TK1

1
§1. Элементы функционального анализа.
Напомним некоторые сведения из курса функционального анализа, которые будут
использованы в дальнейшем. Подробности в общих курсах функционального анализа.
Множество X называется метрическим пространством, если каждой паре его
элементов x, y
ставится в соответствие неотрицательное вещественное число
 x, y ,
называемое расстоянием между элементами
следующие аксиомы расстояния
x, y ,
причем удовлетворяются
1.   x, y     y, x 
2.   x, y     x, z    z, y 
3.   x, y   0  x  y
Элементы метрического пространства будем называть точками, функцию
 x, y ,
 
определенную на множестве пар точек x, y - метрикой, аксиомы 1-3
аксиомами метрики.
Шаром радиуса r с центром в точке a называется множество
U r a   x  X :  x, a   r
Замкнутый шар
U r a   x  X :   x, a   r
Точка
x , есть предел последовательности xn  X , если lim   xn , x   0.
n 
Если последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится. Сходящаяся
последовательность ограничена и имеет единственный предел.
Последовательность x n
называется фундаментальной, если для любого
  0 существует номер N такой, что для всех номеров n  N и для любого номера p
выполнено неравенство  x n  p , x n    .
Если последовательность имеет предел, то она фундаментальна. В произвольном
метрическом пространстве фундаментальная последовательность может не иметь предела.
Если в метрическом пространстве X любая фундаментальная последовательность
сходится, то говорят, что пространство X полное.
Говорят, что точка x есть внутренняя точка множества M  X , если
существует U  x  M . Окрестностью точки x назовем любое множество, для
которого эта точка является внутренней. Множество, все точки которого внутренние,
называется открытым.
 
Объединение любого множества открытых множеств есть открытое множество.
Пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество. Все
пространство и пустое множество есть открытые множества.
2
Точка x есть предельная точка множества M , если в любой ее окрестности,
есть точки множества M , отличные от точки x . Множество, содержащее все свои
предельные точки, называется замкнутым.
Множество замкнуто в том и только в том случае, когда дополнение его открыто.
Все пространство и пустое множество замкнуты. Пересечение любого множества
замкнутых множеств замкнуто. Объединение конечного числа замкнутых множеств
замкнуто.
Множество, полученное присоединением к множеству M всех его предельных
точек, называется замыканием M и обозначается, как M .
Замыкание есть замкнутое множество. Замкнутый шар есть замкнутое множество.
Теорема 1. Если в полном метрическом пространстве задана последовательность
вложенных замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, то существует, и
притом единственная, точка, принадлежащая всем шарам.
Доказательство. Пусть
U r1 a1   U r2 a2     U rn an   
lim rn  0
n 
Покажем, что последовательность
a n - фундаментальна. Так как шары вложены, то
 a n , a n  p   rn . Отсюда сразу следует, что для любого   0 существует N такое,
что для всех n  N и для любого p выполнено неравенство  a n , a n  p   rn   . Так
как пространство полное, то последовательность a n сходится к некоторой точке a . Так
как
lim  an , an  p    an , a   rn
p 
то точка
a U rn an  при любом номере n .
Множество A плотно в множестве B , если B  A . Множество M нигде не
плотно в пространстве X , если в любом шаре пространства X найдется шар, не
содержащий точек M .
Множество A  X называется множеством первой категории, если оно есть
счетной объединение нигде не плотных множеств. Все остальные множества
называются множествами второй категории.
Теорема 2. Полное метрическое пространство есть множество второй
категории.
Доказательство. Предположим противное, полное метрическое пространство

X   Mn
n 1
, где множества
Mn
- нигде не плотны. Возьмем произвольный шар
U r0  X . Так как множество M n - нигде не плотно, то найдется шар
U r1  U r0 , r1  1 / 2 не содержащий точек M1 . Продолжая эти рассуждения, получаем
3
U rn , rn  1 / n таких, что шар U rn не
содержит точек множества M n . Но согласно теореме 1 существует точка, x  U rn при
последовательность вложенных замкнутых шаров
любом
n.
По построению
x  Mn .

Следовательно
x   Mn  X .
n 1
Полученное
противоречие доказывает нашу теорему.
§2. Нормированные пространства.
Напомним, что в линейном пространстве определены операции сложения и
умножения элементов на вещественные (или комплексные) числа. Соответственно
линейное пространство называется вещественным или комплексным.
Нормированным пространством называется линейное пространство, каждому
элементу
x
которого поставлено в соответствие неотрицательное число
называемое нормой элемента
x ,
x , причем удовлетворены аксиомы
1. x    x
2. x  y  x  y
3. x  0  x  0
В нормированном пространстве можно ввести метрику
  x, y   x  y
Все метрические понятия переносятся и на нормированные пространства
lim xn  x  lim xn  x  0
n 
n
U r a   x : xn  x  r
U r a   x : xn  x  r
Последовательность x n фундаментальна, если для любого   0 и существует
номер N такой, что для любого номера n  N и для любого номера p выполнено
неравенство
xn  p  xn   .
Если
любая
фундаментальная
последовательность
в
нормированном
пространстве E сходится, то это полное нормированное пространство называется
банаховым пространством.
Приведем примеры банаховых пространств.
Пространство
f  max f  x 
xa ,b 
C a , b состоит из непрерывных функций f  x  на отрезке a, b и
4
Сходимость

в

C a , b
пространстве
есть
равномерная
сходимость.
Пространство C a , b - полное в силу критерия Коши равномерной сходимости
функциональной последовательности.
Если компакт
на M функций
M  R n , то аналогично C M  есть пространство непрерывных
f  max f  x 
xM
Пространство
Cn a, b состоит из непрерывных на отрезке a, b вектор-функций
f  x    f1  x ,, f n  x  , f  max max f i  x 
i 1,n xa ,b 
Пространство
производную
C n a , b состоит из функций имеющих на a, b непрерывную
f n   x  и
f  max max f i  x 
i 1,n
§3. Принцип сжатых отображений.
Определение 1. Оператор A : X  X , действующий в метрическом
пространстве X , называется оператором сжатия, если существует число   0 , 1
такое, что
 Ax , Ax     x , x 
Определение 2. Говорят, что x неподвижная точка оператора A : X  X ,
если Ax  x .
Теорема (о сжатых отображениях). У оператора сжатия в полном метрическом
пространстве есть неподвижная точка, причем единственная.
Доказательство. Возьмем произвольную точку x0  X и построим
последовательность
x1  Ax 0 , x2  Ax1 ,  , xn  Ax n , 
Покажем, что эта последовательность фундаментальна. Прежде всего, заметим, что
 xn , xn 1   xn 1 , xn  2     
n 1
 x1 , x0 
и поэтому найдется такое N , что для всех n  N и любого p
5
 xn  p , xn    xn  p , xn  p 1    xn  p 1 , xn  p  2     xn , xn 1    xn 1 , xn  


  n   n 1     n  p 1   x1 , x0    n
 x1 , x0 

1
(2.1)
Последовательность xn фундаментальна. Так как пространство X полное, то
существует lim xn  x . Так как 0 
n
 Axn , Ax     xn , x  , то lim Axn  Ax .
n
Покажем, что Ax  x . В самом деле,
 x , Ax    x , xn 1    xn 1 , Ax    x , xn 1    Axn , Ax  
  x , xn 1   xn , x   0 при n  
(2.2)
Докажем единственность неподвижной точки. Если x  Ax , x   Ax  , то
  x , x     Ax , Ax     x , x 
Так как 0    1 , то
  x , x   0 , x  x  . Теорема доказана.
Замечание 1. Любое подмножество M метрического пространства X можно
рассматривать, как метрическое пространство с той же самой метрикой. Если
пространство
а подмножество M замкнутое, то его можно
X полное,
рассматривать как полное метрическое пространство. Рассмотрим в качестве
множества X замкнутый шар M  U r x0 в полном пространстве X . Будем
рассматривать этот шар как полное метрическое пространство. Оператор
A : X  X является в шаре M оператором сжатия. Найдем условие, при котором
оператор A отображает шар в себя
 
 Ax , x0    Ax , Ax0    Ax0 , x0     x , x0    Ax0 , x0  
 r   Ax0 , x0 
Для того, чтобы оператор отображал шар M в себя достаточно, чтобы
выполнялось неравенство r   Ax0 , x0  r , или


 Ax0 , x0   r 1   
(2.3)
Неравенство (2.3) накладывает ограничения на начальное приближение x 0 .
Замечание
пространстве
Оператор
2.
Замкнутый
E можно
шар U r
x0   x :
x  x0  r
в
банаховом
рассматривать как полное метрическое пространство.
A : U r  x0   E будет оператором сжатия, если
Ax  Ax   x  x , x, x U r  x0  , 0    1
(2.4)
6
Оператор A будет действовать в пространстве
выполнено условие
U r  x0  ,
если, согласно (3)
Ax0  x0  r 1   
(2.5)
§4. Линейные операторы.
Пусть
заданы
два
нормированных
пространства
и E2 .
Оператор
Линейный оператор ограничен, если существует такая постоянная
C , что для
A : E1  E2 называется линейным, если
E1
Ax  y   A x   A y  ;  ,   R ; x, y  E1
любого элемента
x выполнено неравенство A x   C x
. Норма оператора
A  inf C  sup Ax
x 1
Линейный оператор ограничен в том и только в том случае, когда он непрерывен.
Множество ограниченных линейных операторов с такой нормой есть линейное
пространство L[ E1  E2 ] . Это пространство полное, если полно пространство E2 .
Теорема Банаха об обратном операторе. Если линейный ограниченный оператор
A отображает все банахово пространство E1 на все банахово пространство E2
1
взаимно однозначно, то обратный оператор A линеен и ограничен.
Графиком линейного оператора A : E1  E2 называется множество
GrA  x, y : x  E1 , y  Ax
Пусть
E1 и E2 - нормированные пространства. Говорят, что линейный
оператор A : E1  E2 замкнутый, если из xn  E1 , xn  x, Ay n  y следует,
что x  E1 , y  Ax . Очевидно, что замкнутость оператора эквивалентна
замкнутости его графика в E1  E2 .
Ограниченный оператор замкнут. Обратное неверно. Но, если замкнутый оператор
определен на всем банаховом пространстве E1 , то он ограничен.
§4. Анализ в нормированных пространствах.

Пусть на некотором числовом множестве T определена функция x t со
значениями в нормированном пространстве E . Многие определения и теоремы
классического анализа переносятся на такие функции.
7
1.
lim x t   a  lim x t   a  0
t t 0
t t 0
Предел суммы равен сумме пределов. Если A линейный ограниченный оператор и
lim x t  a , то lim Ax t  Aa . Действительно,
t t 0

t t0

Axt   Aa  A xt  a   A  xt   a
Под знаком нормы можно переходить к пределу, так как
x t   a  x t   a
Опускаем доказательства других очевидных свойств пределов.
2. Функция
x t 
непрерывна в точке t0 , если
lim xt   xt0 
t t0
. Функция
a, b, если для любого   0 существует 
такое, что для всех t1 , t2  a, b выполнено неравенство x t1   x t 2    .
равномерно непрерывна на отрезке
x t 
 0,
Лемма Кантора. Функция непрерывная на отрезке равномерно непрерывна на
этом отрезке.
 0
Доказательство. Предположим, что утверждение леммы неверно. Существует
такое, что для любого номера n последовательности t n , t n такие, что
x t n   x t n    . Выберем
t n  t n  1 / n , но
сходящуюся к t0 
a, b. Тогда
tn k
Пользуясь непрерывностью функции
подпоследовательность
также сходится к t0 , но
x t 
   
tnk ,
x tnk  x tn k   .
и непрерывностью нормы и переходя к
пределу при t  t0 получаем противоречие.
Функция непрерывная на отрезке ограничена на этом отрезке. Действительно,
функция x t  непрерывна, а следовательно по теореме Вейерштрасса – ограничена.
3. Производная
x t   lim
t t 0
x t   x t0 
t  t0
Производная обладает очевидными свойствами линейности.
Утверждение 1. Если на отрезке a, b задано семейство ограниченных линейных


At   LE1  E2  и существуют At  и x t  , то
At xt   At xt   At xt 
операторов
Доказательство.
8
A t  t x t  t   A t x t 

t
A t  t   A t 
x t  t   x t 

x t  t   A t 
t
t
Переходя к пределу, получаем требуемую формулу.
Производные высших порядков определяются по аналогии с тем, как это делается
для числовых функций. Можно писать разложение по формуле Тейлора и ряды Тейлора.
Перейдем к операции интегрирования. Ограничимся случаем функций
непрерывных на отрезке. Разбиению t0 ,, tn отрезка поставим в соответствие
интегральную сумму


n 1
ST   x ti ti
i 0
Рассмотрим последовательность Tk разбиений с мелкостью разбиения
стремящейся к нулю при n   .
Если функциональная последовательность ST сходится к элементу I  E и ее
k
предел не зависит от выбора последовательности, то элемент
интегралом от функции x t по отрезку a, b



I называется
b
I   x t dt
a
Величину
 f  , a, b  sup f t   f t 
t  t  
t ,t a ,b 
будем называть колебанием функции
  .
f
на отрезке
a, b. Более краткое обозначение
Теорема 1. Интеграл от непрерывной на отрезке функции со значениями в
банаховом пространстве существует.
Докажем предварительно несколько простых лемм.
Лемма 1. Если функция непрерывна на отрезке
 ,   , то
9
ST  x              
Доказательство.
n 1
n 1
n 1
i 1
i 1
i 1
ST  x        x ti ti   x  ti    x ti   x  ti 
   x ti   x   ti       ti         
N
N
i 1
i 1
Лемма 2. Если разбиение
измельчением T , то
T имеет
мелкость

, а разбиение
T  является
ST  ST     b  a 
Доказательство. Если отрезки
 i составляют
разбиение
T,
то разбиение
 i . Обозначим через STi ту часть интегральной
которая соответствует в разбиении T  отрезку  i . Согласно лемме 1 имеем
порождает разбиение и отрезков
T
ST  ,
STi  x ti ti    ti
Но тогда
ST  ST  
 , то
n 1
n 1
n 1
 xti ti   ST    ST   xti ti
i 0
Лемма 3. Если
i 0
i
i 0
i
n 1
    ti   b  a 
T есть разбиение отрезка мелкости 
i 0
,а
T
разбиение мелкости
ST  ST         b  a 
Доказательство. Пусть разбиение
разбиения T  . В силу леммы 2
T 
есть продолжение и разбиения
Tи
ST  ST   ST  ST   ST   ST   ST  ST   ST   ST  
   b  a     b  a         b  a 
Докажем теорему. Пусть
Tn
последовательность разбиений, мелкость которых
 n стремится к нулю при n   . В силу леммы 3
Sn  p  Sn   n  p    n b  a   
при
n  N  
10
Последовательность S n фундаментальна и следовательно имеет в банаховом
пространстве E предел I .
Покажем, что предел не зависит от выбора последовательности. Если бы оказалось,
что для другой подобной же последовательности Tn предел равен I  , то
последовательность S1 , S1 , S2 , S2 , с мелкостью, стремящейся к нулю, должна была
бы сходиться и иметь два различных частичных предела, что невозможно.
Свойства интеграла.
Аддитивность по функции и по отрезку интегрирования доказывается так же как
для числовых функций.
1.
b
b
a
a
 x t dt   x t  dt
Действительно, достаточно перейти к пределу в неравенстве
STn 
2. Если
n 1
 x ti ti
i 0
  x ti  ti
A  LB1  B2  ,
b
b
a
a
n 1
i
x : a, b  B1 , то
 Ax t dt  A  x t dt
Это следует из равенства
 Axti ti  A  xti ti
n
n
i 0
i 0
At  при каждом t  a , b
At   LB1  B2  и x  B2 , то
3. Если функция
есть линейный ограниченный оператор,
b


 At xdt    At dt  x
a

a
b
Интеграл как функция верхнего предела
t
y t    x  d , y t   x t 
a
11
Действительно, при
t  
y t  t   y t 
1
 x t  
t
t
1

t
t  t
 x   xt d
t

t  t

t
1
x  d 
t
t  t
 xt d

t
1
t max x t   x        0
t   t  t
t
так как непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна.
Формула Ньютона-Лейбница. Если функция
на отрезке
a, b, то
x t 
непрерывно дифференцируема
b
 xt dt xb  xa 
(4.1)
a
Доказательство. Пусть
f x 
есть произвольный линейный функционал. Тогда
 t   f xt  является дифференцируемой функцией и
b
  t dt   b   a 
a
или
b

 f xt  dt  f xb  f xa 
a
b

f   x t dt   f  x b   x a 


a

Так как это равенство справедливо для любого функционала, то справедливо
равенство (4.1).