быстродействующий адаптивный наблюдатель в системе

БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИЙ АДАПТИВНЫЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ
В СИСТЕМЕ КОМПЕНСАЦИИ НЕИЗВЕСТНОГО
ЗАПАЗДЫВАНИЯ
Настоящая работа посвящена построению системы компенсации неизвестного
запаздывания. Наличие большого запаздывания, как известно [1], отрицательно сказывается
на работоспособности системы управления.
Для компенсации неизвестного запаздывания разработана адаптивная система,
состоящая из быстродействующего адаптивного наблюдателя, вычисляющего оценки
неизвестных параметров и запаздывания системы управления, и прогнозатора Смита,
компенсирующего это запаздывание.
Центральным моментом работы является построение алгоритма быстродействующего
адаптивного наблюдателя для оценивания неизвестного запаздывания, так как прогнозатор
Смита применим лишь в тех случаях, когда запаздывание априори известно. Этот алгоритм
основан на использовании метода настраиваемой модели. Суть алгоритма изложена ниже.
Пусть
поведение интересующего
дифференциальным уравнением:
нас
объекта
(
x t )  a1x ( t )  a 0 x( t )  a 4 u( t   2 ) ,
описывается
следующим
(1)
x( t 0 )  0 ; x ( t 0 )  0.
Здесь a1=3, a0=2 - известные постоянные коэффициенты; a 4 ,  2 - неизвестные
постоянные. Тогда структурная схема соответствующего процесса управления будет иметь
вид, представленный на рис. 1. Здесь приборному измерению доступны вход xd(t) и выход
x(t) системы управления.
Построим
быстродействующий адаптивный наблюдатель для идентификации
неизвестных параметров системы a 4 ,  2 , а также прогнозатор Смита для компенсации
запаздывания  2 , после чего будем подставлять получаемые наблюдателем оценки a 4 ,  2 в
прогнозатор.
xd(t)
u(t)
r(t)
KC
a 4 e  2s
(s  1)(s  2)
x(t)
–
Рис 1. Система управления для объекта с неизвестным запаздыванием.
b4 e  2 s
( s  1)( s  2)
y(t)
Адаптивный наблюдатель
b4 ,  2 –
v(t)
b4 1  e  2 s 
Блок
настройки
параметров
( s  1)( s  2)
e(t
)+
Прогнозатор Смита
–
xd(t)
 s
u(t) a4 e
2
r(t)
x(t)
( s  1)( s  2)
KC
–
Рис. 2. Адаптивная система компенсации неизвестного запаздывания.
На каждом из подынтервалов времени функционирования системы Jj настраиваемую
модель опишем следующими уравнениями:
(
y t )  a 1 y ( t )  a 0 y( t )  b 4 u( t   2 ), t J j ,
y( t j0 )  0, y ( t j0 )  0
(2)
,
где b 4 , 2 - параметры модели, настраиваемые соответственно на параметры a 4 ,  2
объекта (1).
Введем ошибку e(t) = x(t) - y(t).
Конечная структурная схема системы управления с адаптивным наблюдателем и
прогнозатором Смита показана на рис. 2.
Система уравнений для выходного сигнала прогнозатора Смита v(t) и входного сигнала
объекта, прогнозатора и наблюдателя u(t):
v.. ( t )  a v. ( t )  a v( t )  b u( t )  b u( t   ),
1
0
4
4
2

u( t )  K C r ( t ),
r ( t )  x ( t )  v( t )  x( t ).
d

Уравнение для ошибки e(t) будет иметь вид (вычитаем (2) из (1) и линеаризуем правую
часть):
(
e t )  a 1e( t )  a 0 e( t )   3 u( t )   4 u ( t ) ,
(3)
где  3  a 4  b 4 ,  4    2 a 4   2 b 4 .
Приведем (3) к системе уравнений первого порядка. Положим
e1 ( t )  e( t ),
e 2 ( t )  e( t )  a 1e( t )   4 u( t ).
Тогда в векторной форме уравнение (3) будет иметь вид
 e 1 ( t )    a 1


 e 2 ( t )   a 0
1  e 1 ( t )   0

 
0  e 2 ( t )  u( t )
+
u ( t )   3 
 
0  4
(4)
или в краткой форме
e ( t )  Ae( t )  Z( t ) ,
 =  3
где e( t )  (e1 ( t ), e 2 ( t )) ,
T
4 
Т
  a1

a
, A=  0
1

0
 0

u( t )
, Z= 
u ( t )

0 
.
Решением (4) будет
 e1 ( t )    11 ( t )  12 ( t )



 e 2 ( t )   21 ( t )  22 ( t )
 e1 ( t j0 )   R 11


 e 2 ( t j0 )  R 21
R 12    3 
  
R 22    4 
(5)
или в краткой форме
e ( t )  ( t ) e ( t j 0 )  R ( t )  ,
  11 ( t )  12 ( t )


 ( t )  22 ( t )
где Ф(t)=  21
, R(t)=
 R 11

 R 21
R 12 

R 22 
- решения уравнений
 ( t )  A( t ), ( t )  E;

j0
(6)
 ( t )  AR( t )  Z( t ), R( t j0 )  0
R
.
(7)
Перепишем первую строку системы (5) в виде
w( t )  q T ( t )(    j1 ),
(8)
где
w( t )  e1 ( t )  11 ( t )e1 ( t j0 ),
q T ( t )  (  12 ( t ), R 11 ( t ), R 12 ( t ) ),
   j1  ( e 2 ( t j0 ),  3 ,  4 ) Т
.
T
Здесь w(t) и q ( t ) - известные величины для любого t; вектор  содержит неизвестные
параметры объекта, а векторы j (j=0,l,...,N-l) являются функциями перестраиваемых
параметров эталонной модели b 4 , 2 .
Набирая данные на каждом из подынтервалов Jj в моменты времени tj1,...,tjm, образуем
из (8) алгебраическую систему вида
w( t ji )  q T ( t ji )(    j1 ), i  1,, m
или в матричной форме
d j  Q j (    j1 ).
(9)
Число m выбирается так, чтобы уравнений в (9) было не меньше числа неизвестных
параметров. В данном случае m больше или равно 3.
Решение алгебраической системы (9) при этом записывается в виде
   j1  Q j d j
где
Q j
(10)
- псевдообратная матрица.
Изменение параметров j при переходе от подынтервала Jj к Jj+1 осуществляется по
рекуррентной формуле
 j1   j  tQ j1d j1
,
(11)
где =diag(1,....,3) - вещественная диагональная матрица, все числа i>0. Можно
показать [2], что этот процесс перестройки параметров сходится экспоненциально, т.е.
значения перестраиваемых параметров модели b 4 ,  2 сходятся к значениям неизвестных
параметров объекта a 4 ,  2 .
Таким образом, для того, чтобы идентифицировать постоянные неизвестные параметры
a 4 ,  2 объекта (1), параметры настраиваемой модели (2) b 4 ,  2 следует изменять с помощью
алгоритма, который описывается уравнениями (6)-(11).
Было проведено численное моделирование этой системы на ЭВМ в среде MATLAB 5.2.
Результаты компьютерного моделирования подтверждают эффективность разработанного
алгоритма.
Предлагаемый алгоритм адаптивного наблюдателя обладает важными для практики
свойствами: заданной длительностью переходного процесса по параметрам и запаздыванию;
отсутствием взаимного влияния переходных процессов настройки в разных параметрических
каналах и практической независимостью времени переходных процессов по параметрам и
запаздыванию от изменения амплитуды входных и выходных сигналов.
Список литературы
[1] Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. Пер. с
польского. - М.: Машиностроение, 1974.
[2] Копысов О.Ю., Прокопов Б.И. Построение алгоритма перестройки параметров и
запаздывания в методе настраиваемой модели. М.: МГИЭМ, 1999.
3. А.В. Старосельский, Московский Государственный Институт Электроники и
Математики, быстродействующий адаптивный наблюдатель в системе компенсации
неизвестного запаздывания