В 12. Задачи на движение по воде. 1. Из пункта А в пункт В вниз

В 12.
Задачи на движение по воде.
1. Из пункта А в пункт В вниз по течению реки отправились одновременно моторная
1
лодка и байдарка. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Последнюю часть пути
7
моторная лодка шла с выключенным мотором, и её скорость относительно берега
была равна скорости течения. На той части пути, где моторная лодка шла с
включённым мотором, её скорость была на 2 км/ч больше скорости байдарки.
Найдите скорость байдарки в неподвижной воде, если в пункт В байдарка и
моторная лодка прибыли одновременно.
Решение:
Пусть х км/ч - скорость байдарки.
v(км/ч)
Моторная лодка
х+5
t(ч)
6S
7 x  5
Байдарка
S
73
S
x3
х+3
6S
S
S


7( x  5) 21 x  3
S(км)
s
s
разделим на S.
6
1
1


7( x  5) 21 x  3
НОЗ=21(Х+5)(Х+3)
18( x  3)  ( x  5)( x  3)  21( x  5)
18 x  54  x 2  3x  5 x  15  21x  105
x 2  5 x  36  0
D  169.
x1  4
x2  9
(не удовлетворяет условиям задачи)
Ответ: скорость байдарки 4 км/ч.
2. Катер, собственная скорость которого равна 15 км/ч, прошел 60 км по реке от
данной пристани до другой и вернулся обратно. За это же время спасательный круг,
упавший за борт с катера, проплывает 25 км. Найдите время движения катера вверх
по реке.
1
Решение:
В данной задаче основные скорости – собственная скорость катера, равная 15 км/ч, и
скорость течения, которая не дана. Обозначим скорость течения за x км/ч.
60
Тогда на путь по течению катер со скоростью (15+x) км/ч затратил
ч, а на путь
15  x
60
против течения катер со скоростью (15-x) км/ч затратил
ч.
15  x
25
Спасательный круг проплывает 25 км по течению реки за
км/ч. Учитывая, что по
x
условию задачи на путь туда и обратно катер затратил такое же время, за какое
спасательный круг проплывает 25 км, составим уравнение:
60
60
25

 .
15  x 15  x
x
Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 5 и получим
12
12
5

 .
15  x 15  x x
Так как по условию задачи 0<x<15, то есть знаменатели всех дробей в уравнении
отличны от нуля, умножим обе части уравнения на (15+x)(15-x)x и получим уравнение,
равносильное данному:
(12(15-x)+12(15+x))x=5(15+x)(15-x).
Приведем полученное уравнение к квадратичному:
x 2  72 x  225  0.
D1  362  225  32 122  25  32  132  392 , x  36  39.
Уравнение имеет единственный положительный корень x=3, отрицательный корень не
удовлетворяет условию задачи.
Итак, скорость течения реки равна 3 км/ч. Далее узнаем время движения вверх по реке:
60
 5(ч).
15  3
Ответ: 5.


3. Лодка прошла 10 км по течению реки, а затем 4 км против течения, затратив на
весь путь 1 час 40 минут. Собственная скорость лодки была постоянная во время
всего пути и равна 8 км/ч. Определите максимально возможное значение (в км/ч),
которое может иметь скорость течения реки.
Решение:
10
4
5


Пусть х км/ч- скорость течения реки, тогда
8 x 8 x 3
2
5 x  18 x  16  0
D4
х1  1,6
х2  2
Ответ: 2.
1.1. Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления,
затратив на обратный путь на 6 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите
скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в
км/ч.
Ответ: 9
2
1.2. Моторная лодка прошла против течения реки 195 км и вернулась в пункт
отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в
неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 14
1.3. Моторная лодка прошла против течения реки 195 км и вернулась в пункт
отправления, затратив на обратный путь на 2 часов меньше, чем на путь против течения.
Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 14 км/ч. Ответ
дайте в км/ч.
Ответ: 1
1.4. Лодка в 5:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в
пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00. Определите (в
км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4
км/ч.
Ответ: 1
1.5. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в
пункте В 45 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в
км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7
км/ч.
Ответ: 3
1.6. Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в
пункте В 2 часа 30 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00.
Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость
катера равна 11 км/ч.
Ответ: 1
1.7. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а
через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился
второй. Расстояние между пристанями равно 180 км. Найдите скорость первого
теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 12
1.8. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а
через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился
второй. Расстояние между пристанями равно 238 км. Найдите скорость первого
теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 14
3
1.9. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а
через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился
второй. Расстояние между пристанями равно 130 км. Найдите скорость второго теплохода,
если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 13
1.10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 560 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если
скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход
возвращается через 56 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 24
1.11. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 315 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в
неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход
возвращается через 42 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 3
1.12. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в
неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход
возвращается через 36 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 3
Задачи на движение по суше.
2.1. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной
скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей
скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 78 км/ч, в
результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость
первого автомобилиста, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 52
2.2. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной
скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 27 км/ч, а
вторую половину пути проехал со скоростью, на 18 км/ч большей скорости первого, в
результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость
первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 36
2.3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали
автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 110 км
больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он
прибыл в пункт В на 5,5 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 1
4
2.4. Два велосипедиста одновременно отправляются в 154 -километровый пробег. Первый
едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй и прибывает к финишу на 3 ч раньше
второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в
км/ч.
Ответ: 11
2.5. Два велосипедиста одновременно отправились в 99-километровый пробег. Первый
ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа
раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ
дайте в км/ч.
Ответ: 9
2.6. Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый пробег. Первый
ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа
раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ
дайте в км/ч.
Ответ: 10
2.7. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние
между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на
7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 ч. В результате он затратил на
обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость
велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 7
2.8. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние
между которыми равно 63 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на
2 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 2 ч. В результате он затратил на
обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость
велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 7
2.9. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние
между которыми равно 154 км. На следующий день он отправился обратно в А со
скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 ч. В результате
велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В.
Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 14
Задачи на производство.
3.1. На изготовление 16 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем
второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за
час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Ответ: 5
5
3.2. На изготовление 63 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем
второй рабочий на изготовление 72 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за
час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Ответ: 8
3.3. На изготовление 99 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем
второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за
час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Ответ: 10
3.4. Первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает
работу над заказом, состоящим из 713 деталей, на 8 часов раньше, чем второй рабочий
выполняет заказ, состоящий из 837 таких же деталей. Сколько деталей делает в час
первый рабочий?
Ответ: 31
3.5. Первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй рабочий, и заканчивает
работу над заказом, состоящим из 575 деталей, на 2 часа раньше, чем второй рабочий
выполняет заказ, состоящий из 600 таких же деталей. Сколько деталей делает в час
первый рабочий?
Ответ: 25
3.6. Первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает
работу над заказом, состоящим из 391 деталей, на 6 часов раньше, чем второй рабочий
выполняет заказ, состоящий из 460 таких же деталей. Сколько деталей делает в час
первый рабочий?
Ответ: 23
3.7. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба.
Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375
литров она заполняет на 10 минут раньше, чем первая труба заполняет резервуар объемом
500 литров?
Ответ: 25
3.8. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько
литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 420 литров она
заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 399
литров?
Ответ: 20
3.9. Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько
литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 425 литров она
заполняет на 8 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 525 литров?
Ответ: 2
6
3.10. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй.
Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает
на 1 деталь больше?
Ответ: 10
3.11. Заказ на 182 детали первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй.
Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает
на 1 деталь больше?
Ответ: 13
3.12. Заказ на 195 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй.
Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает
на 2 детали больше?
Ответ: 13
Задачи на сплавы и смеси
В первом сплаве меди в четыре раза больше, чем цинка, а во втором сплаве – в 4
раза меньше. Из этих двух сплавов требуется получить 20 кг третьего сплава, в
котором медь составляет 35%. Сколько килограммов первого сплава требуется
для этого взять.
Решение:
1 сплав:
Всего 5x
2 сплав:
Всего 5у
Получен третий сплав, в котором всего 20 кг
Уравнение:
5х+5у=20
Медь - 35% - ? кг
Всего - 100% - 20кг
Медь =
= 7кг
4x+y=7
x+7– 4x=4
x=1
1спл. = 5х = 5 (кг)
Ответ: 5
4.1. К 200 граммам сиропа, содержащего 25% сахара, добавили 75 граммов воды и
некоторое количество сахара. После перемешивания получили сироп, содержащий
28% сахара. Определите, сколько граммов сахара было добавлено.
Ответ: 37,5
7
4.2. В бидон налили 3 литра молока 6% жирности, некоторое количество молока 2%
жирности и тщательно перемешали. Определите, сколько литров молока 2% жирности
было налито в бидон, если известно, что жирность молока, полученного после
перемешивания, составила 3,2%.
Ответ: 7
4.3. Два слитка массой 7кг и 3кг, состоящих из серебра и примесей других металлов,
переплавили в один слиток. Определите процентное содержание серебра в полученном
слитке, если известно, что меньший по весу слиток содержал 90% серебра, а больший
– 85%.
Ответ: 86,5
4.4. Чтобы приготовить молочный коктейль, в миксер положили 200г мороженого
жирностью 10% и добавили 300г молока 6% - ой жирности. Определите жирность
полученного коктейля (в процентах).
Ответ: 7,6
Задачи на совместную работу.
1. Одна труба подаёт в бассейн 1 м3 воды на 4 мин быстрее, чем другая. Сколько
кубических метров воды подаст вторая труба за 5 ч, если она подаёт за это время на
100 м3 воды меньше, чем первая?
Решение:
x
ч, тогда вторая
Пусть первая труба подаёт в бассейн 1 м3 воды за Х мин, то есть за
60
x4
ч.
труба подаёт в бассейн 1 м3 воды за (х+4)мин, то есть за
60
60 3
м воды, а вторая труба подаёт
Это означает, что за 1 ч первая труба подаёт в бассейн
x
60 3
м воды.
в бассейн
x4
60 3
60 3
100 3
м больше, чем
м на
м .
По условию задачи
x
x4
5
Составим и решим уравнение
60
60

 20
x x4
Разделим обе части уравнения на 20 и решим его:
3
3

1
x x4
3( x  4)  3 x  x( x  4)
0
x ( x  4)
 x 2  4 x  12  0,

 x( x  4)  0;
 x 2  4 x  12  0

 x ( x  4)  0
 x  6; или  x  2;

 x ( x  4 )  0.
8
Так как по условию задачи значение х должно быть положительным, то х=2. тогда вторая
труба подаёт в бассейн 1 м3 воды за 6 мин, за 1 час она подаёт в бассейн 10 м3 воды, а за 5
ч  50м3 воды.
Ответ: 50
2. Бак заполняют керосином за 2 часа 30 минут с помощью трёх насосов,
работающих вместе. Производительности насосов относится как 3:5:8. сколько
процентов объёма будет заполнено за 1 час 18 минут совместной работы второго и
третьего насосов?
Решение:
Так как объём бака не указан, то примем его за 1. Пусть коэффициент
пропорциональности равен Х, тогда производительности насосов равно 3Х,5Х,8Х. И
1
1

время наполнения бака при совместной работе всех трёх насосов равно
3 x  5 x  8 x 16 x
или, по условию задачи, 2 часа 30 минут.
1
1
 2,5; x 
Решим уравнение
.
16 x
40
1
1
5  .
Производительность второго насоса равна
40
8
1
1
8  .
Производительность третьего насоса равна
40
5
1 1 13
Совместная производительность второго и третьего насосов равна  
.
8 5 40
13 18 13
16,9
1 
 1,3 
 0,4225
За 1 час 18 минут второй и третий насосы наполнят
40 60 40
40
объёма бака.
Итак, при совместной работе второго и третьего насосов за 1 час 18 минут будет
заполнено 0,4225  100%  42,25% объёма бака.
Возможна запись:
1
1

;
3 x  5 x  8 x 16 x
1
1
 2,5, x  .
16 x
40
1
1
5  .
Производительность II насоса равно
40
8
1
1
8  .
Производительность III насоса равно
40
5
1 1 13
Совместная производительность II и III насосов равно   .
8 5 40
13 18 13
16,9
1 
 1,3 
 0,4225 объёма бака.
За 1 час 18 минут II и III насосы наполнят
40 60 40
40
Ответ: 42,25.
Задачи на проценты.
1. Цена некоторого товара была сначала повышена на 10%, затем ещё на 120 рублей
и, наконец, ещё на 5%. Какова была первоначальная цена товара, если в результате
повышение составило 31,25%.
9
Решение:
Пусть S рублей – первоначальная цена товара. После первого повышения она стала
11
 11

S рублей, затем стала равной  S  120  рублей и, наконец, после последнего
равной
10
 10

 11
 105
повышения стала равной  S  120  
рублей.
 10
 100
3125 
 11
 105 
 1 
Составим уравнение:  S  120  
S.
 10
 100  10000 
Получим:
3125 
 11
 105 
 1 
 S  120  
 S  1,155S  126  1,3125  0,1575S  126  S  800
 10
 100  10000 
Таким образом, первоначальная цена товара составляла 800 рублей.
Ответ: 800.
10