3. спектры сигналов с амплитудной модуляцией. прохождение

3. СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ С АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ.
ПРОХОЖДЕНИЕ АМ-СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
 Основные расчётные соотношения
1). Сигнал с амплитудной модуляцией (АМ):
sАМ(t) = U0(1 + m(t))cos(0t + 0),
где m – коэффициент модуляции, характеризует максимальное отклонение
амплитуды, 0 < m < 1;
(t) – нормированное сообщение, –1 < (t) < 1.
2). Спектр АМ-сигнала при однотональной модуляции, (t) = cos t
(рис. 3.1) вычисляется перемножением косинусов:
sАМ(t) = U0 (1 + m cos t)cos (0t + 0) =
= U0cos(0t + 0) + U0 m cos t cos (0t + 0) =
= U0cos(0t + 0) + (1/2) m U0cos((0 – )t + 0) + (1/2) m U0cos((0 + )t + 0) =
uнес(t) + uнб(t) + uвб(t).
u нес (t )  U 0 cos (ω 0 t  φ 0 );
U 0m
cos ((ω 0  )t  φ 0 );
2
U m
u вб (t )  0 cos ((ω 0  )t  φ 0 ).
2
Ширина спектра c = 2.
u нб (t ) 
U
0
(1/2)mU
(1/2)mU
0
0

 - 


Рис. 3.1. Амплитудный спектр АМ-сигнала при однотональной модуляции
3). Спектр сигнала при сложном модулирующем колебании,
(t) =

i
i
cos  i t .
sАМ(t) = U0 (1 +
 m cos  t )cos (0t + 0) =
i
i
i
= U0cos(0t + 0) + U0
 m cos  t cos (0t + 0)
i
= U0cos(0t + 0) +
i
i
+ (1/2) U0  mi cos((0 – i)t + 0) + (1/2) U0
i
m
cos((0 + i)t + 0).
i
i
Ширина спектра c = 2в , где в
модулирующего сигнала
– верхняя частота спектра
 Примеры решения задач
Задача 3.1
АМ-сигнал подаётся на вход резонансного усилителя. Параметры
сигнала:
- частота модулирующего сигнала  = 23103 рад/с,
- коэффициент модуляции m = 1/3,
- амплитуда сигнала U0 = 10-4 В.
Параметры усилителя:
- коэффициент передачи
K0
K ( jω) 
,
1  j (ω  ω 0 ) τ к
К0 = 100,
- резонансная частота контура 0 = 2106 рад/с,
- постоянная времени контура к определяется из соотношения
к = 1.
Найти коэффициент модуляции сигнала на выходе усилителя.
Решение
1. Определим коэффициент передачи усилителя на частотах несущей и
боковых составляющих.
K ( jω 0 )  K 0  100;
K ( j (ω 0  ) 
K ( j (ω 0  Ω) 
K0
1   (ω 0  (ω 0  ))
2
2
K0
1  τ (ω 0  (ω 0  Ω))
2
2


100
1  ( τΩ )
2
100
1  ( τΩ )
2


100
11
2
100
11
2

100

100
2
2
;
.
2). Определим напряжения на выходе усилителя для несущей и боковых
составляющих.
2
Uнес = U0 ‫׀‬K(j0)‫ = ׀‬10-2 (В)
1 1
10 2
 4 100

Uнб = (1/2) m U0 ‫׀‬K(j(0 - )‫ = ׀‬  10
(В).
2 3
2 6 2
1 1
100 10 2

Uвб = (1/2) m U0 ‫׀‬K(j(0 + )‫ = ׀‬  10 4
(В).
2 3
2 6 2
3). Определим коэффициент модуляции сигнала на выходе усилителя.
U нб  U вб
2 10 2
1
m1 


.
2
U нес
6 2 10
3 2
 Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.2
Сигнал s(t) с АМ поступает на вход усилителя с полосовым фильтром
Баттерворта, коэффициент передачи которого имеет вид (при ω0 >> ωc):
K ( jω) 
K0
 ω  ω0   ω  ω0 
   j

1  j 2 
ω c 
 ωc  
2
,
где K0 = 50 – коэффициент передачи усилителя на несущей частоте сигнала ω 0,
совпадающей с частотой настройки фильтра;
ω c = 2π 2  103 с-1 – частота среза фильтра.
π
π
s(t )  U 0 (1  m cos(  t  )) cos(  0 t  ) ,
6
3
3 -1
-4
где m = 0,5; Ω = 2π 10 с ; U0 = 10 В.
Найти спектр сигнала на входе и выходе усилителя и закон изменения
огибающей сигнала.
Задача 3.3
Сигнал s(t) с АМ поступает на вход усилителя с полосовым фильтром
Баттерворта. Коэффициент передачи усилителя приблизительно равен:
K ( jω) 
K0
2ΔΔ
 jω   jω 
1 j
 2
 
ωc
 ω   ω c 
2
3
,
где К0 = 40 – коэффициент передачи усилителя на частоте настройки фильтра ω0;
Δ ω = ω - ω 0 – расстройка сигнала относительно частоты 0= 2π*105 *с-1;
ωс = 2π 3 103 с-1– частота среза фильтра.
π
s (t )  U 0 (1  0.8 cos 1t  0.2 cos  2 t ) cos(ω 0 t  ) ,
2
-1
где Ω1 = 2π 1500 с ;
Ω2 = 2π 2 103 с-1;
U0 = 2 10-4 В.
Найти амплитудный спектр сигнала на входе и выходе усилителя.
3
Задача 3.4
Найти закон изменения огибающей сигнала на выходе избирательного
усилителя при условии, что сигнал и усилитель имеют параметры, приведенные в
задаче 3.3.
Задача 3.5
Сигнал s(t) с АМ поступает на вход усилителя с полосовым фильтром.
Коэффициент передачи избирательного усилителя описывается равенством:
K ( jω) 
K0
2ω  jω 

1  jξ

ω c  ω c 
2
,
где K0 = 103 – коэффициент передачи усилителя на частоте настройки фильтра 0;
Δ ω = ω - ω 0 – расстройка сигнала относительно частоты ω0 = 2π 106 с-1;
ωс = 2π 104 – частота среза фильтра.
π
π
s (t )  U 0 (1  0.8 cos( t  )) cos(ω 0 t  ) ,
4
6
2π
10 4 с-1, ξ = 0,5.
2
Найти амплитудные спектры входного и выходного сигналов. Рассчитать
относительный уровень энергии боковых составляющих спектра по отношению к
энергии несущей для входного и выходного сигналов.
где  
Задача 3.6
Найти закон изменения огибающей сигнала на выходе усилителя,
параметры которого приведены в задаче 3.5. Параметры входного сигнала взять
такими же, как в задаче 3.5.
4