Соотношения между сторонами и углами треугольника система уроков дифференциации.

МОУ « Свердловская основная общеобразовательная школа»
Ленинск – Кузнецкий район
Кемеровская область.
Соотношения между сторонами
и углами треугольника:
система уроков с применением уровневой
дифференциации.
Составиль :
учитель математики
Воробьева Вера Анатольевна.
2010 год.
1
Содержание.
Аннотация _______________________________________________________3
Пояснительная записка_____________________________________4 - 5
Технологическая карта темы_________________________________6
Конспект 1 _______________________________________________7 – 11
Конспект 2_______________________________________________ 12 – 15
Конспект 3_______________________________________________ 16 – 19
Конспект 4_______________________________________________ 20 – 22
Конспект 5_______________________________________________ 23 - 26
2
Аннотация.
В данной работе представлена система уроков по теме «Соотношения между
сторонами и углами треугольника» с применением уровневой дифференциации. В
основу разработок этой системы уроков положен играющий ведущую роль в
современной педагогической психологии личностно- деятельностный подход к
обучению. Личностно - деятельностный подход к обучению предполагает, что все
воздействия на учащегося как на субъект обучения с целью управления его учебной
деятельностью
преломляются
через
призму
личности
обучаемого,
его
индивидуально-психологические и психофизиологические особенности. Из этого
следует, что достигнуть оптимальных результатов обучения каждого учащегося
можно лишь в том случае, если преподавание предмета вести на нескольких уровнях
сложности, обеспечивающих постепенный переход от уровня актуального развития
к зоне ближайшего развития. Система уроков состоит из пяти конспектов. На
каждом уроке проводится самостоятельная работа по уровням, причем каждый
учащийся начинает с решения задач по индивидуальному варианту первого уровня
сложности, однотипных с теми, которые рассматривались на предыдущем этапе,
решаются специально составленные учебные задачи. Содержание этих задач диктуется, с одной стороны, требованием доступности для всех учащихся, а с другой требованием отразить в них наиболее существенные связи и отношения между
элементами
изучаемых
геометрических
объектов.
Доступность
задач
обеспечивается небольшим числом умозаключений, требующихся для их решения,
правилами построения чертежей, а также опорой на хорошо известные учащимся
ранее изученных теорем, определений и свойств треугольника. Все это позволяет
вести на данном этапе фронтальную работу с классом, вовлекая в обсуждение
решения задач как сильных, так и слабых учащихся. Практически в каждом
конспекте присутствуют задачи на готовых чертежах, наличие которых помогает
учителю наиболее рационально использовать время на уроке. Тестовые задания
позволяют своевременно выявить пробелы в знаниях учащихся, экономя при этом
время учителя. На пятом уроке проводится дифференцированная лабораторная
работа по определению вида треугольника, которая проверяет знания у учащихся
всей теории данной темы. Задание на дом дается учащимся дифференцировано.
3
Пояснительная записка.
Представленная система уроков является частью разработанной технологии
внутриклассной уровневой дифференциации учебной деятельности школьников
в преподавании курса геометрии 9-х классов основной школы.
Согласно
деятельностному
аспекту
данного
подхода,
обучение
-
это
двустороннее единство деятельности обучаемого и обучающего по созданию
условий для формирования у учащегося структуры обобщенных умственных
действий, направленных на приобретение им заданной системы знаний, умений и
навыков. Со стороны учащегося процесс обучения выступает в форме учебной
деятельности, которая определяется психологами как специфическая деятельность
субъекта по его саморазвитию на основе решения специально поставленных
учителем учебных задач. Со стороны учителя - это организация учебной
деятельности учащегося, состоящая из двух взаимосвязанных компонентов:
формирования ориентировочной основы действий, составляющих содержание
учебной деятельности, и целенаправленного управления этой деятельностью в
процессе самостоятельной работы учащегося.
Структурной единицей учебного процесса в рассматриваемой технологии
служит блок уроков, связанных одной темой. На первом уроке блока учащимся
сообщается тема и ставятся цели ее изучения. Далее учитель переходит к этапу
предварительного ознакомления учащихся с формируемой деятельностью. На
этом этапе вводятся основные понятия изучаемой темы, решаются специально
составленные учебные задачи. В целом этап предварительного ознакомления
обеспечивает понимание учащимися основных понятий темы и содержания той
деятельности, в которую они включены и которая приводит к решению
рассматриваемого класса задач.
Следующий этап в изучении темы - самостоятельная работа учащихся, которая
проводится дифференцированно на двух или трех уровнях сложности - в
зависимости от объема темы.. Самостоятельная работа каждого учащегося начинается с решения по индивидуальному варианту задач первого уровня сложности,
однотипных с теми, которые рассматривались на предыдущем этапе. Однако
функция этих задач в процессе обучения изменяется: если на предыдущем этапе они
4
служили для раскрытия деятельности, формирования ориентировочной основы
составляющих ее умственных действий, то теперь выступают как средство усвоения
этой деятельности.
Сильные учащиеся, справившиеся с набором задач первого уровня сложности ,
переходят к самостоятельной работе второго, более высокого уровня сложности.
Слабым учащимся время, отведенное на самостоятельную работу, полностью
предоставляется для решения задач первого уровня.
Следует также обратить внимание на изменение функции отметки, происходящее
при работе по рассматриваемой технологии. Отметка «3» за работу по теме
выставляется тем учащимся, которые справились только с задачами первого уровня,
отметки « 4 » и «5» - тем, кто успешно закончил работу на втором уровне. В
результате оценка отражает не количество ошибок учащегося, как это происходит
при работе по традиционной технологии, а освоенный им уровень сложности. Это
вносит элемент состязательности в работу учащихся и служит дополнительным фактором повышения успеваемости.
На изучение темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника» отводится 5 уроков. Этот блок обеспечивает усвоение учащимися теорем синусов и
косинусов и способов деятельности, необходимых для решения задач, связанных с
решением треугольников.
Образовательные цели данных уроков:
- изучение и первичное закрепление понятий синуса, косинуса и тангенса (урок 1);
- изучение и закрепление теоремы о площади треугольника (урок 2);
- изучение и закрепление теорем синусов и косинусов (урок 3);
- решение треугольников с помощью теорем синусов и косинусов (уроки 4-5).
Изложение материала ведется с опорой на уже имеющиеся у учащихся знания
соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника, теоремы о
сумме углов треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами
треугольника
Ниже приведена технологическая карта темы и подробные конспекты пяти уроков.
Предлагаемая система уроков геометрии ориентирована на работу по учебнику
Л.С.Атанасяна. (Геометрия: Учебник для 7-9 классов» (М.: Просвещение, 2009); в
разработке все ссылки даны на теоремы, номера задач и т.д. этого учебника
5
Технологическая карта темы
«Соотношения между сторонами и углами треугольника».
Что должен знать ученик, приступая к изучению темы :
Теорема : Сумма углов треугольника равна 1800.
Теорема : В треугольнике : 1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Определение 1:Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Определение 2: Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Определение 3: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется
отношение противолежащего катета к прилежащему.
Таблица значений синусов, косинусов и тангенсов некоторых углов:
α
0 0 300 450 600 900
1
sin α 0
1
2
3
2
2
2
1
2
cos α
1
3
2
2
2
tg α
0
3
3
1
3
0
-
Что должен узнать ученик в процессе изучения темы :
Определение 1: Для любого острого угла α из промежутка 00 ≤ α ≤ 1800 синусом
угла α называется ордината (у ) точки М, а косинусом угла α –
абсцисса ( х ) точки М.
Определение 2: Тангенсом угла α (α ≠ 900 )называется отношение
sin 
cos 
Теорема : Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на
синус угла между ними.
6
Теорема (синусов) : Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
Теорема ( косинусов) : Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других его сторон минус удвоенное произведение этих
сторон на косинус угла между ними.
7
8
Конспект 1.
Тема : Синус, косинус и тангенс угла.
Тип урока: Урок сообщения новых знаний.
Цели урока:
 Ввести понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180°.
 Вывести основное тригонометрическое тождество и формулы для вычисления
координат точки.
 Рассмотреть формулы приведения sin (90° - α), cos (90° - α), sin (180° - α),
cos (180° - α)
Ход урока.
I. Организационный момент
II.Актуализация знаний учащихся.
Теоретический опрос
- Что называется синусом острого угла прямоугольного треугольника?
- Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?
- Что называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?
- Какое равенство называется основным тригонометрическим тождеством?
ПI. Математический диктант.
1 вариант
1. Найдите синус угла А.
А
10
2. Найдите тангенс угла В .
8
3. Чему равен косинус 600 ?
В
С
6
4
4. Найдите cos α, если sin α = .
9
1
5. Найдите tg α, если cos α = .
3
6. В треугольнике АВС < С = 900 , sin А =
2
. Найдите sin В :
5
7. Упростите выражение : sin 300 • cos 450 • tg 600
2 вариант.
В
1. Найдите косинус угла В.
2. Тангенс угла А равен:
12
13
3.Синус 30 равен :
0
С
9
5
А
4. Найдите sin α, если cos α =
5. Найдите tg α если sin α =
4
.
7
3
.
4
6. В треугольнике АВС < С= 900 , sin А =
3
. Найдите cos В :
5
7. Упростите выражение : sin 450 • cos 600 • tg 300
III. Изучение нового материала.
1. Ввести понятия синуса, косинуса, тангенса для углов от 00 до 1800, используя
единичную полуокружность.
sin α
=
ММ 1
ОМ
=
у
1
=
х
1
0 ≤ sin α ≤ 1.
cos α
=
ОМ 1
ОМ
- 1 ≤ cos α ≤ 1
tg α
=
sin 
cos 
=
=
у
х


sin α = у ;
cos α = х ;
(α ≠ 900 )
∆ОММ1 - прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора: OM12 + MM12 = ОМ2
x2 + у2 = 12
Основное тригонометрическое тождество:
сos2 α + sin2 α = 1
2. Формулы приведения:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
sin (180° - α) = sin α
cos (180° - α) = -cos α
З. Составить таблицу значений синуса, косинуса и тангенса для углов 0°, 30о, 45°,
60°, 90°, 120°, 135°,150°, 180°.
0° 30О 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
sin α
cos α
tg α
Значения синуса, косинуса, тангенса для углов от 0° до 90° учащиеся заполняют
самостоятельно (это материал 8 класса). Значения синуса, косинуса, тангенса для
углов 120°, 135°, 150°, 180° заполняют с помощью учителя, используя формулы
приведения, единичную полуокружность и формулы sin α = у, cos α = х, tg α =
Например:
10
sin 
cos 
а) sin 120° = sin( 180° - 60°) = sin 60° =
3
.
2
3
3
1
sin 150 0
1
б) tg150 =
= :()==0
2
2
3
cos150
3
0
в) sin 180° = О (ордината точки М при повороте радиуса ОМ на 180° от
положительной полуоси Ох равна о).
4. Вывести формулы для вычисления координат точки.
ОМ cos α ; sin α
ОА = ОА • ОМ
х = ОА • cos α ; у = ОА • sin α
ОА ОА cos α ; ОА sin α
IV. Закрепление нового материала.
1.Разобрать решение задач №30 (а), 31 (а,в) из рабочей тетради.
2.Самостоятельно решить всем сидящим на 1 варианте задачу №30 (б), на 2
варианте – №31 (б) из рабочей тетради с последующей взаимопроверкой между
парой, сидящей за одной партой
Задача №30.
Найдите по рисунку синус, косинус и тангенс угла:
а) АОМ ;
б) АОК ;
Решение :
а) Угол АОМ образован лучом ОМ и положительной полуосью абсцисс, точка М
лежит на единичной полуокружности. Значит, синус угла АОМ равен ординате
точки М, т. е. sin AOM = 0,6. Косинус угла АОМ равен абсциссе точки М, т. е.
cos AOM = 0,8.
Тангенс <AOM paвен
ОА =
sin АОМ
, т. е. tg AOM = AM :
cos АОМ
3
4
б) Синус угла ОАК равен ординате точки К, т. е.
sin AOK = 0,8.
Косинус угла АОК равен абcциссе точки К, т. е. cos AOK = - 0,6.
Тангенс угла АОК равен cosAOK , т. е. tg AOK = Ответ:
3
.
4
4
б) sin OAK= 0,8; cos AOK=-0,6; tg AOK=3
а) sinAOM= 0,6; cos AOM= 0,8; tg AOM=
Задача № 31.
11
4
3
Принадлежит ли единичной полуокружности точка:
а) Р ( - 0,6 ; 0,8) ;
1
4
б) Т ( ;
3
);
4
в) H (
2 1
; ).
2
2
Решение :
Точка с координатами (х; у) принадлежит единичной полуокружности, если
выполнены два условия: 1) -1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤1 и 2) х2 + у2 = 1.
Рассмотрим данные точки.
а) Точка Р: х = - 0,6, у = 0,8 удовлетворяют первому условию:
-1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1;
х2 + у2 =(-0,6)2 + 0,82 = 0,36 + 0,64 = 1,
следовательно, выполнено второе условие. Поэтому точка Р принадлежит
единичной полуокружности.
1
4
б) Точка Т: х = , у =
1
4
3
4
( )2 + ( )2 =
10
;
16
3
, следовательно, -1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1.
4
10
≠1
16
Следовательно, второе условие не выполнено. Поэтому точка Т не принадлежит
единичной полуокружности.
в) Точка Н: х = -
2
1
, у = - значит, -1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1. Итак,
2
2
2
первое условие не выполнено.
2

3
3
1
2

х + у =    +    = ;
≠1
4
4
 2
 2 
2
2
Следовательно, второе условие не выполнено. Поэтому точка Н не принадлежит
единичной полуокружности.
Ответ:
а) принадлежит;
б) не принадлежит;
в) не принадлежит.
3. Решить самостоятельно задачи № 1012, 1015 (а, б).
Задача № 1012.
Решение:
Точка с координатами (х; у) принадлежит единичной полуокружности, если
выполняются условия: -1≤ х≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1 и х2 + у2 = 1. Точка М1 (0; 1)

удовлетворяет всем условиям
она лежит на единичной полуокружности.
Точка М2 (
3
1
;
)
2
2
удовлетворяет всем условиям, следовательно она лежит
на единичной полуокружности.
Точки
М3
(
2
2
3
1
;
) ; М4 (; ) ; А (1 ; 0) ; В ( - 1 ; 0) также лежат на
2
2
2
2
единичной полуокружности.
Синус < АОМ – это ордината точки М. Косинус < АОМ – это абсцисса точки М.
Тангенс < АОМ равен отношению синуса к его косинусу.
12
М1(0;1) 
sin АОМ1 = 1, cos AOM1= 0, tg AOM1= 0.
3
3
3 1
1
1
;
)  sin АОМ2 =
, cos AOM2 = , tg AOM2 =
:
= 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
М3 (
;
)  sin АОМ3 =
, cos AOM3 =
, tg AOM3 =
:
=1
2
2
2
2
2
2
3 1
3
3
1
1
1
М4 ( ; )  sin АОМ4 =
, cos AOM4 = , tg AOM4 = : ()= 2
2
2
2
2
2
3
М2 (
Задача № 1015.
Решение : а) cos α = 1

sin α = 1 cos 2  =
1  12 = 0.
tg α = sin α : cos α = 0 : 1 = 0.
2
2
б) sin α =
2
cos α = +
Так как 00 < α < 900
tg α = sin α : cos α =

1 sin  = +
2
cos α > 0
 2
2
 =+
1  
.

2
 2 

cos α =
2
.
2
2
2
:
= 1.
2
2
Ответ : а) 0 ; б) 1.
V. Подведение итогов урока.
а) Подвести итоги по достижению цели урока.
б) Провести рефлексию на уровень сложности учебного материала:
1. Легкий материал.
2. Средней трудности материал.
3. Трудный материал.
Домашнее задание
пп. 93 – 95, вопросы 1 – 6.
Решить задачи:
1 уровень - № 32 (из рабочей тетради), №1011, 1015 ( в, г).
2 уровень - № 1011, 1015 (в, г), дополнительную задачу.
Дополнительная задача:
Точка В единичной окружности имеет координаты:
а) -
2
2
;
2
2
;
б) -
3 1
;
2 2
;
в) -
1
;
2
3
2
Найдите угол, который образует луч ОВ с положительной полуосью Ох.
13
Конспект 2.
Тема :
Теорема о площади треугольника
Тип урока: Урок сообщения новых знаний.
Цели урока:
 Рассмотреть теорему о площади треугольника.
 Научить учащихся решать задачи на применение теоремы о площади
треугольника.
 Развивать умение пользоваться основным тригонометрическим тождеством и
находить координаты точки.
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний. Повторение теории.
1. Теоретический опрос
- Что называется синусом угла α из промежутка 0 ≤ α ≤ 1800?
- Что называется косинусом угла α из промежутка 0 ≤ α ≤ 1800?
- Что называется тангенсом угла α?
- Для какого значения α тангенс не определен и почему?
- Какое равенство называется основным тригонометрическим тождеством?
2. Самостоятельная работа.
1 уровень.
1. Найти:
а) sinα, если cosα = б) cosα., если sinα =
в) tgα, если cosα =
1
.
3
2
.
5
1
.
2
2. Проверьте лежат ли на единичной окружности точки:
1
4
а) А ( ;
15
)
4
б) В ( 7; 3)
в) С (
1 1
; )
2 2
3. Угол между лучом ОМ, пересекающих единичную полуокружность, и
положительной полуосью Ох равен α. Найдите координаты точки М, если
а) ОМ = 4; α = 60° б) ОМ= 8; α = 150°
14
2 уровень.
1. Найти синус, косинус и тангенс угла АОМ, если О – начало координат, а точка
А ( 1; 0), М ( -
1
; у) лежат на единичной полуокружности.
5
2. Упростите выражения:
а) sin 60° · cos 135° · tg 120°
б) cos 60° - 2sin 135° + cos2 120°
3. Найти угол между лучом ОМ и положительной полуосью Ох, если точка М
имеет координаты:
а) ( - 4; 4)
б) ( 3 3 ; 3)
3 уровень.
1. Построить угол А, если cos А = -
4
. Найти sin А, tg А.
7
2. Найдите значение выражения sin2α · tgα – cos2α, если известно, что sinα =
1
.
3
3. Найдите наименьший угол между лучами ОА и ОВ, если А ( - 2; 2 3 ),
В ( 5; 5), О начало координат.
III. Изучение нового материала.
Вывод формулы о площади треугольника можно получить в процессе решения
задачи в творческих группах с последующим обсуждением всех вариантов решения.
Задача.
В треугольнике АВС ВС = а, АС = b, < С = α. Найдите площадь треугольника
АВС.
Решение :
Координаты точки В равны:
х = а cos α , у = а sin α.
Высота МВС, проведенная к стороне А С, равна BH.
С другой стороны, ВН - это ордината точки В,
т. е. ВН = а sin α.
SABC =
Итак,
1
1
1
АС· ВН= b (а sin α) = а b sin α.
2
2
2
SABC =
1
а b sin α, где а, b - стороны треугольника, α - угол между ними.
2
Для более глубокого усвоения вывода формулы о площади треугольника
желательно задать следующие вопросы контролирующего характера (опрос
начинать с менее подготовленных учащихся):
- Для чего проведена высота МВС ?
- Почему координаты точки В равны (а cos α; а sin α)?
- Почему ВН = а sin α ?
- В формуле S∆ =
1
a b sin α где по отношению к сторонам а и b треугольника
2
15
расположен угол α ?
IV. Закрепление изученного материала.
1. Решить самостоятельно 1 варианту задачу № 38, 2 варианту - №39 из рабочей
тетради с последующей взаимопроверкой между парой, сидящей за одной партой.
Предварительно решение обсудить со всем классом.
Вопросы для обсуждения задачи № 38:
- Лежит ли угол В между сторонами АВ и ВС треугольника АВС ?
- Какую формулу вы использовали для вычисления площади треугольника АВС?
- Можно ли площадь треугольника АВС вычислить другим способом?
- Какой из этих способов наиболее рациональный?
Вопросы для обсуждения задачи № 39:
- Какая зависимость существует между площадью треугольника, двумя его
сторонами и углом, заключенным между этими сторонами?
- Объясните, почему в данной задаче S∆ = BE 2 sin E ?
2. Решить самостоятельно задачи:
1 уровень - № 1020 (а), 1022, дополнительные задачи № 1, 2.
II уровень - № 1022, 1024, дополнительные задачи № 1, 2.
Задача № 1020 (а)
Решение:
АВ = 6 8 см, А С = 4 см, <A = 600, тогда
SABC =
1
1
АВ ·АС· sin 60° = 6
2
2
8 ·4
3
= 12
2
6 (см2)
Ответ: 12 6 см2.
Задача №1022
Решение:
SABC =
1
АВ · АС sin A
2
SABC =60см2, AC=15cм, <A=300 , следовательно,
Ответ: 16 см.
Задача №1024
Решение:
а) Из ∆АВМ sin α = ВМ : АВ => AB=
Из ∆АКС sin α =КС : АС => AC=
hb
sin 
hc
sin 
1
2
SABC = АВ АС sin α ;
16
AВ=
2S АВС
= 16(см).
АС sin А
SABC =
1 hc
2 sin 
hc  hb
hb
· sin α =
2 sin 
sin 
б) Из прямоугольного ∆АВН sin α =
ВН
АВ
в прямоугольном ∆СВН
<C= 1800 - (<A + <B) = 1800 – (α + β)
sin C = sin(l80° - (α + β)) = sin(α + β).
ВС= h : sin (а + β).
SABC=
=> АВ =
h
sin 
=>
sinC= ВН: BC,
1
1
h
h
BA BC sin β =
· sin β =
2
2 sin  sin(    )
h 2  sin 
=
2 sin  sin(    )
Ответ: а)
hc  hb
2 sin 
;
б)
h 2  sin 
2 sin  sin(    )
Дополнительные задачи:
Задача 1
Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом при основании 150 и
боковой стороной, равной 5 см.
Задача 2
В ∆АВС АВ= 4, ВС= 6, BD - биссектриса, <ABC =450. Найдите: площади
треугольников ABD и CBD.
Задача 3
В треугольнике МNK МК = 12, NK = 16, <K = а, ММ1 и NN1 - медианы, пересекающиеся в точке О. Найти площадь четырехугольника N1OM1K.
V. Подведение итогов урока.
а) Подвести итоги по достижению цели урока.
б) Провести рефлексию на уровень удовлетворенности уроком:
1. Понравился урок.
2. Удовлетворен уроком.
3. Не понравился урок.
Домашнее задание.
п.96, вопрос 7.
Решить задачи:
1 уровень - № 40 из рабочей тетради, № 1020 (б, в), 1021, 1023.
2 уровень - № 1021, 1023, дополнительные задачи №2,3.
17
Конспект 3.
Тема : Теоремы синусов и косинусов.
Тип урока: Урок сообщения новых знаний.
Цели урока :
 Рассмотреть теоремы синусов и косинусов.
 Развить умения и навыки их применения при решении задач.
 Закрепить теорему о площади треугольника и совершенствовать навыки
решения задач на ее применение.
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний учащихся.
1.Теоретический опрос.
Подготовить у доски доказательство теоремы о площади треугольника, а затем
заслушать ответ всем классом.
2. Проверка домашнего задания.
Индивидуально проверить домашние задачи № 40 (из рабочей тетради),№ 1023;
дополнительные задачи № 3, № 2.
3.Работа по индивидуальным карточкам
1 уровень (карточка № 1)
1. Площадь равностороннего треугольника равна 24 3 . Найдите сторону этого
треугольника.
2. В параллелограмме один из углов равен 450, а его стороны равны 5 см и 8 см.
Найдите его площадь.
3. В прямоугольнике диагональ равна 12 см, а угол между диагоналями 300.
Найдите площадь прямоугольника.
2 уровень (карточка № 2)
1. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 6 2 см и 7см, а
угол между ними равен 450.
2. В треугольнике MNK <N = 1500, МN = 4 см, NK = 6см, NE биссектриса
треугольника. Найдите площадь треугольников MNE и NKE.
3. Медианы МВС пересекаются в точке О, <ABC = 300, АВ = 4 см,
ВС = 6 см. Найдите произведение площадей треугольников АОС, ВОС, ВОА.
3 уровень (карточка №3)
1. Трапеция ABCD вписана в окружность так, что основание AD - диаметр
окружности. Диагональ трапеции равна 16 см, а ее площадь - 64 см2. Найдите углы
трапеции.
2. В равнобедренной трапеции ABCD основание AD равно 8 см, диагональ BD
перпендикулярна боковой стороне АВ, а угол при основании AD равен 600. Найдите
площадь трапеции.
18
3. В треугольнике МNK медианы ММ1 и КК1 пересекаются в точке О, ММ1 = 4,5,
КК1 = 6. Найдите угол МОК, если известно, что площадь треугольника SMNK = 9.
III. Решение задач на готовых чертежах.
Решить самостоятельно задачи на готовых чертежах с последующей самопроверкой
и обсуждением решения тех из них, с которыми не справились большинство
учащихся.
При обсуждении задач обратить внимание на следующие формулы:
Sпарал-ма = а b sin α, где а, b - стороны параллелограмма, α - угол между ними.
S прям-ка =
1 2
d sin α, где d - диагональ прямоугольника, α - угол между диагоналями.
2
Sпарал-ма =
1
d2 d1 sin α, где d1 и d2 - диагонали параллелограмма, α - угол между
2
ними.
1. Рис. 1. Найти: S.
2. Рис. 2. ABCD-параллелограмм. ВD = 6, АС= 10.
Найти: S.
3. Рис. 3. ABCD - параллелограмм.
Найти: S.
4. Рис. 4. ABCD - прямоугольник. АС = 12.
Найти: S.
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
IV. Изучение нового материала.
1. Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.
Дано: ∆АВС
Доказать:
АВ
sin C
=
ВС
=
sin А
АС
sin В
Доказательство проводится в виде беседы учителя с учащимися:
Вопрос: Какая формула выражает зависимость между сторонами треугольника и
синусами его углов?
Ответ: Формула для вычисления площади треугольника:
SАВС =
1
АВ ВС sinB
2
(1)
SАВС =
19
1
AC ВС sinC
2
(2)
SАВС =
1
AВ АС sinА
2
(3)
Вопрос: Приравняем равенства 1 и 2. Чему равно отношение
Ответ:
АВ
?
sin C
1
1
АВ ВС sinB =
AC ВС sinС , АВ sinB = АС sinС,
2
2
АВ
АС
=
(4)
sin C
sin В
- Как можно получить равенство
АВ
АС
=
sin C
sin В
Ответ: Приравняем равенства 2 и 3:
1
1
AC ВС sin C =
AВ АС sin А
2
2
ВС sin С = АВ sin А,
АВ
АС
=
sin C
sin В
-Верно ли равенство
АВ
sin C
=
(5)
ВС
=
sin А
АС
? Почему ? ( Верно, это следует из
sin В
равенств 4 и 5 ).
2. Очень часто в треугольнике известны две стороны и угол между ними и
необходимо найти третью его сторону. Справиться с этой задачей нам позволяет
теорема косинусов.
Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других его сторон без удвоенного про изведения этих сторон на
косинус угла между ними.
Дано: ∆АВС, АВ = с, ВС = а, СА = b.
Доказать: а2 = b2 + с2 – 2 bc cosA.
Доказательство проводится в виде ответов на вопросы учеников:
Вопрос: Поместим ∆АВС в прямоугольную систему
Координат так, чтобы точка А совпадала с началом
координат, точка В лежала на положительной полуоси Ох, а точка
С располагалась в 1 координатной четверти.
Чему равны координаты вершин В и С треугольника?
Ответ: Т. к. АВ = с и точка В лежит на положительной полуоси
Ох, то В (с; 0).
Если из точки С опустить перпендикуляр СН, то sin α =
cos α =
АН
т. е. CH=AC sin α = b sin α,
АС
АН = AC cos α = b cos α.
Но СН - это ордината точки С, АН - абсцисса точки С,
поэтому С ( b cos α; b sin α).
20
СН
,
АС
Вопрос: Чему равно расстояние между точками В и С, если В ( с ; 0 ),
С (b cos α; b sin α) ?
Ответ: ВС2 = (хC – хВ )2 + ( уС – уВ)2 = (b cos α – с)2 + (b sin α – 0)2 = b2 cos2 α –
- 2 b с cos α + с2 + b2 sin2 α = b2(cos2 α + sin2 α) + с2 - 2 b с cos α = b2+ с2 - 2 b с cos α,
т.е а2 = b2+ с2 - 2 b с cosА.
V. Закрепление изученного материала.
1. Выполнить устно задания:
- Запишите теорему синусов для треугольника MNK:
Ответ:
MN
NK
MK
=
=
sin K
sin M
sin N
- Запишите теорему косинусов для вычисления стороны:
а) АВ в треугольнике АВС;
б) СЕ в треугольнике CDE.
Ответ: а) АВ2 = ВС2 + АС2 - 2ВС АС cosC
б) СЕ2 = CD2 + DE2 - 2CD DE cosD
2. Разобрать задачи №41, 44 из рабочей тетради.
Наводящие вопросы к задаче № 41:
- Какая сторона лежит против угла А? Какой угол лежит против стороны АС?
- Используя свойства пропорций, выразите ВС и найдите его значение. (ВС = 2
см.)
Наводящие вопросы к задаче № 44:
- Как запишется теорема косинусов для вычисления стороны АВ треугольника
АОВ?
- Чему равен угол ВОС? Почему?
- Как вычислить косинус 1200?
- Чему равен периметр параллелограмма? (Р = 6 . ( 3 + 7 ) см.)
3. Самостоятельно решить задачи № 1025 (а, в, г, е, и)
VI. Подведение итогов урока.
а) Подвести итоги по достижению цели урока.
б) Провести рефлексию на уровень комфортности на уроке.
1. Комфортно чувствовал себя на уроке.
2. Нормально чувствовал себя на уроке.
3. Плохо чувствовал себя на уроке.
Домашнее задание.
пп. 97, 98; вопросы 8, 9.
Решить задачу № 42 из рабочей тетради, № 1025 ( б, д, ж, ).
21
Конспект 4.
Тема : Решение треугольников.
Тип урока: Урок сообщения новых знаний.
Цель урока:
• Сформировать умения и навыки применения теоремы
синусов и теоремы косинусов к решению треугольников.
• Развить логическое мышление учащихся при решении
треугольников.
• Воспитывать усидчивость, сосредоточенность у учащихся.
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний учащихся.
1. Теоретический опрос.
- Сформулировать теорему синусов.
- Сформулировать теорему косинусов.
2. Устное решение задач на готовых чертежах.
Рекомендация: при решении задач особое внимание уделять правильному выбору
теоремы (т. е. выбору той теоремы, которая позволяет решить задачу наиболее
рационально).
а) По данным рисунка найдите значения синуса углов
А и В треугольника АВС.
б) По данным рисунка назовите формулу для
нахождения сторон АВ и ВС треугольника АВС.
3.Индивидуальная работа по карточкам.
1 уровень (карточка №1)
1. Дано: ∆АВС, <А = 450, <С = 150, ВС = 4 6 .
Найти: АВ, АС, <В.
1. Дано: ∆MNK, MN = 6 см, МК = 10см, <М = 1200.
Найти: NK, <N, <K.
2. Дано: ∆ОРТ, ОР = 24, РТ = 30, ОТ = 36.
Найти: <О, <Р, <Т.
2 уровень (карточка №2)
1. В параллелограмме АВСD диагональ АС = 10. Найдите площадь
параллелограмма, если <ВАС = 300, <DАС = 450.
22
2. В равнобедренном треугольнике АВС один из углов при основании АС равен
300, наименьшая медиана равна 7 . Найдите другие медианы.
3. Стороны треугольника равны 5, 6, 7. найдите углы треугольника.
3 уровень (карточка №3)
1. В треугольнике MNK MN = 4, NK = 5, а его площадь равна 5 3 . Найдите
расстояние от вершины N до стороны MK, если известно, что cosMNK < 0.
2. В треугольнике СDЕ <С = 640, <D = 500, DЕ + СЕ = 21. Найдите неизвестные
элементы треугольника.
3. В треугольнике АВС ВС = 3,4, <АВС = 1300, а его площадь равна 3,6.
Найдите АС.
III. Изучение нового материала
1. Прочитать самостоятельно п. 99 учебника.
2. Фронтальная работа с классом - обсуждение материала п. 99. Вопросы для
обсуждения:
- Что значит «решить треугольник»?
- Перечислите три основные задачи на решение треугольников. - Составьте план
решения треугольников:
а) по двум сторонам и углу между ними;
б) по стороне и прилежащим к ней углам;
в) по трем сторонам;
г) Объясните, почему задача имеет одно решение при решении треугольника:
- по двум сторонам и углу между ними;
- по стороне и прилежащим к ней углам;
- по трем сторонам.
- Дан треугольник АВС (подготовить чертеж на доске). Запишите формулу для
вычисления:
а) ВС, если АВ = с, АС= b, <A = α;
б) АС, если ВС= а, <B = β, <C= γ.
в) <C, если АВ = с, АС= b, ВС= а.
г) <B, если <A = α, <C = γ.
д) АВ, если <C= γ, <B = β, АС= b
Ответы:
а) ВС = с 2  b 2  2bс  cos 
б) А С =
а sin 
sin(    )
в) cosC=
а2  в2  с2
2аb
г) <B= 1800- (α + γ)
д) АВ =
b sin 
sin 
IV. Решение задач.
1. Разобрать решение задачи № 46 из рабочей тетради.
23
Задача № 46
Дать учащимся 2-3 минуты на самостоятельное решение, а затем заслушать
варианты решений.
Наводящие вопросы:
- Какой угол лежит между сторонами а и b?
- Почему в пункте 2 решения cosA =
b2  с2  а2
? Как получилось данное равенство?
2bс
- Какая теорема используется для нахождения угла В?
Ответ: с = 7 ≈2,65; <A ≈ 1390; <B ≈ 110.
2. Решить самостоятельно задачи № 1026, № 1029, № 1031 (в).
Задача № 1026
Решение:
<B = 180° - (<A + <C) = 45°.
АС
АВ
=
sin В sin С
АС sin С 12 sin 60 0
12 3
АВ =
=
=
=6
0
sin В
sin 45
2
По теореме синусов:
SABC =
6 (см)
1
1
АВ · АС sinA = 6 6 12 sin75° ≈ 87 (см2)
2
2
Ответ: АВ = 6 6 см; S ≈ 87 см2.
Задача №1031( в )
Решение:
Пусть в треугольнике АВС АВ = 9, ВС = 5, АС = 6. Т. к. наибольшей стороной
является АВ, то наибольшим углом будет угол, лежащий напротив стороны АВ,
т. е. угол С.
По теореме косинусов АВ2 = АС2 + ВС2 - 2АС· BC cos C.
1
АС 2  ВС 2  АВ 2
62  52  92
Тогда соs С =
=
=- .
3
2  АС  ВС
265
Т. к. cos С < 0 => <C - тупой, МВС - тупоугольный.
Ответ: тупоугольный.
V. Подведение итогов урока.
а) Подвести итоги по достижению цели урока.
б) Провести рефлексию на усвоение материала.
1. Хорошо усвоил материал урока.
2. Средне усвоил материал урока.
3. Не усвоил материал урока.
Домашнее задание.
П. 99; вопросы 10, 11. Решить
задачи:
I уровень: № 45 из рабочей тетради; № 1027, 1028, 1031 (а, б).
II уровень: № 1027, 1028, 1031 (а, б), 1032.
24
Конспект 5.
Тема :
Решение треугольников.
Тип урока : Урок закрепления новых знаний.
Цели урока :
 Отрабатывать умение применять теоремы синусов и косинусов в решении
задач на нахождение неизвестных элементов у треугольника.
 Показать практическую направленность таких задач.
 Развивать внимание, активность, самостоятельность.
 Воспитывать ответственность, умение работать парами, дружеские отношения
между ребятами.
Ход урока
I ) Организационный момент.
II ) Актуализация знаний учащихся.
а) Проверка письменного домашнего задания .
б) Теоретический опрос:
- Что значит «решить треугольник» ?
- Сформулируйте основные задачи на решение треугольников.
- Какие теоремы применяются для решения треугольников ?
- Сформулируйте теоремы синусов и косинусов.
в) Устное решение задач на готовых чертежах .
Используя рисунки, составить план решения задач.
( при решении задач особое внимание уделять правильному выбору теоремы, т.е.
той теоремы , которая позволяет более рационально решить задачу)
1. Найти: а, < В, < С.
2. Найти: < В, а, с.
3. Найти: < А, < В, < С.
Пока класс решает устно задачи двое учащихся на
обратной стороне доски решают практические
задачи, по окончанию устной работы учащиеся
объясняют решения своих задач.
Задача 1.
Найти ширину озера, если ( рис.1) АС = 120м, < А =
60°, < С = 45°.
25
Решение:
1. <В = 180° - ( 60° + 45°) = 75°
2. С помощью теоремы синусов
АВ
120
sin 45·120
0,7071·120
=
; АВ =
; АВ =
≈88м
sin 45 sin 75
sin75 
0,9659
Задача 2.
Измерим дальнометром расстояние СВ=62м,
СА=80м. Угол между ними 60°.
Найти расстояние между двумя деревьями А
и В (рис 2)
Решение:
АВ = СВ2 + СА2 – 2 · СВ · СА · cosC
АВ =
1
2
622 + 802 – 2 · · 62 · 80, АВ ≈ 73
III) лабораторная работа .
Учащиеся делятся на три группы: 1 группа –учащихся с повышенным уровнем; 2
группа – учащиеся с базовым уровнем и учащиеся с низким уровнем; 3 группа –
учащиеся с базовым уровнем и учащиеся с низким уровнем.
Тема :
Определение вида треугольника.
Цель : Определить вид треугольника, применяя теоремы синусов или косинусов.
Задание 2 группы :
Определите вид треугольника, если две его стороны равны а = 10 см и в =15 см,
а угол между ними равен ‹ γ =700 .
Задание 3 группы:
Определите вид треугольника, если две его стороны равны а = 12 см и в =14 см, а
угол между ними равен ‹ γ =800 .
Выполнение работы:
1) Найдите длину стороны с, пользуясь теоремой косинусов.
2) Вычислите величину угла β, пользуясь теоремой синусов.
3) Вычислите величину угла α, используя свойство треугольника о сумме его
углов.
4) Зная все углы треугольника, определите его вид.
26
Задание 1 группы :
Два парохода начинают движение одновременно из одного и того же
пункта и двигаются равномерно по прямым, пересекающимся под
углом 600 . Скорость первого парохода равна 70 км/ч, а второго – 60
км/ч. Исследуйте на каком расстоянии друг от друга будут находиться
пароходы через 3 часа.
IV) Тест с последующей взаимопроверкой.
1 вариант ( 1 уровень )
№1. Соединить линией части утверждения, соответствующие друг другу.
пропорциональны синусам
противолежащих углов
Стороны
треугольника
обратно пропорциональны
синусам противолежащих углов
пропорциональны синусам
прилежащих углов
№2. Заполните пропуски в
Дан треугольник DЕК.
а)
б)
равенствах.
DЕ
ЕК
=
sin K
...
...
ЕК

sin Е sin D
в) DК · sin К = . . . · sin Е
№3. Закончить фразу. В треугольнике против большего угла лежит_______________
________________________________.
№4. В треугольнике АВС АВ – наименьшая сторона. Определить наименьший угол
этого треугольника. ( Выбрать и подчеркнуть верный ответ)
а) < А ;
б) < В ;
в) < С ;
№5. Заполните пропуски.
Для того чтобы решить треугольник по стороне а и двум углам α и β, нужно:
1) . . . найти угол γ с помощью равенства ______________________________.
2) . . . найти сторону b с помощью равенства ___________________________.
3) . . . найти сторону с с помощью равенства ___________________________.
27
2 вариант ( уровень 2 ).
№1. Пусть а, b, c – длины сторон треугольника АВС. Найдите длину наибольшей
стороны этого треугольника, если < А = 630 , < С = 570 .
а) а ;
б) b ;
в) с ;
г) по заданным условиям не определяется
№ 2. В треугольнике АВС угол В равен 1050, а угол А равен 450 , ВС = 8 см. Найти
АВ.
а) 4 √ 3 ;
б) 4 √ 2 ;
в) 8 √ 2 ;
г) 4 √ 6
№3. В треугольнике МРК даны стороны МР и РК и угол К. Может ли угол М быть
тупым , если МР = 12, РК = 15, < К = 400 ?
а) да ;
б) нет ;
в) по заданным условиям не определяется.
V) Работа по учебнику .
Решить задачу № 1030.
VI) Подведение итогов урока .
а) Подвести итоги по достижению цели урока.
б) Провести рефлексию на готовность к зачету.
1. Готов к зачету.
2. Почти готов к зачету
3. Не готов к зачету.
Домашнее задание: Подготовить доказательство задачи № 1033; решить задачи:
1 уровень - № 1034, № 47, № 48 ( из рабочей тетради);
2 уровень - № 1033, № 1035, задачу № 7.
28
Организация обучения на уроках геометрии.
Представленная система уроков является частью разработанной технологии
внутриклассной уровневой дифференциации учебной деятельности школьников
в преподавании курса геометрии 9-х классов основной школы. В основу этой
технологии положен играющий ведущую роль в современной педагогической
психологии личностно- деятельностный подход к обучению.
Согласно
деятельностному
аспекту
данного
подхода,
обучение
-
это
двустороннее единство деятельности обучаемого и обучающего по созданию
условий для формирования у учащегося структуры обобщенных умственных
действий, направленных на приобретение им заданной системы знаний, умений и
навыков. Со стороны учащегося процесс обучения выступает в форме учебной
деятельности, которая определяется психологами как специфическая деятельность
субъекта по его саморазвитию на основе решения специально поставленных
учителем учебных задач. Со стороны учителя - это организация учебной
деятельности учащегося, состоящая из двух взаимосвязанных компонентов:
формирования ориентировочной основы действий, составляющих содержание
учебной деятельности, и целенаправленного управления этой деятельностью в
процессе самостоятельной работы учащегося.
.
Личностно - деятельностный подход к обучению предполагает, что все
воздействия на учащегося как на субъект обучения с целью управления его
учебной деятельностью преломляются через призму личности обучаемого, его
индивидуально-психологические и психофизиологические особенности. Из
этого следует, что достигнуть оптимальных результатов обучения каждого
учащегося можно лишь в том случае, если преподавание предмета вести на
нескольких уровнях сложности, обеспечивающих постепенный переход от
уровня актуального развития к зоне ближайшего развития.
Структурной единицей учебного процесса в рассматриваемой технологии
служит блок уроков, связанных одной темой. На первом уроке блока учащимся
сообщается тема и ставятся цели ее изучения. Далее учитель переходит к этапу
предварительного ознакомления учащихся с формируемой деятельностью. На этом
29
этапе вводятся основные понятия изучаемой темы, решаются специально
составленные учебные задачи. Содержание этих задач диктуется, с одной стороны,
требованием доступности для всех учащихся, а с другой - требованием отразить в
них наиболее существенные связи и отношения между элементами изучаемых
геометрических объектов. Доступность задач обеспечивается небольшим числом
умозаключений, требующихся для их решения, детальным рассмотрением моделей
фигур и правил построения чертежей, а также опорой на хорошо известные
учащимся ранее изученных теорем, определений и свойств треугольника. Все это
позволяет вести на данном этапе фронтальную работу с классом, вовлекая в
обсуждение решения задач как сильных, так и слабых учащихся. После того, как
решение задачи осмыслено и понято всеми учащимися, оно под руководством
учителя с подробными объяснениями записывается учащимися в их классные
тетради. В целом этап предварительного ознакомления обеспечивает понимание
учащимися основных понятий темы и содержания той деятельности, в которую
они включены и которая приводит к решению рассматриваемого класса задач.
Следующий этап в изучении темы - самостоятельная работа учащихся, которая
проводится дифференцированно на двух или трех уровнях сложности - в
зависимости от объема темы. В соответствии с числом уровней на нее отводится в
блоке два или три урока. Самостоятельная работа каждого учащегося начинается с
решения по индивидуальному варианту задач первого уровня сложности,
однотипных с теми, которые рассматривались на предыдущем этапе. Однако
функция этих задач в процессе обучения изменяется: если на предыдущем этапе они
служили для раскрытия деятельности, формирования ориентировочной основы
составляющих ее умственных действий, то теперь выступают как средство усвоения
этой деятельности. На первом уроке самостоятельной работы проводится также
первый этап теоретического зачета, состоящий в индивидуальном опросе
определений и формулировок теорем.
Сильные учащиеся, справившиеся с набором задач первого уровня сложности за
один урок, переходят к самостоятельной работе второго, более высокого уровня
сложности. Они получают специальные методические пособия, в которых рассматриваются дополнительные вопросы теории и методы решения задач, требующие
30
более глубокого, чем на первом уровне, анализа и обобщения свойств изучаемых
фигур. На уроке учащиеся самостоятельно разбираются в приведенных в пособии
решениях задач. Работа учащихся по методическим пособиям сопровождается
выполнением обязательного домашнего задания по решению двух или трех задач
соответствующего уровня сложности. Слабым учащимся время, отведенное на
самостоятельную работу, полностью предоставляется для решения задач первого
уровня.
По окончании самостоятельной работы в специально отведенное время
проводится второй этап теоретического зачета, к которому учащиеся должны
подготовить доказательства тех теорем, которыми они пользовались при решении
задач и формулировки которых они отвечали на первом этапе. Второй этап зачета не
является обязательным и сдается по желанию теми учащимися, которые
интересуются предметом и стремятся к более глубокому изучению материала.
Следует также обратить внимание на изменение функции отметки, происходящее
при работе по рассматриваемой технологии. Отметка «3» за работу по теме
выставляется тем учащимся, которые справились только с задачами первого уровня,
отметки « 4 » и «5» - тем, кто успешно закончил работу на втором уровне. В
результате оценка отражает не количество ошибок учащегося, как это происходит
при работе по традиционной технологии, а освоенный им уровень сложности. Это
вносит элемент состязательности в работу учащихся и служит дополнительным фактором повышения успеваемости.
На изучение темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника» отводится 5 уроков. Этот блок обеспечивает усвоение учащимися теорем синусов и
косинусов и способов деятельности, необходимых для решения задач, связанных с
решением треугольников.
31
32