Тема 4 Изучение отношений между сторонами и углами в

Тема 4 Изучение отношений между сторонами и углами
в многоугольниках.
Задание 1
Доказать что в прямоугольном треугольнике медиана , проведенная к гипотенузе ,
равна половину длины гипотенузы.
Алгоритм управления решением:
Сделать чертеж: ABC( B  90 ) , AD  DC, DE BC
1.С помощью «теоремы Фалеса» определить отношение между отрезками
AE, BE .
2.С помощью «теоремы о равенстве соответственных углов при параллельных
прямых определить взаимное расположение отрезков DE, AB .
3.С помощью «теоремы о свойствах медианы в равнобедренном треугольнике»
определить отношение между отрезками AD, BD при условии что
AE  BE  DE  AB .
Задание 2
в треугольнике
BC
серединами сторон AB, AC соответственно.
EAF  EDF
1.Доказать что
2.Вычислить отношение между площадями S
AD - высота
к стороне
ABC . Точки E, F
AEDF
,S
являются
ABC
Алгоритм управления решением:
Сделать чертеж: ABC ( BC - основание треугольника); DF , DE - медианы
соответственно к сторонам AC, AB .
1.
1.С помощью «теоремы о медиане , проведенной из вершины прямого угла к
гипотенузе» определить отношение между углами
ADF , DAF ; ADE, DAE .
2.Определить отношение между углами EAF , EDF при условии что
ADF  DAF ; ADE  DAE
2.
1.Определить отношения между площадями треугольников
S
,S
;S
,S
при условии что
ADF
CDF
BDE
ADE
AF  FC, AE  BE
и
каждая пара треугольников имеет общую высоту.
2.Определить отношения между площадями
S
,S
;S
,S
при условии что
ADF
ADC
AED
ABD
S
S
;S
S
BDE
ADF
CDF
ADE
3.Определить отношение между площадями
S
S
AEDF
,S
ABC
при условии что
1S
1S
,S
S
S
.
AEDF 2 ADC 2 ABD ABC
ADC
ABD
Ответ: 2.
S
AEDF  1
S
2
ABC
В прямоугольнике
AE  BD .
ABCD
Задание 3
точка E находится на стороне
CD
так что
AD2  DE  DC .
2.Доказать что BD2  DC 2  DE  DC .
3. BD  20, DE  9 . Вычислить DC .
1.Доказать что
Алгоритм управления решением:
Сделать чертеж: прямоугольник ABCD : DC - нижнее основание , AB - верхнее
основание.
1.
1.С помощью «теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами»
определить отношение между углами DAE, BDC .
2.С помощью «теоремы о подобии треугольников по двум углам» определить
отношении между треугольниками ADE, BDC при условии что
DAE  BDC .
3.Определить отношение между отрезками AD, DE, DC при условии что
ADE BDC (подобен).
2.
1.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками
BD, DC, BC .
3.
1.Решить уравнение
BD  20, DE  9 .
Ответ:
BD2  DC 2  DE  DC
при условии что
CD  16
Задание 4
Четырехугольник ABCD вписан в круг. Точка E находится на продолжении
стороны CD со стороны точки D . AD  BC, AD  BC .
1.Доказать что четырехугольник ABCD является равнобедренной трапецией.
2. AE  AD . Доказать что четырехугольник ABCD является параллелограммом.
3. S
7S
. Вычислить
ABCD 3 ADE
отношение
DC .
DE
Алгоритм управления решением:
Сделать чертеж: четырехугольник ABCD : AC, BD - диагонали; CK  AB ..
1.
1.С помощью «теоремы о том что равные хорды стягивают равные дуги»
определить отношение между дугами ADC , BDC .
2.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение
между углами DAB, CBA .
3.С помощью «теоремы об условии вписания четырехугольника в круг» определить
отношение между углами ADC, CBA .
4.С помощью «теоремы о смежных углах» определить отношение между углами
CDA, EDA .
5.Определить отношение между углами
DAB  CBA  CBA  ADE .
ADE, DAB
при условии что
6.Определить взаимное расположение отрезков CD, AB при условии что
DAB  ADE .
2.
1.Определить отношение между отрезками BC, AE при условии что
BC  AD  AD  AE .
2.С помощью «теоремы о свойствах равнобедренного треугольника» определить
отношение между углами ADE, AED при условии что AE  AD .
3.Определить отношение между углами AED, CBA при условии что
CBA  ADE  ADE  DEA .
4.С помощью «теоремы о равенстве углов , образованных параллельными прямыми»
определить отношение между углами DCA, CAB .
5.С помощью «теоремы о сумме внутренних углов треугольника» определить
отношение между углами CAE, ACB при условии что
CEA  CBA  ECA  CAB
6.С помощью «теоремы о параллельности прямых при равных углах , образованных
при пересечении двух прямых третьей» определить отношение между отрезками
AE, BC при условии что CAE  ACB .
7.С помощью «теоремы о признаке параллелограмма» определить вид
четырехугольника CEAB при условии что BC  AE  BC AE .
3.
( DC  AB)  CK  7  1 DE  CK  AB  CD  DE
2
3 2
DC .
DE
1.Из системы
отношение
Ответ: 3.
определить
CD 2

DE 3
Задание 5
проведены три высоты
ABC
AD, BE, CF , которые
пересекаются в точке O , находящейся внутри треугольника.
ACF  ABE .
1.Доказать что
2.Доказать что четырехугольники DOFB, DOEC можно вписать в кружность.
ADE  ADF .
3.Доказать что
В треугольнике
Алгоритм управления решением:
1.
1.С помощью «теоремы о сумме внутренних углов треугольника» определить
отношение между углами ACF , ABE .
2.
2.С помощью «теоремы о сумме внтренних углов четырехугольника» определить
значения сумм
EOD  ECD, FOD  FBD .
3.С помощью «теоремы о вписании четырехугольника в круг» определить
возможность вписания в круг четырехугольников DOFB, DOEC при условии
EOD  ECD  180 , FOD  FBD  180
что
3.
1.С помощью «теоремы о подобии треугольников по двум равным углам
определить отношение между треугольниками. ADC, BEC; ABD, CFB .
2.Определить отношение между сторонами EC, DC, BC, AC; BD, BE, AB, BC
при условии что ADC
BEC; ABD CFB (треугольники подобны).
3.С помощью «теоремы о подобии треугольников по двум пропорциональным
сторонам и равному углу , заключенному между этими сторонами» определить
отношение между треугольниками EDC, ABC; BED, ABC при словии что
ECD  ACB, EC  DC ; FBD  ABC, BD  FB .
BC AC
AB BC
4.Определить отношение между углами EDC, FDB при условии
EDC  BAC; FDB  BAC .
5.Определить отношение между углами ADE, ADF при условии
EDC  FDB .
Задание 6
В треугольнике ABC отрезок DE параллелен основанию
пересекает отрезок DE в точке G .
1.Доказать что BF  GE  DG  FC .
2.Дано что
DG  4, DE  2, BC  9 .Вычислить
S
BDGF
S
FGEC
что
что
BC .Отрезок AF
.
Алгоритм управления решением:
 BF , EN  FC .
Сделать чертеж: GM
1.
1.С помощью «теоремы о том что прямая , проведенная в треугольнике
параллельно основанию , отсекает треугольник подобный данному» определить
отношения между треугольниками DAG, BAF ; GAE, FAC при условии
что DG BF , GE FC .
2.Определить отношение между отрезками BF , BG, AF , AG; FC, GE, AF , AG
при условии что DAG
BAF ; GAE FAC .
3.Определить отношение между отрезками BF , GE, DG, FC при условии что
BF  AF ; FC  AF .
DG AG GE AG
2.
1.С помощью формулы
S  (a  b)  h
2
площади трапеции , в которой
a, b, h
-
соответственно длина верхнего основания , длина нижнего основания, длина высоты
,S
найти площадь трапеций S
.
BDGF
FGEC
2.Определить отношение между величинами
 ( BF  DG)  GM , S
 ( FC  GE )  EN при
BDGF
FGEC
2
2
GM  EN
BF  FC при условии что
3.Решить уравнение
DG GE
DG  4, GE  2, BF  FC  9
S
BF  DG
4.Определить отношение BDGF 
при условии что
S FGEC FC GE
BF  6, DG  4, FC  3, GE  2 .
S
Ответ: 2.
S BDGF
условии что
 2.
S FGEC
Задание 7
ABCD - равнобедренная трапеция ( AB, DC - соответственно верхнее и нижнее
основания трапеции). Диагонали трапеции AC, BD пересекают среднюю линию
трапеции EF соответственно в точках L, K . Точки M , N находятся на нижнем
DC . Известно что BM AD, MN  NC, AB  a, DC  b(b  a) .
1.Выразить с помощью a, b длину отрезка KL .
2.Доказать что четырехугольник KLCN является параллелограммом.
основании
Алгоритм управления решением:
1.
1.С помощью «теоремы о средней линии трапеции» найти длину средней линии
EF .
2.С помощью «теоремы о средней линии треугольника» найти длины отрезков
EK , LF .
3.Решить уравнение EK  KL  LF  EF при условии что
EF  a  b , EK  b , LF  b .
2
2
2
2.
1.Определить отношение между отрезками
BM AD .
2.Решить уравнение
AB, DM
DC  DM  MN  NC
DM  b , MN  NC .
2
при условии что
при условии что
3.С помощью «теоремы о признаке параллелограмма» определить вид
четырехугольника KLNC при условии что KL NC  KL  NC .
Ответ:
KL  a  b
2
Задание 8
ABC, AEF - секущие к окружности.
Доказать что AB  AC  AE  AF .
2.Вычислить расстояние от точки A до центра окружности если радиус
окружности равен 3 и AB  AC  16 .
1. A - внешняя точка к окружности.
Алгоритм управления решением:
Сделать чертеж: AM , AN - касательные к окружности в точках M , N соответственно; точка O - центр окружности.
1.
1.С помощью «теоремы о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и
катету» определить отношения между треугольниками AMO, ANO .
2.С помощью «теоремы о равенстве сторон в равных треугольниках» определить
отношение между отрезками AM , AN при условии что AMO  ANO .
3.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла и угла образованного
касательной и хордой» определить отношение между углами AMB, MCB .
4.С помощью «теоремы о подобии треугольников по двум равным углам»
определить отношение между треугольниками MAC, MAB .
5.Определить отношение между сторонами AM , AC, AB при условии что
AMB MCB (треугольники подобны).
6.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла и угла образованного
касательной и хордой» определить отношение между углами ANE, NFE .
7.С помощью «теоремы о подобии треугольников по двум равным углам»
определить отношение между треугольниками NAF , NAE .
8.Определить отношение между сторонами
NAF NAE (треугольники подобны).
9.Определить отношения между отрезками
AN , AF , AE
при условии что
AB, AC, AE, AF
при условии что
AM  AC , AN  AF , AM  AN .
AB AM AE AN
2.
1.Решить уравнение
AM  AC
AB AM
при условии что
AB  AC  16 .
2.С помщью «теоремы Пифагора» определить отношения между отрезками
AM , AO, OM .
3.Решить уравнение
Ответ:
AO2  AM 2  OM 2
при условии что
AM  4, OM  3 .
AO  5 .
Задание 9
Треугольник ABC вписанв окружность. Через точку C проведена касательная к
окружности , которая пересекает продолжение стороны AB в точке D . Точка E
находится на продолжении стороны AC в сторону вершины C так что
DE BC .
1.Доказать подобие треугольников AED, DEC
2. AC  16, CE  9 .Найти DE .
3.Найти
BC .
Алгоритм правления решением:
1
1.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла и угла , образованного
касательной и хордой» определить отношение между углами BCD, CAD .
2.С помощью «теоремы о равенстве углов при параллельных прямых» определить
отношение между углами BCD, EDC при условии что BC DE .
3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников , имеющих по два равных
угла» определить отношение между треугольниками AED, DEC .
2
1.Определить отношение между отрезками AE, CE, DE при условии что
AED
DEC
AE  DE при
DE CE
AE  AC  CE, AC  16, CE  9 .
3.Решить уравнение
условии что
3
1.С помощью «теоремы о подобии треугольников , отсекаемых параллельной
прямой» определить отношение между треугольниками ACB, AED при
условии что BC DE .
2.Определить отношение между отрезками AC, AE, BC, DE при условии что
ACB AED .
3.Решить уравнение
AE  DE
AC BC
Ответ: 2 DE  15 ; 3.
BC  9.6
при условии что
AC  16, AE  25, DE  15
Задание 10
Равнобедренный треугольник
ABC( AB  AC  b) вписан
в окружность радиуса
R.
Выразить с помощью параметров b, R длину основания треугольника и длину
высоты , проведенной к этому основанию.
Алгоритм управления решением:
1.Сделать чертеж: O - центр , AD  DC, OK  AC .
2.С помощью «теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами»
определить отношение между углами DAC, OAK при условии что
AO  DC, OK  AC .
3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников , имеющих по два равных
угла» определить отношение между треугольниками AOK , ADC .
4.Определить отношение между отрезками OK , DC, AO, AC при условии что
AOK ADC .
5.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками
AO, AK , OK в AKO при условии что OK  AC .
6.Решить уравнение
AO2  OK 2  AK 2
при условии что
AO  R, AK  b
2
AC  DC при условии
AO OK
AO  R, AC  b, OK  R2  ( b )2
2
7.Решить уравнение
что
8.С помощью «теоремы Пифогора» определить отношение между отрезками
AD.DC, AC
ADC
в
9.Решить уравнение
AD  DC .
при условии что
AD2  AC 2  DC 2
при условии что
2 2
AC  b, DC  b 4R  b
2R
Ответ:
2  b2
2
b
4
R
b
BC 
, AD 
R
2R
Задание 11
ABC
В треугольнике
проведена высота
продолжении высоты в сторону вершины
EAC .
AD .Точка E
B
так что
AB
находится на
является биссектрисой
BCA  2 BAC .
1.Доказать что
BC  ED  BD  EA
2.Доказать что
BC  ED  AD  BE .
Алгоритм управления решением:
1.Определить отношение между углами BCA, EAC при условии что
EAB  BAC, BCA  2 BAC .
2.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников , имеющих по два равных
угла» определить отношение между треугольниками BDC, EAC при условии
BCA  EAC
что
3.Определить отношение между отрезками BC, AE, BD, DE при условии что
BDC
EAC
2
1.С помощью «теоремы о свойстве биссектрисы» определить отношение между
отрезками AE, AD, BD, BE
2.Определить отношение между отрезками
BC, ED, AD, BE
при условии что
BC  BD , AE  BE
AE DE AD BD
Задание 12
Треугольник ABC вписан в окружность так что сторона AB - диаметр этой
окружности и точка O - центр окружности. Через точку C проведена касательная
к окружности. Через вершину B проведена прямая, перпендикулярно касательной,
которая пересекает касательную в точке D и продолжение стороны AC (со
стороны вершины C ) в точке E .
1.Доказать что AC  BC  AB  CD
2.Доказать что BE  AB
Алгоритм управления решением:
1
1.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов и иглов , образованных
касательной и хордой» определить отношение между углами ABC, CBD
2.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников, имеющих два равных угла»
определить отношение между треугольниками ABC, BCD при условии что
CAB  CBD
3.Определить отношение между отрезками
ABC
AC, BC, AB, CD
при условии что
BCD
2
1.С помощью «теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами»
определить отношение между углами BCD, CED при условии что
BC  CE, CD  ED
2.Определить отношение между углами
CAB  CBD, CBD  CEB
CAB, CEB
при условии что
3.Определить отношение между отрезками AB, BE в треугольнике AEB при
CAB  CEB .
условии что
Задание 13
ABCD
a
В квадрате
со стороной
точка E находится на диагонали AC так
что CE  CD .Точка F находится на стороне AD так что EF  AC .
1.Доказать что
2.Доказать что
3.Доказать что
DF  a( 2 1) .
AF  a(2  2) .
DF  1 .
AF
2
Алгоритм управления решением:
2
1.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками
AC, AB, BC .
2.Решить уравнение AC 2  AB 2  BC 2 при условии что
3.Определить отношение между отрезками AE, CE, AC .
4.Решить уравнение
AC  AE  CE
при условии что
AB  BC  a
AC  a 2,CE  a
5.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками
AF , AE, EF .
AF 2  AE 2  EF 2
AE  EF  a( 2 1)
6.Решить уравнение
при условии что
1
1.Определить отношение между отрезками AD, AF , DF .
2.Решить уравнение AD  AF  DF при условии что
AD  a, AF  a(2  2)
3.
1.Определить отношение между отрезками
DF , AF
при условии что
DF  a( 2 1), AF  a(2  2)
В трапеции
ABCD( AB CD)
Задание 14
(где DC, AB - соответственно нижнее и верхнее
основания трапеции) диагонали трапеции AC, BD пересекаются в точке O .
Через эту точкупроводят отрезок , параллельный основаниям , который пересекает
боковые ребра AD, BC соответственно в точках E, F .
DC  4 Ab, S
Найти с
S .
AOB
помощью S площадь S
EFDC
.
Алгоритм управления решением:
1.Сделать чертеж: OM  DC, ON  AB .
2.С помощью «теоремы о равенстве углов , образемых при параллельных прямых»
определить отношение между углами ODC, OBA; OCD, OAB при
условии что AB DC .
3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников , имеющих по два равных
угла» определить отношение между треугольниками DOC, AOB при словии
что
ODC  OBA; OCD  OAB .
4.С помощью «теоремы о связи отношения площадей подобных треугольников с
отношением сторон в этих треугольниках» определить отношение между
S
,S
; AB.DC; DO, OB; AO, OC; OM , ON при условии что
AOB DOC
DOC AOB
DC  AO ; DC  DO ; DC  OM ; S COD  ( DC )2
AB OC AB OB AB ON S
AB
AOB
DC  4 AB, S
S.
AOB
5.Решить уравнения
При условии что
6.С помощью «теоремы о подобии треугольников , получаемых с помощью
параллельной прямой» определить отношение между треугольниками
ABD, EOD; ABC, FOC при условии что EO AB;OF AB .
7.Определить отношение между отрезками
EO, OB, OM , ON ;OF , AB,OM ,ON при условии что
ABD EOD; ABC FOC .
8.Решить уравнения
AB  ON ; AB  ON
EO OM FO OM
9.С помощью формулы вычисления площади треугольника
площади треугольников
S
EOD
,S
FOC
ON  1 .
OM 4
S  ah найти
2
при условии что
при условии что
 EO  OM , OM  4ON , EO  4 AB, AB  ON  S ;
DOE
5
2
2
S
 OF  OM , OM  4ON , OF  4 AB, AB  ON  S
COF
5
2
2
10.Найти площадь трапеции S
при условии что
DCEF
S
S
S
S
;
EFDC
DOC
EOD
FOC
S
 16S
,S
 16 S
,S
 16 S
,S
S
DOC
AOB EOD 5 AOB FOC 5 AOB
AOB
S
Ответ:
S
EFDC
 22.4S
Задание 15
В треугольнике BAC проведена высота AD к основанию
высоте взята произвольная точка E
Доказать что
BC . На
этой
AB2  AC 2  BE 2  CE 2 .
Алгоритм управления решением:
1.Определить отношение между отрезками AD, AE, ED .
2.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками
AB, AD, BD .
3.Определить разность AB2  AD2 при условии что AD  AE  ED .
4.С омощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками
BE, ED, BD .
AB2  BE 2
AB2  BD2  ( AE  DE )2
5.Определить разность
при условии что
6.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками
AC, AD, CD .
3.Определить разность AC 2  AD2 при условии что AD  AE  ED .
4.С омощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками
CE, ED, CD .
AC 2  CE 2
AC 2  CD2  ( AE  DE )2 .
5.Определить разность
при условии что
6.Определить отношение между разностями AB2  BE 2, AC 2  CE 2 .
Задание 16
Три высоты треугольника ABC пересекаются в точке O , находящейся внутри
треугольника. Продолжения высот , выходящих соответственно из точек A, B, C и
пересекают окружность соответсвенно в точках D, E, F .
DAC  CBE .
1.Доказать что
DFC  CFE
2.Доказать что
3.Доказать что O - центр окружности , вписанной в треугольник DEF .
Алгоритм управления решением:
1
1.С помощью «теоремы о равенстве углов с соответственно перпендикулярными
сторонами» определить отношение между углами DAC, CBE при условии
что BE  AC, AD  BC .
2.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов» определить тношение
DAC  CBE .
между дугами DC, CE при условии что
2
1.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов» определить отношение
между углами DFC, CFE при условии равенства дуг DC, CE .
3
1.С помощью «теоремы о равенстве углов с соответственно перпендикулярными
сторонами» определить отношение между углами BAD, BCF при условии
что FC  AB, AD  BC .
2.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов» определить тношение
BAD  BCF .
между дугами BF , BD при условии что
3.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов» определить отношение
между углами BED, FEB при условии равенства дуг FB, BD .
4.С помощью «теоремы о равенстве углов с соответственно перпендикулярными
сторонами» определить отношение между углами ABE, ACF при условии
что BE  AC, AB  FC .
5.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов» определить тношение
ABE  ACF .
между дугами AF , AE при условии что
6.С помощью «теоремы об измерении вписанных углов» определить отношение
между углами ADF , ADE при условии равенства дуг AF , AE .
7.С помощью «теоремы о пересечении трех биссектрис треугольника в одной
точке» определить положение центра вписанной окружности при условии что
FEB  BED, DFC  CFE, ADF  ADE .
Задание 17
В равнобедренном треугольнике BAC(BA  AC) проведена медиана AM к
стороне BC . E -точка н7а продолжении стороны AC со стороны вершины C .
Продолжение медианы пересекает отрезок BE в точке D и отрезок DK BC .
AB  CK
AE EK
2. AB  8, CK  2 . Найти EK .
1.Доказать что
Алгоритм управления решением:
1
1.С помощью «теоремы Фалеса» определить отношение между отрезками
CK , KE, BD, DE при условии что DK BC .
2.Определить отношение между углами BAD, DAE при условии что
AB  AC, BM  MC .
3.С помощью «теоремы о свойсте биссектрисы» определить отношение между
BAD  DAE .
отрезками AB, AE, BD, DE при условии что
4.Определить отношение между отрезками AB, AE, CK , EK при условии что
CK  DB , BD  AB
EK DE DE AE
.2
AB  CK при условии
AE EK
AB  8, AE  AB  CK  KE, CK  2
1.Решить уравнение
Ответ:
что
EK  3 1
3
Задание 18
В треугольнике BAC проведена высота AD к основанию
на стороне AC проведен перпендикуляр EF  BC .
BD  14, DE  6, EC  30 .
1.Найти отношение площадей
2.Найти отношение площадей
BC . Из
точки
S
DFC .
S
ABC
S
ADEF .
S
ABC
E
Алгоритм управления решением:
1
1.С помощью «теоремы о равных углах , образованных параллельными прямыми»
определить отношение между углами CAD, CFE при условии что
EF AD .
2.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников, имеющих два равных угла»
определить отношение между треугольниками ADC, EFC при условии что
CAD  CFE .
они оба прямоугольные и
3.Определить отношение между отрезками DC, EC, AD, DF при условии что
ADC EFC .
EF при условии что
AD
EF  EC , DC  DE  EC, DE  6, EC  30 .
AD DC
ah найти площади
5.С помощью формулы площади треугольника S 
2
,S
треугольников S
.
DFC
ABC
4.Определить отношение между высотами
S
DFC при условии что
S
ABC
S
 DC  EF , S
 BC  AD , BC  BD  DC, BD  14, DC  36
DFC
ABC
2
2
6.Найти отношение
2
1.Определить отношение между площадями
S
ADEF
S
ADEF при условии
S
ABC
DC  AD  EC  EF
S
ADRF 
2
2
, EF  5 .
S
BC  AD
AD 6
ABC
2
2.Определить отношение
В треугольнике
,S
ADC
,S
EFC
.
что
Задание 19
проведены медианы CE, BD , которые пересекаются в
BAC
F , G соответственно
точке M . Точки
середины отрезков MC, MB .
1.Доказать (не используя свойство медиан) что четырехугольник EDGF параллелограмм.
2.Доказать свойство медиан в треугольнике.
3.Доказать что
S
 3S
.
GFCB 4 EDFG
Алгоритм управления решением:
1.Сделать чертеж: ES  DG, FT  DG
1
1.С помощью «теоремы о средней линии треугольника» определить отношение
между отрезками ED, BC;GF , BC при условии что
BE  EA, AD  DC, MF  FC, MG  GB .
2.Определить отношение между отрезками ED, GF при условии что
ED BC, ED  1 BC, GF BC, GF  1 BC .
2
2
3.С помощью «теоремы о признаке параллелограмма по двум сторонам
четырехугольника» определить вид четырехугольника EDGF при условии что
ED GF , ED  GF .
2
1.С помощью «теоремы о свойствах диагоналей параллелограмма» определить
отношение между отрезками EM , MF ; DM , MG .
2.Определить отношение между отрезками EM , MC; MD, BM при условии что
EM  MF  FC, MD  MG  GB .
S  ah
2
GMF , GME, EMD, DMF .
3.С помощью формулы площади треугольника
треугольников
найти площади
4.Определить отношение между площадями
GM  FT , GM  ES , MD  ES , MD  FT
2
2
2
2
ES  FT , GM  MD, EM  MF .
при условии что
5.С помощью «теоремы о связи между отношением площадей с отношением
сторон в двух подобных треугольниках» найти отношение площадей
при условии что
S
GMF
S
BMC
GF  1 .
BC 2
S
GFBC при условии
S
GEDF
S
 4S
,S
 3S
.
GEDF
GMF BGFC
GMF
6.Найти отношение площадей
что
Задание 20
В трапеции
(имеющей AD, BC - соответственно нижнее и верхнее
основание) стороны BC, CD являются хордами окружности в то время как
сторона AB является касательной к окружности в точке B .
DCB .
1.Доказать что ABD
2. BC  5, AD  12.8 . Найти BD .
ABCD
3.Найти отношение площадей
S
DCB .
S
ABCD
Алгоритм управления решением:
1
1.С помощью «теоремы о равенстве углов при параллельных прямых» определить
отношение между углами DBC, BDA .
2.С помощью «теоремы об измерении вписанноо угла и угла , образованного
касательной и хордой» определить отношение между углами ABD, BCD .
3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников , имеющих два равных
угла» определить отношение между треугольниками ABD, DCB при условии
что
DBC  BDA, ABD  BCD .
2
1.Определить отношение между отрезками BD, BC, AD при условии что
ABD DCB .
2.Решить уравнение
AD  BD
BD BC
при условии что
BC  5, AD  12.8 .
3
1.С помощью «теоремы о связи между отношениями площадей и отношением
сторон в подобных треугольниках» определить отношение
что
AD  12.8 .
5
BC
S
ABD
S
BCD
при условии
S
DCB при условии что
S
ABCD
S
S
S
,S
 12.8 S
ABCD
ABD
BCD ABD
BCD
5
2.Определить отношение
Ответ: 2.
BD  8 ; 3.
S
DCB  25 .
S
ABCD 89
В прямоугольном треугольнике
высота EF  AB .
Доказать что
Задание 21
AEB из вершины прямоуго угла
E
проведена
EF 2  AF  FB .
Алгоритм управления решением:
1.С помощью «теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами»
определить отношение между углами FEB, EAB при условии что
BE  AE, EF  AB .
2.С помощью «теоремы о подобии двух прямоугольных треугольников , имеющих
по равному углу» определить отношение между треугольниками AEF , BEF
FEB  EAB .
при условии что
3.Определить отношение между отрезками EF , AF , FB при условии что
AEF BEF .
Задание 22
В параллелограмме ABCD ( DC, AB - соответственно нижняя и верхняя
противоположные стороны) диагонали AC, BD пересекаются в точке O . Точка
E находится на середине отрезка AO , а точка G находится на продолжении
отрезка DE так что AG BD .Отрезок CG пересекает диагональ BD в точке
F.
Доказать что OF  FB .
Алгоритм управления решением:
1.С помощью «теоремы о вертикальных углах» определить отношение между
углами AEG, DEO .
2.С помощью «теоремы о равенстве углов при параллельных прямых» определить
отношение между углами GAE, EOD при условии что AG BD .
3.С помощью «теоремы о равенстве треугольников по стороне и двум углам»
определить отношение между треугольниками AEG, DEO при условии что
AEG  DEO , GAE  EOD, AE  EO .
4.С помощью «теоремы о равных сторонах в равных треугольниках против равных
углов» определить отношение между отрезками DE, EG .
5.С помощью «теоремы Фалеса» определить отношение между отрезками
GF , FC при условии что AO  OC, GF AG .
6.С помощью «теоремы о средней линии треугольника» определить отношение
между отрезками EF , AB при условии что DE  EG, GF  FC .
7.С помощью «теоремы Фалеса» определить отношение между отрезками OF , FB
при условии что AE  EO, EF AB .
Задание 23
В треугольнике ABC ( BC - основание треугольника) проведена медтана AD .
DE, DF - соответственно биссектрисы углов ADB, ADC .
Доказать что EF BC .
Алгоритм управления решением:
1.С помощью «теоремы о свойствах биссектрисы» определить отношение между
отрезками BD, AD, BE, AE;CD, AD, CF , AF .
2.Определить отошение между отрезками BE, AE, CF , AF при условии что
BD  BE , CD  CF , BD  DC .
AD AE AD AF
3.С помощью «теоремы обратной к теореме Фалеса» определить отношение между
отрезками
EF , BC
при условии что
BE  CF .
AE AF
Задание 24
Треугольник ABC вписан в окружность. Через точку C проведена касательная
к окружности , а через точку E , лежащую на стороне AC прямая параллельная
касательной , пересекающая сторону BC в точке D .
ABC .
1.Доказать что DEC
2. BD  2, DC  3, AC  6 .Найти CE .
3.Доказать что
S
DEC  1 .
S
4
ABC
Алгоритм управления решением:
1.Сделать в чертеже: точка K лежит на касательной справа от точки C .
1
1.С помощью «теоремы об углах при параллельных прямых» определить
отношение между углами DEC, ECK при условии что DE CK .
2.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла и об измерении угла ,
образованного касательной и хордой» определить отношение между углами
ECK , CBA .
3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум равным углам»
определить отношение между треугольниками DEC, ABC при условии что
DEC  CBA .
2
1.Определить отношение между отрезками AC, BC, DC, EC при условии что
DEC
ABC .
AC  BC при условии
DC EC
AC  6, DC  3, BD  2, BC  BD  DC .
2.Решить уравнение
3
что
1.С помощью «теоремы о связи отношений площадей подобных треугольников с
отношением сторон в этих треугольниках» определить отношение
условии что
Ответ:
S
DEC
S
ABC
при
DC  3 .
AC 6
EC  2.5
Задание 25
В четырехугольник ABCD ( DC, AB - соответственно нижняя
вписана окружность с центром O .
AOB  DOC  AOD  BOC .
1.Доказать что
S
S
S
2.Доказать что S
.
AOB
DOC
AOD
BOC
 100, P
 40 . Найти радиус окружности.
3. S
ABCD
ABCD
и верхняя стороны)
Алгоритм управления решением:
1.Сделать в чертеже: OM  DC, ON  AD, OS  AB, OT  BC .
1
1.С помощью «теоремы об отрезках касательных, проведенных к окружности»
определить отношение между отрезками DM , DN ; AN , AS ; BS , BT ; CT , CM .
2.С помощью «теоремы о равенстве прямоугольных треугольников по катету и
гипотенузе» определить отношение между треугольниками
DOM , DON ; AON , AOS; BOS , BOT ; COT , COM при условии
что DM  DN ; AN  AS ; BS  BT ;CT  CM .
3.С помощью «теоремы о равных углах в равных треугольниках против равных
сторон» определить отношение между углами
MDO, ODN ; OAN , OAS; OBS , OBT ; OCT , OCM .
4.С помощью «теоремы о сумме величин внутренних углов в треугольнике»
определить значения углов COD, AOD, AOB, BOC .
5.Определить отношение между углами
AOB  DOC, AOD  BOC при
условии что
AOB  DOC  (180  OAS  OBS )  (180  ODM  OCM )
, AOD  BOC  (180  ODN  OAN )  (180  OBS  OCS )
при условии что
MDO  ODN ; OAN  OAS;OBS  OBT ;OCT  OCM .
2
S  ah
2
DOC, AOB, AOD, BOC .
1.С помощью формулы площади треугольника
найти площади
треугольников
2.Определить отношение между площадями
DC  OM  AB  OS , AD  ON  BC  OT при условии что
2
2
2
2
DC  DM  MC, AD  AN  ND, AB  AS  SB, BC  BT  TC
и также
DM  DN ; AN  AS; BS  BT ;CT  CM .
3
1.С помощью площадей треугольников
площадь четырехугольника ABCD .
DOC, AOB, AOD, BOC
1  OM  ( DC  AD  AB  BC )
2
 100, DC  AD  AB  BC  40 .
2.Решить уравнение
S
ABCD
Ответ: 3. OM
 5.
ABCD
В параллелограмме
на стороне
BC
взята точка
продолжение стороны
1.Найти
S
2.Найти
S
ECF
DC
найти
при условии что
Задание 26
( AD, BC - соответственно нижняя и верхняя стороны)
E
так что
со стороны
BE  3 .Отрезок AE пересекает
CE 2
вершины C в точке F . S
 18 .
ABE
.
ABCD
.
Алгоритм управления решением:
1.С помощью «теоремы о вертикальных углах» определить отношение между
углами FEC, BEA .
2.С помощью «теоремы об углах , образованных параллельными прямыми»
определить отношение между углами ABE, ECF при условии что
AB DF .
3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум равным углам»
определить отношение между треугольниками ABE, EFC при условии что
FEC  BEA и также ABE  ECF .
4.С помощью «теоремы о связи между отношением площадей подобных
треугольников с отношением сторон в этих треугольниках» найти площадь
S
ECF
при условии что
BE  3 .
CE 2
2
1.Определить отношение между отрезками
CE, BC
при условии что
BE  3
CE 2
также BC  BE  EC .
2. С помощью «теоремы о связи между отношением площадей подобных
треугольников с отношением сторон в этих треугольниках» найти площадь
EC  2 .
AFD
AD 5
3.Определить площадь трапеции S
при условии что
AECD
S
S
S
,S
 50, S
 8.
AECD
AFD
EFC
AFD
EFC
4.Определить площадь параллелограмма S
при условии что
ABCD
S
S
S
,S
 18, S
 42 .
ABCD
ABE
AECD
ABE
AECD
S
при условии что
и
Ответ: 1. S
EFC
 8 ; 2. S
ABCD
 60 .
Задание 27
В прямоугольном треугольнике через вершину прямого угла C проходит
окружность , пересекающая гипотенузу в точках E , D причем CD - является
диаметром.
ABC .
1.Доказать что ACE
2.Найти EC .
3.Найти
S
AEC .
S
ABC
Алгоритм управления решением:
1
1.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум углам» определить
отношение между треугольниками ACE, ABC при условии что CE  AE .
2
1.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками
AC, BC, AB .
2.Решить уравнение AB 2  AC 2  BC 2 при условии что BC  a, AC  b .
3.Определить отношение между отрезками Ec, BC, AC, AB при условии что
ACE ABC .
CE  AC при
BC AB
BC  a, AC  b, AB  a2  b2 .
4.Решить уравнение
условии что
3
1. С помощью «теоремы о связи между отношением площадей подобных
треугольников с отношением сторон в этих треугольниках» найти
отношение площадей
Ответ: 2. CE 
ab
a 2  b2
S
AEC
S
ABC
; 3.
при условии что
AC 
AB
b
2 2
a b
.
S
2
AEC  b
.
S
2
2
ABC a  b
Задание 28
Треугольник ABD вписан в окружность. Точка C находится на дуге AD , а
точка E находится на хорде AD так что AE  DC . Дано что AB  BC .
CBD .
1.Доказать равенство треугольников ABE
2.Точка M является точкой пересечения отрезка BE с окружностью. Доказать
что AM  DC .
Алгоритм управления решением:
1
1.С помощью»теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение
между углами BAD, BCD .
2.С помощью «теоремы о равенстве треугольников по двум сторонам и углу
между ними» определить отношение между треугольниками BAE, BCD при
BAD  BCD и также AB  BC, AE  CD .
условии что
2
1.С помощью «теоремы о равных углах в равных треугольниках против равных
сторон» определить отношение между углами ABE, CBD при условии что
BAE BCD .
2.С помощью»теоремы о равных хордах стигиваемых равными дугами» определить
отношение между отрезками AM , CD при условии равенства дуг AM , CD .
Задание 29
Трапеция ABCD ( DC, AB - соответственно нижнее и верхнее основания)
вписана в окружность. Через вершину C проведена касательная к окружности ,
которая встречает продолжение диагонали DB в точке E . CD - диаметр
окружности.
ECD .
1.Доказать что DAC
2. AC  25, DE  36 . Найти радис окружности.
3.Найти отношение площадей
S
DAC .
S
ECD
Алгоритм управления решением:
1
1.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение
между углами CAD, DBC .
2.С помощью «теоремы о равных дугах , заключенных между параллельными
хордами» определить отношение между дугами AD, BC .
3.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение
между углами BDC, ACD .
4.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум углам» определить
отношение между треугольниками DAC, ECD .
2
1.Определить отношение между отрезками BD, BE, DE .
2.Решить уравнение DE  DB  BE при условии что
DB  AC  25, DE  36 .
3.С помощью «теоремы о секущей и касательной , проведенной из одной точки к
окружности» определить отношение между отрезками DE, DE, CE .
4.Решить уравнение CE 2  DE  BE при условии что DE  36, BE  11.
5.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками
DE, CE, DC .
CD2  DE 2  CE 2
DE  36, CE 2  396 .
6.Решить уравнение
при условии что
3
1.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками
DB, BC, CD .
2.Решить уравнение
BC 2  CD2  BD2
при условии что
CD  30, BD  25 .
3.С помощью формулы площади треугольника
S  ah
2
найти площади
BDC, BEC .
S
DAC при условии что
4.Найти отношение
S
ECD
S
 1  BD  BC, S
 1  DE  BC, DE  36, BC  5 11 .
DAC 2
EDC 2
треугольников
Ответ: 2.
1 CD  15 ; 3. S DAC  25 .
2
S
36
ECD
Задание 30
Точки D, E находятся соответственно на сторонах
ABC так что DE BC .
1.
S
ADE  1 . Найти
S
3
DECB
отоношение
AB, AC
треугольника
DE .
BC
2.Диагонали четырехугольника DECB пересекаются в точке O .Через эту точку
проводят прямую , параллельную основанию BC , которая пересекает сторону AB
в точке
F . Найти
3. DE  9 . Найти
отношения
OF .
OE , OB .
BO BE
Алгоритм управления решением:
1
1.С помощью отношения
S
ADE  1
S
3
DECB
определить отношение
S
ADE .
S
ABC
2. С помощью «теоремы о связи между отношением площадей подобных
треугольников с отношением сторон в этих треугольниках» найти отношение
при условии что .
S
ADE  1 .
S
ABC 4
DE
BC
3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум углам» определить
отношение между треугольниками DOE, BOC при условии что
DOE  BOC, OED  OBC .
2.
1.Определить отношение между отрезками DE, BC, OE, OB при условии что
DOE BOC .
2.Определить отношение между отрезками OE, OB при условии что
OE  DE , DE  1 .
OB BC BC 2
3.Определить отношение
OB
BE
при условии что
OB  2OE, BE  OB  OE .
3
1.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников, образованных параллельной
прямой» определить отношение между треугольниками OFB, EBD при
условии что OF DE .
2.Определить отношение между отрезками OF , DE, OB, BE при условии что
OFB EBD .
3.Решить уравнение
Ответ: 1.
OF  OB
DE BE
при условии что
OB  2 , DE  9 .
BE 3
DE  1 ; 2. OE  1 , OB  2 : 3. OF  6 .
BC 2 OB 2 BE 3
Задание 31
Две окружности с центрами в точках M , N пересекаются в точках A, B . Через
точку B проводят параллельную прямую , которая пересекает окружности с
центрами M , N соответственно в точках C , D так что CD MN .
1.Доказать что продолжения отрезков MC, DN пересекутся в точке A
2.Доказать что
MN  1 CD .
2
Алгоритм управления решением:
- точка пересечения отрезков MN , AB .
1.Сделать в чертеже: K
1
1.С помощью «теоремы о равенстве треугольников по трем сторонам» определить
отношение между треугольниками AMB, ANB при условии что
MA  MB, NA  NB .
2.С помощью «теоремы о равных углах в равных треугольниках против равных
сторон» определить отношение между углами AMN , BMN при условии что
AMB ANB, AN  BN .
3.С помощью «теоремы о свойсте медианы , биссектрисы , высоты в
равнобедренном треугольнике» определить отношение между отрезками MK , AB
при условии что MA  MB, AMN  BMN .
4.Определить отношение между отрезками CB, AB при условии что
MK  AB, CB MK .
5.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить величину угла
AMC при условии что ABC  90 .
6.С помощью «теоремы о равных углах в равных треугольниках против равных
сторон» определить отношение между углами ANM , BNM при условии
ANB, AM  BM .
что AMB
7.С помощью «теоремы о свойсте медианы , биссектрисы , высоты в
равнобедренном треугольнике» определить отношение между отрезками MK , AB
при условии что NA  NB, ANM  BNM .
8.Определить отношение между отрезками DB, AB при условии что
NK  AB, DB NK .
5.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить величину угла
AND при условии что ABD  90 .
2
1.С помощью «теоремы о средней линии треугольника» определить отношение
между отрезками MN , CD при условии что MC  AM , NC  AN .
Задание 32
Доказать что две хорды , пересекающиеся в окружности , делят друг друга на такие
части что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой
хорды.
Алгоритм управления решением:
1.Сделать в чертеже: E - точка пересечения хорд AB, CD .
2.С помощью «теоремы о вертикальных углах» определить отношение между
углами AED, BEC .
3.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение
между углами CDA, CBA .
2.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум углам» определить
отношение между треугольниками AED, BEC при условии что
AED  BEC и также CDA  CBA .
3.Определить отношение между отрезками AE, BE, CE, DE при условии что
AED
BEC
Задание 33
AB, CD - две хорды окружности (с центором O ) , которые пересекаются в точке
E - середине отрезка AB . Радиус AO перпендикулярен хорде CD и пересекает
ее в точке F .
AB  24, EF  3.5 .
Найти CE .
Алгоритм управления решением:
1.С помощью «теоремы о свойстве медианы , высоты , биссектрисы в
равнобедренном треугольнике» определить отношение между отрезками CF , FD
при условии что OC  OD, OF  CD .
2.С помощью «теоремы о равенстве произведений отрезков хорд» определить
отношение между отрезками CE, ED, AE, BE .
3.Решить уравнение AE  BE  CE  ED при условии что
AE  BE  12, CE  CF  EF , ED  CF  EF , EF  3.5 .
Ответ:
CE  9
Задание 34
Две окружности с центрами в точках M , N и соответствующими радиусами
b, a(b  a) касаются
внешним образом. К эти окружностям проведена общая
касательная , касающаяся большой и малой окружностей соответственно в точках
A, B .
1.Найти AB
2.Найти S
AMNB
1.Сделать в чертеже:
1
K
Алгоритм управления решением:
- точка внешнего касания двух окружностей;
NP  MA
1.С помощью «теоремы о расстоянии между центрами при внешнем касании»
определить отношение между отрезками MP, PN , MN .
2.С помощью «теоремы о перпендикулярности радиуса касательной в точке
касания» определить отношение между отрезками MA, NB, AB .
3.С помощью «теоремы о свойствах сторон прямоугольнка» определить отношение
между отрезками AP, NB .
4.С помощью «теоремы Пифагора» определить отношение между отрезками
MN , MP, NP .
NP2  MN 2  MP2
MN  a  b, MP  b  a, NP  AB .
5.Решить уравнение
2
 ( x  y )h
ABCD
2
x  a / y  b, h  2 ab
1.С помощью формулы площади трапеции
трапеции
Ответ: 1.
MABN
при условии что
AB  2 ab ; 2. S
MABN
при условии что
S
найти площадь
 ab (a  b)
Задание 35
Треугольник ABC ( BC - основание треугольника) вписан в окружность. Точка
M находится на середине дуги BC и отрезок AM пересекает основание BC
в точке K . Точка N является серединой отрезка BC .
AB  40, AC  50, BC  72 .
Найти KN .
Алгоритм управления решением:
1.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение
между углами BAM , MAC при условии равенства дуг BM , MC .
2.С помощью «теоремы о свойстве биссектрисы угла» определить отношение
BAM  MAC .
между отрезками AB, AC, BK , KC при условии что
AB  BK при условии что
AC KC
AB  40, AC  50, BK  BN  KN , KC  NC  KN ,
BN  NC  36
3.Решить уравнение
Ответ:
KN  4
Задание 36
В треугольнике ABC ( BC - основание треугольника) проведены две равные
между собой высоты CE  AB, BD  AC , которые пересекаются в точке F .
1.Доказать что AB  AC .
2.Доказать что BF  FC .
3.Доказать что AE  AD .
Алгоритм управления решением:
1
1.С помощью «теоремы о подобии двух прямоугольных треугольников, имеющих
равные острые углы» определить отношение между треугольниками
CEA, BDA .
2.Определить отношение между отрезками
BDA .
условии что CEA
3.Определить отношение между отрезками
AB, AC, AE, AD, CE, BD
AB, AC
при
при условии что
AB  CE , CE  BD .
AC BD
3
1.Определить отношение между отрезками
AE, AD при
условии что
AE  CE , CE  BD .
AD BD
2
1.Определить отношение между углами DBA, ECA .
2.С помощью «теоремы о свойствах углов при основании равнобедренного
треугольника» определить отношение между углами ABC, ACB при условии
что AB  AC .
3.Определить отношение между углами FBC, FCB при условии что
ABC  ACB, ABD  ACE .
4.С помощью «теоремы о свойствах равнобедренного треугольника» определить
FBC  FCB .
отношение между отрезками BF , FC при условии что
Задание 37
Хорды AB, CD пересекаются под прямым углом в точке F . Точка G находится
на хорде BD так что AG  AB . Продолжение AG пересекает DC в точке
E.
DFC .
1.Доказать что AEC
2. EC  a, DF  c, AE  m . Найти FC .
3.Найти S
.
DFC
Алгоритм правления решением:
1
1.С помощью «теоремы о свойствах равнобедренного треугольника» определить
отношение между углами GAF , BAF при условии что AG  AB .
2.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла» определить отношение
между углами GAB, CDB .
3.Определить отношение между углами GAF , CDB при условии что
GAF  BAF и также GAB  CDB .
4.С помощью «теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами»
определить отношение между отрезками AE, CD при условии что
EAC  CBD, BD  AC .
5.С помощью «теоремы о подобии двух прямоугольных треугольников , имеющих
равный острый угол» определить отношение между треугольниками
AEC, DFC .
2
1.Определить отношение между отрезками FC, EC, AE, DF при условии что
AEC DFC .
2.Решить уравнение
FC  AE
EC DF
при условии что
EC  a, DF  c, AE  m .
3
S  ah найти площадь
2
S
 FC  DF при условии что DF  c, FC  ca .
DFC
m
2
1.С помощью формулы площади треугольника
треугольника
Ответ: 2.
2
ac
ac
FC  ; 3. S

m
DFC 2m
Задание 38
Равнобедренный треугольник ABC ( AC - основание , AB  BC  16 ) вписан в
окружность. Через вершину C проведена касательная к окружности , а через
вершину A прямая параллельная стороне BC , которые пересекаются в точке D .
AD  9 .
Найти P
.
ACD
Алгоритм управления решением:
1.С помощью «теоремы об измерении вписанного угла и угла , образованного
касательной и хордой» определить отношение между углами ABC, ACD .
2.С помощью «теоремы об углах , образованных параллельными прямыми»
определить отношение между углами BCA, CAD при условии что
AD BC .
3.С помощью «теоремы о подобии двух треугольников по двум углам» определить
отношение между треугольниками ABC, ACD при условии что
ABC  ACD и также BCA  CAD .
4.Определить отношение между отрезками AB, BC, AC, AD, CD при условии
ACD .
что ABC
5.Определить отношение между отрезками AC, CD при условии что
AC  AB , AB  BC .
CD BC
AC  AB при условии что AB  16, AD  9, AC  CD .
6.Решить уравнение
AD CD
 AC  CD  AD при условии что
7.Определить P
ACD
AC  CD  12, AD  9 .
Ответ:
P
ACD
 33 .