ТЕМА 3 ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.Понятие функции. Способы задания функций. 2.Числовая последовательность. 3.Простейшие свойства функций. Понятие функции. Способы задания функции Функция – одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Слово «величина» здесь понимается в самом широком смысле: это может быть элемент любого множества. Ограничимся пока случаем, когда переменные величины принадлежат множеству действительных чисел. В случае, когда переменные величины есть действительные числа, то говорят о действительной функции одной или нескольких действительных переменных. Понятие функции одной переменной определяется следующим образом. Определение: Пусть каждому числу x из заданного множества E R поставлено в соответствие число на множестве E y R , обозначаемое y f x . Тогда говорят, что задана функция y f x , x E. Величина x называется независимой переменой или аргументом, величина y - зависимой переменной или функцией. Множество E возможных значений независимой переменной x называется областью определения или областью задания функции. Слова «поставлено в соответствие» означают, что указан определенный способ, по которому для каждого xE находится значение y R . Когда употребляют термин функция, то подразумевается однозначная функция. Т.е. такое соответствие, при котором каждому значению xE соответствует только одно значение y . Возможны различные способы задания функции – табличный, графический, аналитический, алгоритмический. При табличном способе задания функция задается в виде таблицы, в которой для каждого значения аргумента указывается соответствующее ему значение функции. Пример 3.1 Таблица квадратов чисел 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 y x Графиком функции y f x , x E. плоскости с прямоугольными координатами 16 называется x, y , где множество xE, y f x. точек y Пример 3.2 y x2 x Рис.3.1 В научных и технических задачах наиболее распространен аналитический способ задания функции, при котором функция задается формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над x , чтобы получить y . Например: y 2x 1, y x2, y 1 x 2 , y x , x 1 y 2 sin x 2 . При этом считается, что областью определения функции является множество всех тех значений x , при которых выполнимы все операции, указанные в формуле. Так, приведенным выше функциям соответствуют следующие области определения y 2 x 1, y x2 , x , xR , xR, 1 x 1, x1,1, x 1, xR \ 1, x , y 1 x 2 , x y , x 1 y 2 sin x 2 x , xR . Функция может быть задана разными формулами на разных частях области определения. Например, функция Хевисайда8: 0, y 1, при x0, при x0. Алгоритмический способ задания функции нашёл широкое применение в связи с появлением вычислительной техники, где функция задаётся программой. Пример 3.3 Real Function sqr( x ); var x : real; Begin sqr:= x x ; end; Аналитический способ задания функции формулой y f x называется явным. Функция может быть задана неявно, когда x и y связаны между собой _________________ 8 Оливер Хевисайд (1850-1925) – английский физик и инженер. 17 уравнением вида F x, y 0 , а также параметрически, когда соответствующие друг другу значения x и y выражаются через третью переменную величину t в виде: x t , y t . Например: 1. x 2 y 2 1 0 2. x sin t, 0t 2 . y cost , Приведенные формулы дают неявное и параметрическое задание одной многозначной функции y 1 x 2 , x 1,1 , которая задает окружность единичного радиуса на координатной плоскости Oxy . Параметрический способ задания обладает тем преимуществом, что позволяет задавать многозначные функции с помощью однозначных. Суперпозицией функций называется процедура составления сложной функции (функции от функции). Если величина y является функцией от u , т.е. y f u , а u , в свою очередь, функцией от x , т.е. u x , то y является сложной функцией от x . Записывается это так: y f x . Например, функцию y sin x 2 можно задать как функцию y sin u , где u x2 . Числовая последовательность Частным случаем действительной функции одного действительного переменного является функция, определенная на множестве натуральных чисел xn f n. Такая функция называется числовой последовательностью. Числовая последовательность определена, если указан закон, по которому каждому натуральному числу n ставится действительное число x n . Числовая последовательность обозначается x1, x2 ,..., xn ,... или xn . Числа x1, x2 ,..., xn ,... называются членами числовой последовательности, xn - общим членом или n -м членом. Числовая последовательность может быть задана формулой ее n -го члена, позволяющей найти любой член последовательности подстановкой номера искомого члена в эту формулу. Пример 3.4 1 xn 1 n n 9 64 ; x1 2, x2 , x3 , 4 27 Закон образования числовой последовательности может состоять в задании нескольких первых членов последовательности и рекуррентной формулы, с помощью которой следующий член определяется через предыдущие. Пример 3.5 18 x1 a b x b x b , x2 1 , xn n 1 . 2 2 2 С помощью рекуррентных формул можно получить одновременно несколько числовых последовательностей. Например: пусть a и b произвольные положительные числа и ab . Найдем числа, x1 и x1 как среднее арифметическое и среднее гармоническое чисел a b , x1 2 ( x x 1 1 x1 aиb a1 b1 2 1 2ab . При этом a x1 x1 b a b 2 2 2ab a b 4ab a b a 2 2ab b2 0 a b 0 ). a b 2 Найдем среднее арифметическое и среднее гармоническое чисел x1 и x1 1 1 1 x1 x1 , x1 x1 2x1x1 . При этом a x x x x b . x2 x2 1 2 2 1 2 2 x x 1 1 Продолжая процедуру вычисления средних, находим две бесконечные последовательности чисел xn и xn , заключенных между числами a и b a x1 x2 ... xn xn ... x2 x1 b, n . Можно заметить, что при этом для любого n справедливо равенство xn xn ab. Числовая последовательность может быть получена путем наблюдений. Например, за выпадением чисел при бросании игральной кости. Простейшие свойства функций Определение: Пусть функция f x определена на множестве E R . Если для любых x E, x E , удовлетворяющих неравенству x1 x2 , обязательно следует 1 2 какое-нибудь неравенство а б в г f x1 f x2 , f x1 f x1 , f x1 f x2 , f x1 f x2 , то функция f x называется монотонной на E , а в случаях а и в строго монотонной. При этом она называется: а - возрастающей на E ; б - неубывающей на E ; в - убывающей на E ; г - невозрастающей на E . В качестве иллюстрации на рисунках 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 приведены графики четырех монотонных функций. 19 y y x x Рис.3.2 Рис.3.3 y y x x Рис.3.5 Рис.3.4 Определение: Функция f x называется ограниченной на множестве E , если существует такое число M , что для каждого xE выполняется f x M Функция f x неравенство . ограничена сверху, если f x M . Функция f x ограничена снизу, если f x M . Примером ограниченной сверху функции является функция 1 y , x 0. x Примером функции ограниченной снизу является функция 1 y , 0 x . x Функция называется чётной, если для всех x из справедливо: f x f x. График чётной функции области определения обладает зеркальной симметрией относительно оси ординат. Функция называется нечётной, если для всех x из области определения справедливо: f x f x . График нечётной функции обладает центральной симметрией относительно начала координат. Определение: Обратной функцией называется функция которая получается из данной функции выразить x через y . Обратная функция x y обратная функция к функции однозначные ветви x y и y f x , x y , если из соотношения f x y может быть многозначной. Например, y x 2 x y . 20 является x y , которая имеет две y f x Функции и x y графически изображаются одной и той же кривой. Если при записи обратной функции независимую переменную обозначить через x , а зависимую через y , то обратная функция запишется в виде y x . Это означает что графики функций y x и y f x симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов y y f x y x y Ax, y Ax, y x x x y x y y x Ay, x Ax, y y x y f x задана неявно уравнением F x, y 0 , в которое и входят симметричным образом y x (например: x y 1, x 2 y 2 1, xy 1), то график обратной функции совпадает с графиком функции y f x . Теорема. Если функция y f x , заданная на множестве E , строго Если функция переменные монотонна, то она имеет однозначную обратную функцию. Доказательство: Ограничимся случаем возрастающей функции. Пусть D область ее значений. В силу монотонности функции f x для каждого значения y0D найдется только одно ( x1 x0 f x1 f x0 , x1 x0 f x1 f x0 ). Сопоставляя именно это значение x0 произвольно взятому получим однозначную функцию x y . 21 x0E значение y0 из D, мы