Логарифмические уравнения и неравенства

Математика, 10 класс
Карпова Ирина Викторовна
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Для успешного решения показательных и логарифмических уравнений и
неравенств, вспомним определение и свойства логарифма.
Логарифмом числа b по основанию а, называется показатель степени, в которую
нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Основные свойства логарифмов:
1
1) a loga b  b ;
5) log a   =  log a c ;
c
m
2) log a a  m ;
6) log a b m  m  log a b ;
1
3) log a (b  c)  log a b  log a c ;
7) log a n b   log a b ;
n
log c b
b
4) log a   = log a b  log a c ;
8) log a b 
.
log c a
c
Перечислим основные свойства показательной и логарифмической функций:
1) Область определения функции у  a x , где a  0, a  1 - всё множество
действительных чисел; функции y  log a x , где a  0, a  1 - множество
положительных действительных чисел.
2) Множество
значений
функции
множество
положительных
у  ax действительных чисел; функции y  log a x - всё множество действительных
чисел.
3) Промежутки монотонности: если a  1 обе функции возрастают; если 0  a  1 обе функции убывают.
Замечание. 1) В соответствии со вторым свойством, при решении логарифмических
уравнений необходимо либо выяснять область допустимых значений уравнения, либо
после решения делать проверку.
2) Третье свойство необходимо помнить при решении неравенств.
1. Показательные уравнения
Показательным называется трансцендентное уравнение, в котором неизвестное
входит в показатель степени некоторых величин. При решении показательных уравнений
используются два основных метода: 1) переход от уравнения a f ( x )  b g ( x ) ……….(1)
уравнению f ( x)  g ( x) ; 2) введение новых переменных. Иногда приходится применять
искусственные приемы.
Первый метод решения показательных уравнений основан на следующей теореме:
Если a  0, a  1 , то уравнение a f ( x )  b g ( x ) равносильно уравнению f ( x)  g ( x) .
Рассмотрим основные приемы сведения показательного уравнения к уравнению вида (1).
1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию.
Пример 1. Решить уравнение: 4 x  8 2 x 3 .
Решение. Заметим, что основания степеней, стоящих в левой и правой части уравнения
есть степени двойки, поэтому, учитывая свойства степеней, имеем уравнение 2 2 x  2 6 x9 ,
9
тогда на основании теоремы получаем уравнение: 2 x  6 x  9  x  .
4
9
.
4
Пример 2. Решить уравнение: 0,4 x1  6,256 x5 .
2
5
Решение. Учтем, что
0,4  , 6,25  , тогда первоначальное уравнение примет вид:
5
2
Ответ: x 
2
 
5
x 1
12 x 10
5
 
2

2
 
5
x 1
2
 
5
12 x 10
 x  1  10  12 x 
x
11
.
13
11
.
13
2. Логарифмирование обеих частей уравнения (если они строго положительные) по
одинаковому основанию.
Ответ:
x
Пример 3. Решить уравнение: 3 x 4  52 x .
Решение. Первый прием здесь применить нельзя, так как числа 3 и 5 невозможно
2
представить в виде степени с одинаковым основанием. Учитывая, что 3 x 4  0 и 5 2 x  0 ,
при любом значении переменной, прологарифмируем обе части уравнения по основанию
2
3, получим:
log 3 3 x 4  log 3 52 x , откуда используя свойства логарифма, имеем
2
x 2  4  2 x  log 3 5 . Получили квадратное уравнение x 2  2 x  log 3 5  4  0 , решая которое
получаем корни: x1, 2  log 3 5  log 32 5  4 .
Ответ: x1, 2  log 3 5  log 32 5  4
Замечание. Логарифмировать можно, вообще говоря, по любому основанию, но обычно
логарифмируют по одному из оснований степеней, входящих в уравнение.
3. Разложение левой части уравнения на множители и сведение уравнения к
совокупности нескольких уравнений вида (1).
Пример 4. Решить уравнение: 5 2 x 1  3  5 2 x 1  550 .
Решение. Вынесем в левой части уравнения выражение 5 2 x 1 за скобки, получим:
3
5 2 x 1 52  3  550  5 2 x 1 = 52  2 x  1  2 
x .
2
3
Ответ: x  .
2
Пример 5. Решить уравнение: 51 2 x  61 x  30  150 x .
Решение. Так как 51 2 x  5  25 x , 61 x  6  6 x , 150 x  6 x  25 x , то первоначальное уравнение
примет вид: 5  25 x  6  6 x  6 x  25 x  30  0 . Сгруппируем первое, четвертое и второе,
третье слагаемые, и вынесем общие множители за скобки: 5  (25 x  6)  6 x  (25 x  6)  0 
25 x  6 5  6 x   0 . Полученное уравнение сводится к совокупности уравнений:
25 x  6  0 , 5  6 x  0 . Решая эти уравнения логарифмированием обеих частей, находим
корни первоначального уравнения: x1  log 25 6, x2  log 6 5 .
Ответ: x1  log 25 6, x2  log 6 5 .
Рассмотрим примеры нескольких видов уравнений, которые могут быть решены
вторым методом – методом введения новых переменных.
Уравнение вида f (a x )  0 при помощи введения новой переменой t  a x , сводится
к решению алгебраического уравнения f (t )  0 .
Пример 6. Решить уравнение: 5 2 x  2  5 x  15  0 .
Решение. Пусть t  5 x . Тогда первоначальное уравнение примет вид: t 2  2t  15  0 ,
откуда находим x1  5,
x2  3 . Таким образом данное уравнение равносильно
совокупности двух уравнений 5 x  5 и 5 x  3 . Решая первое уравнение, получаем x  1.
Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как 5 x  0 при любом значении
переменной, а (3)  0 .
Ответ: x  1.
Пример 7. Решить уравнение: 2 x  (0,5) 2 x3  6  (0,5) x  1 .
8
6
Решение. Учитывая, что
(0,5) 2 x3  232 x  2 x и 6  (0,5) x  x , получим уравнение
2
2
8
6
8 6
2 x  2 x  x  1  0 . Введем новую переменную u  2 x , получим: u  2   1  0 .
u
2
2
u
Преобразуя это дробно-рациональное уравнение, придем к следующему уравнению:
u  2 u 2  u  4  0 . Последнее уравнение распадается на совокупности двух уравнений,
 1  17
. Теперь задача сводится
2
 1  17
 1  17
к решению совокупности уравнений: 2 x  2 ; 2 x 
; 2x 
. Из первого
2
2
уравнения находим x1  1. Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 2,
решая которые получаем: u1  2, u 2 
 1  17
,
2
u3 
 1  17
 1  17
 0 , в то
.Третье уравнение решений не имеет, так как
2
2
время как 2 x  0 при любом значении переменной.
 1  17
Ответ: x1  1; x2  log 2
.
2
Пример 8. Решить уравнение: 6  32 x  13  6 x  6  2 2 x  0 .
Решение. Так как 6 x  3 x  2 x , то имеем: 6  32 x  13  3 x  2 x  6  2 2 x  0 . Разделим обе части
находим x2  log 2
2x
x
x
3
3
3
уравнения на 2 2 x , получим: 6     13   6  0 . Введем новую переменную t    ,
2
2
2
3
придем к квадратному уравнению 6t 2  13t  6  0 , решая которое, получим t1  ,
2
2
t 2  . Таким образом, решение первоначального уравнения сводится к решению
3
x
x
3
2
3
3
совокупности двух показательных уравнений:    ;    , решая которые
2
3
2
2
получим: x1  1, x2  1 .
Ответ: x1  1, x2  1 .
2. Логарифмические уравнения
Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное
входит в аргумент логарифма.
При решении логарифмических уравнений используются два основных метода: 1)
переход от уравнения log a f ( x)  log a g ( x) к уравнению вида f ( x)  g ( x) ; 2) введение
новых переменных.
Замечание. Так как
область определения логарифмической функции только
множество положительных действительных чисел, при решении логарифмических
уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения (ОДЗ),
либо после нахождения решений уравнения делать проверку.
Рассмотрим некоторые виды простейших логарифмических уравнений.
Решение простейшего логарифмического уравнения log a x  b; a  0, a  1 ……(1)
Основано на следующем важном свойстве логарифмов:
логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному
отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда, когда равны эти числа.
Для уравнения (1) из этого свойства получаем: x  a b
- единственный корень.
Для уравнения вида
получаем
log a f ( x)  b; a  0, a  1 …………..(2)
равносильное уравнение f ( x)  a b .
1 1
1

Пример 9. Решить уравнение 1  lg 5   lg  lg x  lg 5  .
3 2
3

10
1
Решение. Поскольку 1  lg 5  lg 10  lg 2  lg  lg 2 , lg   lg 2 , то исходное уравнение
5
2
16
16
1
равносильно уравнению 4 lg 2  lg 5  lg x  lg 3  lg x . Отсюда получаем x  3 3
5
5
единственный корень данного уравнения.
16
Ответ: x  3 .
5
Пример 10. Решить уравнение lg( 2 x  5) 2  0 .
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению lg( 2 x  5) 2  lg 1 , которое в свою
очередь равносильно квадратному уравнению (2 x  5) 2  1 . Находим корни этого
уравнения : х1=3, х2=2.
Ответ: х1=3, х2=2.
К простейшим логарифмическим уравнениям относятся также уравнения вида
log x A  B, A  0 ………………(3), которое а) при А  1 и В  0 имеет единственный
1
B
корень x  A ; б) при А=1 и В=0 имеет решением любое положительное, отличное от
единицы, число; в) при А=1 и В  0 корней не имеет; г) при А  1 и В=0 корней не имеет.
Рассмотрим методы сведения логарифмических уравнений к простейшим
уравнениям и системам уравнений и неравенств.
1) Уравнение вида
f (log a x)  0, a  0, a  1 методом замены переменной:
log a x  t сводится к уравнению f (t )  0 . Если t1, t2,…,tn – корни этого уравнения, то
решение первоначального уравнения сводится к решению совокупности простейших
уравнений: log a x  t1 , log a x  t 2 ,…, log a x  t n .
1
4
Пример 11. Решить уравнение

 3.
5  4 lg x 1  lg x
1
4

3
Решение. 1) Обозначим t  lg x , тогда уравнение примет вид
5  4t 1  t
2) Решим полученное дробно-рациональное уравнение
t  1,
1  t  4(5  4t )  3(5  4t )(1  t )
(t  1)( 2t  1)
1
4

3 
0 
0   1
t  .
5  4t 1  t
(5  4t )(1  t )
(5  4t )(1  t )
 2
3) Найдем значения старой переменной, решив совокупность уравнений:
lg x  1,

 х1=10, х2 = 10
lg x  1 .
2

Ответ: х1=10, х2 = 10 .
2) Уравнение вида
log a f ( x)  log a g ( x),
a  0,
a  1 , можно заменить одной из
 g ( x)  0
 f ( x)  0
равносильных ему систем: 
или 
 f ( x)  g ( x)
 f ( x)  g ( x)
2
Пример 12. Решить уравнение log 3 ( x  4 x  3)  log 3 (3x  21) .
3x  21  0
Решение. 1) Уравнение равносильно системе:  2
 x  4 x  3  3x  21
2) Решим первое неравенство системы: x  7 .
3) Решим второе уравнение системы: x 2  4 x  3  3x  21  x 2  7 x  18  0 
x1  2, x2  9 . Оба корня уравнения удовлетворяют неравенству системы.
Ответ: x1  2, x2  9 .
Пример 13. Решить уравнение log 2 ( x 2  1)  log 1 ( x  1) .
2
Решение. 1) Найдем область допустимых решений данного уравнения, для чего решим
 x 2  1  0,
систему неравенств: 
. Первое неравенство системы выполняется при любых
x 1  0
значениях переменной, второе - при x  1. Поэтому система имеет решение x  1.
2) Для решения уравнения перейдем к одному основанию логарифмов, а именно к
основанию 2, воспользовавшись свойствами логарифмов:
1
1
.
 x2 1 
log 2 ( x 2  1)   log 2 ( x  1)  log 2 ( x 2  1)  log 2
x 1
( x  1)
Решая полученное дробно-рациональное уравнение, находим: x1  0 ,
x2 
1 5
,
2
1 5
1 5
. Из найденных значений только x2 
входит в область допустимых
2
2
решений уравнения.
1 5
Ответ: x 
.
2
9
Пример 14. Решить уравнение log 2 (2 x 2 )  log 2 (16 x)  log 22 x .
2
Решение. 1) Область допустимых решений уравнения x  0
2) Воспользуемся свойствами логарифмов и преобразуем первоначальное уравнение:
2 log 2 x  14  log 2 x   9 log 22 x
2
3) Введем новую переменную t  log 2 x . Тогда уравнение примет вид:
9
2
(2t  1)( 4  t )  t 2  0 . Найдем корни этого квадратного уравнения t1  4 , t 2   .
2
5
4) Первоначальное уравнение, таким образом, свелось к системе двух простейших
2
логарифмических уравнений: log 2 x  4 , log 2 x   . Решив эти уравнения получим:
5
1
х1 = 16,
х2 = 5 . Оба подученных корня входят в область допустимых решений
4
первоначального уравнения.
1
Ответ: х1 = 16, х2 = 5 .
4
3. Показательные неравенства
x3 
a f ( x )  a g ( x ) , где а – положительное
Решение показательных неравенств вида
число отличное от 1, основано на следующих теоремах:
1. Если а >1, то неравенство a f ( x )  a g ( x ) равносильно неравенству f ( x)  g ( x) .
2. Если 0 < а < 1, то неравенство a f ( x )  a g ( x ) равносильно неравенству
f ( x)  g ( x) .
Другие показательные неравенства теми или иными методами, как правило, сводятся к
неравенству этого вида.
3
3 x 1
x 1
x 3
3 x 7
Пример 15. Решить неравенство 2
. …………………………(1)
8
Решение. 1) Воспользовавшись свойствами степени с рациональным показателем,
преобразуем неравенство (1) к виду 2
3 x 1
3( x 1)
2
3 ( x 3 )
3 x 7
.
2) По теореме 1 неравенство (1) равносильно неравенству
3x  1 3x  9
.

3x  3 3x  7
x
3) Преобразуем полученное дробно-рациональное неравенство к виду
5
3
7

( x  1) x  
3

5 7
решив полученное неравенство методом интервалов, получаем (; 1)   ;  .
3 3
5 7
Ответ: (; 1)   ;  .
3 3
Пример 15. Решить неравенство 2 x 2  2 x3  2 x 4  5 x1  5 x 2 .
Решение. 1) Слева и справа вынесем за скобки общий множитель слагаемых:
x2
0
2
2
2
 4
2 (1  2  2 )  5 (5  1)  2 (5)  5         
5
5
 5
2) Последнее неравенство по теореме 2 равносильно неравенству х + 2 > 2, откуда
находим: х > 0.
Ответ: (0;  ) .
1
1
Пример 16. Решить неравенство

 0.
x
(0,5)  1 1  (0,5) x1
Решение. 1) Введем новую переменную y  (0,5) x . Тогда заданное неравенство примет
1
1
вид:

 0.
y  1 1  0,5 y
4
2) Решая дробно-рациональное неравенство, получим: 1  y  ; y  2 . Таким образом,
3
решение первоначального неравенства свелось к решению совокупности двух неравенств:
4
1  (0,5) x  ; (0,5) x  2 .
3
3) Решим каждое из неравенств совокупности. Воспользуемся свойствами степени и
4
log0 , 5
4
3
 0,5
определением логарифма: 1 = (0,5)0;
; 2 = (0,5)-1, тогда каждое из неравенств
3
x2
2
x2
1
x2
совокупности примет вид: (0,5) < (0,5)  0,5
x2
log0 , 5
4
3
; (0,5)x > (0,5)-1. Используя теорему 2
4
перейдем к рациональным неравенствам, решая их получим: х<-1 и log 0,5  x  0 .
3
0
x
4 

Ответ: (;  1); log 0,5 ; 0  .
3 

4. Логарифмические неравенства
Любое логарифмическое неравенство может быть в конечном счете сведено к
неравенству вида
log a f ( x)  log a g ( x) ……………………………………..(1)
Решение такого неравенства основывается на следующих теоремах:
 f ( x)  0

1. Если а > 1, то неравенство вида (1) равносильно системе неравенств:  g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

 f ( x)  0

2. Если 0 < а < 1, то неравенство (1) равносильно системе неравенств:  g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

Замечания 1. Первые два неравенства систем задают область допустимых решений
неравенства (1).
2. В системе из теоремы 1 можно опустить первое неравенство, так как оно следует из
второго и третьего. Аналогично в системе из теоремы 2 можно опустить второе
неравенство.
2x2  4x  6
 1 .
Пример 17. Решить неравенство log 1
4
x

11
2
Решение. 1) Так как
 1  log 1 2 , то первоначальное неравенство можно переписать так:
2
2x  4x  6
 log 1 2 . По теореме 2 это неравенство равносильно системе неравенств:
4 x  11
2
2
log 1
2
 2x 2  4x  6
0

4 x  11
 2
 2x  4x  6  2
 4 x  11
2) Решив систему неравенств, получим [2; 2,75)  [4; +  ).
Ответ: [2; 2,75)  [4; +  ).
Пример 18. Решить неравенство log x 2  log 2 x 2  log 4 x 2 .
Решение. 1) Найдем область допустимых решений неравенства, для чего решим систему
x  0
1
1

неравенств: 2 x  1  x  0, x  , x  .
2
4
4 x  1

2) Используя свойства логарифма, в первоначальном уравнении перейдем к логарифмам с
log 2 2 log 2 2
log 2 2


основанием 2 (см. свойства в начале статьи):
или
log 2 x log 2 (2 x) log 2 (4 x)
1
1
1


.
log 2 x 1  log 2 x 2  log 2 x
1 1
1

3) Введем новую переменную t  log 2 x . Тогда уравнение примет вид: 
.
t t 1 t  2
4) Решая полученное дробно-рациональное неравенство, найдем t  2 ,  2  t  1 ,
0t  2 .
5) Таким образом решение первоначального логарифмического неравенства свелось к
log 2 x  2

решению совокупности логарифмических неравенств:  2  log a x  1


0  log a x  2
1

x  4

 1  x  1 . Учитывая область допустимых значений первоначального неравенства
2 2
2

2
1  x  2

1
1
1
имеем: 0  x  ;
 x  ; 1 x  2 2 .
2
4
2
2
 1  1 1
Ответ:  0;    2 ;   1; 2 2 .
2
 4 2
Контрольные задания
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием для учащихся 10
классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу
680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно
набрать не менее 25 баллов (каждая правильно решенная задача оценивается в 3 балла)
Решить уравнения

3
М10.3.1.  
4
x 1

1
 4x 9
  
16
3
М10.3.2. 212 x 1  4 6 x 1  8 4 x 1  1536
М10.3.3. 9 x  6 x  2 2 x1
М10.3.5. log
2
x 2  4x  3
 2
4
М10.3.6. log 4 2 log 3 1  log 2 1  3 log 3 x  
М10.3.7. log x (125 x)  log 225 x  1
x
М10.3.4. 3 x  8 x  2  6
Решить неравенства:
М10.3.9. log 2 ( x  3)  log 2 ( x  2)  1
М10.3.8. log 4 x  log x 2  log 4 x  1
М10.3.11. 2 4 x  2 3 x1  2 2 x  2 x1  2  0
1
1
 x 1
М10.3.10. log 1 ( x  3)  log 1 ( x  3)  log x 3 2  0 М10.3.12. x
3  5 3 1
2
2
x 3
1
2