1 - Regruppa

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Основные теоретические сведения
Для описания физических полей принято использовать их математические модели – скалярные и векторные поля - функции, заданные на множестве точек пространства. В произвольной системе координат (х1, х2, х3) скалярное поле  приобретает вид некоторой функции  (х1, х2, х3), принимающей численные значения – действительные или комплексные. Векторное по
ле А задается тремя проекциями на единичные векторы (орты) выбранной
системы координат.
Для характеристики величины и направления скорости изменения скалярного поля в пространстве вводят градиент этого поля
grad  
1  
1  
1  
l x1 
l x2 
lx ,
h1 x1
h2 x2
h3 x3 3
где h1, h2, h3 – коэффициенты Лямэ по координатам х1, х2 и х3.
Приведем значения коэффициентов Лямэ для наиболее употребительных систем координат:
h x  h y  h z  1;
декартова система координат (x, y, z)
цилиндрическая система координат (  ,  , z)
h  1 , h   , hz  1 ;
hr  1, h  r , h   sin  .
сферическая система координат (r,  ,  )
Среди скалярных полей выделяют центральное (функция  принимает одинаковые значения для всех точек, находящихся на равных расстояниях
от некоторого центра, как, например,   c / r 2 ,   r ) и осевое (если функция
принимает одинаковые значения для всех точек, равноотстоящих от некоторой оси).
Описание дифференциальных свойств векторного поля несколько

сложнее. Векторное поле А принято
характеризовать скалярным полем – ди
вергенцией (расхождением) div А и векторным полем – ротором (вихрем,

кручением) rot А .
Дивергенцию векторного поля вычисляют путем дифференцирования
его проекций по определенным правилам. В произвольной ортогональной
криволинейной системе координат

1  


(h2 h3 Ax1 ) 
(h1h3 Ax 2 ) 
(h2 h1 Ax3 ) .

h1h2 h3  x1
x2
x3

Ротор векторного поля - это вектор, определенный в любой точке поля
и являющийся его объемной производной, взятой с обратным знаком.
В декартовой, цилиндрической и сферической системе координат:

div A 

x


rot A 
x
Ax
   1 Az A
rot A  e  




z

   1  A

rot A  e r 
r
sin

 


y

y
Ay

z

,
z
Az
   A Az   1   ( A ) A 
  e 




 z     e z       ,





   1 Ar 1  (rA ) 


(sin A )   e 



r r 
 r 

1 Ar 
 1   (rA )
.
 e 

r  r
sin   
Векторные поля могут быть сферическими (все векторы поля проходят через 1 точку - центр, и длина их зависит только от расстояния от этого
центра), цилиндрическими.
Среди всех интегралов полей выделим только два.
Циркуляция вектора - криволинейный интеграл по замкнутому конту
ру С, причем С проходится против часовой стрелки, а единичный вектор dl
является касательным в каждой точке к С:
 
C   Ad l .
C
Скалярный поток векторного поля - число
  
Q   A(r )dS ,


где вектор dS - вектор "лицевой" нормали к поверхности  , натянутой на
контур С. Величина его равна площади поверхности  , а направление таково, что если смотреть на его конец, то обход контура С совершается против
часовой стрелки, он как бы ввинчивается в площадку при правильном обходе
С.
Векторное
поле называется соленоидальным (полем без источников),

если divA  0 и потенциальным
(если это сила, то ее работа по замкнутому

контуру равна нулю), если rotA  0 .
Задачи
1.1. В прямоугольном волноводе a  b на основной волне отлична от нуля
только одна компонента электрического поля E y  E y 0 sin( x / a)e  10 z , где
2
E y 0 и  10 – константы. Определите divE и охарактеризуйте это электрическое поле по типу в произвольной точке A( x, y, z ) .
1.2. В прямоугольном волноводе a  b на волне H 20 отлична от нуля только
одна компонента электрического поля E y  E y 0 sin( 2x / a)e   20 z , где E y 0 и
 20 – константы. Определите divE и охарактеризуйте это электрическое поле
по типу в произвольной точке A( x, y, z ) .
1.3. В прямоугольном волноводе a  b плоская волна имеет напряженность
магнитного поля H y  H 0 e z , где H 0 и  – константы. Определите divH и
охарактеризуйте это электрическое поле по типу в произвольной точке
A( x, y, z ) .
1.4. В прямоугольном волноводе a  b плоская волна имеет напряженность
электрического поля E x  E0e z , где E0 и  – константы. Определите divE
и охарактеризуйте это электрическое поле по типу в произвольной точке
A( x, y, z ) .
2.1. В прямоугольном волноводе a  b на волне E11 отличны от нуля только
две компоненты магнитного поля:


H x  H 0 sin( x / a) cos(y / b)e  z , H y  H 0 sin( x / a) cos(y / b)e  z .
b
a
Определите divH , rot H :
а) в произвольной точке A( x, y, z ) ;
б) в точке x  a / 2 , y  b / 2 , z  0 ;
в) в точке x  0 , y  0 , z  0 ;
г) в точке x  a , y  0 , z  0 .
2.2. В прямоугольном волноводе a  b на волне H11 отличны от нуля только
две компоненты электрического поля:


E x  E0 cos(x / a) sin( y / b)e  z , E y   E0 sin( x / a) cos(y / b)e  z .
b
a
Определите divE , rot E для точек, указанных в предыдущей задаче.
2.3. В прямоугольном волноводе a  b на волне H10 отличны от нуля компоненты:
E y   E0 sin( x / a)e  z , H x  H x0 sin( x / a)e  z , H z  H z 0 cos(x / a)e  z .
Определите в произвольной точке A( x, y, z ) а) П ; б) div П ; в) rot П .
2.4. У волны в свободном пространстве отличны от нуля компоненты:
E x  E0e z , H y  H 0 e z .
Определите в произвольной точке A( x, y, z ) : а) П ; б) div П ; в) rot П .
3
3.1. Магнитное поле магнитного диполя в дальней зоне имеет одну компоненту: H  H 0 sin   e ikr . Определите divH , rot H .
3.2. Электрическое поле электрического диполя в дальней зоне имеет одну
компоненту: E  E 0 sin   e  ikr . Определите divE , rot E .
3.3. Магнитное поле электрического диполя в ближней зоне имеет одну компоненту: H   H  0 sin  . Определите divH , rot H .
3.4. Электрическое поле площадки Гюйгенса в дальней зоне имеет одну компоненту: E   E 0 sin  (1  I  cos  ) , где I – константа. Определите divE ,
rot E .
4.1. Поле магнитного диполя в дальней зоне имеет компоненты:
H  H 0 sin   e ikr , E  E 0 sin   e ikr .
Определите: а) П ; б) div П ; в) rot П .
4.2. Поле электрического диполя в дальней зоне имеет компоненты:
E  E 0 sin   e  ikr , H  H 0 sin   e ikr .
Определите: а) П ; б) div П ; в) rot П .
4.3. Поле электрического диполя в ближней зоне имеет компоненты:
H   H  0 sin  , Er  Er0 cos  , E   E 0 sin  .
Определите: а) divH ; б) divE ; в) rot H ; г) rot E .
4.4. Для диполя из предыдущей задачи определите: а) П ; б) div П ; в) rot П .
2. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Основные теоретические сведения
Классическая теория электромагнетизма базируется на уравнениях
Максвелла, описывающих совокупность эмпирических сведений об электро
магнитном поле. Для вакуума вводят
напряженность
электрического
поля
E

и напряженность магнитного поля H . Кроме того, определяют скалярное поле объемной плотности электрического заряда r и векторное поле объемной

плотности электрического тока jэ . Система уравнений Максвелла для вакуума относительно перечисленных величин записывается в виде:


E 
rot H   0
 jэ
t 

H
rot E   0
t

div E  

div H  0
4
0
.
В эти уравнения входят две фундаментальные физические константы:
9
Ф/м – электрическая постоянная и  0  4  10 7 Гн/м – маг(36)
нитная постоянная.
К основным принципам электродинамики относится также закон сохранения электрического заряда, находящий свое отражение в уравнении непрерывности тока:

div jэ    0 .
t
 0  10
В присутствии материальных сред теория Максвелла должна
быть до
полнена. Под действием приложенного электрического поля E в среде возникает ток проводимости с объемной плотностью


jэ  E .
Здесь  – удельная объемная проводимость вещества. Данное соотношение
есть дифференциальная форма записи закона Ома; в сильных магнитных полях данное соотношение может нарушаться.
Молекулы или атомы вещества в электрическом поле испытывают поляризацию, что отображается
 в теории введением векторного поля электрической поляризованности P . Если электромагнитное поле переменно во времени, то в среде возникает электрический ток поляризации с объемной плотностью


P
.
jпол 
t
Задачи
5.1. В диэлектрике с относительной проницаемостью создали однородное
электрическое поле напряженностью E . В нем прорезаны две очень узкие
щели – одна вдоль поля, другая поперек. Определите напряженность поля
внутри щелей.
E
1
2
5
5.2. Граница раздела сред является экранирующей: а) по электрическому полю; б) по магнитному полю. Определите величину и направление электрического и магнитного полей в обеих средах.
5.3. Определите величину и направление поверхностного тока на границе
раздела сред 1 и 2, если: а) H1  H 2 ; б) H1  H 2 ; в) H1  H 2 .
5.4. Определите величину и знак поверхностного заряда на границе раздела
сред 1 и 2, если: а) E1  E 2 ; б) E1  E 2 ; в) E1  E 2 .
6.1. Испытания метеорита показали, что на частоте 1 МГц он имеет
  10 3 См/м,   6 . Является вещество метеорита диэлектриком или проводником на этой частоте?
6.2. В веществе с электропроводностью 10  7 См/м создано электрическое
поле E  2 sin( 2 10  6 t ) ,   2 . Определите , ,  , tg и род вещества: а) для
частоты 1 МГц; б) для частоты 1 кГц.
6.3. К конденсатору с диэлектриком, имеющим   3 , приложено напряжение, создающее напряженность электрического поля внутри E  E0 sin t .
Определите величину и "направление" тока смещения, если E0  2 В/м,
  2f , f  50 Гц.
6.4. К веществу с   2 , tg  10  2
приложено электрическое поле
Em  ex  e y . Определите комплексную амплитуду электрической индукции,
угол в пространстве между векторами E и D , разность фаз между ними.
7.1. Анизотропный кристалл имеет тензор диэлектрической проницаемости
3 0 0


   0 3 0  . Определите вектор электрической индукции и угол между
0 0 2


векторами D и E , если приложенное поле E  ex  e y  ez .
7.2. Анизотропная среда имеет тензор магнитной проницаемости
 1 1.1 0 


  1.1 1 0  . Определите вектор магнитной индукции.
 0 0 1


7.3. В некотором диэлектрике индукция электрического поля, соответствующая напряженности приложенного поля E  ex  2e y  3ez , равна
D  18e x  45e y  63e z пКл/м2. Определите, является ли диэлектрик изотроп-
ным.
7.4. Когда к диэлектрику приложили электрическое поле, вектор напряженности которого имеет только x-компоненту: E (1,0,0) В/м, вектор электрической индукции был D(2 / 0 ,2 / 0 ,3 / 0 ) Кл/м2, при приложении y-компоненты
6

E (0,1,0) В/м - D(3 /  0 ,2 /  0 ,2 /  0 ) Кл/м2, при приложении z-компоненты

E (0,0,1) - D(4 /  0 ,3 /  0 ,2 /  0 ) Кл/м2. Определите диэлектрическую проницаемость вещества.
8.1. С помощью уравнений Максвелла выразите электрическую индукцию,
создаваемую точечным зарядом Q на расстоянии r от него.
8.2. Электрическая индукция на поверхности мысленной сферы направлена
по радиус-вектору и равна 10 12 Кл/м2. Определите знак и величину находящегося в центре сферы заряда.
8.3. Найдите напряженность магнитного поля, создаваемого бесконечным
прямолинейным постоянным током, пользуясь уравнениями Максвелла.
8.4. Индукция магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным
проводником с током в свободном пространстве на расстоянии 1 м от оси
проводника равна 2  10  7 Тл. Определите, какой ток течет по проводнику.
9.1. Индукция магнитного поля в меди 10  6 Тл. Определите напряженность
магнитного поля.
9.2. Существует ли в природе диэлектрик, в котором при E  5 В/м индукция
составляет D  3 пКл/м2? Обоснуйте ответ.
9.3. В линейной по электрическому полю однородной и изотропной среде
действует электрическое поле напряженностью E  3 В/м. При этом индукция электрического поля составляет D  50 пКл/м2. Определите а) диэлектрическую восприимчивость вещества; б) величину вектора поляризованности.
9.4. В линейной по магнитному полю однородной и изотропной среде действует магнитное поле напряженностью H  10 А/м. При этом индукция
магнитного поля составляет 144  10  7 Тл. Определите а) магнитную восприимчивость вещества; б) величину вектора намагниченности; в) род магнита.
7
1. Показать, что уравнение непрерывности тока вытекает из уравнений
Максвелла.
2. Имеется плоская граница раздела двух сред, обладающая относительными диэлектрическими проницаемостями 1 и  2 . Силовые линии
электрического поля в первой среде образуют угол 1 с направлением нормали. Найти ориентацию силовых линий поля во второй среде.

3. Показать, что векторное поле H , изменяющееся в пространстве и во



времени по закону H  6 x cos(t )l x  2e  2 y sin( t )l z , не может быть полем
магнитного вектора, удовлетворяющим уравнениям Максвелла.
4. В толще однородного диэлектрика с известной диэлектрической
проницаемостью
 первоначально было создано равномерное электрическое

поле E , а затем прорезаны две узкие полоски, одна из которых ориентирована параллельно, а другая перпендикулярно полю. Полости заполнены воздухом. Какова величина напряженности электрического поля в обеих полостях?
5. В фиксированной точке пространства известны мгновенные значе 
 


ния векторов поля E  E0 cos(t  1 ) , H  H 0 cos(t  2 ) , где E0 и H 0 –
постоянные векторы. Показать, что мгновенное значение вектора Пойтинга
складывается из неизменного во времени среднего значения

 
Пср  1 [ E0 H 0 ] cos(1  2 )
2
и колеблющейся части

 
П кол  1 [ E0 H 0 ] cos(2t  1  2 ),
2
изменяющейся во времени с удвоенной частотой.
6. В однородной проводящей среде с параметрами  и в момент
времени t=0 создано начальное распределение плотности зарядов 0 ( x , y , z).
Показать, что за счет токов проводимости в среде происходит экспоненциальное уменьшение плотности объемного заряда:
 t
 ( x , y , z , t )  0e  ,
0
Оценить t - характерное время релаксации этого процесса для типичного
металла (  107 cm / m), а также для полупроводника (  103 cm / m).
7. Показать, что из уравнений Максвелла для вакуума следуют известные
волновые уравнения
8

2


E
 2 E  0 0
 0,
 t2


2H
2
 H  0 0
 0.
 t2
8. Некоторый электромагнитный процесс характеризуется тем, что все составляющие полей зависят лишь от координаты z.
Показать, что на основании уравнений Максвелла при этом будут отсутствовать продольные составляющие Ez и Hz .
9. Некоторый анизотропный диэлектрик имеет тензор относительной диэлектрической проницаемости, который в декартовой системе координат записывается следующим образом:
 6.5 0
0 


(r )   0 6.5 0  .


0 6.65
0
В
диэлектрике




E  2,5lx  1,7l y  9,2lz .
создано
равномерное
электрическое
поле

Определить вектор
электрической
индукции D . Каков угол в пространстве


между векторами E и D ?
10.* Будет ли иметь единственное решение внутренняя задача электродинамики для системы


rotHm  i 0 E m 


rotE m  i0 Hm
 ст
jm ,
,
если задано так называемое импедансное граничное условие




E m  Z Hm ,0


где 0 - орт внешней нормали. Рассмотреть вещественные, мнимые и комплексные значения импеданса Z.
3. Плоские электромагнитные волны
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Плоские электромагнитные волны существуют в однородных безграничных средах. В случае полей, изменяющихся во времени по гармоническому
 
закону, комплексные амплитуды E и H удовлетворяют уравнениям Гельм9
гольца


 2 E   2 E  0,


 2 H   2 H  0,
где    ~a ~a    j - комплексный коэффициент распространения; b коэффициент фазы, или волновое число; a - коэффициент ослабления.
 
Так как уравнения Максвелла дают однозначную связь между E и H , достаточно найти решение лишь одного из этих уравнений.
Частное решение уравнения Гельмгольца описывает однородную плоскую
волну. Если последняя распространяется вдоль оси Z декартовой системы
координат, то указанное решение примет вид






E ( z)  E1 (0)  e  jz  E 2 (0)  e jz .
Первое слагаемое соответствует прямой (падающей) волне, распространяющейся в направлении положительных значений Z, второе слагаемое - обратной (отраженной волне), распространяющейся в направлении отрицательных значений Z.
Если ~a и~a известны, то b и a можно найти.
На высоких частотах магнитные свойства большинства сред выражены
слабо. Поэтому с достаточной для практических целей степенью точности
можно считать
a  0 .
Поскольку
~a   a  j a   0 (1  jtg э ),
комплексный коэффициент распространения
    j   0a 1  jtgэ .
Коэффициент фазы b характеризует изменение фазы гармонических колебаний при распространении волны. Расстояние, на котором фаза изменяется
на 2p рад, называется длиной волны:

2

.
Плоскость равных фаз называется фазовым фронтом волны, а скорость перемещения этой плоскости - фазовой скоростью:
10
vф 

.

Коэффициент фазы и коэффициент ослабления могут быть выражены следующими формулами:
2
2   1  1  tg  э 


0 
2

1
2
,
1
2
2
2   1  tg  э  1

 .
0 
2

Таким образом, между ними существует соотношение

    tg( э 2 ).
Фазовая скорость
vф 
2c

 1  1  tg  э
2

1
2
,
длина волны


20
 1  1  tg 2 э

1
2
.
Отношение фазовой скорости в среде к скорости света называют коэффициентом преломления:
n   .
 
В случае плоской волны комплексные амплитуды векторов E и H связаны
характеристическим сопротивлением среды:
Zc 
a
 
~a
a ,
так что
11


E  Zc H.
Для немагнитных сред ( a  0 )
Zc 
120


1
(1  tg 2э ) 4 e
j
э
2
Ом.
Аргумент принимает значения от нуля (диэлектрики без потерь) до  4
(идеальный металл).
Характеристическое сопротивление для вакуума
Z0 
0
0  120  376,991 Ом.
Поскольку уравнения Максвелла линейны, любая
комбинация
их решений


также является решением. В частности, если E x l x и E y l y - решения исходных
уравнений, то



E  E x l x  E y l y
также есть решение уравнений Максвелла. В зависимости от соотношения
между фазами и амплитудами E x и E y в каждой точке пространства конец

вектора E будет перемещаться по эллипсу с различным соотношением и
ориентацией его полуосей. Такая волна называется волной с эллиптической
поляризацией. Отношение большой полуоси эллипса к малой называют коэффициентом эллиптичности k эл .
Линейно поляризованная волна представляет собой один из предельных
случаев эллиптически поляризованной волны. Второй предельный случай
имеет место при равенстве амплитуд исходных полей и сдвиге фаз между
ними, равном 90 . Такая волна называется волной с круговой поляризацией.
Поле такой волны можно представить выражением
 

E   E (l x  l y ).
Знак минус соответствует волне с правой круговой поляризацией, у кото
рой вектор E вращается по часовой стрелке, а знак плюс - волне с левой круговой поляризацией (направление вращения обратное). Любая волна с линейной поляризацией может быть представлена суммой двух волн с круговой
поляризацией, например




E  E x l x  E   E  ,
12
где






E
E
E   x 2 (l x  jl y ), E   x 2 (l x  jl y ).
Плоская волна переносит энергию в направлении распространения. Для
гармонических полей этот процесс описывается средним значением вектора
Пойтинга:
 

 
1
П ср  Re EH * .
2
Часто его удобно выражать так:
2
2


E
H
 1 
Пср 
Re  l z 
Re Z c l z .
2
2
 Zc 

В средах без потерь П ср не зависит от координаты Z. Если же среда обладает потерями, то
П с р  П с р (0)e 2z .
Отражение и преломление плоских электромагнитных волн
При распространении плоской электромагнитной волны в пространстве,
представляющем собой области с различным значением параметров ~a , ~a ,  и
границами раздела в виде плоскостей, возникают отраженные и преломленные волны.
Комплексные амплитуды этих волн связаны с комплексной амплитудой
падающей волны коэффициентами отражения
E
H
R E  от р  , R H  от р 
E пад
H пад
и коэффициентами преломления (прохождения)
E
H
TE  п р  , TH  п р  .
E пад
H пад
Могут быть также введены коэффициенты отражения и преломления (прохождения) для среднего значения плоскости потока мощности:
П
R E  от р  , Т П  П пад .
П пад
13
Если вектор Пойтинга падающей волны перпендикулярен границе раздела,
то
Z  Z c1
2Z c2
R E  c 2
, TE 
,
Z c 2  Z c1
Z c 2  Z c1
где Zc1 - характеристическое сопротивление среды, в которой существует
падающая волна.
При наклонном падении направления распространения волн по отношению к границе раздела задаются углами, измеряемыми относительно нормали к этой границе. Плоскость, содержащая вектор Пойтинга падающей волны
и нормаль к границе раздела, называют плоскостью падения.
Из граничных условий следует, что углы падения f, отражения f0 и преломления fп связаны законом зеркального отражения
f= f0
и законом Снелля
sin 
sin п 
2
1
где индекс 1 относится к среде, содержащей падающую волну. С учетом
выражения для коэффициента фазы b это выражение можно представить в
виде

sin 
 2.
sin п 1
Коэффициенты отражения и преломления для заданного значения угла падения зависят от ориентации векторов электромагнитного поля по отношению к плоскости падения. Если вектор E лежит в этой плоскости, то
RE| | 
Z c 2 cos п  Z c1 cos 
,
Z c 2 cos п  Z c1 cos 
TE| | 
2 Z c 2 cos п
Z c 2 cos п  Z c1 cos 

Если вектор E перпендикулярен плоскости падения, то коэффициенты отражения и преломления выражаются соотношениями
14
RE 
Z c 2 cos   Z c1 cos п
,
Z c 2 cos   Z c1 cos п
TE 
2 Z c 2 cos 
.
Z c 2 cos   Z c1 cos п
Для диэлектрических сред, у которых m=1, коэффициенты R и T удобно
представить в более компактной форме:
sin(  п )
,
sin(  п )
tg (  п )

,
tg (  п )
R E  
R E||
2 sin п cos 
,
sin(  п )
2 sin п cos 
TE|| 
.
sin(  п ) cos(  п )
TE 
Во всех приведенных формулах при необходимости можно исключить
угол преломления fп, используя закон Снелля.

При f+fп=p/2 коэффициент отражения для плоских волн, вектор E которых лежит в плоскости падения, равен нулю, и отраженная волна на границе
раздела двух немагнитных сред не возникает. Угол падения, при котором
наблюдается такое явление, называют углом Брюстера. Значения угла Брюстера для немагнитных сред находят из соотношения
tgБ 
2
1 .
ЗАДАЧИ
1. Плоская электромагнитная волна с частотой 1 Ггц распространяется
в среде с параметрами   2.4, tgэ  101 ,   1.
Определить фазовую скорость, длину волны и коэффициент ослабления.
2. Две плоские электромагнитные волны с левой и правой круговой поляризацией в плоскости z=0 имеют векторы напряженности электрического поля



E л  E 0 (l x  jl y )e j л ,



E п  E 0 (l x  jl y )e jп .
Определить вид поляризации суммарного поля, если разность фаз
  л  п  450 .
15
3. Плоская электромагнитная волна падает нормально из вакуума на границу раздела со средой, имеющей параметры   81,   1,  01
. См/м. Определить комплексные коэффициенты отражения R E и преломления TE на частоте
100 МГц. Полагая, что амплитуда напряженности электрического поля
падающей волны в плоскости z=0, совпадающей с границей раздела, равна 1
В/м, записать выражение для мгновенного значения напряженности электрического поля отраженной волны.
4. Вычислить глубину проникновения  и волновое сопротивление W при
f=10 ГГц для меди и свинца.
5. Вычислить фазовую скорость, коэффициент ослабления и глубину
проникновения поля для плоской волны с частотой 10 Мгц, распространяющейся в металле с параметрами   5 107 Cm / m,   1.
6. Некоторый диэлектрик на частоте 10 ГГц обладает параметрами:
  38
. ,   1, tgэ  104 .
Определить длину
волны, коэффициент ослабления и характеристическое сопротивление такой среды.
7. Фазовая скорость волны изменяется по закону
V  V0  1 

w2
,
где V0 и  не зависят от частоты. Найти групповую скорость.
8. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с частотой
30 Мгц.
Определить расстояние, на котором фаза волны изменится на 270 и 2520 .
9. Определить длину и фазовую скорость электромагнитной волны, распространяющейся в среде без потерь с относительными проницаемостями
    10 , если частота волны 10 Мгц.
10. Определить толщину медного экрана, который обеспечивает ослабление амплитуды электромагнитного поля в 104 раза на частотах 50 Гц и 50
МГц.
11.* Выразить групповую скорость в случае, когда диэлектрическая проницаемость некоторой непоглощающей среды зависит от частоты.
12.* Исследовать отраженную и преломленную волны, возникающие при
наклонном падении на границу раздела сред волны круговой поляризации.
4. Волноводы
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
16
Волновод представляет собой полую металлическую трубу произвольного
сечения, внутри которой распространяются электромагнитные волны. наиболее часто применяют волноводы прямоугольного или круглого сечения, реже
- более сложных сечений, например П-образные или Н-образные.
В волноводах с идеально проводящими стенками и однородным заполнением могут распространяться волны электрического (Е) типа, у которых
H z  0, E z  0 (направление оси Z совпадает с продольной осью волновода), и
волны магнитного типа (Н), у которых E z  0, H z  0 .
Предположим, что волновод заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью e и магнитной проницаемостью m=1. Каждый конкретный тип волны в волноводе может распространяться в том случае, если
0
 к р ,

где 0 - длина волны генератора; к р - критическая длина волны, которая
определяется размерами и формой поперечного сечения волновода.
Для волн типа Emn и Hmn в прямоугольном волноводе
к р 
2
 a  
2
m
 nb
2
,
где a, b - размеры поперечного сечения волновода.
Для волн типа Emn в круглом волноводе
к р 
2 a
mn ,
где а - радиус волновода; nmn - n-й корень уравнения Jm(x)=0.
Для волн типа Hmn в круглом волноводе
к р 
2 a
mn
где mmn - n-й корень уравнения J m ( x )  0 .
Фазовая скорость
с
vф 

1  
1   0 
  к р 
2
.
17
Длина волны в волноводе
0
в 

1  0 

1  
  к р 
2
.
Групповая скорость
vгр 
2
1  
1   0  .
  к р 

с
где с - скорость света в свободном пространстве.
Основным типом волны в прямоугольном волноводе при a>b является
волна H10, для которой lкр=2а, ближайшими высшими типами - волны H20,
H01, H11.
Наибольшее практическое значение имеет волна типа !!! в прямоугольном
волноводе. Составляющие векторов поля этой волны описываются выражениями:
E x  0,
  x   jhz
E y  E 0 sin
e ,
 a 
E  0,
z
h
  x   jh z
H x  
E 0 sin
e ,
 a 
a
H  0,
y
 E0
  x   jh z
H z  j
cos
e .
 a 
a a
Низшей среди волн электрического типа в круглом волноводе является
волна E01, для которой lкр=2.613а, ближайшим высшим типом - волна E11.
Основным типом волны в круглом волноводе, имеющим наибольшую критическую волну, является волна H11, для которой lкр=3.413а.
Характеристическим сопротивлением
 Zс волновода называется отношение
поперечных составляющих векторов E и H . Для волн электрического типа
2
Z cE  Z 0
  
 .
1  
  кр 
18
Для волн магнитного типа
Z cH 
Z0
  

1  
  кр 
2
.
где Z0 - характеристическое сопротивление плоской волны в свободном
пространстве.
Затухание волн в волноводах зависит от потерь в металлических стенках и
в материале, заполняющем волновод. Результирующий коэффициент ослабления равен сумме этих коэффициентов:
общ   м  д .
ЗАДАЧИ
1. Размеры поперечного сечения прямоугольного волновода составляют: a=2 см, b=1 см. Перечислить типы волн волновода, способных переносить энергию, если f=10 ГГц, 20 ГГц, 30 Ггц (внутренняя среда воздух,
оболочка считается идеально проводящей).
2. Перечислить типы волн круглого волновода радиусом 1 см (внутренняя среда - воздух), способные переносить энергию при f=10 ГГц, 20 ГГц,
30 ГГц.
3. В прямоугольном волноводе сечением 3 x 4 см распространяется волна типа H11 . Волновод заполнен пенополистиролом с диэлектрической
. . Частота колебаний 8 Ггц. Определить фазовую скопроницаемостью   115
рость и длину волны в волноводе.
4. Какие типы волн могут распространяться в круглом волноводе диаметром 3 см, заполненном диэлектриком с относительной проницаемостью   3.2 . Частота колебаний 10 ГГц.
5. Какие типы волн могут распространяться в заполненном воздухом прямоугольном волноводе сечением 10 х 4 см при частоте 5 ГГц?
6. Почему в случае круглого волновода основной является волна H11 , оба
индекса которой не являются наименьшими, и что можно сказать о волнах
H 01 и E 01 ?
7. При каком диаметре круглого волновода в нем может распространяться
только один основной тип волны при частоте колебаний 10 Ггц?
19
8. Какие типы волн могут распространяться в квадратном волноводе со
стороной 1 см при частоте 10 Ггц? Волновод заполнен диэлектриком с относительной проницаемостью   2.6 .
9. Прямоугольный волновод сечением 23х10 мм заполнен диэлектриком с
относительной проницаемостью   2.25 . Частота колебаний 8.4 Ггц.
Определить величины vф и  в .
10. Определить критическую длину волны, критическую частоту и длину
волны в прямоугольном волноводе для волны типа Е11. Размеры поперечного
сечения 4х3 см. Частота колебаний 10 Ггц.
11.* Показать, что поле H10 прямоугольного волновода имеет ту же структуру, что и в случае отражения наклонно падающей однородной Т-волны от
идеально проводящей плоскости при перпендикулярной поляризации.
5. Линии передачи с волнами типа Т.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Электромагнитные волны, векторы напряженности электрического и магнитного полей которых лежат в плоскости, перпендикулярной направлению
распространения, называют поперечными электромагнитными волнами или
волнами типа Т.
Волна типа Т в отличие от волн типов Н и Е распространяется в линии при
любой частоте.
Для линии без потерь
h     a a ,
откуда
vф 
1
а а
,
в   .
Здесь l - длина однородной плоской волны в заполняющем диэлектрике с
параметрами ea, ma.
Характеристическое сопротивление волны типа Т совпадает с аналогичной
величиной для плоской однородной волны в неограниченном пространстве:
Z cT  Z c 
a
a .
Линия передачи с волной типа Т характеризуется волновым сопротивлени20
ем Zв, которое выражается через погонные индуктивность и емкость линии
следующим образом:
L1
Zв 
C1 .
Фазовая скорость в линии передачи с волной Т:
1
.
L1C1
vф 
Коэффициенты ослабления:
  д   м ,
1
2
 д   а а tgэ ,
м 

RS  | H |2 dl
1
l
,
  *
2 Re EH
dS

S
 
где RS - поверхностное сопротивление металла.
Интегрирование в числителе ведется по контуру сечения линии, в знаменателе - по поперечному сечению линии.
ДВУХПРОВОДНЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ.
Погонные параметры симметричной двухпроводной линии передачи:
L1 
a  2 D  d  Гн
ln
,
м,
  d 
C1   a
1
, Ф м.
 2D  d 
ln

 d 
где d - внешний диаметр проводника, D - расстояние между центрами проводников.
Волновое сопротивление
Z в  120
  2D  d 
ln
 , Ом.
  d 
Мощность переносимая волной типа Т в двухпроводной линии передачи
21
P
U2
, Вт.
2Zв
Коэффициент ослабления, обусловленный сопротивлением проводников:
м 
RS
 
dZ в 1  d D
2
, м 1 .
КОАКСИАЛЬНЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ.
Характеристическое сопротивление для линии без потерь, погонные параметры, волновое сопротивление и переносимая мощность:
Z cT  120
L1 

 ,
a D
2 a
ln , C1 
,
D
2 d
ln
d
 D
ln ,
 d
U2  1
P
.
120  D
Z в  60
ln
d
Коэффициент ослабления, обусловленный сопротивлением проводников:
R
R
 S1 d  S 2 D
м 
,
 120 ln D
d
где RS1 и RS2 - поверхностные сопротивления металла внутреннего и внешнего цилиндров одновременно.
В коаксиальной линии передачи волны Е и Н обычно не используются, но
могут возникать как паразитные.
Для подавления их достаточно, чтобы

4
.
a  a ( d  D )
22
ЗАДАЧИ
1. Рассчитать волновое сопротивление и коэффициент ослабления симметричной двухпроводной линии передачи. Диаметр проводов линии d=3
mm, расстояние между проводами D=200 mm. Проводники линии выполнены из меди, диэлектрик - воздух. Рабочая частота 100 МГц.
2. Показать, что как в прямоугольном, так и в круглом волноводе при
стремлении частоты f к бесконечности все волны становятся волнами Т.
3. Рассчитать погонные параметры и волновое сопротивление коаксиального кабеля марки РК-75-9-12. Параметры кабеля: диаметр внешнего
проводника 9 мм, диаметр внутреннего проводника 1.35 мм, относительная
проницаемость диэлектрика   2.2.
4. Для изготовления двухпроводной симметричной воздушной линии передачи имеется провод диаметром 3 мм. Найти расстояние между проводами, обеспечивающее волновое сопротивление 600 Ом, а также погонные параметры линии.
5. Для коаксиальной линии, у которой внешний диаметр внутреннего проводника равен 5 мм, а внутренний диаметр внешнего проводника - 11 мм,
вычислить частоту, до которой волны высших типов не распространяются. Диэлектрик - воздух. Как изменится значение частоты, если коаксиальную линию заполнить диэлектриком с   2.1 ?
6. Найти отношение между внешним и внутренним диаметрами коаксиальной линии передачи с волной типа Т, при котором будет минимальное затухание, считая, что потери в диэлектрике отсутствуют.
7. Для изготовления двухпроводной симметричной воздушной линии передачи имеется провод диаметром 3 мм.
Найти расстояние между проводами, обеспечивающее волновое сопротивление 600 Ом, а также погонные параметры линии.
8. Определить погонные параметры симметричной полосковой линии передачи с твердым диэлектриком, если известно, что ее волновое сопротивление 50 Ом, а фазовая скорость распространения волны 2  108 м с .
9.* Вывести формулу, выражающую коэффициент затухания основной
волны коаксиальной линии, стержень и оболочка которой выполнены из разных металлов.
6. Объемные резонаторы.
23
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Прямоугольный объемный резонатор
Резонансная частота колебаний Hmnp или Emnp
р 
1
a a
 m 
 n 
 p 

   

 a 
 b 
 l 
2
2
2
,
где а, b, l - геометрические размеры резонатора.
Основным типом колебаний в прямоугольном резонаторе, имеющим минимальную резонансную частоту, в зависимости от соотношения a, b и l могут быть H101, H011, E110.
При b<a, b<l основным типом колебаний является H101, для которого составляющие векторов поля описываются выражениями:

E x  0,

x z

E y   ja C sin
sin
,
a
a
l

E z  0,

x
z
2
H x  C
sin
cos
,
al
a
l

H y  0,
2

x z

H z    C cos
sin
.
 a
a
l
Цилиндрический объемный резонатор.
Резонансная частота колебаний типа Hmnp
р 
1
a a
 mn 
 p 


 
 l 
 a 
2
2
,
где ea, ma - абсолютные диэлектрические проницаемости вещества, заполняющего резонатор, а mmn - n-й корень уравнения J m ( x )  0 .
Основное колебание типа Н - H111.
Резонансная частота колебаний типа Emnp
р 
1
a a
 mn 
 p 
 ,

 
 l 
 a 
2
2
24
где nmn - n-й корень функции Бесселя .
Основное колебание типа Е - E010. Его особенность в том что резонансная
частота этого колебания не зависит от длины резонатора и равна
р 
1
2.4048
.
a
a a
В общем случае, когда резонатор представляет собой закороченный с обоих концов отрезок произвольного волновода, резонансную длину волны
определяют из условия
lp
в
2
,
где р - целое число (продольный индекс), lв - длина волны в волноводе
(линии передачи).
Формула для резонансной частоты:
р 
p v ф
l
,
Для основного колебания типа T1 объемного резонатора на основе коаксиальной линии:
р 

.
a a l
Добротность объемного резонатора определяют как отношение энергии
электромагнитного поля, запасенной в резонаторе, к энергии, теряемой за период собственных колебаний.
Для колебания H101 в прямоугольном резонаторе:
Q
 р a
abl (a 2  l 2 )
.
2 RS a 3 (l  2b)  l 3 (a  2b)
В цилиндрическом резонаторе:
для колебания E010
Q
 р a al
2 RS a  l
,
для колебания E011
25
Q
 р a
al
,
2 RS 2 a  l
для колебания H011
Q
 р a  р 2 a a a 2 l
2 RS
2
l
2 a

 2
a
l
.
2
0
ЗАДАЧИ
1. Прямоугольный объемный резонатор имеет следующие размеры: а=20
мм, b=25 мм, l=30 мм. Определить резонансную длину волны двух низших
типов колебаний. Как они обозначаются?
2. Определить резонансные частоты колебаний типов E 010 и H111 в цилиндрическом резонаторе, диаметр и длина которого одинаковы и равны 5 см.
3. Собственная частота резонатора f=10 ГГц, а добротность Q=100000.
За какое время запас энергии собственных колебаний уменьшится в e раз?
4. Цилиндрический резонатор длиной 5 см и диаметром 6 см заполнен диэлектриком с параметрами   2.5; tgэ  2 104 . Материал стенок - медь.
Какой тип колебаний в резонаторе является основным? Найдите резонансную частоту, добротность и полосу пропускания резонатора на этом типе колебаний.
5. Определить резонансную длину волны основного типа колебаний в кубическом резонаторе со сторонами 2 см.
6. Для прямоугольного резонатора с размерами а=1 см, b=2 см, L=3 см
(внутренняя среда - вакуум) вычислить первые пять собственных частот и
идентифицировать соответствующие типы колебаний.
7. Какой тип колебаний является основным в прямоугольном резонаторе с
размерами а=2 см, b=4 см, l=3 см? Определить его резонансную частоту. Какой тип колебаний является ближайшим высшим? Найти его резонансную
частоту.
8. Определить размеры кубического резонатора, низшая резонансная частота которого равна 5 Ггц.
9. Перестраиваемый резонатор образован отрезком прямоугольного волновода сечением 23х10 мм, внутри которого перемещается поршень.
26
Определить пределы перемещения поршня для перестройки резонатора в
пределах 8-12 Ггц. Тип колебания Н101.
10. Длина цилиндрического объемного резонатора вдвое больше его диаметра. Резонансная частота колебания типа Е011 равна 6 Ггц.
Определить диаметр резонатора.
11.* Показать, что в случае собственных колебаний цилиндрического резонатора с вращающейся структурой ( при азимутальной зависимости e n )
существует циклический поток энергии.
27
7. Элементарные излучатели.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Элементарный электрический излучатель (диполь Герца):
Составляющие поля:
H r  H   E   0,
I l
H   ст.э. 2д (1  j r ) sin  e  j r ,
4 r
I ст.э. lд
E r 
(1  j r ) cos e  j r ,
j 2  a r 3
I ст.э. lд
2 2
 j r
E  
.
3 (1  j r   r ) sin  e
j 4  a r
Приближенные выражения для составляющих поля:


в ближней зоне  r   1
0
I l
H   ст.э. 2д sin  ,
4 r
I l
E r   j ст.э. д 3 cos ,
2  a r
I l
E    j ст.э. д 3 sin  .
4  a r


в дальней зоне  r   1
0
I l
H   j ст.э. д sin  e  j r ,
2 0 r
I l
E   j ст.э. д Z c sin  e  j r .
2 0 r
Диаграмма направленности по полю для элементарного электрического
излучателя
F(q, f)=sinq.
Мощность излучения и сопротивление излучения
2
 lд 
 Z c ( I ст.э lд ) 2
2
P 
, R   Z c   .
2
3
30
 0 
28
2
l 
Для вакуума Zc=Z0=120 p, следовательно, R  80  д  .
 0 
2
Элементарный магнитный излучатель
К данному классу излучателей могут быть отнесены рамочный и щелевой
излучатели.
Если в формулах для диполя Герца сделать замены


E  H,


H  E,
jст.э.   jст.м. ,
a   a ,
a  a ,
то получим выражения для составляющих поля магнитного диполя в дальней зоне:
I
l
E    j ст.м. д sin  e  j r ,
2 0 r
I
l
H   j ст.м. д sin  e  j r .
2 0 rZ c
Выражения для составляющих поля элементарного щелевого излучателя
при двустороннем возбуждении:
E    j
H   j
U щ lщ
0 r
U щ lщ
 0 rZ c
sin  e  j r ,
sin  e  j r .
где U щ - напряжение в щели.
Диаграмма направленности магнитного диполя определяется выражением:
F(q, f)=sinq.
Элемент Гюйгенса
Данный элементарный излучатель эквивалентен взаимно перпендикулярным элементам электрического и магнитного поверхностных токов.
Диаграмма направленности в главных плоскостях (f=0, f=p/2):

F ( , )  F ( , 0) 
2
1  cos
.
2
29
ЗАДАЧИ
1. На расстоянии 10 км максимальная амплитуда напряженности электрического поля диполя Герца равна 0.001 В/м.
Определить мощность, излучаемую диполем, если его длина состав. 0 .
ляет 01
2. Найти ток в элементарном электрическом излучателе длиной 5 см, если
в точке с координатами r=1 км,    / 2 напряженность электрического
поля E  10 4 В/м. Частота колебаний 100 МГц.
3. Найти сопротивление излучения элементарного электрического излучателя при lд  5 см и 0  3 м. Определить мощность излучения, если амплитуда тока в излучателе равна 1 А.
4. Найти составляющие поля элементарного электрического излучателя длиной 5 см в экваториальной плоскости на расстоянии 10000 м при
частоте колебаний 300 МГц. Амплитуда тока в излучателе 10 А.
5. Квадратная рамка с размером сторон 10 см создает максимальную амплитуду напряженности электрического поля 5  104 В м на расстоянии 5 км.
Определить ток в рамке, если 0  4 м.
6. Найти сопротивление излучения элементарного электрического излучателя при lд  5 см и 0  3м. Определить мощность излучения, если амплитуда
тока в излучателе равна 1 А.
7. Определить мощность излучения элементарной рамки с электрическим
током, если на расстоянии 50 м в экваториальной плоскости создается электрическое поле с амплитудой 100 мВ/м.
2.
Найти его сопротивление излучения.
.
8. Распространение электромагнитных волн в средах.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Плазма.
Ионизированный газ в силу его особенностей часто выделяют как специфическую среду, называемую плазмой. По составу газовая плазма представляет собой смесь нейтральных, отрицательно заряженных и положительно
заряженных частиц.
Частицы плазмы взаимодействуют с внешними электромагнитными полями и между собой, что приводит к появлению различных движений (колеба30
ний). Простейшие колебания плазмы связаны с кулоновским взаимодействием заряженных частиц. Частота этих колебаний называется плазменной частотой. Для электронов
0 
e2n
,
m 0
где е и m - заряд и масса электрона; n - концентрация электронов в рлазме.
Многие процессы в плазме определяются величиной nij - числом столкновений в секунду заряженной частицы сорта i с другими частицами сорта j. В
плазме наиболее важной характеристикой является частота столкновений
электронов с нейтральными молекулами газа nем=n.
Если электрическое поле изменяется с частотой w, а внешнее постоянное
магнитное поле отсутствует, то относительная диэлектрическая проницаемость и проводимость плазмы равны:
  1
 02
2 2
, 
 020
2 2
Понятие плазмы может быть распространено на электронно-дырочный газ
в полупроводниках. Электродинамические параметры невырожденного полупроводника с двумя типами электропроводности, для которого эффективные частоты столкновений электронов и дырок равны nn и np, а диэлектрическая проницаемость решетки ep, будут вычисляться по формулам:

 02p 
 02n

   p  1  2
2 
2
2 ,
   n    p 

 02n n  0  p
 2   n2
где 0n 

 02p p  0  p
 2   p2
e2n
, 0 p 
mn*0  p
,
e2 p
- плазменные частоты электронов и дырок
m*p 0  p
соответственно; n и p - концентрация электронов и дырок; mn* и m *p - эффективные массы электрона и дырки.
Обобщенной электродинамической характеристикой среды служит комплексная диэлектрическая проницаемость
~a   a  j


Коэффициент распространения плоской монохроматической волны в среде
31
 

c
~    j .
Если активные потери в среде невелики и выполняется условие

  ,
 0
то имеют место выражения:


с
,  


с 20 
Однородные анизотропные среды.
В анизотропных средах направление приложенного поля не совпадает с
направлением
вызванного этим полем отклика. В таких средах пары векторов
   
Dи E , B и H связаны между собой тензорами второго ранга:
 xx
( )   yx
 zx
 xy
 yy
 zy
 xz
xx
 yz , (  )   yx
 zz
zx
xy
 yy
zy
xz
 yz .
zz

Если вектор напряженности
электрического поля E не сонаправлен с век
тором плотности тока J , то эти вектора будут связаны тензором удельной
диэлектрической проницаемости:
 xx  xy  xz
( )   yx  yy  yz .
 zx  zy  zz
В конкретных средах некоторые компоненты тензоров (e), (m) или (s) могут оказаться равными нулю. Существуют монокристаллические диэлектрики и полупроводники (одноосные кристаллы), для которых:
 xx   yy   ,  xy   yx   yz  zy  zx   xz  0, (  )  1.
При распространении плоской волны вдоль оси z такого кристалла анизотропные свойства не проявляются и электромагнитная волна распространяется, как в изотропной среде с e=e.Анизотропия проявляется при поперечном

распространении волны. Если El z , то волна распространяется, как в среде с
 
e=e. Если E || lz , то волна распространяется, как в среде с e=e||. Первую волну
называют обыкновенной, вторую - необыкновенной.
Коэффициенты фаз обеих волн будут соответственно равны:
32
0 

c
 

c
n0 , e 

c
 || 

c
ne .
Различие коэффициентов приводит к тому, что волны, в которых присутствуют оба вида поляризации, при падении на границу, параллельную оси
кристалла, претерпевают расщепление (явление двойного лучепреломления).
ЗАДАЧИ
1. Две плоские линейно поляризованные волны распространяются по
направлению оси Х в монокристалле сапфира ( Al2 O3 ), тензор диэлектрической проницаемости которого
 xx
0
0
( )  0
0
 yy
0
0
zz
Определить разность фаз этих волн, прошедших в сапфире расстояние в 1
см, если первая волна поляризована по оси у, а вторая - по оси z. Частоты
колебаний одинаковы
и
равны
10
ГГц.
На
этой частоте
xx   yy  13.2, zz  114
. .
2. Плоская электромагнитная волна распространяется
в образце феррита


вдоль постоянного подмагничивающего поля H0  H0  lz . Вывести формулу
для определения угла поворота плоскости поляризации волны (эффект Фарадея), полагая, что потери в феррите отсутствуют. Считать, что величины
w, wH , wS заданы.
3. Плоская электромагнитная волна падает по нормали из вакуума на кристалл сапфира ( Al2 O3 ) с тензором диэлектрической проницаемости
 xx
0
0
( )  0
0
 yy
0
0
zz
Граница раздела воздух-диэлектрик параллельна оси кристалла (ось z).
Найти коэффициенты отражения обыкновенной и необыкновенной
.
волн на частоте 10 ГГц, на которой xx   yy  13.2, zz  114
 и мнимую  xx
 части составляющей
4. Определить действительную xx
xx тензора комплексной магнитной проницаемости феррита на частотах
w1  2  1010 c 1 , w2  (2  1010  2  107 )c 1 , w3  (2  1010  2  107 )c 1 ,
33
если   2 107 c 1 , wH  2 1010 , wS  0.4wH .
Магнитное поле ориентировано вдоль оси Z.
5.* Как соотносятся направления и скорости вращения векторов поля волн
правой и левой круговой поляризации
в гиротропном магнетике с одной сто
роны и прецессирующего вектора M -с другой?
34