002 Теория Электростатика

Закон Кулона.
Для точечных, неподвижных зарядов сила взаимодействия направлена по линии,
соединяющей заряды, пропорциональна произведению зарядов и обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними.
qq
qq
F  k 1 22  1 2 2
R
40 R
Hì 2
Êë 2
Ô 
 0  8,85 10 12  
ì 
k  9 109
Напряженность электрического поля.
Электрическое поле – создается вокруг зарядов: наличие определяется по действию на
заряды.
Характеристика поля:
Напряженность: равна силе, действующей на величину заряда

 F  Í  Â
Å   
q  Êë   ì 
Напряженность поля точечного заряда:
qQ
40 R 2
Q
E
40 R 2
F
Принцип суперпозиции.
Силовые линии электрического поля, их свойства.
Силовая линия – воображаемая линия в каждой точке которой вектор напряженности
направлен по касательной
Неоднородное поле:
Однородное поле:
Свойства силовых линий:
1. Линии не пересекаются
2. Линии начинаются или заканчиваются на зарядах или бесконечности, замкнутых линий
нет.

3. Густота силовых линий характеризует величину Å электрического поля.
Поток вектора напряженности электрического поля.


ds  ds  n
d  E  d  cos 

Элементарным потоком называется скалярное произведение вектора Å поля на площадь
(на вектор элементарной площадки).
Поток на конечной площадке.
 
   Eds
S
Можно наглядно представить как число силовых линий пронизывающих площадку
Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме: дискретные
заряды, распределенные заряды.
Найти поток через эту сферу
   Eds  E  ds 
S

S
1
q
4R 2
2
40 R
q
0
Поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность
равен суммарному электрическому заряду внутри поверхности деленному на
электрическую постоянную.
  1 n
E
qi
 ds   0 
i 1
Для дискретных зарядов
  1
 Eds   0 V dv

Для распределенных зарядов,  - плотность электрического заряда Êë
ì
3

Применение теоремы Гаусса для расчета электрического поля,
созданного бесконечной плоскостью.
q
  - поверхностная плотность заряда
S
 
 EdS   EdS  E  dS  E  2S
S

S
S
q
1
1

dV  S

V
0 V
0
E

2 0
Применение теоремы Гаусса для расчета электрического поля,
созданного равномерно заряженным шаром.
q
V
1. Внутри шара.
r  R

2
E
 dS  E  dS  E  4r

S
S

1
 4
 dV    dV  
0 V
0 V
E 4r 2 
E
 r 3
0 3
 4 3
 r
0 3

r
3 0
2. Вне шара
rR
1
 4 3
  dV 
R
0 V
0 3

 4 3 R 3
 0 4r 2
но E 
E
1
q
40 r 2
R 3
E
3 0 r 2
 E  dS  cosE; n    E  dS

s

 

S


 E  dS  E  S ïîâðõíîñòè
S
Применение теоремы Гаусса для расчета электрического поля,
созданного бесконечной заряженной нитью.
q
  - линейная плотность заряда
l
 
 EdS  ESáîê  E  h  2ê
S
1
1
 dV  
0 V
E
0

20 r
h
Проводники.
Проводник – есть свободные электрические заряды, металл - электроны, электролитионы, газы – положительные ионы и электроны.
Электрическое поле в проводнике.
Вносим проводник в электрическое поле
При внесении проводника в поле заряды распределяются по поверхности до исчезновения
поля внутри проводника.
Через малое время имеем
Выводы:
1. Поле внутри любого металла Е=0
2. На поверхности образуются индуцированные заряды
3. Силовые линии направлены перпендикулярно поверхности проводника,

противоположно E
Явление электростатической индукции.
Перераспределение зарядов в проводнике под влиянием внешнего электростатического
поля называется явлением электростатической индукции.
Напряженность поля у поверхности проводника.

Вектор E у поверхности проводника направлен по нормали к поверхности, т.к.
касательная составляющая вектора напряженности вызывала бы перемещение носителей
тока по поверхности проводника, что противоречит условию равновесия зарядов в
проводнике, находящемся в электрическом поле.
Диэлектрики полярные и неполярные.
Диэлектрики – нет свободных зарядов.
Диэлектрики делятся на полярные и неполярные
Неполярные – атом симметричен
Полярные – молекулы не симметричны ( H 2O ). Молекулу удобно представлять диполем
Диполь. Поляризация диэлектрика. Вектор поляризации.
Диполь – два заряда одинаковых по величине, твердо соединенных на расстоянии L


p  ql дипольный момент
Поляризация – в любом малом V возникает отличный от нуля суммарный дипольный
электрический момент молекул.
Бывает:
- ориентационная (у полярных)
- электронная (деформационная) (у неполярных)
- ионная (в твердых, с кристаллической решеткой)
В отсутствие электрического поля дипольные моменты направлены хаотично. При
внесении в поле дипольные моменты выстраиваются по полю.
Но при этом диполь создает дополнительное поле Eq , направленное против внешнего.

 

Eq  E , Eq  E
Соответственно поле в диэлектрике уменьшается
Диэлектрическая проницаемость среды.
E0
- отношение поля в вакууме к полю в проводнике.
E
 1

Поляризованность ( p ) – суммарный дипольный момент (магнитный) в единице объема


p
p
i
V


p
Eq 
0
Где  - электрическая восприимчивость среды
Вектор индукции электрического поля.
Вводятся для расчета электрического поля в веществе.
Заряды, входящие в состав молекул – есть связанные заряды, остальные – свободные.
На поверхности образуются связанные заряды, силовые линии напряженности
начинаются и заканчиваются на свободных и связанных зарядах.

Поэтому на поверхности разрыв и вводится вектор индукции D


D  0 E
Его силовые линии начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах.

D удобно использовать для расчета поля в веществе
Замечание: будем рассматривать однородные изотопные среды

Если среда не однородна, то    r 
Если среда не изотропна, то
  xx  xy  xz 


ˆ    yx  yy  yz 


 zx  zy  zz 
Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике.
Вектор напряженности начинается и заканчивается на свободных и связанных зарядах

1
 EdS   qñâîáîä   qñâÿçàí 
S
0
Для поля в веществе удобно использовать индукцию электрического поля:
- для дискретного заряда
 
D
 dS  qñâîáîä
S
- для непрерывных зарядов:
 
D
 dS  dV уравнение Максвелла
S
V
- поток через замкнутую поверхность вектора индукции электрического поля равен
суммарному свободному заряду внутри этой поверхности.
- физический смысл

Силовые линии D начинаются и заканчиваются на свободных зарядах.
Работа по перемещению заряда в электрическом поле.
q перемещается из (1) в (2) под действием электрического поля.
dA  F  dl = F  dl  cos  = F  dr
q  q0
40 r 2
Работа по перемещению из (1) в (2):
r2
 1
qq 
q  q0  1 1 
  .
A   
 2 0 dr =
40 r 
40  r1 r2 
r1 
F
1

Определения потенциального поля.
Определение 1.
Поле потенциально, если работа этого поля зависит только от координат начальной и
конечной точки и не зависит от траектории.
Определение 2.
Возьмем траекторию l замкнутой. Тогда r1  r2 , и работа A  0 .
Поле потенциально если его работа по любой замкнутой траектории равна нулю.
Определение 3.
Поле потенциально, если его циркуляция равна нулю.
Потенциал электрического поля.
Потенциал – отношение потенциальной энергии заряда к величине этого заряда.
W
 n
q
W
1Äæ 
  n  [1B]  
q
 1Êë 
Разность потенциалов.
   2  1 
  U 
Wn 2  Wn1 A12

q
q
A12
q
Потенциал поля, созданного точечным зарядом.
q  q0
1 q  q0


40 r2
40 r1
Потенциальная энергии взаимодействия точечных зарядов на расстоянии r:
1 q  q0
Wn 

40
r
1 q0


- Вывод формулы для потенциала точечного заряда
40 r
A  Wn 2  W =
1

Математические отступления:
Интеграл по поверхности:
Интеграл по замкнутой поверхности:
 ___ d S 
S
 поток.
___
d
S

S

 ___ d l
- интеграл по линии (траектории).
l
 ___ d l
- интеграл по замкнутой траектории (циркуляция).
l
Теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля.
dA  Fd l  q Ed l
 dA  0
l
 q Ed l  0
l
 q Ed l  0   Ed l  0
l
l
Если циркуляция равна нулю, то в поле нет силовых линий и оно вихревое.
Граничные условия для векторов индукции и напряженности
электрического поля.
Граничные условия – поведение поля на границе раздела двух однородных изотропных
диэлектриков.
1.
 Ed l   E d l   E
1
l
1
1, 2
2
d l +  E 2 d l   E 1, 2 d l т.к. h  0 , то
3
4
E
a
a
0
a
 Ed l   E1d l   E 2 d l = E1  dl  E2  dl = E1 a  E2 a  0
l
1
E1  E2
2. E 
D
0
3
dl  0
1, 2
dl  0
2
E
4
Имеем:
Ed l  Edl  cos   E dl
1, 2
D1

D2
1
2
При переходе в другую среду тангенциальные составляющие E сохраняются, а индукции
D меняются.
3.
По теореме Гаусса, т.к. q=0 поток через замкнутую поверхность равен нулю:
0




 Dd S =  D1d S   D 2 d S   D1,2 d S
S
íèæ
âåðõ
áîê
Dd S  DdS  cos   Dn dS
 Dd S  D
n1
dS  Dn 2 dS  0
S
Dn1  Dn 2
При переходе в другую среду нормальные составляющие индукции сохраняются.
4. D  0 E  1 En1   2 En 2
При переходе в более плотную среду  2  1 вектора прижимаются к границе.
Связь напряженности и потенциала электрического поля и Физический
смысл градиента.
Сила, действующая на заряд в поле:
F  qE
Потенциальная энергия заряда:
Wn  q
Для потенциальных полей:
F   gradWn
grad (q )  q  grad ( )
E   grad ( )


 
j  k 
E  ( ) =   i 
x 
 x y
Градиент направлен в сторону роста потенциала значит, Е направлена в сторону
уменьшения потенциала.
Потенциал проводника в поле.
Внутри проводника: E  0    const
Потенциал всего проводника постоянен, его поверхность эквипотенциальна  силовые
линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и поверхности проводника.
Потенциал электрического поля, созданного бесконечной плоскостью.
Найти  двух точек, находящихся на расстоянии x1 и x 2 от плоскости с поверхностным
зарядом  .
E

2 0
d
E
dx
i
d
dx
d   Edx
E
x1



x 
( x1  x 2 )
    Edx  
dx =
2 0
2 0
2 0
x
x2
x
x2
x1
1
2

( x1  x 2 )
Ответ:  
2 0

E
, где х – расстояние между точкой и плоскостью.
x
Потенциал электрического поля, созданного равномерно заряженным
шаром.
Электрическое поле создается шаром радиуса R, заряжен с объемной плотностью  .
Найти  между точками на расстоянии r1 è r2 от центра шара.
1. r1 , r2  R
Задача решается в системе сферических координат. (r ,  , )
Из сферической симметрии следует:
1 q
d
1 4 R 3 
 d   Edr = 
E
=

dr
4 0 r 2
40 3 r 2
4 R 3 
R3
dr
=
12 =   Edr = 
40 3 r 2
3 0
r1
r2
r2
r1
1
dr
R3 
=

 r 2 3 0 r
r2
r1
r1
=
r2
R3   1 1 
  
3 0  r2 r1 
2. r1 , r2  R
d
E
dr

E
r (внутри шара)
3 0

 r1
r 2 2 2
rdr
rdr =
r1  r2 
=
3 0 r2
3 0
6 0
r1
r2
   
Потенциал электрического поля, созданного бесконечной заряженной
нитью.
Найти  точек находящихся на расстоянии r1 è r2 от нити с линейной плотностью  .
Цилиндрическая система координат ( r ,  ,  )
d
E
dr
r2
    Edr = 
r1
  ln
r1
r2



ln r1  ln r2 =
dr =
rdr =

20 r
20 r 2
20
20
r2
r1
r1
Конденсаторы и Емкость конденсатора.
Конденсатор это два проводника, разделенные слоем диэлектрика.
Емкость конденсатора это величина, равная заряду, который нужно перенести с одной
обкладки конденсатора на другую, чтобы разность потенциалов между обкладками
изменилась на один Вольт.
 Êë 
В системе СИ: C  = Ô  =   .
Â
q
q
C

1   2 U
U  1  2
Вывод формулы емкости плоского конденсатора.
Плоский конденсатор представляет из себя две параллельные пластины, разделенные
слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью  . Размеры пластин много
больше расстояния между ними (d  S) . В этом случае пластины можно считать
бесконечными плоскостями, а поле между пластинами можно считать однородным, т.е.
одинаковым во всех точках. В однородном поле разность потенциалов между точками 1 и
2, расстояние d между этими точками и напряженность электрического поля Е связаны
отношением U=Ed.

q
Напряженность поля созданного двумя пластинами: E 
, где   - поверхностная
S
0
плотность заряда на пластинах.
d
qd

подставляя в определение емкости конденсатора, получим
0 0 S
q  Sq  S
выражение для емкости плоского конденсатора: C   0  0 .
U
qd
d
Емкость конденсатора зависит от его геометрических размеров и проницаемости среды
между обкладками, и не зависит от заряда пластин и напряжения на конденсаторе.
Напряжение U 
Вывод формулы емкости цилиндрического конденсатора.
Разность потенциалов в поле, созданном бесконечным цилиндром с линейной плотностью
заряда  .

R
ln 2
20 R1
q
20l
l
C

=

R
R
1   2
ln 2
ln 2
20 R1
R1
1   2 
Вывод формулы емкости сферического конденсатора и шара.
 1 1  k ( r2  r1 ) q
  =
r1r2
40  r1 r2 
q
q
C
=
1   2 ( r2  r1 ) q
40 r1r2
40 r1r2
r1r2
C
=
(r2  r1 ) k ( r2  r1 )
Если r   , то получим емкость шара: C  40 r
1  2 =
q
Параллельное и последовательное соединение конденсаторов.
1. Параллельное соединение конденсаторов (соединение одноименно заряженными
обкладками).
U  U1  U 2  U 3
q  q1  q2  q3
CU = CU1  CU 2  CU 3
C  C1  C2  C3
2. Последовательное соединение конденсаторов (соединение разноименно заряженными
обкладками).
q  q1  q2  q3
U  U1  U 2  U 3
q q1 q2 q3



C C1 C2 C3
1
1
1
1



C C1 C2 C3
Энергия конденсатора.
Энергия конденсатора это энергия электростатического поля, сосредоточенного между
обкладками конденсатора (или это потенциальная энергия одной обкладки в
электростатическом поле, созданном другой обкладкой).
q q 
q q 
q (1   2 )
W  q11  q22 = 1 1 2 2 = 1 1 2 2 =
2
2
2
2
2
qU q
CU
W


2
2C
2
Плотность энергии электрического поля.
Рассмотрим плоский конденсатор. Объем, занятый электрическим полем: V  Sd .
 S
Подставим выражение для емкости плоского конденсатора C  0 и напряжения
d
между обкладками U  Ed в формулу для энергии конденсатора:
CU 2 0 SE 2 d 2  0 E 2
W
=
=
Sd = wV ,
2
2d
2
0 E 2 DE

где w 
- плотность энергии электрического поля. В системе СИ:
2
2
w   Äæ3  .
 ì 