Samokontrolx

Вопросы для самоконтроля
1.
В чем разница между интегральной кривой и фазовой траекторией?
2.
Могут пересекаться две интегральные кривые?
3.
Может ли интегральная кривая самопересекаться? А фазовые траектории?
4.
Пусть 𝑥(𝑡) – решение автономной системы и существуют два числа t0 , T , что x(t0 )  x(t0  T ) .
Каким свойством обладает решение 𝑥(𝑡) и какова фазовая траектория?
5.
Что такое фазовый портрет системы?
6.
Что такое особая точка автономной системы?
7.
Почему не может быть устойчивой седловая особая точка?
8.
Как связаны фазовые траектории и поверхности уровня функции Ляпунова?
9.
Что такое оператор сдвига по траекториям ?
10.
Какое условие необходимо и достаточно, чтобы оператор сдвига по траекториям сохранял
объем?
11.
Может ли оператор сдвига по траекториям сохранять объем, если известно, что система
имеет функцию Ляпунова?
12.
Приведите пример линейной системы, которая устойчива, но не асимптотически.
13.
То же для нелинейной системы.
14.
В чем состоит процесс линеаризации?
15.
При каком условии устойчивость линеаризованной сиcтемы гарантирует устойчивость
исходной системы?
16.
Почему для линейной системы имеет смысл понятие устойчивости всей системы, а для
системы общего вида можно говорить об устойчивости только конкретного решения?
17.
Что такое порядок аппроксимации разностной схемы? Что такое устойчивость разностной
схемы?
18.
В чем состоит связь между краевой задачей для уравнения Штурма-Лиувилля и интегральным
уравнением ?
Условия экзамена:
1) пользоваться можно чем угодно, но только в течение 30 минут;
2) нужно уметь интегрировать простейшие уравнения 1-го порядка (один из трех типов, см. начало
1-го семестра);
3) нужно уметь исследовать положение равновесия двумерной нелинейной системы 1-го порядка
методом линеаризации ;
4) те, кто претендует на > 3, должны уметь доказывать хотя бы часть теорем, остальным достаточно
знать основные определения и формулировки теорем.
1) В чем разница между интегральной кривой и фазовой траекторией?
x′ = f(x),
(1)
Напомним, что интегральной кривой уравнения (1) мы называем график Γφ любого
решения φ в расширенном фазовом пространстве R×Rn, а траекторией Tφ —проекцию
интегральной кривой на фазовое пространство Rn (см. рис. 1). Таким образом, если φ —
определенное на D(φ) решение уравнения (1), то по определению
Γφ = {(t, x) ∈ R×Rn: t ∈ D(φ), x = φ(t)},
Tφ = {x ∈ Rn: x = φ(t), t ∈ D(φ)},
2) Могут пересекаться две интегральные кривые?
3) Может ли интегральная кривая самопересекаться? А фазовые траектории?
Если в нек-рой области фазового пространства ф-ции Fi(X)непрерывно дифференцируемы, то в
этой области различные Ф.т не пересекаются (в силу теоремы единственности решения системы
обыкновенных дифференц. ур-ний; см. Коши задача).
Если ф-ции Fi(x)в (2) недифференцируемы где-либо, то Ф.т. могут пересекаться. Напр.,
динамич. система, задаваемая ур-нием
имеет две траектории при
t ,T ,
4) Пусть 𝒙(𝒕) – решение автономной системы и существуют два числа 0
что x(t0 )  x(t0  T ) .
Каким свойством обладает решение 𝒙(𝒕) и какова фазовая траектория?
5) Что такое фазовый портрет системы?
Полная совокупность различных фазовых траекторий — это фазовый портрет.
6) Что такое особая точка автономной системы?
Рассмотрим автономную систему
Точка
наз. особой точкой системы (9),
если
7) Почему не может быть устойчивой седловая особая точка?
Точка
, в которой правая часть системы обращается в нуль,
, называется положением
равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.
Точка покоя
называется устойчивой по Ляпунову, если:
1) существует такое
начальным условиям
2) для всякого
, что для
при
существует решение задачи Коши с
;
существует такое
, что если
и
, то
при
всех
.
Устойчивая точка покоя называется асимптотически устойчивой, если
при достаточно малых
.
Очевидно, что линейная автономная система
имеет единственную точку покоя: x1(t) = 0, x2(t) = 0, при всех
. При этом характер точки покоя (0,
0) (ее устойчивость, асимптотическую устойчивость, неустойчивость) можно установить по значениям
собственных чисел l1 и l2 матрицы системы.
А именно, пусть l1 и l2 — собственные значения матрицы A исследуемой системы:







если l1 и l2— действительные отрицательные числа, то точка покоя устойчива и называется устойчивым
узлом (пример 1);
если l1 и l2 — действительные положительные числа, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым
узлом (пример 2);
если l1 и l2 — действительные числа, имеющие разные знаки, то точка покоя неустойчива и
называется седлом (пример 3);
если l1 и l2 — комплексные числа, l1,2 =Rell ± Imll и Rel не превышает нуля, то точка покоя устойчива,
точнее, при Rel =0 точка устойчива, но не асимптотически устойчива и называется центром (пример 4), при
Rel< 0 она асимптотически устойчива и называется устойчивым фокусом (пример 5), а если Rel>0, то точка
покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом (пример 6);
если l1 = l2 - отличные от нуля действительные числа, то точка покоя — узел специального вида,
называемый диакритическим, устойчивым при отрицательных l1 = l2 и неустойчивым при положительных l1 =
l2 (пример 7);
если l1 = 0 и l2 № 0, то существует прямая, проходящая через начало координат, все точки которой являются
точками покоя (пример 8);
если l1 = l2 = 0, то все точки плоскости являются точками покоя.
8) Как связаны фазовые траектории и поверхности уровня функции Ляпунова?
Поверхностью уровня скалярного поля u = u(x,y,z)называется множество точек пространства, в которых
функция u принимает одно и то же значение c, то есть поверхность уровня определяется
(2)
уравнением u(x,y,z) = c.
x = f(t, x)
Функции Ляпунова обладают тем свойством, что вдоль любого решения  уравнения (2) они
не возрастают. Действительно,
V(t, x)
dV[t, (t)]
=
t
dt
V(t, x)
=
t
V(t, x)



+
, (t) =



x
x= (t)
x= (t)


V(t, x)



+
, f[t, (t)]  0.



x
x= (t)
x= (t)


Грубо говоря, это свойство означает, что решения (2) "протыкают" поверхности уровня "в
одном направлении" — со стороны бóльших значений в сторону меньших.
Геометрически, этот факт легче представить в случае автономной (т. е. не зависящей
от t) функции
Ляпунова,
рассматривая траектории в
фазовом
пространстве,
а
неинтегральные кривые в расширенном фазовом пространстве. На рис. 1 изображены
линии уровня некоторой автономной функции Ляпунова (внутренние линии отвечают
меньшим значениям). Траектория, попав на какую-либо линию уровня, уже не может
покинуть область, ограничиваемую этой линией.
9) Что такое оператор сдвига по траекториям ?
Рассмотрим задачу Коши
x′ = f(t, x),
(НС)
x(t0) = x0
(НУ)
и предположим, что выполнены условия обобщенной теоремы Коши — Пикара 2.4.1. Для решения
этой задачи, которое существует на J и единственно в силу названной теоремы, бывает удобно
использовать обозначение gt0t(x0), отражающее зависимость не только от t, но также от t0 и x0.
Если t и t0 фиксировать, а x0, менять, то получится отображение gt0t: Rn → Rn, называемое оператором
сдвига за время от t0 до t по траекториям уравнения (НС).
Итак, по определению, оператор сдвига gt0t сопоставляет значению решения уравнения (НС) в момент
времени t0 значение этого же решения в момент времени t.
10) Какое условие необходимо и достаточно, чтобы оператор сдвига по траекториям сохранял
объем?
Определитель фундаментальной матрицы = 1
В тетрадке есть
ΔV’ = |J|ΔV; |J|=det(A);|J| - Якобиан
11) Может ли оператор сдвига по траекториям сохранять объем, если известно, что система имеет
функцию Ляпунова?
12) Приведите пример линейной системы, которая устойчива, но не асимптотически.
Если все собственные значения матрицы А левые, то положение равновесия асимптотически
устойчиво в целом. Если все собственные значения левые, кроме некратных на мнимой оси, то
положение равновесия устойчиво, но не асимптотически.
13) То же для нелинейной системы.
14) В чем состоит процесс линеаризации?
Линеаризация — (от лат. linearis — линейный), один из методов приближённого представления
замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется
анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют
ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения
сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, либо для
определенных процессов, причем, если система переходит с одного режима работы на другой, то следует
изменить и её линеаризированную модель. Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и
особенно количественные свойства нелинейной системы.
Методы линеаризации
1. Метод логарифмирования-применяется к степенным функциям;
2. Метод обратного преобразования-для дробных функций;
3. Комплексный метод-для дробных и степенных функций.
Покажем последнюю процедуру на формальном примере. Пусть величины х, у, z связаны
уравнением
(2.15)
Это уравнение при х=2, у=- 1, z=0 удовлетворяется. Пусть теперь эти величины мало изменились, т. е.
стало x = 2 + ξ, у = - 1 + η, z = ζ где
малы. Требуется найти линейное соотношение междуξ,
η, ζ справедливое с точностью до членов высшего порядка малости; другими словами, требуется
провести линеаризацию уравнения (2.15) вблизи указанных значений х, у, z (говорят также — «при
этих значениях»). Для этого продифференцируем обе части уравнения (2.15):
Подставив сюда вместо х, у, z их исходные значения, а вместо дифференциалов — приращения
соответствующих переменных (при этом мы пренебрегаем величинами высшего порядка малости —
в этом и состоит линеаризация), получим
т. е.
Линеаризованное уравнение несравненно проще исходного. Его можно записать и в переменных х,
у, z:
11(x-2) + 20(y+ 1)- 14z = 0, т. е.
11x + 20у- 14z = 2.
Геометрический смысл проведенной линеаризации таков: мы получили уравнение касательной
плоскости к поверхности (2.15) в пространстве x,y,z в заданной точке (2, - 1, 0).
В качестве другого примера рассмотрим дифференциальное уравнение
(2.16)
имеющее очевидное частное решение (x) = 1. Пусть близкое решение имеет вид у {х) = 1 + η (х).
Чтобы получить линеаризованное уравнение для η, варьируем уравнение (2.16):
Вариация функции появляется при рассмотрении операторов (преобразователей функций в
функции) и функционалов (преобразователей функций в числа). Так, если задан оператор x = F (у),
где y = y (x) — вход, а x = z (х) — выход, то вариация δу — δу (х) функции y = y (x) — это ее
приращение, полученное при переходе от у к некоторой другой, близкой функции у, т. е. δу (x) = у (х)
- у (х) (см. рис. 7; сравните: dy(x) получается при сохранении функции у(х), но изменении значения х).
Вариация оператора δF(y) получается, если в его приращении F (у + δy) - F (у) оставить только
линейные члены относительно δу и отбросить члены высшего порядка малости. Варьирование
(вычисление вариации) оператора производится по тем же правилам, что и дифференцирование
функции, причем надо полагать δ (у') = (δу)', δ(у") = (δу)'' т. д., подобно тому, как это делается при
вычислении смешанной производной функции нескольких переменных. Пример вычисления
вариации оператора — левой части уравнения (2.16) — приведен в тексте. Аналогично определяется
и вычисляется вариация функционала.
Рис. 7
Подставив сюда у =
(x) (≡1), δу = η, получаем искомое уравнение
которое легко решается.
15) При каком условии устойчивость линеаризованной сиcтемы гарантирует устойчивость
исходной системы?
1. Для устойчивости линеаризованных систем необходимо и достаточно, чтобы все корни
характеристического уравнения системы (полюса) были либо отрицательными вещественными,
либо имели отрицательные вещественные части. При этом никакие отброшенные при линеаризации
члены высших порядков не сделают систему неустойчивой.
2. Если в линеаризованный системе хотя бы один корень характеристического уравнения будет
положительным вещественным, либо иметь положительную вещественную часть, то система будет
неустойчива, и никакие отброшенные члены высших порядков не сделают ее устойчивой.
3. Если один или пара корней характеристического уравнения системы находятся на мнимой оси, а
остальные корни все левые, то система находится на границе устойчивости. Ее реальная
устойчивость целиком определяется отброшенными при линеаризации малыми высших порядков.
16) Почему для линейной системы имеет смысл понятие устойчивости всей системы, а для
системы общего вида можно говорить об устойчивости только конкретного решения?
17) Что такое порядок аппроксимации разностной схемы? Что такое устойчивость разностной
схемы?
Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие
какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и
дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким
образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей
континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых
принципиально возможно на вычислительных машинах.
Аппроксимация
Говорят, что дифференциальный оператор
области
, определенный на функциях
, аппроксимируется на некотором классе функций
оператором
, определенным на функциях
Говорят, что аппроксимация имеет порядок
, заданных в
конечно-разностным
, заданных на сетке, зависящей от шага
, если
, если
где
— константа, зависящая от конкретной функции
, но не зависящая от шага . Норма,
использованная выше, может быть различной, и понятие аппроксимации зависит от ее выбора. Часто
используется дискретный аналог нормы равномерной непрерывности:
иногда используются дискретные аналоги интегральных норм[1][2].
Пример. Аппроксимация оператора
на ограниченном интервале
функций
конечно-разностным оператором
имеет второй порядок на классе гладких
.
Доказательство [показать]
Конечно-разностная задача аппроксимирует дифференциальную задачу, и аппроксимация
имеет порядок , если и само дифференциальное уравнение, и граничные (и начальные)
условия аппроксимируются соответствующими конечно-разностными операторами, и
аппроксимации имеют порядок .
Пример. Аппроксимация уравнения теплопроводности
уравнением
конечно-разностным
, где
имеет второй порядок на классе
-гладких функций.
Устойчивость
Условия аппроксимации не достаточно для того, чтобы результат разностной схемы приближался к
точному ответу при h→0. В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения
дифференциального уравнения, нужно выполнение условия устойчивости. Такие схемы можно
представить как некоторый линейный оператор, который преобразует значения функции в
момент t в значения функции в момент t+h. Условие устойчивости требует, чтобы собственные
числа (вообще говоря комплексные) этого оператора не превосходили помодулю 1+ch, где с —
некоторая константа, при h→0. Если это условие не выполнено, то погрешности схемы быстро
возрастают и результат тем хуже, чем меньше шаг. Если выполнены как условие аппроксимации, так
и условие устойчивости, то результат разностной схемы сходится к решению дифференциального
уравнения
18) В чем состоит связь между краевой задачей для уравнения Штурма-Лиувилля и интегральным
уравнением ?
Рассмотрим уравнение второго порядка
y′′ + λr(x)y = 0, x ∈ [0, l]
(1)
y(0) = 0, y(l) = 0.
(2)
с краевыми условиями
Здесь мы в отличие от остального изложения принимаем для независимой переменной
обозначение x, а не t; соображения, по которым это сделано, станут ясны чуть ниже. В
уравнении (1) r — непрерывная положительная на [0, l] функция, а λ — скалярный параметр.
Задача об отыскании тех значений λ, при которых уравнение (1) имеет ненулевые решения,
удовлетворяющие краевым условиям (2), вместе с задачей об отыскании этих решений
называется краевой задачей Штурма — Лиувилля или краевой задачей на собственные значения.
задача Штурма-Лиувилля может быть сведена к эквивалентной
задаче на характеристические числа и собственные функции
() (, ) () ()
b
a
y x G x s s y s ds = −λ ρ
∫
для интегрального оператора с непрерывным ядром ( , ) ( ) G x s s ρ . Если ( ) 1 ρ s ≡/ , то ядро
интегрального оператора не является симметрическим. Однако ядро
Kxs x Gxs s(, ) ( ) (, ) ()=ρρ
уже является непрерывным и симметрическим.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Линеаризация нелинейных систем
Пусть имеется система уравнений n = 2 (n может быть любого порядка):
(9.1)
Пусть эта система имеет неподвижную точку
точки:
Разложим
. Рассмотрим систему вблизи неподвижной
в ряд Тейлора вблизи неподвижной точки:
(9.2)
Введём обозначения:
(9.3)
Подставим соотношения (9.2), (9.3) в исходную систему уравнений (9.1) и получим:
Отсюда имеем линейную систему для возмущения в окрестности неподвижной точки:
Представим возмущения в окрестности неподвижной точки в экспоненциальной форме:
где - собственные числа матрицы А:
Определим собственные числа из решения характеристического уравнения
и по
ним - тип неподвижной точки (см. раздел "Классификация неподвижных точек на плоскости").
Если тип неподвижной точки линеаризованной системы соответствует узлу
(устойчивому, неустойчивому), фокусу (устойчивому, неустойчивому), седлу, то такой же тип
имеет и исследуемая неподвижная точка нелинейной системы. Если тип неподвижной точки
линеаризованной системы соответствует центру, то о типе неподвижной точки нелинейной
системы ничего сказать нельзя, требуются дополнительные исследования.