О_роли_ключевых_задач

О роли ключевых задач в системе учебников «Геометрия 7-9»
авторов А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир
Задача 1. В треугольнике ABC известно, что A = . Биссектрисы
углов B и C пересекаются в точке O. Докажите, что BOC = 90° + α .
2
B
O
A

C
1. Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?
2. Существует ли треугольник, в котором одна биссектриса делит пополам
другую биссектрису?
3. Биссектрисы BK и CM треугольника ABC пересекаются в точке O, A = 60.
Докажите, что OK = OM.
B
M
O
A
60°
K
C
4. Постройте треугольник АВС по углу А, стороне ВС и радиусу вписанной
окружности.
5. В треугольнике АВС известны угол В и сторона АС. Найдите радиус
окружности, описанной около треугольника АОС, где точка О — центр
вписанной окружности треугольника АВС.
Задача 2. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника,
проведённая к гипотенузе, равна её половине.
Задача 3. Медиана CM треугольника ABC равна половине
стороны AB. Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.
1. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на несколько
равнобедренных треугольников.
2. В треугольнике ABC известно, что AB  2 см,  A  60 , B  70 . На
стороне AC отметили точку D так, что AD  1 см. Найдите углы
треугольника BDC.
Ответ: 90, 40, 50.
3. Высоты АЕ и ВF остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.
Точки М и N — середины отрезков АВ и СН соответственно. Докажите, что
МN  FE.
B
M
E
H
N
A
F
C
4. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 15. Докажите, что
высота, проведённая к гипотенузе, в четыре раза меньше гипотенузы.
A
H
M
B
C
5. В треугольнике АВС сторона АС наибольшая. На продолжении стороны АС
за точку С отметили точку D так, что СD = СВ. Докажите, что угол АВD не
острый.
Указание. На стороне СА отметьте точку K так, что СK = СВ. Тогда
KBD  90 .
Задача 4. Докажите, что радиус окружности, вписанной в
прямоугольный треугольник, определяют по формуле r  a  b  c , где r —
2
радиус вписанной окружности, a и b — катеты, c — гипотенуза.
1. В прямоугольном треугольнике ABC отрезок CD — высота, проведённая к
гипотенузе AB. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD,
BCD и ABC, равны соответственно r1, r2 и r. Докажите, что r1 + r2 + r = CD.
2. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен
полуразности катетов. Найдите острые углы треугольника.
3. Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей прямоугольного
треугольника равна одному из катетов. Найдите острые углы треугольника.
Задача 5. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся
стороны AB в точке M, BC = a. Докажите, что AM = p – a, где p —
полупериметр треугольника ABC.
B
M
A
C
1. В треугольнике ABC отрезок BD — медиана, AB  7 см, BC  8 см. В
треугольники ABD и BDC вписали окружности. Найдите расстояние между
точками касания этих окружностей с отрезком BD.
2. В треугольнике АВС известно, что АВ = 5 см, ВС = 7 см, СА = 4 см. На
стороне ВС отметили точку D так, что окружности, вписанные в
треугольники АВD и АDС, касаются отрезка АD в одной точке. Найдите
отрезок ВD.
3. Две вершины треугольника расположены в точках А и В, а третья вершина Х
перемещается так, что разность ХА – ХВ = d, где d — заданное число.
Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники АХВ,
принадлежат одной прямой.
Указание. Пусть окружность, вписанная в треугольник АХВ, касается
отрезка АВ в точке K. Тогда АK =
AB  d
. Это означает, что центр вписанной
2
окружности принадлежит прямой, перпендикулярной отрезку АВ и
проходящей через точку K.
Задача 6. Через точку C проведены касательные AC и BC к
окружности, A и B — точки касания. На окружности взяли
произвольную точку M, лежащую в одной полуплоскости с точкой C
относительно прямой AB, и через неё провели касательную к
окружности, пересекающую прямые AC и BC в точках D и E
соответственно. Докажите, что периметр треугольника DEC не
зависит от выбора точки M и равен 2AC.
A
D
M
B
E
C
1. В равнобедренный треугольник с основанием 12 см вписана окружность, а к
ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного
треугольника три треугольника по одному возле каждой вершины. Сумма
периметров трёх образовавшихся треугольников равна 48 см. Найдите
боковую сторону данного треугольника.
2. В треугольник со сторонами 6 см, 10 см, 12 см вписана окружность. К
окружности проведена касательная так, что она пересекает две бóльшие
стороны треугольника. Найдите периметр треугольника, который
касательная отсекает от данного треугольника.
3. Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного угла
треугольник данного периметра.
Задача 7. Докажите, что биссектрисы двух внешних углов с
вершинами A и C треугольника ABC и биссектриса угла В пересекаются
β
2
в одной точке, причём AOC = 90°  .
B
K
A
C
M
N
O
1. В треугольнике ABC с углом B, равным 120, проведены биссектрисы AA1,
BB1 и CC1. Найдите угол A1B1C1.
M
B
A1
C1
A
C
B1
2. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и BL. Найдите угол A, если
луч KL — биссектриса угла AKC.
B
K
A
C
L
3. В треугольнике АВС провели биссектрису АЕ. На стороне АС отметили точку
D так, что BAC  BCA  DBC. Докажите, что луч DЕ — биссектриса
угла ВDС.
Указание. Докажите, что луч ВС — биссектриса внешнего угла треугольника
АВD.
4. На сторонах BC и CD квадрата ABCD отметили соответственно точки M и N
так, что MNC = 2NAD. Найдите величину угла MAN.
B
M
C
N
A
D
Задача 8. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M.
Докажите, что AMC = 1 (AC + BD).
2
D
A
M
C
B
Задача 9. Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а лучи AB и
CD пересекаются в точке M). Докажите, что AMC = 1 (AC – BD).
2
A
B
M
D
C
1. На окружности отметили четыре точки. Середины образовавшихся дуг
соединили отрезками, как показано на рисунке. Докажите, что проведённые
отрезки перпендикулярны.
2. Дан отрезок AB. Найдите геометрическое место точек X таких, что
треугольник AXB: 1) прямоугольный; 2) остроугольный; 3) тупоугольный.
3. В четырёхугольнике три тупых угла. Докажите, что из двух его диагоналей
больше та, которая проведена из вершины острого угла.
Задача 10. Точки O и C расположены в одной полуплоскости
относительно прямой AB. Известно, что OA = OB и AOB = 2ACB.
Докажите, что точки A, B и C лежат на окружности с центром в точке
O.
C
X
O
A
B
Задача 11. Точки O и C расположены в разных полуплоскостях
относительно прямой AB. Известно, что AO = OB и AOB = 2(180 –
ACB). Докажите, что точки A, B и C лежат на окружности с центром в
точке O.
1. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что BAD = 100,
BCD = 130, AB = AD. Докажите, что AB = AC.
B
C
A
D
2. Дан квадрат ABCD. Вне квадрата отметили точку E так, что BAE = 30,
BCE = 75. Найдите CBE.
E
75°
B
C
30°
D
A
3. В треугольнике ABC известно, что C = 10, B = 20. Вне треугольника
отметили точку M так, что треугольник CMB — равносторонний, точки M и
A лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BC. Найдите углы
MAB и MAC.
4. Даны равнобедренный треугольник ABC (AB = AC) и точка M, ему не
принадлежащая, но принадлежащая углу ABC. Найдите BAM, если
ABC = 50, BMC = 40, BMA = 10.
5. В треугольнике ABC известно, что BAC = 30, ABC = 80. В треугольнике
отметили такую точку K, что треугольник BCK — равносторонний. Найдите
KAB.
6. В трапеции ABCD (AD || BC) угол ADB в 2 раза меньше угла ACB,
BC = AC = 5 см. Найдите сторону CD.
Задача 12. (признак принадле жности четырёх точек одной
окружности). Точки A, M, N, B таковы, что AMB = ANB, причём точки
M и N лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Докажите,
что точки A, M, N, B лежат на одной окружности.
M
N


A
B
180° 
C
1. На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки M и N так, что
MAN = 45. С помощью только линейки опустите перпендикуляр из точки A
на прямую MN.
M
B
C
P
N
K
A
D
2. Из точки M, принадлежащей углу АОВ, но не принадлежащей его сторонам,
опущены перпендикуляры MM1 и MM2 на прямые OA и OB. Докажите, что
M1M2  OM.
3. В остроугольном треугольнике ABC отрезки CC1 и AA1 — высоты. Докажите,
что серединный перпендикуляр отрезка C1A1 проходит через середину
стороны AC.
C
A1
A
B
C1
4. Равносторонние треугольники ABC и MNP расположены так, что вершина B
лежит на стороне MN, а вершина P — на стороне AC. Докажите, что
AM || NC.
N
B
M
A
P
C
5. На медиане BM треугольника ABC отметили
MKC = BCM. Докажите, что AKM = BAM.
точку
K
так,
что