произвольными положительными коэффициентами, дает аналогичную формулу (теперь у нас свободный член равен -q, а не q): x2 + px = q Итак, приступая к решению квадратных уравнений, мы будем помнить, что решение таких уравнений представляет собой первую непростую (математики говорят "нетривиальную") алгебраическую задачу, которая была решена многократно в древности. От этого она не стала легче, и вам предстоит большая и интересная работа по исследованию квадратного трехчлена и нахождению его корней. В этой работе большой помощью вам будут навыки в преобразовании алгебраических выражений, в доказательстве неравенств, в выполнении действий с квадратными корнями, то есть все содержание курса алгебры, которое вы изучили к настоящему времени. Выводим формулу корней квадратного уравнения Настала пора, когда от численных примеров мы можем перейти к выводу общей формулы корней квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение x2 + px + q = 0. Выделим полный квадрат из трехчлена P = x2 + px + q. P = x2 + px + q = = . Обозначим число p2 - 4q через D = p2 - 4q и назовем это число дискриминантом квадратного трехчлена P. Используем это обозначение для сокращения записи P: . Далее рассмотрим три случая. 1. D > 0. Тогда D является квадратом числа множителя: P = и мы разложим трехчлен P на два = . Приравнивая P к нулю, получаем два корня исходного квадратного уравнения: и , или . Иногда их объединяют одной формулой: . 2. D = 0. Тогда P является полным квадратом: P = имеет один корень . Квадратное уравнение P = 0 . 3. D < 0. Дальнейшее разложение невозможно. Уравнение P = 0, которое можно записать в виде квадрат. не имеет решений, так как справа стоит отрицательное число, а слева - Зафиксируем результат рассуждений в виде теоремы. Теорема. Решение квадратного уравнения x2 + px + q = 0 зависит от знака его дискриминанта, числа D = p2 - 4q. 1) Если D > 0, то уравнение имеет два корня, вычисляемые по общей формуле . 2) Если D = 0, то уравнение имеет один корень . 3) Если D < 0, то уравнение не имеет корней. Общая формула для решения квадратных уравнений ax2+bx+c=0. D=b2-4ac. Если D>0, то x b D . 2a Если D=0, то x b . 2a D<0, то уравнение не имеет решений.