САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
(аналитическая геометрия; линейная алгебра)
ABCD
(плоском
или
пространственном)
AB  m , BC  n , CD  p , DA  q . Найдите вектор EF , соединяющий
диагоналей AC и BD.
1.
В
четырехугольнике
2. Представьте вектор
d
как линейную комбинацию векторов
а ,
положим
середины
b
и
c
в следующем случае а (2; 3; 1), b (5; 7; 0), c (3; –2; 4) и d (4; 12; -3).
3. Даны две вершины треугольника А(-6; 2), В(2; –2) и точка Н(1; 2) пересечения его высот.
Вычислите координаты третьей вершины С.
4. Даны вершины треугольника А(4; 6), В(–4; 0) и С(–1; –4).
а) Найдите координаты вектора АН , где АН – высота треугольника АВС.
б) Найдите координаты векторов BD и AK , а также их длины, если ВD – биссектриса
треугольника АВС, AK – медиана этого треугольника.
5. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3; 0; 4), В(1; 2; 3), С(9; 6; 4).
Найдите:
а) четвертую вершину;
г) длину диагонали АС;
б) точку пересечения диагоналей;
д) площадь параллелограмма.
в) угол при вершине В;
6. Даны две точки А(–3; 1) и В(5; 4) и прямая х – 2у + 1 = 0. Не выполняя чертежа,
установите, пересекает ли данная прямая отрезок АВ или его продолжение за точкой А или за
точкой В.
7. Даны два вектора: а (11; 10; 2) и b (4; 0; 3). Найдите третий вектор c
длины 1,
перпендикулярный к векторам а и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка
векторов а , b , c имела положительную ориентацию (правая тройка).
8. Вычислите площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А(–1; 0; –1),
В(0; 2; –3), С(4; 4; 1).
9. Треугольник АВС задан с помощью двух векторов АВ(8; 4; 1) и АС(2;  2; 1). Найдите
площадь треугольника двумя различными способами и длины его сторон.
10. Вычислите объем параллелепипеда, зная, что одна из его вершин находится в начале
координат, а концы ребер, выходящих из этой вершины, в точках (2; 3; 6), (8; 4; 1) и
(2; –2; 1). Найдите длину диагонали этого параллелепипеда, выходящей из начала координат.
71
11. На оси
B(–2; 4; 1).
Oy
найдите
точку,
равноудаленную
от
двух
точек
A(3; 1; 0)
и
12. Определите косинусы внутренних углов треугольника, вершины которого находятся в
точках А(1; 2; –4), В(4; 0; –10), С(–2; 6; 8).
13. Найдите косинусы углов между прямыми:
3x  y  z  1  0,
 x  y  1  0,
и 

3x  y  z  0
2 x  2 y  5 z  1  0.
14. Даны две прямые: одна из них проходит через точки А(–3; 5; 15) и В(0; 0; 7), а другая
через точки С(2; –1; 4), D(4; –3; 0). Определите, пересекаются ли эти прямые, а если
пересекаются, то найдите точку пересечения.
15. Даны две точки А(3; –2; 1) и В(6; 0; 5). Составьте уравнение плоскости, проходящей через
точку В и перпендикулярной к прямой АВ.
16. Найдите координаты точки В, симметричной точке А(2; 7; 1) относительно плоскости
х - 4у + z + 7 = 0.
17. Составьте уравнение плоскости, отсекающей на осях Ox и Oy отрезки, соответственно
равные 5 и –7, и проходящей через точку (1; 1; 2).
18. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если известны их координаты: А(2; 4; 1),
В(3; 7; 5) и С(4; 10; 9)?
19. Будут ли компланарны векторы: а (1; 0; 3), b (3; –1; 2) и c (5; –4; 2)?
20. Запишите общее уравнение прямой на плоскости, если известно, что:
а) угловой коэффициент равен –5; отрезок, отсекаемый на оси ординат, равен 2;
б) точки (3; 2) и (6; 1) принадлежат прямой;
в) прямая параллельна оси абсцисс и проходит через точку (–3; 2);
г) прямая перпендикулярна вектору (2; 3) и проходит через точку (3; –4);
д) прямая отсекает на оси абсцисс отрезок –2, а на оси ординат отрезок 7.
Определите,
1
у = х + 2.
2
21.
какие
из
точек
А(2; 3),
В(3; 3)
и
С(4; 4)
лежат
на
прямой
22. Найдите две прямые, проходящие через точку (0; –2), одна из которых параллельна, а
другая перпендикулярна прямой у = 3х + 1. Постройте графики всех трех прямых.
23. Найдите угол , образованный прямыми у = 3х + 5 и
72
у = -2х + 7.
24. Найдите точку пересечения двух прямых:
а) х + у – 7 = 0
и
х – 7у + 1 = 0;
б) 2х + 3у – 12 = 0
и
х – у – 1 = 0.
Решите следующие системы уравнений методом Гаусса:
2 x  5 y  3z  t  5,
3x  7 y  3z  t  1,

25. 
5 x  9 y  6 z  2t  7,
4 x  6 y  3z  t  8.
 x  2 y  3z  t  3,
 x  4 y  5 z  2t  2,

27. 2 x  9 y  8 z  3t  7,
3x  7 y  7 z  2t  12,

5 x  7 y  9 z  2t  20.
4 x  3 y  2 z  t  8,
3x  2 y  z  3t  7,

26. 
2 x  y  5t  6,
5 x  3 y  z  8t  1.
Вычислите следующие определители:
28.
32.
1 3
2 4
1 2
2 3
3 4
4
.
29.
3 4
4 1
.
1 2
1 2
3 2
.
7 4
33.
3 5 6
30.
2 4
3 1
1 2
2 1
3 5
3
5
1
3 .
1
31.
2 1 8
 3 1  2 .
4
4
6
.
7
4 6 7 1
3
По формулам Крамера решите системы уравнений:
 2 x  y  3z  5,

34.  x  2 y  z  0,
 3x  y  2 z  2.

  x  2 y  5 z  7,

35.   3 y  z  5,
 2 x  y  3z  1.

73
 x  2 y  3z  2t  6,
 2 x  y  2 z  3t  8,

36. 
 3x  2 y  z  2t  4,
 2 x  3 y  2 z  t  8.
5 3
УКАЗАНИЯ И ПОДСКАЗКИ К ЗАДАЧАМ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Постройте чертеж и выразите искомый вектор через сумму векторов, образованных
сторонами и диагоналями четырехугольника.
2. Представьте вектор d в виде d  x  a  y  b  z  c . Перепишите
относительно каждой координаты и решите систему линейных уравнений.
это
равенство
3. Запишите уравнения прямых АС и ВС, используя векторы нормали ВН и АН к этим
прямым. Точка С – это пересечение прямых АС и ВС, следовательно, ее координаты можно
найти из решения системы двух линейных уравнений.
4. а) Вычислите длины сторон треугольника и докажите, что он прямоугольный.
б) Точка К – середина отрезка ВС, найдите ее координаты. Используя свойство
биссектрисы треугольника, определите, в каком отношении точка D делит отрезок АС.
Представьте вектор BD как сумму двух векторов, координаты которых можно найти.
5. а) Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то равны и
соответствующие векторы; обозначив координаты четвертой вершины через неизвестные,
выразите координаты равных векторов (например ВА и CD ) и приравняйте их.
б) Используйте свойство диагоналей параллелограмма.
в) Используйте скалярное произведение векторов.
г) Используйте формулу нахождения длины отрезка по координатам его концов.
д) Используйте векторное произведение векторов.
6. Сравните расстояния от точек А и В до данной прямой и докажите, что они лежат по одну
сторону от этой прямой.
7. Вектор, перпендикулярный к векторам а и b и направленный так, чтобы упорядоченная
тройка векторов а , b , c была правой, является результатом векторного произведения
векторов а и b . Чтобы получить вектор единичной длины, необходимо его нормировать.
8. Используйте векторное произведение векторов.
9. Для нахождения площади треугольника можно использовать:
 векторное произведение векторов;
 формулу Герона;
1
 формулу S   ab  sin  , причем sin  можно найти из основного тригонометрического
2
тождества, а cos  можно найти с помощью скалярного произведения векторов.
Стороны треугольника можно найти как длины соответствующих векторов.
10. Используйте смешанное произведение векторов для нахождения объема. Длину
диагонали найдите как длину соответствующего вектора.
11. Запишите координаты точки, лежащей на оси Оу, в общем виде и используйте формулу
расстояния между точками.
12. Используйте скалярное произведение векторов.
74
13. Определите координаты направляющих векторов для прямых и затем определите
косинусы углов между этими векторами.
14. Запишите канонические уравнения прямых. Сравните направляющие векторы этих
прямых. Являются ли они коллинеарными? Решив систему уравнений, выясните,
пересекаются ли прямые.
15. Вектор АВ является вектором нормали к плоскости.
16. Вектор АВ коллинеарен вектору нормали плоскости, при этом точки А и В находятся на
одинаковом расстоянии от плоскости, но лежат по разные стороны от этой плоскости.
Записав все эти условия с помощью координатной формы, получите систему линейных
уравнений, где неизвестные – координаты точки В.
17. Используйте уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, заданных своими
координатами.
18. Используйте условие коллинеарности векторов.
19. Используйте условие компланарности векторов.
20. Используйте в соответствии с условиями вид уравнения прямой на плоскости, а затем
преобразуйте его к уравнению общего вида.
21. Подставьте координаты точек в уравнение прямой.
22. Используйте взаимное расположение прямых, заданных уравнением с угловым
коэффициентом.
23. С помощью угловых коэффициентов определите тангенс угла между данными прямыми.
Определяя угол между двумя прямыми обычно рассматривают острый угол (если эти прямые
не перпендикулярны).
24. Решите систему уравнений для определения координат точки пересечения.
25. Система уравнений является определенной.
26. Докажите, что система уравнений несовместна.
27. Докажите, что система уравнений имеет бесконечно много решений.
28–31. Используйте известные схемы вычисления определителей матриц порядка 2 и 3.
32–33. Используйте способ разложения по строке или столбцу; предварительно можно
выполнить элементарные преобразования, получив в одном столбике или строчке несколько
нулей.
34–36. Используйте формулы Крамера; при вычислении определителей при имеющихся
нулевых элементах можно использовать разложение по строке или столбцу (полезно для
этого выполнить элементарные преобразования строк или столбцов, чтобы получить
нулевые элементы).
75
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1
1
1. EF   (n  q )  (m  p ) .
2
2
2. d  a  b  c .
3. С(2; 4).
4. а) АН = АВ (-8; -6).
5 17
 13

б) АК   ;  8  , АК 
;
2
 2

5. а) D(11; 4; 5).
10 2
 14 2 
BD  ;   , BD 
.
3
3
 3
г) АС = 6 2 .
б) О(6; 3; 4).
д) 18 2 .
1
в) arccos .
3
6. Прямая пересекает прямую АВ за точкой В.
1
8 
 6
;
;
7. с 
.
5 5 5
5 5
8. S = 9 кв. ед.
9. S = 9 2 кв. ед.
АВ = 9, АС = 3 и ВС = 6 2 .
10. V = 150 куб. ед. d  233 .
 11 
11.  0; ; 0  .
 6 
12. cos A  
89
23
43
.
; cos B 
; cos C 
91
7 11
13 11
13. cos   
9
9
.
; cos(180   ) 
2 33
2 33
14. Прямые пересекаются в точке (-1,5; 2,5; 11).
15. 3x + 2y + 4z – 38 = 0.
16. В(4; -1; 3).
17. 14x – 10y + 33z – 70 = 0.
18. Точки лежат на одной прямой.
19. Векторы не компланарны.
20. а) 5х + у – 2 = 0;
б) х + 3у – 9 = 0;
г) 2х + 3у + 6 = 0;
д) 7х – 2у + 14 = 0.
в) у – 2 = 0;
21. Точки А и С лежат на прямой, точка В не лежит на прямой.
76
22. у = 3х – 2;
23.  =
1
у = - х – 2.
3

.
4
24. а) (6; 1);
б) (3; 2).
16 

25.  0;  3;  ; 6  .
3 

26. Нет решений.
27. Бесконечно много решений, имеющих вид:
 1 31 2 1 7 
 t  ; ;  t  ; t  , где t  R.
6 3 2 6 
2
28. 10.
29. –26.
30. 98.
31. –79.
32. 160.
33. 396.
34. (–2,5; 3,5; 4,5);
 = 10.
 19 11 4 
35.  ; ;   ;
3
9 9
 = –18.
36. (1; 2; –1; –2);
 = 324.
77