МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета математики, механики
и компьютерных наук
________________________М.И.Карякин
«03» июля 2012 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«Дискретная математика и математическая логика»
Направление подготовки
математика 010100
Профиль подготовки общий
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Кафедра алгебры и дискретной математики
Курс 1 семестры 1 и 2
Форма обучения очная
Программа разработана
Рецензент(ы)
Авдейчик А.Г., ст. преподаватель
Скороходов В.А., доцент, к.ф.-м.н.
Фамилия И.О., должность, уч.степень, уч.звание
Ростов-на-Дону - 2012
1
Рассмотрена и рекомендована к
утверждению на заседании учебнометодического совета факультета
математики, механики и компьютерных наук, направление подготовки
«Математика»
протокол заседания
от _________________ № ________
Рассмотрена и рекомендована к
утверждению на заседании кафедры
алгебры и дискретной математики
протокол заседания
от _________________ №_________
СОГЛАСОВАНО
Протокол заседания кафедры/учебнометодического совета факультета
_________________________________
(название выпускающей кафедры/
факультета, реализующего ООП ВПО)
от ______________ № _____________
I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Цели освоения дисциплины (модуля): основной целью курса является
овладение студентами основами дискретной математики и математической
логики.
Задачи: освоение методов исследования, применяемые в дискретной
математике и математической логике, изучение областей приложения их как в
других разделах математики, так и в других научных дисциплинах.
II. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
2.1. Учебная дисциплина «Дискретная математика и математическая
логика» относится к циклу Б3 «Профессиональный цикл».
2.2. Для изучения данной учебной дисциплины необходимо знание
элементарной математики на уровне средней общеобразовательной школы.
2.3. Перечень последующих учебных дисциплин, для которых необходимы
знания, умения и навыки, формируемые данной учебной дисциплиной:
- алгебра,
- аналитическая геометрия,
- математический анализ,
- функциональный анализ,
- теория вероятностей и математическая статистика,
- теория случайных процессов,
- дисциплины компьютерного цикла.
Курс «Дискретная математика и математическая логика» входит в базовую
часть учебного цикла Б3 «Профессиональный цикл». Настоящий курс связан с
такими
базовыми
курсами,
как
алгебра,
аналитическая
геометрия,
математический анализ, дисциплины компьютерного цикла.
Разделы курса, необходимые для изучения других дисциплин: алгебра
высказываний, исчисление высказываний и предикатов – дисциплины
компьютерного цикла, физика; предикаты и кванторы – математический
анализ,
алгебра,
функциональный
анализ;
теория
отображений
–
математический анализ, функциональный анализ; элементы комбинаторики –
алгебра, математический анализ, теория вероятностей и математическая
статистика: алгебры отношений и 0-1 матриц – дисциплины компьютерного
цикла, алгебра; булевы функции – дисциплины компьютерного цикла;
элементы теории алгоритмов – дисциплины компьютерного цикла, численные
методы.
Требования к знаниям студентов, начинающих изучение курса «Дискретная
математика»:
знание
элементарной
математики
на
уровне
средней
общеобразовательной школы.
Для оценки успешности освоения курса по окончании изучения каждого
модуля студентам предлагается тестирование и, кроме того, для первого и
четвертого модуля – контрольная работа.
Зачет
(в
первом
семестре)
выставляется
при
достижении
удовлетворительных результатов всех тестирований и контрольных работ.
Итоговой формой контроля (второй семестр) является экзамен.
III. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ «Дискретная математика и математическая
логика»
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
ЗНАТЬ:
- основные понятия, их свойства и теоретические положения алгебры
высказываний и предикатов, теории множеств и отображений, комбинаторики,
исчисления высказываний и предикатов, теории графов и теории алгоритмов
- общие формы, закономерности и инструментальные средства дискретной
математики и математической логики ПК-1
УМЕТЬ:
- решать комбинаторные задачи, исследовать типы отображений и
бинарных
отношений,
приводить
формулы
алгебры
высказываний
к
нормальным формам, строить выводы в логике высказываний и предикатов,
определять функциональную полноту системы булевых функций, применять
алгебру логики к теории переключательных схем
- находить, анализировать и контекстно обрабатывать научно-техническую
информацию ОК-10
- демонстрировать способность к анализу и синтезу ОК-14
- демонстрировать способность к письменной и устной коммуникации на
русском языке ОК-15
- понимать поставленную задачу в рамках дисциплины ПК-2
- формулировать результат ПК-3
- строго доказывать утверждение ПК-4
- на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат ПК-5
- самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата ПК-6
- ориентироваться в постановках задач ПК-8
- выделять главные смысловые аспекты в доказательствах ПК-16
- публично представить собственные и известные научные результаты ПК18
ВЛАДЕТЬ:
- навыками преобразования логических формул и формул теории множеств,
методами минимизации булевых формул, формализацией понятия алгоритма в
виде машины Тьюринга
- проблемно-задачной формой представления математических знаний ПК-22
IV. СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Содержание модулей дисциплины
№
модуля
Наименование
модуля
Содержание модуля
Формы текущего
контроля
1
2
3
4
1.
Алгебра высказываний
2.
Алгебры предикатов и
множеств
3.
Теория отображений
4.
Элементы
комбинаторики
5.
Алгебры отношений и
«0-1» матриц
6.
Булевы функции
7.
Элементы теории
алгоритмов
8.
Элементы теории
графов
Опреации над высказываниями,
формулы алгебры высказываний,
двойственность, нормальные формы,
основные проблемы алгебры
высказываний, релейно-контактные
схемы
Операции над предикатами,
кванторы, операции над
множествами, системы множеств
Образ и прообраз при отображении,
типы отображений, обратимость и
односторонняя обратимость
Основной принцип комбинаторики,
аксиомы, декартово произведение,
размещения, перестановки, Бином
Ньютона, тождество Вандермонда,
сочетания, сочетания с повторениями
Типы отношений, операции над
отношениями, отношения порядка,
доминирование, отношения
эквивалентности, классы
эквивалентности, фактор-множество
Многочлены Жегалкина, классы
Поста, полнота и замыкание,
предполные классы
Машина Тьюринга, итерации,
разветвление и объединение машин,
понятие об универсальном алфавите,
алгоритмическая неразрешимость
Локальные характеристики графа,
пути, цепи, контуры, циклы, части
графа, мосты и точки сочленения,
эйлеровость графов, деревья и леса,
пространства циклов и разрезов
Контрольная работа
№1
Тестирование
Тестирование
Тестирование
Контрольная работа
№2
Тестирование
Тестирование
Тестирование
Тестирование
4.2. Структура дисциплины.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зач.ед. (216 часов).
Вид работы
Трудоемкость, часов
семестр 1 семестр 2
Общая трудоемкость
126
90
Всего
216
Аудиторная работа:
52
34
86
Лекции (Л)
36
34
70
Практические занятия (ПЗ)
16
0
16
Самостоятельная работа:
74
56
130
Самоподготовка (проработка и повторение лекционного материала и материала учебников и
учебных пособий, подготовка к лабораторным и
практическим занятиям, коллоквиумам, рубежному
контролю и т.д.)
74
20
94
Подготовка и сдача экзамена (при наличии экзамена
по дисциплине)
0
36
36
зачет
экзамен
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
Модули дисциплины, изучаемые в семестре 1
Количество часов
№
модуля
Наименование модулей
Аудиторная
работа
Всего
Л
ПЗ
ЛР
Внеауд.
работа
СР
1.
Алгебра высказываний
38
10
6
22
2.
Алгебры предикатов и множеств
24
8
4
12
3.
Теория отображений
26
6
2
18
4.
Элементы комбинаторики
24
6
4
14
5.
Алгебры отношений и «0-1» матриц
14
6
126
36
Итого:
8
16
74
Модули дисциплины, изучаемые в семестре 2
Количество часов
№
модуля
Наименование модулей
Аудиторная
работа
Всего
Л
ПЗ
ЛР
Внеауд.
работа
СР
6.
Булевы функции
22
10
12
7.
Элементы теории алгоритмов
20
8
12
8.
Элементы теории графов
48
16
32
Итого:
90
34
56
Всего:
216
70
16
130
4.3. Практические занятия
№
№
модуля
Тема
Кол-во
часов
1-3
1
Опреации над высказываниями, формулы алгебры высказываний,
двойственность, нормальные формы, релейно-контактные схемы
6
4-5
2
Операции над предикатами, кванторы, операции над множествами
4
6
3
Образ и прообраз при отображении, обратимость
2
7-8
4
Размещения, перестановки, сочетания, сочетания с повторениями
4
V. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
При проведении лекций и практических занятий используются следующие
образовательные технологии:
- мультимедийные лекции;
- лекции приглашенных ведущих специалистов (в реальном режиме или в
видеозаписи);
- обсуждения конкретных ситуаций (например, комбинаторных задач для
реально существующих процессов и явлений).
25,58 % – интерактивных занятий от объема аудиторных занятий.
Семестр
1
2
Вид занятия
(Л,ПР,ЛР)
Используемые интерактивные образовательные
технологии
Количество
часов
Л
Мультимедийные лекции, обсуждения конкретных
ситуаций
6
ПР
Дискуссии, обсуждения конкретных ситуаций
9
Л
Мультимедийные лекции, обсуждения конкретных
ситуаций
7
Итого:
22
VI. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
УСПЕВАЕМОСТИ И ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
6.1. Перечень контрольных вопросов для самостоятельной работы
при подготовке к практическим занятиям (по разделам)
Алгебра высказываний

Высказывания, операции над высказываниями.

Формулы алгебры высказываний.

Принцип двойственности.

Закон двойственности.

Нормальные формы. Алгоритмы построения ДНФ и КНФ.

СДНФ и СКНФ.

Основные
проблемы
алгебры
высказываний.
Критерий
тождественной истинности и тождественной ложности.
Алгебры предикатов и множеств

Предикаты. Операции над предикатами.

Кванторы, их свойства и применение.

Основные равносильности, содержащие кванторы.

Множества. Операции над множествами
Теория отображений

Отображения. Образ и прообраз при отображении. Свойства
образов и прообразов.

Суперпозиция отображений. Типы отображений.
Элементы комбинаторики

Основной принцип комбинаторики. Число элементов во множестве.

Правило суммы. Формулы включения-исключения.

Декартово произведение множеств. Множество-степень.

Перестановки и размещения.

Бином Ньютона. Сочетания.

Сочетания с повторениями. Перестановки с повторениями.
Алгебры отношений и «0-1» матриц

Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений. Примеры
отношений обладающих различными комбинациями свойств.

Отношения порядка и доминирование.

свойства.

Отношение
эквивалентности.
Классы
эквивалентности
и
их
Фактор-множество.
Булевы функции

Штрих Шеффера и стрелка Пирса.

Многочлены Жегалкина.

Полнота и замкнутость.

Классы Поста.

Лемма о немонотонной функции.

Лемма о несамодвойственной функции.

Лемма о нелинейной функции.

Предполные классы.
Элементы теории алгоритмов

Запись слова на ленте.

Машина Тьюринга.

Сложение чисел в унарной системе счисления.

Специальные машины Тьюринга.

Композиция машин.

Машины с полулентами.

Разветвление и итерация машин.

Алгоритмическая разрешимость.
Элементы теории графов

Теорема Эйлера о рукопожатиях.

Изоморфизм графов.

Теорема о правильной реализации в R3 .

Понятие о критерии Понтрягина-Куратовского.

Лемма о простой цепи.

Теорема о мостах.

Критерий эйлеровости.

Основная теорема о деревьях.

Теорема Келли.
6.2. Тестовые задания и варианты контрольных работ по курсу
«Дискретная математика и математическая логика»
ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
1. Для записанных слева формул алгебры высказываний выберите
равносильные им ДНФ, среди записанных справа формул:
(a→b)c ~ a
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
a ~b ~c
(a→b)→( b→c)
(a→b)~ c( b→a)
(a ~ b )~(a ~ c)
a∨ b∨ c ;
a →b∨ c ;
a∨ b c ;
a →b c ;
a b∨ bc∨ c a .
a∨ b∨ c ;
abc∨ a b c∨ a b c∨ a b c ;
a∨ b c ;
a →b c ;
abc∨ a bc ~ a b c∨ a b c .
ac ;
abc →b a∨ cb ;
abc∨ a b c∨ a b c∨ a bc ;
bc ;
a b∨ bc ~ c a .
a∨ b∨ c ;
a∨ b∨ c ;
ac∨ b c∨ b a ;
a∨ b∨ c ;
b c∨ a∨ a b .
abc∨ a b c∨ a b c∨ a b c ;
abc∨ a b c∨ a b c∨ a bc ;
a∨ b c ;
a →b c ;
abc∨ a bc ~ a b c∨ a b c .
2. Для отображения, записанного слева, выберите то множество, которое является
образом множества A= (− 2 ;1 ] :
−1
f : R →R , f ( x)= x 2
1. f ( A )= [ 1 ;4 ) ;
−1
2. f ( A )= (− 4;1] ;
−1
3. f ( A )= [ 0 ; 2 ] ;
−1
4. f ( A )= [ 0 ; 4 ] .
−1
x , x≥ 0 ;
1. f ( A )= (− 0,5 ;1] ;
f : R →R , f ( x )= √
−1
−2
x
2 , x <0 .
2. f ( A )= ( 2 ; 4 ] ;
−1
3. f ( A )= (− ∞ ; 4 ] ;
−1
4. f ( A )= (− 2 ;1] .
−1
f : R →R , f ( x)= x 2+4
1. f ( A )= [ 0 ; 4 ] ;
−1
2. f ( A )= [ 4 ;8] ;
−1
3. f ( A )= [ 4 ;8) ;
−1
4. f ( A )= [ 5 ;8) .
{
3. Для отображения, записанного слева, выберите то множество, которое является
прообразом множества A= (− 5 ;4 ] :
−1
f : R →R , f ( x)= x 2
5;2] ;
1. f ( A )= (− √
f : R →R , f ( x )=
{√
x,
x
2 ,
x≥ 0 ;
x <0 .
f : R →R , f ( x)= x 2+4
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
f − 1( A )= (− 2 ;2 ] ;
f − 1( A )= [ 0 ; 2 ] ;
f − 1( A )= [− 2 ; 2] .
f − 1( A )= (− ∞ ; 2] ;
f − 1( A )= ( 2− 5 ;16] ;
f − 1( A )= (− ∞ ;16] ;
f − 1( A )= ( 2− 5 ;2 ] .
f − 1( A )= [ 2 ;2 √
2] ;
−1
f ( A )= [ 0 ; 2 ] ;
f − 1( A )= {0} ;
f − 1( A )= ∅ .
ПРИМЕРЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Вариант 1.
1. С помощью таблицы истинности построить СДНФ и СКНФ
следующей формулы:
( x⋅ y∨ z ~ x )→( x∨ y ) .
2. Используя равносильные преобразования, найти ДНФ и КНФ
(( x ∨ y )→z )~ ( y →z ) .
следующей формулы:
3. Доказать равносильность следующих формул:
y →( x ~ z )∨ v⋅ y⋅ x
и ( x∨ z )→x (v∨ z )∨ y .
4. По следующей функции проводимости построить схему:
f = ( x →y⋅ z )→( x∨ y )⋅ z .
5. Следующую схему упростить:
Вариант 2.
1. С помощью таблицы истинности построить СДНФ и СКНФ
следующей формулы:
((a∨ b )c →a )→b .
2. Используя равносильные преобразования, найти ДНФ и КНФ
(( x →y )~ ( z →( x ~ z )) .
следующей формулы:
3. Доказать равносильность следующих формул:
( y ~ zv )( x →y )x
и ( x∨ z )→x∨ vz⋅ y .
4. По следующей функции проводимости построить схему:
f = ( x →( z∨ y ) x )~( x∨ y )⋅ z .
5. Следующую схему упростить:
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
Вариант 1
1. Найти количество делителей числа 272160.
2. Из группы состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, нужно выбрать 6 человек
так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это
можно сделать?
3. Переплетчик должен переплести 12 книг в красный, зеленый и
коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в
каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга?
Вариант 2.
1. Сколько четырехбуквенных слов можно составить из букв слова
«вероятность».
2. Рота состоит из трех офицеров, шести сержантов и шестидесяти рядовых.
Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного
офицера, двух сержантов и двадцати рядовых?
3. Найти сумму чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр
1, 2, 2, 5, 5, 1.
6.3. Перечень вопросов при подготовке к экзамену
Экзаменационная программа по курсу
«Дискретная математика и математическая логика»
направление подготовки – математика 010100,
экзамен – 2 семестр,
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Высказывания, операции над высказываниями. Формулы алгебры
высказываний. Принцип двойственности. Закон двойственности. Нормальные
формы. Алгоритмы построения ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ. Основные
проблемы алгебры высказываний. Критерий тождественной истинности и
тождественной ложности. Реле и его функция проводимости. Схемы и их
функции проводимости. Основные задачи теории РКС: задача синтеза, задача
анализа и задача упрощения. Машина голосования. Одноразрядный и
многоразрядный двоичный сумматор.
АЛГЕБРЫ ПРЕДИКАТОВ И МНОЖЕСТВ
Предикаты. Операции над предикатами. Кванторы, их свойства и
применение. Основные равносильности, содержащие кванторы. Множества.
Операции над множествами. Подмножество. Свойства подмножеств.
ТЕОРИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ
Отображения. Образ и прообраз при отображении. Свойства образов и
прообразов. Суперпозиция отображений. Типы отображений. Обратимость и
односторонняя
обратимость.
Критерий
обратимости
слева.
Критерий
обратимости справа.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Декартово произведение множеств. Основной принцип комбинаторики.
Число элементов во множестве. ∣ A∪ B∣ , формула включения-исключения,
n
∣ ¿ Ai∣ ,∣ X × Y∣ ,∣Y X∣ ,∣2 X∣ ,∣InY X∣ ,∣ BiY X ∣ ,∣ surY X∣
i= 1
,
множества
AmX , P X , C mX .
m
m
Формулы для An , P n , C n . Сочетания с повторениями. Свойства биномиальных
коэффициентов. Бином Ньютона.
АЛГЕБРЫ ОТНОШЕНИЙ И «0-1» МАТРИЦ
Многоместные отношения. Булевы операции над отношениями. Булева
алгебра
отношений.
отношений.
Двуместные
отношения.
Булевы матрицы и отношения
Композиция
двуместных
на конечных множеставах.
Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений: рефлексивность,
симметричность,
антисимметричность,
транзитивность.
Отношения
эквивалентности. Классы эквивалентности и их свойства. Фактор-множество.
Система различных представителей. Отношения порядка. Упорядоченные,
линейно-упорядоченные и частично-упорядоченные множества.
БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
Множества P 2 , P 2( n) . Многочлены Жегалкина и их свойства. Замыкание
и его свойства. Замкнутость, полнота. Классы Поста и их свойства. Леммы о
функциях, не принадлежащих классам Поста. Теорема Поста и следствия из
неё. Предполные классы и их свойства.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
Понятие об алгоритме, черты (свойства) алгоритмов. Алфавит, буквы,
слова. Запись слова на бесконечной ленте. Операции над словами. Машина
Тьюринга – описание и примеры. Композиция машин. Машины с полулентами
и теоремы о них. Объединение машин, разветвление машин, итерация машин.
Универсальный алфавит и универсальная машина. Тьюрингов подход к
понятию "алгоритм" и другие подходы. Алгоритмически разрешимые и
неразрешимые проблемы. Существование алгоритмически неразрешимых
проблем.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Определения графов. Примеры графов. Локальные характеристики
графов. Изоморфизм графов. Геометрические графы. Правильная реализация
графа. Теорема о правильной реализации в
R3
. Плоские и неплоские графы.
Понятие о критерии Понтрягина-Куратовского. Пути, цепи, контуры, циклы.
Компоненты связности и сильной связности. Части графа: подграф, частичный
граф. Мосты и точки сочленения. Теорема о мостах. Эйлеровы графы.
Критерий эйлеровости. Деревья и леса. Помеченные деревья. Перечисление
помеченных деревьев. Алгоритмы на графах: нахождения компонент и
бикомпонент, мостов и точек сочленения, конденсации. Алгоритм Краскала,
алгоритм Дейкстры. Потоки в сетях. Пространства циклов и разрезов графа.
ПРИМЕРЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ
Экзаменационный билет № 1
1. Критерий монотонности функции алгебры логики.
X
2. Теорема о ∣InY ∣ .
3. Доказать равенство
¿
¿
( A∪ B)= ( A
¿
¿∪ ( B ¿¿
.
Экзаменационный билет № 2
1. Свойства нелинейных функций.
X
2. Теорема о ∣BiY ∣ .
3. Доказать равенство
¿
(A
¿
¿
¿
¿
¿= ( A ¿( B ¿¿
.
Экзаменационный билет № 3
1. Свойства немонотонных функций.
2. Односторонняя обратимость отображения. Критерии односторонней
обратимости.
3. Сколько есть различных трехзначных чисел, в десятичной записи
которых не встречаются цифры 0, 2 и 5?
Экзаменационный билет № 4
1. Свойства несамодвойственых функций.
2. Формула включения-исключения.
3. Построить ДНФ и КНФ для формулы (a→b∧ c )→( ā ∨ c )∧ b .
VII. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
7.1. Основная литература.
1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. –М.: Наука, 1969.
2. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. –М.: Наука, 1972.
3. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи,
приложения. –М.: Вузовская книга, 2011. -292 с.
4. Ерусалимский Я.М., Симоненко И.Б. 35 лекций по дискретной
математике. вып. 1-6. УПЛ РГУ, 1992.
5. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. –М.: Изд.
МАИ, 1992. -264 с.
6. Колмогоров А.Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. М.:
Едиториал УРСС, 2004.
7. Скороходов В.А. Методические указания к курсу «Дискретная
математика» по теме «Отображения». УПЛ РГУ. 2005.
8. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. –М.: Наука,
1986.
7.2. Дополнительная литература.
9. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. –
М.: Наука, 1977.
10. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. -М.: Наука, 1975.
11. Скороходов В.А. Алгоритмы на графах. УПЛ ЮФУ. 2007.
12. Клини С. Математическая логика. М.: ЛКИ, 2008.
13. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. –М.:
Наука, 1977.
14. Романовский И.В. Дискретный анализ. Учебное пособие для
студентов, специализирующихся по прикладной математике и информатике. –
3-е изд. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. -320с.
7.3. Список авторских методических разработок.
1. Скороходов В.А. Методические указания к курсу «Дискретная
математика» по теме «Отображения».// В книге Ерусалимский Я.М. Дискретная
математика: теория, задачи, приложения. –М.: Вузовская книга, 2011.
2. Скороходов В.А. Алгоритмы на графах. УПЛ ЮФУ. 2007.
VIII. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
Наличие литературы в отраслевой библиотеке, медиапроектор и компьютер
для проведения лекций-презентаций.
VIII. УЧЕБНАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ
«Дискретная математика и математическая логика»
Преподаватель: Скороходов В.А.
Кафедра алгебры и дискретной математики
Курс___1__Семестр__1___Группа___5, 6__
Направление подготовки (специальность) математика
№
1.
2.
3.
1.
2.
Виды контрольных
мероприятий
Текущий контроль
Посещение лекций
Домашнее задание
Работа на практических
занятиях
Рубежный контроль
Контрольная работа
Тестирование
Промежуточная
аттестация
Зачет
Количество
баллов за 1
контрольное
мероприятие
Модуль 1
Модуль 2
Модуль 3
Модуль 4
Количество баллов по модулю
1
1
5
3
4
2
3
1
4
2
1
3
2
1
2
19
5
Макс. к-во
баллов
80
19
5
5
5
19
5
35
13
10
22
Модуль 7
Модуль 8
для получения зачёта студент должен набрать от 50 до 80 баллов
Курс___1__Семестр__2___Группа___5, 6__
Направление подготовки (специальность) математика
№
1.
1.
Виды контрольных
мероприятий
Текущий контроль
Посещение лекций
Рубежный контроль
Тестирование
Промежуточная
аттестация
Экзамен
Количество
баллов за 1
контрольное
мероприятие
Модуль 5
Модуль 6
Количество баллов по модулю
1
3
5
4
8
5
Макс. к-во
баллов
40
5
Итог мод. 5
8
5
Итог мод. 6
10
5
Итог мод. 7
9
5
Итог мод. 8
13
Оитог = 0,5 ∙ «общее число баллов за два семестра» + «Экзамен»
оценка на экзамене:
«3» --- Оитог от 70 до 80 баллов;
«4» --- Оитог от 81 до 90 баллов;
«5» --- Оитог от 91 до 100 баллов;
Преподаватель: Скороходов В.А.
Согласовано: заведующий кафедрой: Штейнберг Б.Я.
IX. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ПРОГРАММНОГО МАТЕРИАЛА
9.1. Лекционная программа курса
«Дискретная математика и математическая логика»
Лекций – 70 часов, практических занятий – 16 часов
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: высказывание, предикат, множество, комбинаторика,
отображение, отношение, алгоритм, машина Тьюринга, граф, алгоритмы на графах.
Семестр 1
Модуль 1. Алгебра высказываний
Лекция 1. Высказывания. Операции над высказываниями: отрицание,
дизъюнкция, конъюнкция, эквиваленция, и их простейшие свойства. [3] §1.1.
Лекция 2. Зависимости между операциями. Равносильность в алгебре
высказываний.
Булева
алгебра
высказываний.
Формулы
в
алгебре
высказываний. Теоремы о подстановке и равносильной подстановке. [3] §§1.1,
1.2.
Лекция 3. Двойственность в алгебре высказываний. Принцип и закон
двойственности. Нормальные формы. [3] §§1.3, 1.4, 1.5.
Лекция 4. Основные проблемы алгебры высказываний: равносильности,
разрешения, представления. [3] §1.5.
Лекция 5. Релейно-контактные схемы и схемы из функциональных
элементов. Анализ, синтез, упрощение схем. Двоичный сумматор. [3] § 1.6.
Модуль 2. Алгебры предикатов и множеств
Лекции 6,7. Предикаты и кванторы. Понятие о предикате. Примеры
предикатов. Логические операции над предикатами. Булева алгебра предикатов.
Кванторы и их свойства. Применение языка предикатов и кванторов. [3] §§ 2.1,
2.2.
Лекции 8,9. Алгебра множеств. Понятие о множестве и элементе
множества. Универсальное и пустое множества. Множества и одноместные
предикаты.
Операции
над
множествами:
дополнение,
объединение,
пересечение, разность и симметрическая разность. Булева алгебра множеств.
Подмножество. Семейства множеств. [3] § 2.3.
Модуль 3. Теория отображений
Лекция 10. Отображения. Примеры отображений. Образ и прообраз
множества при отображении. Свойства образов и прообразов. Композиция
отображений. Типы отображений: инъективные, сюръективные, биективные,
«никакие». [3] §§ 2.4, 2.5.
Лекции 11, 12. Композиция однотипных отображений (теоремы о
композиции
обратимость
однотипных
отображений).
отображений.
Критерии
Обратимость
обратимости
и
и
односторонняя
односторонней
обратимости. [3] § 2.5.
Модуль 4. Элементы комбинаторики
Лекция 13. Комбинаторика. Основной принцип комбинаторики. Число
элементов в конечном множестве. Правило суммы. Формула включенияисключения. Декартово произведение множеств. Число элементов в декартовом
произведении. [3] §§ 3.1, 3.2.
Лекция 14. Комбинаторика. Множества инъективных и биективных
отображений. Размещения и перестановки. [3] §§ 3.3, 3.4.
Лекция 15. Комбинаторика. Сочетания, бином Ньютона. Сочетания с
повторениями. Число сюръективных отображений. [3] §§ 3.4, 3.5.
Модуль 5. Алгебры отношений и «0-1» матриц
Лекция 16. Отношения. Примеры отношений. Булевы операции над
отношениями. Булева алгебра отношений. Булевы матрицы. Булева алгебра 0-1
матриц. [3] § 4.1.
Лекция 17. Отношения. Бинарные отношения. Свойства бинарных
отношений. Примеры отношений обладающих различными комбинациями
свойств. Отношения порядка и доминирование. [3] §§ 4.2, 4.3.
Лекция 18. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности и их
свойства. Фактор-множество. [3] § 4.4.
Семестр 2
Модуль 6. Булевы функции
Лекция 19.
∣P 2 (n )∣= 22
n
Булевы
функции.
Множества
P 2 ( n) , P 2
.
Теорема
о
. Анализ множества P 2 ( 2) . Штрих Шеффера и стрелка Пирса.
Многочлены Жегалкина. [3] § 5.1.
Лекция 20. Полнота и замкнутость. Классы Поста P 0 и
P1
и их
свойства. [3] § 5.2.
Лекция 21. Классы L, S, M и их свойства. [3] § 5.3, 5.4.
Лекция 22. Теорема Поста о полноте (критерий полноты) и следствия из
неё. [3] § 5.5.
Лекция 23. Предполные классы их свойства. Существование предполных
классов. [3] § 5.6.
Модуль 7. Элементы теории алгоритмов
Лекция 24. Что такое «алгоритм»? Примеры алгоритмов. Алфавит,
буквы, слова. Запись слова на ленте. Простейшие операции над словами.
Машина Тьюринга. Сложение чисел в унарной системе счисления. [3] § 6.1, 6.2.
Лекция 25.
Специальные
машины
Тьюринга:
тождественная,
заменяющая, копирующая. Композиция машин Тьюринга. [3] § 6.2, 6.3.
Лекция 26. Машины с полулентами. Объединение машин Тьюринга. [3] §
6.3.
Лекция 27. Разветвление и итерация машин. Универсальный алфавит,
универсальная кодировка. Алгоритмическая разрешимость и алгоритмическая
неразрешимость. Универсальная машина Тьюринга. [3] § 6.4.
Модуль 8. Элементы теории графов
Лекция 28. Определение графа. Локальные характеристики. Теорема
Эйлера о рукопожатиях. [3] §7.1.
Лекция 29. Изоморфизм графов. Геометрические графы. Реализуемость
на плоскости и в пространстве. Понятие о критерии Понтрягина и
Куратовского. [3] §7.2.
Лекция 30.Пути, цепи, контуры, циклы. Части графа. Связность и сильная
связность. Мосты графа. Теорема о мостах. [3] §7.2, 7,3.
Лекция 31. Эйлеровы графы, критерий эйлеровости. [3] §7.4.
Лекция 32. Деревья и леса. Основная теорема о деревьях. Следствия. [3]
§7.5.
Лекция 33. Помеченные графы. Перечисление помеченных деревьев.
Теорема Келли. Матрицы графов. [3] §7.6.
Лекция 34. Взвешенные графы. Задача о кратчайшем соединении.
Алгоритм Краскала. Задача о кратчайшем пути. Алгоритм Дейкстры. [3] §7.7.
Лекция 35. Пространства циклов и разрезов. Потоки в сетях. [3] §7.8.
9.2. План практических занятий
Модуль 1. Алгебра высказываний
Занятие 1. Высказывания. Операции над высказываниями: отрицание,
конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и их простейшие
свойства.
Булева
алгебра
высказываний.
Равносильность
в
алгебре
высказываний. Упражнения: [2] 1.1-1.23, [3] 8.1-8.52, [4] вып.1. 1-52.
Занятия 2, 3. Формулы алгебры высказываний. Двойственность в алгебре
высказываний. Принцип двойственности и закон двойственности. Нормальные
формы.
СДНФ.
СКНФ.
Релейно-контактные
схемы
и
схемы
из
функциональных элементов. Упражнения: [2] 2.29-3.11, [3] 8.53-8.309, [4]
вып.1. 53-309.
Модуль 2. Алгебры предикатов и множеств
Занятие 4. Предикаты. Операции над предикатами. Кванторы, их свойства
и применение. Упражнения: [2] 12.1-12.24, [3] 8.310-8.344, [4] вып.2. 310-344.
Занятие 5. Алгебра множеств. Операции над множествами: дополнение,
объединение,
пересечение,
разность
и
симметрическая
разность.
Подмножество. Упражнения: [3] 8.345-8.378, [4] вып.2. 1-33.
Модуль 3. Теория отображений
Занятие 6. Отображения. Образ и прообраз при отображении. Свойства
образов и прообразов. Суперпозиция отображений. Типы отображений:
инъективные, сюръективные, биективные и отображения, не являющиеся ни
инъективными, ни сюръективными. Упражнения: [3] 8.379-8.424, [4] вып.2. 4051, [9] 6.1-6.39.
Модуль 4. Элементы комбинаторики
Занятия 7, 8. Основной принцип комбинаторики. Правило суммы.
Формулы включения-исключения. Декартово произведение множеств. Бином
Ньютона. Сочетания. Сочетания с повторениями. Перестановки и размещения.
Перестановки с повторениями. Упражнения: [1] 1-26, [3] 8.425-8.463, [4] вып.3.
1-38.