Задачи к экзамену по геометрии в 10 Б классе (зимняя сессия) 1

Задачи к экзамену по геометрии в 10 Б классе (зимняя сессия)
1. Основание AD трапеции АВСD лежит в плоскости . Через точки В и С
проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках Е и F
соответственно.
а) Каково взаимное расположение прямых ЕF и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми ЕF и АВ, если ? Ответ обоснуйте.
2.Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает
сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС в точке В1. Найдите
длину отрезка А1В1, если АВ = 15 см, АА1 : АС = 2 : 3.
3. Даны параллелограмм АВСD и не пересекающая его плоскость. Через
вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие
данную плоскость в точках А1, В1, С1, D1. Найдите длину отрезка DD1, если
АА1 = 2 м, BВ1, = 3 м, СС1 = 8 м.
4. Диагональ куба равна 6 см. Найдите:
а) ребро куба;
б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
5. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см.
Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных
относятся как 2 : 3.
6. В ромбе АВСD угол А равен 60°, сторона ромба равна 4 см. Прямая АЕ
перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние от точки Е до прямой DC равно 4
см. Найдите расстояние от точки Е до плоскости ромба и от точки А до
плоскости ЕDC.
7. Пользуясь изображением на рисунке 1, назовите:
а) точку пересечения прямой AD с плоскостью DD1C;
б) линию пересечения плоскостей ADD 1и D 1CD.
В какой из плоскостей ADD 1, А1В1B, В1B С1, ВСD не лежит точка А?
8. На рисунке 1 точки М, Н и Р – середины соответственно отрезков AD, DВ,
AС, PK || MH. Найдите периметр четырех угольника МНРК, если АВ = 8 см,
СD = 10 см.
9. Некоторая плоскость пересекает боковые стороны АВ и CD трапеции АВСD
в точках М и К соответственно. Докажите, что AD || , если М и К – середины
боковых сторон трапеции.
10. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите,
что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и СD, АС и ВD, АD и ВС,
пересекаются в одной точке.
11.Точка М не принадлежит плоскости треугольника АВС. Каково взаимное
расположение прямых МА и ВС? Ответ обоснуйте.
12. На рисунке 1 прямая НА пересекает плоскость АВС. Каково взаимное
расположение прямых ОН и РК? Ответ обоснуйте.
13. Сторона АС треугольника АВС лежит в плоскости . Через середину ВА –
точку М проведена плоскость , параллельная плоскости и пересекающая ВС в
точке К. Найдите МК, если АС = 10 см.
14. В тетраэдре DABC постройте сечение плоскостью, проходящей через
середину ребра DC, вершину В и параллельной прямой АС.
15. В параллелепипеде ABCDА1В1, С1D 1 точки К, Р и М принадлежат
соответственно ребрам АА1, А1В1 и ВС. Постройте сечение параллелепипеда
плоскостью КРМ.
16.ВН – медиана треугольника АВС. Прямая МА перпендикулярна плоскости
треугольника. Найдите угол между прямыми ВН и МА.
17. Прямые АВ и СD перпендикулярны некоторой плоскости и пересекают ее в
точках В и В соответственно. Найдите АС, если АВ = 9, CD = 15, BD = 8.
18. Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 – равные ромбы; углы между
ребрами, имеющими общую точку А равны. Выясните, перпендикулярна ли
прямая А1С прямой B1D1.
19. В треугольнике АВС АС = ВС = 10 см, . Прямая BD перпендикулярна
плоскости треугольника, BD = 5см. Найдите расстояние от точки D до прямой
АС и расстояние от точки В до плоскости ADC.
20. Отрезок АМ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника АВСD.
Угол между прямой МС и этой плоскостью равен 30°, , CD = 2. Найдите АМ.
21. В тетраэдре SABCD точка K лежит в плоскости ABC, точки M, K на ребрах
AS и SC .
Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.
22. В параллелепипеде ABCDА1В1, С1D 1 точки К, Р и М принадлежат
соответственно ребрам BB1, СС1 и AD. Постройте сечение параллелепипеда
плоскостью КРМ.
23. В параллелепипеде ABCDА1В1, С1D 1 постройте сечение параллелепипеда
плоскостью, проходящей через прямую BD, параллельно прямой А1С.
24. В тетраэдре DABC точка E лежит на ребре AD.Постройте сечение
тетраэдра, проходящее
через точку E параллельно прямым AC и BD. Определите вид построенного
сечения.