ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В СВЯЗИ МЕЖДУ ОСЦИЛЛЯТОРАМИ С НЕЛИНЕЙНОЙ АМПЛИТУДНОЙ ДИНАМИКОЙ* Сидак Е.В.1#, Безручко Б.П.1,2, Смирнов Д.А.1,2 1 Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского 2 Саратовский филиал института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова, Саратов, Россия Задача выявления времени запаздывания во взаимодействии между колебательными системами по их сигналам возникает в различных областях науки техники, от радиофизики [1-3] до медицинской техники [4]. Методика интервальной оценки времени запаздывания, основанная на экспериментальном моделировании наблюдаемой фазовой динамики с учетом автокорреляционных свойств фазовых шумов, предложена в работе [3]. Ее эффективность была проиллюстрирована на эталонных осцилляторах, как с белыми, так и с цветными гауссовыми шумами, что обосновало ее перспективность при анализе коротких зашумленных сигналов в широком круге ситуаций. Однако, для маломерных нелинейных автоколебательных систем в хаотических или сильно возмущенных периодических режимах предполагаемое условие независимости шумов от значений фаз может нарушаться из-за того, что на фазы существенно влияет нелинейная динамика амплитуд, на которую в свою очередь влияют фазы, что меняет статистические свойства «эффективного шума» в фазовой динамике (например, [5]). В данной работе проводится исследование применимости известного метода оценки запаздывания связи в таких условиях, что важно для обеспечения его надежности при практическом применении. Развиваются способы диагностики проблематических ситуаций и устранения возможных ошибок при оценивании времени запаздывания. * Работа поддержана РФФИ (гранты 14-02-31129-мол-а, 14-02-00492-а), грантом Президента РФ (грант для поддержки ведущих научных школ НШ1726.2014.2) # [email protected] ИЗВЕСТНАЯ ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ [3]. По имеющимся временным рядам x1 (t ) и x2 (t ) одним из известных методов [6] рассчитываются временные ряды фаз колебаний 2 (t1 ),..., 2 (t N ) , 1 (t1 ),..., 1 (t N ) и где t i it , t – интервал выборки, N – длина ряда. Ограничиваясь фазовым описанием [1,7] и используя дискретное время, для оценки воздействия первого осциллятора на второй строят модель в виде разностного стохастического уравнения (для оценки «в обратную сторону» все аналогично): 2 (t ) 2 (t ) F2 (2 (t ), 1 (t )) 2 (t ), (1) где приращения фазы берутся на интервале фиксированной длины (параметр метода), 2 – фазовый шум, проинтегрированный на интервале шириной , – пробное время запаздывания, F2 – тригонометрический многочлен, коэффициенты которого определяются путем минимизации S 2 ( ) ˆ22 (ti ) , где ˆ2 (ti ) 2 (ti ) 2 (ti ) F2 (2 (ti ), 1 (ti )) , усреднение по t i . Затем угловые скобки означают S 2 () минимизируется по , что дает точечную оценку времени запаздывания связи ˆ min 2 , где min arg min S 2 () . 2 ˆ 22 2 Дисперсия ̂ оценивается как ˆ N 1 d 2 S () 2 , где ˆ 2 min S ( ) , 2 2 d2 min N – «эффективное число степеней свободы» N Nt / L , L max[ T , ] , T – время спадания автокорреляционной функции шума 2 до величины 0.2, вторую производную оценивают путем аппроксимации графика S 2 ( ) квадратичной параболой в окрестности min . Итоговая интервальная оценка времени запаздывания (95%-ный интервал) имеет вид ˆ 1.96̂ . ОШИБКИ ОЦЕНКИ ИЗ-ЗА ВЛИЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ АМПЛИТУДНОЙ ДИНАМИКИ. Для исследования эффективности описанного метода в более общей ситуации, чем фазовые осцилляторы с белыми или цветными шумами [3], рассмотрим систему связанных осцилляторов Ресслера, в которых свойства эффективных фазовых шумов определяются влиянием амплитуды и «третьей» координаты z и могут быть весьма нетривиальными [1,5]: x1 (t ) 1 y1 (t ) z1 (t ) 1 , x2 (t ) 2 y2 (t ) z2 (t ) ( x1 (t 0 ) x2 (t ) ) 2 , (2) y1 (t ) 1 x1 (t ) ay1 (t ), y 2 (t ) 2 x2 (t ) ay2 (t ), z (t ) b z (t )(r x (t )); z (t ) b z (t )( r x (t )). 1 1 2 2 1 2 Здесь 1, 2 – белые шумы с автоковариационными функциями k (t )k (t ) Dk (t t ) , коэффициент связи 0.05 . Время запаздывания принималось равным 0 12 , угловые частоты 1 1.015, 2 0.985 , a 0.1 , b 0.1, параметр r менялся в широком диапазоне, обеспечивая различные динамические режимы [8], от цикла периода один через каскад бифуркаций удвоения периода до хаоса. При каждом наборе значений параметров методом Эйлера генерировалось 100 пар временных рядов и подсчитывалась частота f err ложных выводов о величине запаздывания, т.е. таких ситуаций, когда 0 не принадлежит интервалу ˆ 1.96̂ . Оценка применима, если вероятность ложных выводов не больше 0.05, т.к. доверительный интервал – 95%-ный. Рис.1. Частота ложных выводов в зависимости от уровня шума в ведущей системе в (2) при D2 0.089 , 0.05 , N=100 периодов: a) - в периодическом режиме ( a 0.1 , b 0.1 , r=4), b) – в хаотическом режиме( a 0.1 , b 0.1 , r=10), на вставках – графики S2 () для отдельных временных рядов: a) левая – для с) левая – для D1 0.2 , D2 0.089 , правая – для D1 0.5 , D2 0.089 , правая – для D1 3 , D2 0.089 ; D1 3 , D2 0.089 , вертикальный пунктир означает истинное время запаздывания 0 . На рис.1. приведены результаты оценки времени запаздывания связи в системе (2) для периодического (r = 4) и хаотического (r=10) режимов по временным рядам длиной 2000 точек (100 характерных периодов). На рис.1 можно выделить «благополучные» случаи, где исследуемый метод обеспечивает вероятность ошибочных выводов не более 5%: это возмущенный периодический режим при D1 0.7 (рис.1.a) и возмущенный хаотический режим при D1 0.6 (рис.1.b). При меньших значениях уровня шума f err превышает 5%-ный уровень. Диагностировать эту ситуацию предлагается по графику S 2 () , который не демонстрирует одного четко выраженного минимума (левая вставка, рис.1,a,b) в отличие от «благополучной» ситуации на правой вставке. Аналогичные результаты наблюдаются при других способах введения связи и других значениях параметров системы Ресслера, а также для системы Лоренца, где свойства эффективных фазовых шумов определяются также влиянием амплитуд и могут быть весьма нетривиальными. Перспективной запаздывания в идеей таких для случаях получения более представляется надежных отказ от оценок локальной аппроксимации графика параболой и грубая оценка ширины глобального минимума. Используя в качестве интервальной оценки ширину минимума на уровне середины между минимальным и максимальным значением S 2 () , мы получили вероятность ошибочных оценок менее 0.05 во всех рассмотренных случаях за счет некоторого уширения доверительного интервала. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Пиковский А.С., Розенблюм М.Г., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление, Москва.: Техносфера, 2003. 2. Cimponeriu L., Rosenblum M., Pikovsky A. // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. P. 046213. 3. Сидак Е.В., Смирнов Д.А., Безручко Б.П.// Письма в ЖТФ. 2014. Т. 40. В. 20. С. 104-110. 4. P. Tass, D. Smirnov, A. Karavaev et al // J. Neural Eng. 2010. V. 7. 016009. 5. Smirnov D., Sidak E., Bezruchko B. // Eur. Phys. J. Special Topics, 2013. V. 222. P. 2441-2451. 6. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. // Int. J. Bifurc. Chaos. 2000. V. 10. P. 2291-2305. 7. Kuramoto Y. // Chemical Oscillations. Waves and Turbulence. Berlin. SpringerVerlag, 1984. 8. В.С. Анищенко, Т.Е. Вадивасова, Г.А. Окрокверцхов, Г.И. Стрелкова // Успехи физических наук. 2005. Т. 175. С.163-179.