Решение уравнений средствами Mathcad

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра электромеханики
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
В ПРОГРАММЕ MATHCAD
Методические указания
для выполнения лабораторно-практической работы по дисциплине
«Математические модели в расчетах на ЭВМ»
Специальность 140601«Электромеханика в горном производстве»
Новокузнецк
2007
УДК
Р47
Рецензент
кандидат педагогических наук
доцент кафедры прикладной информатики СибГИУ
Л.В. Голунова
Р47 Решение уравнений и систем уравнений в программе MathCAD:
метод. указ./Сост.: Ю.А. Храмова; СибГИУ.–Новокузнецк, 2007.–16 с.
Изложены основные правила использования стандартных
функций для решения уравнений и систем уравнений в программе
MathCAD. Текст иллюстрирован примерами. Приведены задания для
самостоятельной работы.
Предназначены для студентов специальности 140601Электромеханика в горном производстве, всех форм обучения.
2
Решение уравнений средствами Mathcad
Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют
аналитических решений. В первую очередь это относится к
большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что
нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить
произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой.
Однако такие уравнения могут решаться численными методами с
заданной точностью (не более заданного значения системной
переменной TOL). Для простейших уравнений вида f(x)=0 решение в
Mathcad находится с помощью специальной функции.
Функция root(f(х),х,a,b) возвращает значение х, принадлежащее
отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в
0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция
возвращает скаляр.
Аргументы:
f(х) – имя функции, определенной где-либо в рабочем
документе, или выражение. Выражение должно возвращать
скалярные значения.
х – имя переменной, которая используется в выражении. Этой
переменной перед использованием функции root необходимо
присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное
приближение при поиске корня.
a, b – необязательны, если используются, то должны быть
вещественными числами, причем a<b.
Приближенные значения корней (начальные приближения)
могут быть:
 известны из физического смысла задачи;
 известны из решения задачи другим способом;
 найдены графическим способом.
Наиболее распространен графический способ определения
начальных
приближений.
Принимая
во
внимание,
что
действительные корни уравнения f(x)=0 – это точки пересечения
графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график
функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или
отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Решение
уравнения с использованием графического способа нахождения
начального приближения показано на рисунке 1.
3
Рисунок 1 – Решение уравнения при помощи функции root
Многие функции имеют множество корней. В этом случае
задается диапазон по оси ОХ, который содержит один из корней
(рисунок 2).
Рисунок 2 – Поиск корней в заданных диапазонах
4
Отсутствие сходимости функции root
Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего
решения, то появится сообщение Can’t converge to a solution
(отсутствует сходимость). Эта ошибка может быть вызвана
следующими причинами:

уравнение не имеет корней;

корни уравнения расположены далеко от начального
приближения;

выражение имеет локальные max и min между начальным
приближением и корнями;

выражение имеет разрывы между начальными приближениями и
корнями;

выражение имеет комплексный корень, но начальное
приближение было вещественным.
Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f(x). Он
поможет выяснить наличие корней уравнения f(x)=0 и, если они есть,
определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано
начальное приближение корня, тем быстрее будет сходиться функция
root.
Рекомендации по использованию функции root
Для изменения точности, с которой функция root ищет корень,
нужно изменить значение системной переменной TOL. Если
значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее,
но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то
функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен.
Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего
документа, используйте определение вида TOL:=0.01. Чтобы
изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите
команду Математика  Параметры…  Переменные  Допуск
сходимости (TOL). Если два корня расположены близко друг от
друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.
5
Нахождение корней полинома
Для нахождения корней выражения, имеющего вид
vnxn + ... + v2x2 + v1x + v0,
лучше использовать функцию polyroots. В отличии от функции root,
функция polyroots не требует начального приближения и возвращает
сразу все корни, как вещественные, так и комплексные, в виде
вектора длины n (рисунок 3). Перед использованием функции
необходимо задать вектор v длины n+1, содержащий коэффициенты
полинома. Вектор v удобно создавать использую команду Символы
 Коэффициенты полинома.
Рисунок 3 – Использование функции Polyroots
6
Решение систем уравнений
MathCAD дает возможность решать также и системы
уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50.
Результатом решения системы будет численное значение искомого
корня. Для решения системы уравнений необходимо выполнить
следующее:

задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих
в систему уравнений;

напечатать ключевое слово Given. Оно указывает программе
Mathcad, что далее следует система уравнений;

ввести уравнения и неравенства в любом порядке. Использовать
[Ctrl]= для печати символа ═ (Булево равенство). Между левыми и
правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >, ≤
и≥;

ввести любое выражение, которое включает функцию Find,
например: а:= Find(х, у).
Функция Find(х1, х2, . . .) возвращает точное решение системы
уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.
Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за
ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find, называют
блоком решения уравнений. Следующие выражения недопустимы
внутри блока решения:

ограничения со знаком ;

дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный
аргумент в любой форме;

неравенства вида a < b < c.
Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга,
каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя
функции Find. Функция, которая завершает блок решения уравнений,
может быть использована аналогично любой другой функции. Можно
произвести с ней следующие три действия:

вывести найденное решение, напечатав выражение вида:
Find(х1, х2,…) =

определить переменную с помощью функции Find:
a := Find(x) - скаляр,
х := Find(х1, х2,…) - вектор.
7
Это удобно сделать, если требуется использовать решение
системы уравнений в другом месте рабочего документа.
Сообщение об ошибке No solution was found. Try changing the
guess value or the value of TOL of CTOL (решение не найдено) при
решении уравнений появляется в следующих случаях:

поставленная задача может не иметь решения;

для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в
качестве начального приближения взято вещественное число и
наоборот;

в процессе поиска решения последовательность приближений
попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого
решения нужно задать различные начальные приближения;

возможно, поставленная задача не может быть решена с
заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL.
Пример 1 (рисунок 4) иллюстрирует решение системы
уравнений в MathCAD.
Рисунок 4 – Численное решение системы уравнений
Решение системы уравнений матричным способом
Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений
относительно n неизвестных х1, х2, …, хn:
8
A11  x 1  A12  x 2  ...  A1n  x n  B1
A  x  A  x  ...  A  x  B
22
2
2n
n
2
 21 1
A 31  x 1  A 32  x 2  ...  A 3n  x n  B 3
. . . . . . . . . . . . .

A n1  x 1  A n 2  x 2  ...  A nn  x n  B n
(1)
В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная
система линейных уравнений может быть записана в матричном виде
Ах = b,
(2)
где:
a 11  a 12  ...  a 1n 
a  a  ...  a 
22
2n 
A   21
........................


a n1  a n 2  ...  a nn 
x1 
x 
x   2
.... 
 
x n 
 b1 
b 
b   2
.... 
 
b n 
(3)
Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при
соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при
неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей
системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые
части уравнений системы, называется матрицей правой части или
просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы
которой искомые неизвестные, называется решением системы.
Если матрица А – неособенная, то система (1), или
эквивалентное ей матричное уравнение (2), имеет единственное
решение. Существует обратная матрица А-1. Умножая обе части
уравнения (2) на матрицу А-1 получим:
x=A-1b
(4)
Формула (4) дает решение уравнения (2) и оно единственно.
Пример решения системы уравнений матричным способом
приведен на рисунке 5.
9
Рисунок 5 – Решение системы уравнений матричным способом
10
Задания для самостоятельного выполнения
Найти решение уравнений в заданных точках и на заданном
диапазоне. Варианты заданий представлены в таблице.
1.
№
вари-
Начальные
приближения
Уравнение
анта
1
f ( x)  cos(x 2 )  sin(3x)
2
f ( x)  cos( x 2 ) 
3
f ( x)  cos( x 3 ) 
Диапазон
нахождения
корня
x1=5; x2=7; x3=8
x[2;2,5]
sin( x)
5
x1=5; x2=7; x3=8
x[2;2,5]
sin( x)
6,5
x1=5; x2=7; x3=8
x[5;6]
4
cos( x3 )
f ( x) 
 sin( x)
5
x1=5; x2=7; x3=8
x[5;8]
5
 x 2  sin( x) 2
f ( x)  cos  
6,5
5
x1=5; x2=7; x3=8
x[4;6]
6
 x 2  sin( x)
f ( x)  cos  
6,5
5
x1=5; x2=6; x3=10 x[4;6]
7
f ( x)  cos(x2 )  sin( x)4
x1=6; x2=8; x3=10 x[2;3]
8
f ( x)  cos(x2 )2  sin( x)4
x1=6; x2=8; x3=10 x[2;4]
9
sin( x)4
f ( x)  cos( x ) 
5
x1=6; x2=8; x3=10 x[3;5]
10
cos( x 2 ) sin( x) 4
f ( x) 

5
3
x1=6; x2=8; x3=10 x[2;5]
11
 x2 
 x
f ( x)  cos   sin  
3
2
2
4
x1=6; x2=8; x3=10 x[2;3]
11
№
варианта
Уравнение
12
f ( x)  4 cos(x)  4 sin( x)3
x1=2; x2=6; x3=8
13
 x2 
f ( x)  sin    sin( x) 4
5
x1=6; x2=8; x3=10 x[2;6]
14
3sin( x 2 )
f ( x) 
 cos( x)2
5
x1=1; x2=8; x3=10 x[2;6]
15
2 cos( x 2 ) cos( x) 2
f ( x) 

5
2
x1=2; x2=8; x3=10 x[2;6]
16
3sin( x 2 )
f ( x) 
 cos( x)4
5
x1=1; x2=8; x3=10 x[2;6]
17
 x2 
f ( x)  3 sin    cos( x) 2
2
x1=1; x2=8; x3=10 x[8;10]
18
3sin( x 2 )
 x
f ( x) 
 cos 
5
5
19
f ( x)  5sin( x2 )  7 sin( x)2
x1=1; x2=8; x3=10 x[2;6]
20
3sin( x 2 ) cos( x) 2
f ( x) 

7
5
x1=1; x2=8; x3=10 x[5;8]
Начальные
приближения
Диапазон
нахождения
корня
x[2;3]
2
x1=1; x2=8; x3=10 x[2;6]
12
2.
Найти решение систем уравнений матричным способом и при
помощи функции Find (начальные приближения – произвольные)
Вариант 1
7 x1  x 2  2 x3  3x 4  8
8 x1  3x3  6
а 
4 x1  x 2  3x 4  4
5 х1  2 x 2  x3  2 x 4  4
Вариант 2
4 x1  x 2  2 x3  3x 4  8
6 x 2  3x3  6
а 
8 x1  x 2  3x 4  4
9 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
Вариант 3
 4 x1  2 x3  3x 4  9
6 x 2  3x3  x 4  6
а 
 9 x1  3x 4  5
2 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
Вариант 4
 12 x1  2 x3  3x 4  9
7 x 2  3x3  x 4  6

а
 5 x1  3x 4  5
8 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
Вариант 5
6 x1  x 2  2 x3  3x 4  8
 3x1  3x3  6

а
4 x1  x 2  3x 4  4
 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
Вариант 6
9 x1  x 2  2 x3  3x 4  8
4 x1  3x3  6

а
6 x1  x 2  3x 4  4
3x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
0,098 x1  0,746 x 2  0,645 x3  0,546 x 4  0,676
 0,078 x1  0,357 x 2  0,746 x3  0,146 x 4  0,347
б 
0,756 x1  0,856 x 2  0,644 x3  0,857 x 4  0,485
0,376 x1  0,754 x 2  0,865 x3  1,098 x 4  0,682
 0,758 x1  0,411x 2  0,541x3  0,546 x 4  0,776
0,078 x1  0,357 x 2  0,796 x3  0,146 x 4  0,547
б 
0,356 x1  0,836 x 2  0,454 x3  0,857 x 4  0,475
0,476 x1  0,754 x 2  0,865 x3  1,098 x 4  0,582
0,254 x1  2,354 x 2  0,214 x3  5,084 x 4  3,214
2,014 x1  5,041х 2  8,365 x3  0,124 x 4  0,965
б 
8,214 x1  2,015 x 2  4,214 x3  0,123 x 4  3,254
2,015 x1  2,014 x 2  6,321x3  5,247 x 4  6,021
8,021x1  4,215 x 2  0,324 x3  7,065 x 4  2,014
5,314 x1  3,215 х 2  9,247 x3  4,321x 4  0,265

б
5,214 x1  3,258 x 2  4,654 x3  9,254 x 4  8,236
5,621x1  5,578 x 2  2,212 x3  6,324 x 4  5,963
2,356 x1  5,214 x 2  5,012 x3  4,054 x 4  8,015
8,124 x1  1,151х 2  1,024 x3  1,3150 x 4  5,123

б
0,245 x1  6,214 x 2  7,124 x3  6,254 x 4  4,215
9,154 x1  1,642 x 2  1,541x3  1,343 x 4  4,254
3,543 x1  5,311x 2  6,054 x3  1,361x 4  1,315
9,845 x1  7,354 х 2  1,368 x3  4,951x 4 ,3548

б
4,358 x1  1,025 x 2  3,654 x3  2,654 x 4  9,354
7,365 x1  1,258 x 2  3,698 x3  1,654 x 4  7,985
13
Вариант 7
 8 x1  2 x3  3x 4  9
7 x 2  3x3  x 4  6
а 
 8 x1  3x 4  5
4 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
Вариант 8
 5 x1  2 x3  3x 4  9
4 x 2  3 x 3  x 4  6
а 
 9 x1  3x 4  5
 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
Вариант 9
5 x1  x 2  2 x3  3x 4  2
6 x1  3x3  3
а 
2 x1  x 2  3x 4  5
3х1  2 x 2  x3  2 x 4  6
Вариант 10
 4 x1  x 2  2 x3  3x 4  4
 x 2  3x3  3

а
 8 x1  x 2  3x 4  4
 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
Вариант 11
 5 x1  2 x3  3x 4  8
7 x 2  3x3  x 4  4

а
9 x1  3x 4  5
 2 x1  2 x 2  2 x 4  3
Вариант 12
 2 x1  2 x3  3x 4  7
6 x 2  3x3  x 4  6

а
 5 x1  3x 4  2
8 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
Вариант 13
 5 x1  x 2  2 x3  3x 4  4
 7 x1  3x3  6

а
 x1  x 2  3x 4  4
 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
3,658 x1  4,568 x 2  1,254 x3  7,369 x 4  4,654
8,654 x1  9,684 х 2  1,547 x3  9,635 x 4  9,632
б 
7,852 x1  4,652 x 2  0,368 x3  7,852 x 4  9,369
4,852 x1  4,652 x 2  7,852 x3  0,632 x 4  6,368
8,789 x1  1,654 x 2  4,852 x3  3,258 x 4  9,654
2,651x1  8,264 х 2  1,258 x3  1,654 x 4  4,652
б 
8,632 x1  1,524 x 2  1,654 x3  8,962 x 4  6,354
7,851x1  1,654 x 2  9,652 x3  1,354 x 4  4,652
9,652 x1  4,652 x 2  1,245 x3  2,325 x 4  4,651
5,215 x1  1,354 х 2  3,254 x3  6,354 x 4  9,651
б 
3,514 x1  5,684 x 2  1,325 x3  1,547 x 4  9,365
5,647 x1  8,521x 2  6,354 x3  9,365 x 4  2,654
3,651x1  1,364 x 2  7,658 x3  9,364 x 4  1,325
4,652 x1  1,254 х 2  6,952 x3  1,346 x 4  4,265

б
8,695 x1  1,254 x 2  3,235 x3  9,365 x 4  1,254
9,365 x1  1,254 x 2  7,325 x3  1,256 x 4  1,258
6,358 x1  1,236 x 2  9,365 x3  1,354 x 4  4,582
9,348 x1  9,364 х 2  1,258 x3  9,361x 4  7,265

б
2,354 x1  8,256 x 2  1,254 x3  9,325 x 4  4,258
7,256 x1  1,254 x 2  4,569 x3  4,265 x 4  7,356
9,365 x1  4,365 x 2  4,256 x3  9,365 x 4  1,025
9,365 x1  4,583 х 2  5,654 x3  8,254 x 4  4,658

б
9,365 x1  1,254 x 2  9,364 x3  4,652 x 4  4,256
3,355 x1  2,367 x 2  1,365 x3  9,365 x 4  1,547
6,354 x1  4,268 x 2  1,236 x3  1,325 x 4  9,365
8,354 x1  4,256 х 2  9,365 x3  1,254 x 4  9,365

б
5,324 x1  1,256 x 2  1,254 x3  9,365 x 4  1,354
9,365 x1  1,254 x 2  8,256 x3  0,365 x 4  9,365
14
Вариант 14
3x1  x 2  2 x3  3x 4  8
5 x1  3x3  6
а 
 x1  x 2  3x 4  8
3x1  2 x 2  x3  2 x 4  3
Вариант 15
 x1  2 x3  3x 4  6
3x 2  3x3  x 4  6
а 
 8 x1  3x 4  6
4 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
Вариант 16
 5 x1  2 x3  3x 4  9
4 x 2  3 x 3  x 4  6
а 
 9 x1  3x 4  5
 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
Вариант 17
4 x1  x 2  2 x3  3x 4  2
 x1  3x 4  3

а
2 x1  x 2  3x 4  7
3х1  2 x 2  x3  2 x 4  6
Вариант 18
4 x1  x 2  2 x3  3x 4  6
 x 2  3x3  3

а
 8 x1  x 2  3x 4  4
 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
Вариант 19
 x1  2 x3  3x 4  4
7 x 2  3x3  x 4  2

а
9 x1  3x 4  5
 2 x1  2 x 2  x3  2 x 4  7
Вариант 20
2 x1  2 x3  3x 4  7
6 x 2  7 x3  x 4  6

а
5 x1  2 x 4  2
8 x1  2 x 2  x3  2 x 4  4
9,365 x1  6,354 x 2  4,256 x3  9,365 x 4  1,254
9,365 x1  4,256 х 2  9,365 x3  4,652 x 4  1,325
б 
9,365 x1  1,254 x 2  3,658 x3  2,354 x 4  9,365
6,354 x1  8,254 x 2  6,354 x3  9,365 x 4  4,256
3,365 x1  9,365 x 2  8,356 x3  1,265 x 4  9,364
7,256 x1  2,257 х 2  9,345 x3  2,056 x 4  0,356
б 
9,365 x1  0,256 x 2  9,324 x3  5,248 x 4  8,365
8,256 x1  9,365 x 2  1,256 x3  6,584 x 4  4,265
5,365 x1  9,652 x 2  1,254 x3  8,365 x 4  9,356
4,258 x1  6,354 х 2  8,256 x3  1,256 x 4  9,365
б 
4,265 x1  8,256 x 2  1,254 x3  6,354 x 4  9,365
8,256 x1  1,254 x 2  8,256 x3  1,025 x 4  3,322
2,036 x1  8,256 x 2  2,365 x3  4,236 x 4  9,365
8,256 x1  1,254 х 2  9,365 x3  5,258 x 4  9,365

б
1,254 x1  8,256 x 2  2,358 x3  1,265 x 4  8,264
7,289 x1  0,397 x 2  2,395 x3  7,259 x 4  3,369
9,365 x1  7,258 x 2  9,367 x3  7,325 x 4  1,259
9,365 x1  7,245 х 2  9,365 x3  4,256 x 4  9,364

б
8,256 x1  4,256 x 2  1,236 x3  7,256 x 4  9,364
9,354 x1  7,256 x 2  8,365 x3  4,256 x 4  9,354
9,367 x1  9,365 x 2  0,654 x3  9,365 x 4  7,256
9,365 x1  7,256 х 2  5,364 x3  9,354 x 4  7,256

б
9,365 x1  4,255 x 2  2,354 x3  9,366 x 4  9,355
8,256 x1  7,022 x 2  9,265 x3  9,587 x 4  6,245
0,358 x1  8,256 x 2  5,369 x3  0,354 x 4  9,365
5,245 x1  6,354 х 2  9,365 x3  7,589 x 4  1,265

б
9,364 x1  9,365 x 2  7,256 x3  4,256 x 4  6,357
5,364 x1  5,286 x 2  4,256 x3  9,364 x 4  4,256
15
Учебное издание
Составитель
Храмова Юлия Анатольевна
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
В ПРОГРАММЕ MATHCAD
Методические указания
для выполнения лабораторно-практической работы по дисциплине
«Математические модели в расчетах на ЭВМ»
Специальность 140601«Электромеханика в горном производстве»
Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл. печ. л.
. Уч. изд. л.
. Тираж
экз. Заказ
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова 42.
Типография СибГИУ
.