Геометрия - Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа № 1

МОУ «Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа № 1»
Методическое объединение учителей математики, физики и информатики
Рабочая программа модуля
«Геометрия»
(содержание программы,
требования к зачету)
для групп заочного модульного обучения
(экстернат)
10 -12 классов
Трофимова Татьяна Николаевна
учитель математики
Псков
2008
Содержание
Пояснительная записка ....................................................................................................... 3
Тематическое планирование групповых консультаций .................................................. 4
10 класс ............................................................................................................................. 4
11 класс ............................................................................................................................. 4
12 класс ............................................................................................................................. 5
Учебно-тематический план курса ...................................................................................... 6
Требования к уровню подготовки учащихся .................................................................... 6
Критерии получения зачета (элементы содержания зачета) .......................................... 7
Краткое содержание курса «Геометрия» .......................................................................... 8
10 класс ............................................................................................................................. 8
11 класс ............................................................................................................................. 9
12 класс ........................................................................................................................... 10
Приложения ....................................................................................................................... 13
Справочные материалы ................................................................................................. 13
Основные формулы планиметрии............................................................................. 13
Многогранники и площадь их поверхности ............................................................. 14
Задачи .............................................................................................................................. 16
10 класс ........................................................................................................................ 16
11 класс ........................................................................................................................ 17
12 класс ........................................................................................................................ 19
Примерные контрольные работы ................................................................................. 22
10 класс ........................................................................................................................ 22
11 класс ........................................................................................................................ 23
12 класс ........................................................................................................................ 24
Список литературы............................................................................................................ 26
Пояснительная записка
Цель рабочей программы: выстраивание системы преподавания курса
«Геометрия» 10, 11, 12 классах вечерней школы для заочного – интенсивного и
модульного учебного плана.
Основные задачи учебной программы:
 Корректировка примерной программы применительно к условиям системы
обучения в вечерней школе и специфики учебного плана совокупности форм
обучения
 Раскрытие структуры и содержания учебного материала
 Распределение объема часов учебного курса темам и формам занятий
Основным разделом данной программы являются требования к сдаче зачетов
за курс геометрии 10, 11, 12 классов вечерней школы. Эти требования составлены в
соответствии с программой Днепрова, учитывают требования обязательного
минимума содержания основного общего образования по геометрии, методические
рекомендации авторов программы и опираются на содержание
учебников
Л.С. Атанасяна и А. В. Погорелова.
Данная разработка составлена с учетом базисного учебного плана вечерней
школы для групп заочного обучения (экстернат) и рассчитана на заочно –
интенсивное изучение курса геометрии за 10 – 12 классы (40 часов).
Содержание консультаций – это примерный план занятий, по который учитель
может опираться при подготовке к консультациям. Понятия, формулы и термины,
входящие в перечень требований к знаниям учащихся, обязательны для изучения.
Вопросы и задания, включенные в содержание зачетов, составлены в
соответствии с темами, предложенными Министерством образования для устного
экзамена по геометрии для 11 (выпускных) классов общеобразовательных
учреждений, а также в соответствии с «Требованиями к уровню подготовки
выпускников» (знание основных понятий, формул, умение доказывать теоремы и
применять их для решения задач).
Количество письменных работ на уроках (самостоятельные работы, тесты и
контрольные работы) может варьироваться, но не превышать допустимые нормы по
программе для старших классов общеобразовательных школ.
Обучающийся получает оценку за курс 10, 11, 12 классов при условии
выполнения всех элементов содержания зачета. Оценка за 10, 11, 12 классы
ставится как средний балл за выполненные работы.
В рабочей программе используются материалы, разработанные Ивановой Т.И.
Тематическое планирование групповых консультаций
10 класс (10 часов)
№ Форма проведения
Тема консультации
Параллельность, перпендикулярность прямых и плоскостей
Формы итоговой аттестации. ЕГЭ. Повторение формул
1
Семинар
планиметрии
Аксиомы, их следствия. Параллельные прямые.
2
Лекция
Параллельность прямой и плоскости. Скрещивающиеся
прямые. Угол между прямыми
3
Семинар
Параллельные плоскости. Тетраэдр. Задачи на сечение
Перпендикулярные прямые. Свойства параллельных и
4
Лекция
перпендикулярных прямых и плоскостей. Признак
перпендикулярности прямой и плоскости
Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех
5
Семинар
перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью
6
Лекция
Двугранный угол. Перпендикулярные плоскости
Обзор темы «Параллельность и перпендикулярность
7
Семинар
прямых и плоскостей»
Практическое
8
Решение задач по темам 10 класса. Тесты ЕГЭ
занятие
Самостоятельная
9
Контрольная работа. Тестирование
работа
Самостоятельная
10
Прием зачета за 10 класс
работа
11 класс (10 часов)
№ Форма проведения
Тема консультации
Многогранники, векторы и координаты в пространстве, фигуры вращения
Формы итоговой аттестации. ЕГЭ. Призма. Площадь
1
Семинар
поверхности призмы
2
Семинар
Пирамида. Площадь поверхности пирамиды
3
Семинар
Векторы в пространстве. Метод координат
4
Семинар
Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра
5
Семинар
Конус. Площадь поверхности. Усеченный конус
6
Лекция
Сфера и шар. Касательная к сфере. Площадь сферы
Практическое
Обзор темы «Многогранники. Векторы. Фигуры
7
занятие
вращения»
Практическое
8
Решение задач по теме 11 класса. Тесты ЕГЭ
занятие
Самостоятельная
9
Контрольная работа
работа
Практическое
10
Прием зачета за 11 класс
занятие
12 класс (20 часов)
№ Форма проведения
Тема консультации
Объемы многогранников и фигуры вращения
Формы итоговой аттестации. ЕГЭ. Повторение темы «
1
Семинар
Многогранники и площадь их поверхностей»
Повторение темы «Фигуры вращения и площадь их
2
Семинар
поверхностей»
3
Семинар
Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда
4
Семинар
Объем призмы
5
Семинар
Объем пирамиды
6
Семинар
Объем цилиндра
7
Семинар
Объем конуса
Практическое
8
Решение задач на нахождение объемов цилиндра и конуса
занятие
9
Семинар
Объем шара
10 Семинар
Объем частей шара
11 Семинар
Площадь сферы
Практическое
12
Решение задач по темам 12 класса. Тесты ЕГЭ
занятие
Практическое
13
Обзор темы «Объемы многогранников и фигур вращения»
занятие
Самостоятельная
14
Контрольная работа
работа
Итоговое повторение
Практическое
15
Параллельность и перпендикулярность в пространстве
занятие
Практическое
16
Векторы
занятие
Практическое
Решение задач по темам средней школы из сборников
17
занятие
экзаменационных задач
Практическое
18
Решение задач по темам средней школы. Тесты ЕГЭ
занятие
Практическое
19
Решение задач по темам средней школы
занятие
Практическое
20
Прием зачета за 12 класс
занятие
Количество
часов
Учебно-тематический план курса
тема
Параллельность,
перпендикулярность
прямых и плоскостей
Многогранники,
векторы и
координаты в
пространстве, фигуры
вращения
Объемы
многогранников и
фигуры вращения
Итоговое повторение
Лекции
Семинары
Практикумы
Самостоятельная
работа
10
3
4
1
2
10
1
5
3
2
14
-
10
3
1
6
-
-
6
-
Требования к уровню подготовки учащихся
В результате изучения математики на базовом уровне ученик должен
знать/понимать
 значение математической науки для решения задач, возникающих в
теории и практике;
 широту и в то же время ограниченность применения математических
методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и
обществе;
 значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для
формирования и развития математической науки, возникновения и
развития геометрии;
 универсальный характер законов логики математических рассуждений,
их применимость во всех областях человеческой деятельности;
 вероятностный характер различных процессов окружающего мира;
уметь
 распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить
трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
 описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве,
аргументировать свои суждения об этом расположении;
 анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в
пространстве;
 изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по
условиям задач;
 строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;
 решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на
нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
 использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты
и методы;
 проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
 использовать приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни для:
 исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе
изученных формул и свойств фигур;
 вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при
решении практических задач, используя при необходимости справочники и
вычислительные устройства.
Критерии получения зачета (элементы содержания зачета)
Класс
10
11
12
Итоговая
оценка
«Параллельность, перпендикулярность прямых и плоскостей»
1 Конспекты по теме
2 Задачи по теме
3 Контрольная работа за 10 класс
«Многогранники, векторы и координаты в пространстве, фигуры
вращения»
1 Конспекты по теме
2 Задачи по теме
3 Контрольная работа за 11 класс
«Объемы многогранников и фигур вращения»
1 Конспекты по теме
2 Задачи по теме
3 Контрольная работа за 12 класс
№
Элементы зачета
Оценка
Оценка «3» ставится в случае выполнения 50 % конспектов и задач
Оценка «4» ставится в случае выполнения 80 % конспектов и задач
Оценка «5» ставится в случае выполнения 100 % конспектов и задач
Краткое содержание курса «Геометрия»
10 класс
1. Формы итоговой аттестации. ЕГЭ. Повторение формул планиметрии.
 Актуализация знаний учащихся за курс 7 – 9 классов, используя опорный
конспект «Основные формулы планиметрии»
2. Аксиомы, их следствия. Параллельные прямые. Параллельность прямой и
плоскости. Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми.
 Знать определения и теоремы: стереометрия, многогранник, 3 аксиомы
(рисунки), 2 следствия (доказательство и рисунки), параллельные прямые (рисунок
и обозначение), теорема о параллельных прямых (доказательство и рисунок),
параллельные отрезки, лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми
(рисунок), теорема о параллельности трех прямых (доказательство и рисунок),
взаимное расположение прямой и плоскости (рисунки), параллельность прямой и
плоскости (рисунок и обозначение), теорема о параллельности прямой и плоскости
(доказательство и рисунок) скрещивающиеся прямые (рисунок и обозначение),
признак скрещивающихся прямых (доказательство и рисунок), взаимное
расположение прямых в пространстве (рисунки), теорема о скрещивающихся
прямых (доказательство и рисунок), полуплоскость, граница полуплоскостей,
сонаправленные лучи (рисунок), теорема об углах с сонаправленными сторонами
(рисунок), угол между пересекающимися прямыми (рисунок), угол между
скрещивающимися прямыми (рисунок)
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
Стр. 3 – 18
3. Параллельные плоскости. Тетраэдр. Задачи на сечение
 Знать определения и теоремы: взаимное расположение двух плоскостей
(рисунки), параллельные плоскости (рисунок и обозначение), признак
параллельности двух плоскостей (доказательство и рисунок), свойства
параллельных плоскостей (рисунки), тетраэдр и его грани, ребра, вершины
(рисунок), сечение, секущая плоскость, сечение тетраэдра (2 примера с рисунком)
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
стр. 20 – 29
4. Перпендикулярные прямые. Свойства параллельных и перпендикулярных
прямых и плоскостей. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
 Знать определения и теоремы: перпендикулярные прямые (рисунок и
обозначение), лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей
прямой (рисунок), прямая перпендикулярная к плоскости (рисунок и обозначение),
свойства параллельных прямых перпендикулярных плоскости (2 теоремы с
рисунками), признак перпендикулярности прямой и плоскости (доказательство и
рисунок), теорема о прямой перпендикулярной к плоскости (рисунок и
доказательство)
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
стр. 34 – 38
5. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Угол
между прямой и плоскостью
 Знать определения и теоремы: перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной
(рисунок), расстояние от точки до плоскости, расстояние между параллельными
плоскостями, расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью, расстояние
между скрещивающимися прямыми, теорема о трех перпендикулярах
(доказательство и рисунок), проекция точки на плоскость (рисунок), проекция
фигуры на плоскость (рисунок), проекция прямой на плоскость (рисунок), угол
между прямой и плоскостью (рисунок)
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
стр. 40 – 44
6. Двугранный угол. Перпендикулярные плоскости
 Знать определения и теоремы: двугранный угол (рисунок), линейный угол
двугранного угла (рисунок), градусная мера двугранного угла, перпендикулярные
плоскости (рисунок), угол между пересекающимися плоскостями (рисунок), признак
перпендикулярности двух плоскостей (доказательство и рисунок)
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
стр.47 – 49
7. Обзор темы «Параллельность и перпендикулярность прямых и
плоскостей»
 Уметь решать: № 17, 44, 73, 75, 79, 121, 140, 154, 171, 173
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
8. Решение задач по тема 10 класса. Тесты ЕГЭ
 Уметь решать: задачи
О.А. Креславская «ЕГЭ 2008»
П.И. Алтынов «Тесты по геометрии 10 – 11 класс», 2000 г.
9. Контрольная работа
 Примерная контрольная работа
10. Прием зачета за 10 класс
11 класс
1. Формы итоговой аттестации. ЕГЭ. Призма. Площадь поверхности призмы
Знать определения и теоремы: многогранник и его грани, ребра, вершины,
диагональ (пример с рисунком); выпуклый и невыпуклый многогранник (пример);
призма и ее основания, грани, ребра (рисунок и обозначение); высота призмы,
правильная призма, площадь полной поверхности призмы, теорема о боковой
площади прямой призмы (доказательство)
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
стр. 57 – 60
2. Пирамида. Площадь поверхности пирамиды
 Знать определения и теоремы: пирамида и ее основание, грани, вершина, ребра
(рисунок и обозначение); высота пирамиды, площадь полной поверхности
пирамиды; правильная пирамида, апофема, теорема о площади боковой поверхности
правильной пирамиды (доказательство), усеченная пирамида и ее основания, грани,
ребра (рисунок и обозначение), правильная усеченная пирамида, апофема, теорема о
площади боковой поверхности усеченной пирамиды (доказательство)
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г
стр. 62 – 65
3. Векторы в пространстве. Метод координат
 Знать определения и теоремы: вектор (рисунок и обозначение), нулевой вектор
(рисунок), длина вектора (обозначение), коллинеарные вектора, сонаправленные и
противоположно направленные вектора (обозначение), равные вектора, сложение и
вычитание векторов (формула и пример), умножение вектора на число (формула и
пример), компланарные вектора (пример), правило параллелепипеда, теорема о
разложении вектора по трем некомпланарным (рисунок), прямоугольная система
координат (рисунок), единичный вектор, разложение вектора по координатным
(формула), правила для векторов, координаты середины отрезка (рисунок и
формула), длина вектора (рисунок и формула), расстояние между двумя точками
(рисунок и формула), угол между векторами (рисунок и обозначение), скалярное
произведение векторов (формула), направляющий вектор (рисунок), угол между
прямыми, угол между прямой и плоскостью
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
стр. 77 – 107
4. Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра
 Знать определения и теоремы: цилиндрическая поверхность, образующая
цилиндрической поверхности, цилиндр и его боковая поверхность, основания
(рисунок), ось цилиндра, высота и радиус цилиндра, примеры сечения цилиндра,
площадь боковой и полной поверхности цилиндра.
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
стр. 119 – 121
5. Конус. Площадь поверхности. Усеченный конус
 Знать определения и теоремы: коническая поверхность, конус и его вершина,
боковая поверхность, основание (рисунок), ось конуса и его высота, площадь
боковой и полной поверхности конуса, усеченный конус и его основания, боковая
поверхность, высота, образующие (рисунок), площадь боковой поверхности
усеченного конуса
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г..
стр. 124 – 126
6. Сфера и шар. Касательная к сфере. Площадь сферы
 Знать определения и теоремы: сфера и ее центр, радиус, диаметр (рисунок), шар
и его центр, радиус, диаметр (рисунок), уравнение поверхности, уравнение сферы,
взаимное расположение сферы и плоскости (рисунки), касательная плоскость к
сфере, точка касания (рисунок), теорема о радиусе сферы, перпендикулярном к
касательной плоскости (док – во и рисунок), площадь сферы
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
стр. 129 – 133
7. Обзор темы «Многогранники. Векторы. Фигуры вращения»
Уметь решать: № 221, 230, 248, 258, 321, 330, 523, 540, 548, 576, 587
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
8. Решение задач по тема 11 класса. Тесты ЕГЭ
 Уметь решать: задачи
О.А. Креславская «ЕГЭ 2008»
П.И. Алтынов «Тесты по геометрии 10 – 11 класс», 2000 г.
9. Контрольная работа
 Примерная контрольная работа
10.Прием зачета за 11 класс
12 класс
1. Формы итоговой аттестации. ЕГЭ. Повторение темы « Многогранники и
площадь их поверхностей»
 Актуализация знаний учащихся по теме «Многогранники и площадь их
поверхностей», используя опорный конспект «Многогранники и площадь их
поверхностей»
2. Повторение темы «Фигуры вращения и площадь их поверхностей»
 Актуализация знаний учащихся по теме «Фигуры вращения и площадь их
поверхностей» », используя опорный конспект «Тела вращения»
3. Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда
 Знать определения и теоремы: объем, свойства объемов (примеры), теорема об
объеме прямоугольного параллелепипеда (доказательство и рисунок), два следствия
об объеме прямоугольного параллелепипеда
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г
стр. 140 – 143
4. Объем призмы
 Знать определения и теоремы: теорема об объеме прямой призмы (рисунок и
доказательство), теорема об объеме наклонной призмы (рисунок)
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г
стр. 145, 150 – 151
5. Объем пирамиды
 Знать определения и теоремы: теорема об объеме пирамиды (рисунок и
доказательство), объем усеченной пирамиды
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г
стр. 151 – 152
6. Oбъем цилиндра
 Знать определения и теоремы: призма, вписанная в цилиндр и описанная около
цилиндра (рисунок), теорема об объеме цилиндра (доказательство и рисунок)
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г
стр. 145 – 146
7. Объем конуса
 Знать определения и теоремы: теорема об объеме конуса (рисунок и
доказательство), теорема об объеме усеченного конуса (рисунок)
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
стр. 153
8. Решение задач на нахождение объемов цилиндра и конуса
 Уметь решать: задачи
О.А. Креславская «ЕГЭ 2008»
П.И. Алтынов «Тесты по геометрии 10 – 11 класс», 2000 г.
9. Объем шара
 Знать определения и теоремы: теорема об объеме шара (рисунок и
доказательство)
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г
стр. 157
10. Объем частей шара
 Знать определения и теоремы: объем шарового сегмента (рисунок), объем
шарового слоя (рисунок), объем шарового сектора (рисунок)
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г
стр. 157 – 158
11. Площадь сферы
 Знать: вывод формулы площади сферы через формулу объема шара
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г
стр. 159 – 160
12. Решение задач по темам 12 класса. Тесты ЕГЭ
 Уметь решать: задачи
О.А. Креславская «ЕГЭ 2008»
П.И. Алтынов «Тесты по геометрии 10 – 11 класс», 2000 г.
13. Обзор темы «Объемы многогранников и фигур вращения»
Уметь решать: № 649, 658, 667, 684, 705, 717, 721
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
14. Контрольная работа
 Примерная контрольная работа
15.
Повторение. Параллельность и перпендикулярность в пространстве
 Уметь решать: тест
О.А. Креславская «ЕГЭ 2008»
П.И. Алтынов «Тесты по геометрии 10 – 11 класс», 2000 г.
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
16.
Повторение. Векторы
 Уметь решать: задачи
О.А. Креславская «ЕГЭ 2008»
П.И. Алтынов «Тесты по геометрии 10 – 11 класс», 2000 г.
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
17.
Решение задач по темам средней школы из сборников
экзаменационных задач
 Уметь решать: задачи
О.А. Креславская «ЕГЭ 2008»
П.И. Алтынов «Тесты по геометрии 10 – 11 класс», 2000 г
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г
18.
Решение задач по темам средней школы. Тесты ЕГЭ
 Уметь решать: задачи
О.А. Креславская «ЕГЭ 2008»
П.И. Алтынов «Тесты по геометрии 10 – 11 класс», 2000 г
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
19.
Решение задач по темам средней школы. Тесты ЕГЭ
 Уметь решать: задачи
О.А. Креславская «ЕГЭ 2008»
П.И. Алтынов «Тесты по геометрии 10 – 11 класс», 2000 г
Атанасян «Геометрия 10 – 11» 2005 г.
20. Прием зачета за 12 класс
Приложения
Справочные материалы
Основные формулы планиметрии
I. Треугольник
Сумма внутренних углов: A+В+С=1800
Теорема косинусов: а2=в2+с2-2вс cosA
Теорема синусов: а/sinA=b/sinB=c/sinC
B
c
C
b1
A
IV. Круг
а=R3
S=R2
h
B
a
C
b
C=2R
R
r
R
a
V. Площади плоских фигур
1. Треугольник
S=1/2ah
S=1/2ab sin
S=p(p-a)(p-b)(p-c) , р- полупериметр
S=rp , r- радиус вписанной окружности,
Р- полупериметр
2. Прямоугольный треугольник
в
h

а
3. Прямоугольник
S=1/2ab
a
S=ab
a
b
4. Параллелограмм
S=ah
S=ab sin
b
a1
c
III. Правильный треугольник
S=1/4a23
b
A
II. Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора: с2=а2+в2
Соотношения между сторонами и углами:
sinA=a/c
tgA=a/b
cosA=b/c
ctgA=b/a
Метрические соотношения:
а1/h=h/b1
a1/a=a/c
b1/b=b/c
R=2r
а
b
5. Ромб
S=1/2 AC*BD
h

B
A
a
C
D
6. Трапеция
7. Квадрат
a
S=1/2(a+b)h
S=a2
h
a
b
Многогранники и площадь их поверхности
Название
Призма
Наклонная
призма
Прямая призма
Правильная
призма
Параллелепипед
Наклонный
параллелепипед
Прямой
параллелепипед
Прямоугольный
параллелепипед
Пирамида
Правильная
Пирамида
Определение
Чертеж
Формула
площади
поверхности
Формула
объема
Призмой называется
многогранник, у которого две
грани (основания) лежат в
параллельных плоскостях, а
все ребра вне этих граней
параллельны между собой.
Боковые ребра не
перпендикулярны к
основанию
S полн. поверх. =
Sбок. поверх. +
2 S сеч.
Sбок. поверх. =
Рперпендикуляр сеч. · l
Рперпендикуляр сеч –
периметр
перпендикулярного
сечения
V= S осн. ·H
Боковые ребра
перпендикулярны к
основанию
Основание которой
правильный многоугольник
S бок. поверх. =
Р осн. × Н
V= S осн. ·H
Призма, основание которой
параллелограмм
Боковые ребра не
перпендикулярны к
основанию
АR – диагональ
АCRS –
диагональное
сечение
Рперпендикуляр сеч. · l
V= S осн. ·H
Боковые ребра
перпендикулярны к
основанию
Прямой параллелепипед,
основание которого
прямоугольник
S бок. поверх. =
Р осн. × Н
V= S осн. ·H
Пирамида – это
многогранник, у которого
одна грань (основание
пирамиды) – это
произвольный
многоугольник, а остальные
грани (боковые грани) –
треугольники с общей
вершиной, называемой
вершиной пирамиды.
S полн. поверх. =
сумма площадей
всех граней
Пирамида называется
правильной, если в основании
лежит правильный
многоугольник, а её высота
падает в центр основания.
МК – апофема
S бок. поверх. =
Р осн. – периметр
основания
V= а · в · с
1
Р осн · КМ
2
S полн. поверх. =
Sбок. поверх. + S
сеч.
V=
1
S осн. ·H
3
V=
1
S осн. ·H
3
Фигуры вращения
Название
Цилиндр
Конус
Определение
Фигура, которая
получается
при
вращении
параллелограмма
вокруг одной из
его сторон.
Фигура, которая
получается
при
вращении
прямоугольного
треугольника,
вокруг одного из
его катетов
Часть
конуса,
оставшаяся
от
отсечения
Усеченный
меньшего конуса
конус
плоскостью,
перпендикулярной
оси конуса
Шар
Сегмент
шара
Сектор
шара
Называется тело,
которое состоит
из всех
точек
пространства,
удаленных
на
расстояние
не
более заданного
от данной точки.
Точка называется
– центр шара,
Заданное
расстояние
–
радиус шара
Шаровым
сегментом
называется часть
шара, отсекаемая
от
него
плоскостью
Шаровой сектор
получается
из
шарового
сегмента и конуса,
где образующей
конуса выступает
радиус шара
Чертеж
Площадь
поверхности
Объем
Обозначения
V=πR2h
R – радиус
основания
h – высота
цилиндра
V=1/3 πR2h
l – образующая
R – радиус
основания
конуса
Sбок = π(R+r)l
Sполн=π(R(l+R)+r
(r+l))
V=1/3
πh(R2+r2+Rr)
R – радиус
,большего
основания
r – радиус
меньшего
основания
l – образующая
h – высота
S=4πR2
V=4/3πR3
R – радиус
шара
V=πh2(R1/3h)
R – радиус
шара
H – высота
сегмента
V=2/3πR2h
R – радиус
шара
r – радиус
сегмента шара
h – высота
шарового
сегмента
Sбок = 2πRh
Sполн= 2πR(h+R)
Sбок = πRl
Sполн=πR(R+l)
Задачи
10 класс
№ 17.
Точки M, N, Q, P – середины отрезков DB, DC, AC,
AB. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если АD =
12 см, ВС = 14 см.
№ 44.
Прямые ОВ и СD параллельные, а ОА и СD – скрещивающиеся прямые.
Найдите угол между прямыми ОА и СD, если:
а) угол АОВ = 400; б) угол АОВ = 1350; в) угол АОВ = 900.
№ 73
В тетраэдре АВСD точки M, N и Р являются серединами ребер АВ, ВС и СD,
АС = 10 см, ВD = 12 см. Докажите, что плоскость MNР проходит через середину К
ребра АD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении
тетраэдра плоскостью MNР.
№ 75.
Изобразите тетраэдр KLMN. а) Постройте сечение этого тетраэдра
плоскостью, проходящей через ребро KL и середину ребра MN. б) Докажите, что
плоскость, проходящая через середины Е, О, F отрезков LM, МА и МК, параллельна
плоскости LКА. Найдите площадь треугольника ЕОF, если площадь треугольника
LКА равна 24 см2.
№ 79.
Изобразите параллелепипед АВСDА1В1С1D1 и постройте его сечение: а)
плоскостьюАВС1; б) плоскостью АСС1. Докажите, что построенные сечения
являются параллелограммами.
№ 121.
В треугольнике АВС дано: угол С = 900, АС = 8 см, СМ – медиана. Через
вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника
АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ.
№ 140.
Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости
перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что угол ОАВ
равен углу ВАС раны 600, АО = 1, 5 см. Найдите расстояние между основаниями
наклонных.
№ 154.
Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что
ВD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки D до
прямой АС; б) площадь треугольника АСD.
№ 171.
Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости
α, а катет наклонен к этой плоскости под углом 300. Найдите угол между
плоскостью α и плоскостью треугольника.
№ 173.
Ребро СD тетраэдра АВСD перпендикулярно к плоскости АВС, АВ = ВС = АС
= 6, ВD = 3 7 . Найдите двугранные углы DАСВ, DАВС, ВDСА.
1) Отрезок АВ не пересекает плоскость α. Через середину отрезка С и концы А и В
проведены прямые, параллельные между собой и пересекающие плоскость α в
точках А1, В1, С1. Вычислите длину отрезка СС1, если АА1 = 5, ВВ1 = 7.
2) В пространстве даны три точки: А, В, С такие, что АВ = 14 см, ВС = 16 см, АС =
18 см. Найдите площадь треугольника АВС.
3) Треугольник МКР – равносторонний со стороной, равной 12 см. точка А лежит
вне плоскости треугольника МКР, причем АК = АР = 4 3 см, а АМ = 10 см.
Найдите косинус угла, образованного высотами МЕ и АЕ соответственно
треугольников МКР и АКР.
4) АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед, АВ = АD = 8 дм, АА1 = 2 дм.
Найдите площадь сечения ВМКD, где М – середина В1С1 и К – середина С1D1.
5) АВСD – квадрат, ВМ ┴ (АВС). Найдите отрезок DМ, если АВ = 12 см, а ВМ = 5
см.
6) Длина стороны ромба АВСD равна 5 см, длина диагонали ВD равна 6 см. Через
точку О пересечения диагоналей ромба проведена прямая ОК, перпендикулярная
его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин ромба, если ОК = 8 см.
7) В основании прямого параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 лежит ромб с углом при
вершине А, равным 600. Боковое ребро параллелепипеда равно стороне основания.
На ребре В1С1 взята точка Р – середина ребра. Считая АВ = а, найдите расстояние до
прямой РD от точки: а) В1; б) С.
8) В основании пирамиды SАВС лежит прямоугольный треугольник, у которого АС
= ВС = а, а боковое ребро SВ перпендикулярно плоскости основания. На ребрах SВ,
АС и ВС взяты соответственно точки М, Р, К – середины этих ребер. Найдите
расстояние между прямыми АМ и РК.
11 класс
№ 221.
Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро 6 см.
Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и
противолежащую вершину нижнего основания.
№ 230.
Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 1200
между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
№ 248.
Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см, 10 см.
Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 450. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды.
№ 258.
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60 0 с
плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое
ребро равно 12 см.
№ 321.
Измерения прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 имеют длины: АD = 8
см, АВ = 9 см, АА1 = 12 см. Найдите длины векторов: а) СС1, СВ, СD; б) DС1, DВ,
DВ1.
№ 330.
Нарисуйте параллелепипед АВСDА1В1С1D1 и обозначьте векторы С1D1, ВА1, АD
соответственно через вектора a, b, c. Изобразите на рисунке векторы:
а) a – b; б) a – c; в) b – a; г) c – b; д) c – a.
№ 523.
Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а)
высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.
№ 540.
Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности
равна 288 см2. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
№ 548.
Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом α.
Найдите площадь основания конуса, если: а) α = 300; б) α = 450;
в) α = 600.
№ 576.
Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: а) А(2; - 4; 7), R = 3; б)
А(0; 0; 0), R = 2 ; в) А(2; 0; 0), R = 4.
№ 587.
Расстояние от центра шара радиуса R до секущей плоскости равно d. Вычислите: а)
площадь S сечения, если R = 12 см, d = 8 см; б) R, если площадь сечения равна 12
см2, d = 2 см.
1) Площадь диагонального сечения куба равна 8 2 см2. найдите площадь
поверхности куба.
2) АВСА1В1С1 – наклонная треугольная призма. Двугранный угол при ребре АА1
равен 900. Расстояния от ребра АА1 до ребер ВВ1 и СС1 равны соответственно 4 см и
3 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна 4 3 см и
боковое ребро образует с основанием угол 600.
3) Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды,
диагональное сечение пирамиды – прямоугольный треугольник, площадь которого
равна 32 см2.
4) стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4
см и 6 см. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с
большим основанием угол, равный 450.
5) площадь осевого сечения цилиндра равна 6  дм2, а площадь основания
цилиндра равна 25 дм2. Найдите высоту цилиндра.
6) Длина образующей конуса равна 2 3 см, а угол при вершине осевого сечения
конуса равен 1200. Найдите площадь основания конуса.
7) Стороны треугольника АВС касаются шара. Найдите радиус шара, если АВ = 8
см, ВС = 10 см, АС = 12 см и расстояние от центра шара О до плоскости
треугольника АВС равно 2 см.
12 класс
№ 649.
Найдите объем куба АВСDА1В1С1D1, если:
а) АС = 12 см;
б) АС1 = 3 2 м;
в) DЕ = 1 см, где Е – середина ребра АВ.
№ 658.
Найдите объем прямой призмы АВСА1В1С1, если угол ВАС = 900, ВС = 37 см,
АА1 = 1, 1 дм.
№ 667.
Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6, 8 кг. Найдите длину провода
(плотность алюминия 2. 6 г/ см3).
№ 684.
Найдите объем пирамиды с высотой h, если:
а) h = 2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м;
б) h = 2,2 м, а основанием служит треугольник АВС, в котором АВ = 20 см,
ВС = 13,5 см, угол АВС равен 300.
№ 705.
Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого
сечения равна 60 см2.
№ 717.
Найдите объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 60
см, а радиус шара равен 75 см.
№ 721.
Круговой сектор с углом 300 и радиусом R вращается вокруг одного из
ограничивающих его радиусов. Найдите объем получившегося шарового сектора.
1) Отрезок АВ, концы которого лежат на разных окружностях оснований цилиндра,
пересекает ось цилиндра под углом 300. Найдите объем цилиндра, если длина
отрезка АВ равна 4 3 см.
2) Объем цилиндра равен 63 см3, а площадь осевого сечения 18 см2. Найдите
радиус основания цилиндра.
3) Объем конуса равен 9 3 см3. Найдите высоту конуса, если его осевое сечение –
равносторонний треугольник.
4) На поверхности шара даны три точки: А, В и С такие, что АВ = 8 см, ВС = 15 см ,
АС = 17 см . Центр шара – точка О находится на расстоянии
проходящей через точки А, В и С. Найдите объем шара.
35
см от плоскости,
2
5) Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 см и
3 см, вращается
вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите объем фигуры вращения.
6) Чугунное ядро радиусом 1 дм переплавили в равновеликий конус, образующая
которого 6 дм. Найдите высоту конуса, если она не менее 1 дм.
7) Прямоугольная трапеция МКРN (МN ║ КР и угол N равен 900) вращается вокруг
оси, содержащей сторону КР. Найдите объем фигуры вращения, если КР = 2 см,
диагональ МР = 6 см, угол МКР равен 600.
8) Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которой присоединены равные
шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0, 5 м.
Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны
равнялась 50 м3?
9) Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду АВ основания, образует с
высотой конуса угол 300 и удалена от центра основания на 3 дм. Найдите объем
конуса, если длина хорды АВ равна 2 дм.
10) Основанием прямой призма АВСА1В1С1 является треугольник АВС, в котором
угол С равен 900, угол А равен 300, ВС = 4. Точка К – середина ребра СС1, В1К ┴
А1В. Найдите объем призма.
11) Основание прямой призмы служит равносторонний треугольник со стороной,
равной 10. Определите объем призмы, если диагональ боковой грани равна 26.
12) Прямоугольник, диагональ которого равна 13, свернут в цилиндр. Найдите
объем цилиндра. Если его высота равна 5.
13) Боковая поверхность конуса равна 36 , а образующая конуса в три раза больше
радиуса основания. Определите объем конуса.
14) Даны координаты точек: А (- 3; 2; - 1), В (2; - 1; - 3), С (1; - 4; 3), D (- 1; 2; - 2).
Найдите длину вектора ‫׀‬2АВ + 3СD‫׀‬.
15) Даны координаты точек: А (3; - 2; 1), В (-1; 2; 1), М (2; - 3; 3), Р(- 1; 1; -2).
Найдите косинус угла между векторами АВ и МР.
16) При каком значении (значениях) k векторы a(6 - k; k ;2) и b (- 3; 5 +5k; - 9)
перпендикулярны?
17) При каком значении a векторы АВ и СК коллинеарные, если А(-2; - 1; 2), В(4;- 3;
6), С(-1; a – 1; 1), К(-4; -1; a)?
18) Длина вектора a =равна 4, длина вектора b равна 1 угол между ними равен 60 0.
Найдите косинус угла между векторами a – b и b.
19) Основание прямого параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 – параллелограмм АВСD,
в котором СD = 2 3 , угол D равен 600. Тангенс угла между плоскостью основания и
плоскостью А1ВС равен 6. Найдите высоту параллелепипеда.
20) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ, равная 10,
образует с основанием угол, косинус которого равен
2
.
10
21) Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 12. Основание призмы – треугольник
АВС, в котором АВ = АС, ВС = 18, тангенс угла С равен 0.4. Найдите тангенс угла
между прямой АС1 и плоскостью ВВ1С1.
22) Прямоугольная трапеция описана около окружности. Точка касания делит
боковую сторону трапеции на отрезки длиной 2 и 8. Найдите периметр трапеции.
23) Расстояние от центра основания конуса до образующей равно 2 3 . Найдите
наименьший возможный объем такого конуса.
24) В правильной треугольной пирамиде SАВС точки К. N принадлежат ребру SА,
точка М – ребру SВ, а точка L принадлежит ребру SС, причем АК = КN = NS, SМ :
МВ = 1: 3, SL : LС = 2 : 1. Найдите отношение объема пирамиды КLМN и объему
пирамиды SАВС.
25) Боковое ребро МА пирамиды МАВС перпендикулярно плоскости основания и
равно 13, угол ВАС = 900, АВ = 39 и АС = 52. Найдите расстояние от вершины А до
плоскости ВСМ.
26) Площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равна 160,
боковая сторона равна 20. Высоты ВК и АН пересекаются в точке О. Найдите
площадь треугольника АВО.
27) Основание прямой призмы АВСА1В1С1 является треугольник АВС, в котором
угол С = 900, угол А = 300, ВС = 4. Точка К – середина ребра СС1, В1К ┴ А1В.
Найдите объем призмы.
Тест «Параллельность и перпендикулярность в пространстве»
1. АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед. Найдите площадь сечения,
проведенного через точки А, В1 и D, если АВ = 4 см, АА1 = 4 2 см и АD = 2 3 см.
а) 28 3 см2
б) 36 см2
в) 24 см2
г) 30 2 см2
2. Если АВСDА1В1С1D1 – куб и К – середина АВ, М – середина АD, то укажите
верные высказывания: 1) угол АВ1С = 900;
2) КМ║В1С
а) 1;
б) 2;
в) 1; 2;
г) верных нет
3. Плоскости равностороннего треугольника АВС и квадрата ВСDЕ
перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до стороны DЕ, если АВ = 4 см.
а) 6 2 см
б) 2 7 см
в) 4 3 см
г) 6 см
4. Прямая m параллельна стороне АВ треугольника АВС. Расстояние от прямой m
3
см, а расстояние от m до АВ равно 3 см. Найдите
2
расстояние от точки С до прямой m, если угол АСВ = 900, ВС = 3 см, АС = 1 см.
до плоскости АВС равно
а) 4 3
б)
57
2
в)
57
или
2
21
2
г) 4 3 или 2 3
5. Плоскость α проходит через сторону СD ромба СDЕК, причем α перпендикулярна
плоскости ромба. В плоскости α проведена прямая l ║ СD. Найдите расстояние
между прямыми КЕ и l, если СК = 8 см, угол КЕD= 300 и расстояние между
прямыми l и СD равно 3 см.
а) 4 см
б) 5 см
в) 6 см
г) 6 3 см
6. АВСD – квадрат с периметром, равным 16 3 см. Точка Е удалена от всех сторон
квадрата на 4 см. Найдите расстояние точки Е от плоскости АВС.
а) 2 3 см;
б)
2
см;
2
в) 2 2 см;
г) 2 см
7. Плоскость α перпендикулярна к плоскости β. Точка С принадлежит плоскости α.
Отрезок СС1 перпендикуляр к плоскости β, точка D принадлежит плоскости β и DD1
– перпендикуляр к плоскости α. Найдите длину отрезка С1D1, который принадлежит
линии пересечения плоскостей α и β, если СС1 = 8 см, DD1 = 12 см, СD = 15 см.
а) 6 2 см
б) 13 см
в) 17 см
г) 3 3 см
8. АВСDА1В1С1D1 – куб, ребро которого равно 32 см. Найдите расстояние между
прямыми СС1 и DВ1.
а) 6 см
б) 4 см
в) 4 2 см
г) 2 3 см
Примерные контрольные работы
10 класс
Вариант № 1
1. Пусть отрезки МN и КР – средние линии соответственно треугольников АВС и
АВС1 с общей стороной АВ, плоскости которых не совпадают, причем М  АС, N 
СВ, К  ВС1 и Р АС1. Укажите верные утверждения:
1) МР и КМ – скрещивающиеся прямые;
2) прямые МК и СС1 параллельны;
3) МN и КР – скрещивающиеся прямые;
4) прямые АС1 и КР пересекаются;
5) прямая МN параллельна КР;
6) прямая КР параллельна плоскости АВС
2. Из вершины прямого угла С равнобедренного треугольника АВС проведен
отрезок СК перпендикулярный плоскости треугольника и равный 2 2 см. Найдите
площадь треугольника АКВ, если АС = 4 см.
3. Из точки А к плоскости проведены перпендикуляр длиной 4 см и наклонная
длиной 5 см. Найти длину проекции наклонной на плоскость.
4. Стороны прямоугольника АВСD имеют длины 6 см и 8 см. Из точки
пересечения диагоналей прямоугольника проведен отрезок ОК, перпендикулярный
АВСD. Найти КА, КВ, КС, КD, если ОК=12 см
Вариант №2
1. Через сторону ВС четырехугольника
АВСD проведена плоскость α,
перпендикулярная его смежной стороне СD и параллельная противоположной
стороне АD. Указать верные утверждения:
1) АВСD – произвольный параллелограмм;
2) АВСD – прямоугольник;
3) АВСD – произвольная трапеция;
4) АВСD – прямоугольная трапеция;
5) АВСD – произвольный четырехугольник.
2. Через вершину В квадрата АВСD проведен отрезок ВК, перпендикулярный
плоскости квадрата. Найдите площадь треугольника КDС, если диагональ квадрата
равна 12 см, наклонная КD образует с плоскостью квадрата угол в 30°.
3. Из точки А к плоскости проведены перпендикуляр АК = 6 см и наклонная
АМ =10 см. Найти длину проекции наклонной на плоскость.
4. Катеты прямоугольного треугольника АВС имеют длины АС=16 см и ВС=12 см.
Через середину гипотенузы проведен отрезок ОК, перпендикулярный плоскости
АВС. Найти расстояние от точки К до вершины треугольника, если ОК=24 см.
11 класс
Вариант № 1
1. В прямой четырехугольной призме стороны основания 6 см и 8 см, боковое ребро
12 см. Найти высоту и площадь поверхности призмы.
2. Радиус основания конуса 3 см, высота 4 см. Найти площадь боковой поверхности
конуса.
3. Сферу на расстоянии 4 см от центра пересекает плоскость. Радиус сечения равен
3 см. Найти площадь сферы.
4. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см и образует с
боковым ребром угол 450. Найдите площадь основания пирамиды.

 1
2
3 1
5 5
5. Перпендикулярны ли векторы a (4; ; ) и b ( ;5;3) ?


6. Найдите косинус угла между векторами a (3;2;4) и b (0;3;1)
Вариант № 2
1. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 4 см, боковое
ребро 9 см. Найти высоту и площадь боковой поверхности призмы.
2. Высота конуса 6 см, образующая 10 см. Найти площадь боковой поверхности
конуса.
3. Шар с центром в точке О касается плоскости в точке М. Точка N лежит в
плоскости касания. Найти радиус шара, если МN =12 см, ОN =13 см.
4. Дана треугольная пирамида SABC, в которой ребро SA перпендикулярно
основанию. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды, если АВ=АС=13
см, а грань SBC составляет с плоскостью основания угол 450, ВС=10см.


5. Перпендикулярны ли векторы a (3;2;3) и b (1;3;1) ?


6. Найдите косинус угла между векторами a (3;2;3) и b (1;3;1)
12 класс
Вариант № 1
1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 6 см и 8 см, боковое
ребро 12 см. Найти объем параллелепипеда.
2. Радиус основания конуса 3 см, высота 4 см. Найти площадь боковой
поверхности конуса.
3. Сферу на расстоянии 4 см от центра пересекает плоскость. Радиус сечения
равен 3 см. Найти площадь сферы.
4. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см и образует с
боковым ребром угол 450. Найдите объем пирамиды.
5. Укажите верные утверждения:
а) в каждой призме боковое ребро больше или равно его высоте
б) существует призма, у которой боковое ребро меньше или равно ее высоте
в) призма будет правильной, если в основании – квадрат
г) призма является прямой, если найдется боковое ребро перпендикулярное
основанию
д) каждая прямая призма является правильной
е) два прямоугольных параллелепипеда, имеющих равные объемы, равны
ж) два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объемы, если
соответственно равны их высоты и площади оснований
6. У правильной четырехугольной пирамиды все ребра имеют длину равную 1.
Укажите ее объем
а)
2
2 2
3
3 2
б)
в)
г)
3
3
3
4
д)
2
6
Вариант № 2
1. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 4 см, боковое
ребро 9 см. Найти объем призмы.
2. Высота конуса 6 см, образующая 10 см. Найти площадь боковой поверхности
конуса.
3. Шар с центром в точке О касается плоскости в точке М. Точка N лежит в
плоскости касания. Найти объем шара, если МN =12 см, ОN =13 см.
4. Дана треугольная пирамида SABC, в которой ребро SA перпендикулярно
основанию. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды, если
АВ=АС=13 см, а грань SBC составляет с плоскостью основания угол 450 ВС=10
см.
5. Укажите верны утверждения:
а) Если в основании пирамиды лежит квадрат, то пирамида правильная
б) Существует пирамида, у которой боковое ребро перпендикулярно основанию
в) Если пирамиды имеют равные объемы, то они равны
г) Любая пирамида является тетраэдром
д) любые две грани тетраэдра имеют общее ребро
е) два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объемы, если равны
площади их оснований
ж) два равновеликих прямоугольных параллелепипеда имеют равные объемы
6. Диагональ куба равна 9. Укажите объем куба.
а) 27 3 б) 81 3 в)
9 3
3 3
г)
2
4
д)
32 2
3
Список литературы
Основная
1. Атанасян Л. С. Геометрия 10 – 11. – 14 – е изд., - М.: Просвещение , 2005. –
206 с.
2. Погорелов А. В. Геометрия 7 – 11. – 4 – е изд., - М.: Просвещение, 1993. – 383
с.
Дополнительная
1. Алтынов П.И. Тесты по геометрии 10 – 11 класс. – 4 – е изд., – М.: Дрофа,
2000 – 80 с..
2. Корешкова Т.А. ЕГЭ 2008 Математика. – М.: Издательство «Экзамен», 2008. –
78 с
3. Кочагин В. В. ЕГЭ 2008 Математика. – М.: АСТ: Астрель, 2008. – 94 с.
4. Креславская О.А. ЕГЭ 2008 Математика. Сдам без проблем. – М.: Эксмо,
2008 – 192 с.