ТЕМА 10. Электричество

ТЕМА 10. Электричество
В ходе изучения важно запомнить: факты, лежащие в
основе электростатики, определение потока электрического поля,
формулировка теоремы Гаусса, влияние диэлектрика на
напряженность электрического поля, понятие об электрическом
токе и его основных характеристиках, формулировки закона Ома и
правил Кирхгоффа.
10.1. Начала электростатики
Как известно электромагнитное взаимодействие является одним из
фундаментальных взаимодействий. Электростатика описывает это
взаимодействие в случае неподвижного распределения электрических
зарядов. При этом естественно отсутствует магнитная составляющая поля. То
есть в электростатике разработаны методы расчета распределения
электрического поля для заданной системы покоящихся электрических
зарядов.
Напомним основные факты, лежащие в основе электростатики.
1. Если источником электрического поля является материальная точка с
электрическим зарядом 𝑞0 , положение которой задается радиус-вектором ⃗⃗⃗
𝑟0 ,
то напряженность электрического поля в точке 𝑟 вычисляется по формуле
k0  9 109
 
 
kq
Eэл (r )   0 0 3 (r  r0 )
r  r0
кг  м 3
(10.1)
где
Кл 2  с 2 .
2. Существует два вида зарядов: положительные и отрицательные.
3. Заряд квантован, то есть не существует заряда меньше заряда
протона или электрона. Заряженные тела могут иметь лишь заряд, равный
целому кратному 𝑒 = 1,6 · 10−19 Кл.
4. Выполняется закон сохранение заряда.
В замкнутой системе полный заряд (разность положительных и
отрицательных зарядов) остается постоянным. Этот факт многократно
проверен экспериментально. Одним из явлений, в котором проявляется
рассматриваемый закон, является аннигиляция (процесс превращения
электрона и его античастицы – позитрона при их столкновении в
электромагнитное излучение) e   e   2
Следствием формулы (10.1) является закон Кулона.
Величина силы взаимодействия двух точечных зарядов 𝑞1 и 𝑞2 ,
находящихся на расстоянии R друг от друга, равна
F  k0
q1q2
R2
(10.2)
Для этой силы, как и любой другой, справедлив принцип суперпозиции
(глава
4). Применим принцип для непрерывно распределенного заряда. Пусть

dF - сила, действующая со стороны отдельного элемента заряда, тогда
полная сила со стороны заряда на участке BC равна
 C 
F   dF
(10.3)
B
В качестве примера рассмотрим электрический диполь (рис. 10.1)
F l
Из подобия треугольников следует отношение

F1 r
Тогда, используя закон Кулона для
системы 𝑄, 𝑞, получим
F
l
l
Qq
Ql
p
F1  (k0 2 )  qk0 3  qk0 3
r
r
r
r
r
где 𝑝 = 𝑄𝑙.
Разделив на 𝑞, получим выражение
для напряженности
E  k0
Рис. 10.1 Электрический диполь
p
r3
Для наглядности представления
распределения поля в пространстве
используют
силовые
линии
поля.
Направление напряженности поля в
пространстве
можно
изобразить
непрерывными линиями. Направление
этих линий в каждой точке совпадает с
направлением поля. Они называются
силовыми линиями электрического поля.
Посредством
силовых
линий
можно
охарактеризовать
величину поля в любой
области
пространства
(плотность
линий
пропорциональна
величине напряженности).
На рис.10.2 показаны
силовые
линии
для
системы
двух
противоположных
зарядов.
Рис. 10.2 Силовые линии системы двух зарядов
10.2. Поток напряженности поля
Введем новое понятие, необходимое для формулировки теоремы

Гаусса.
Рассмотрим
площадку
с
площадью dS
и
вектор dS ,

перпендикулярный площадке такой, что dS  dS и скалярное произведение



вектора напряженности электрического поля и вектора dS : E  dS  E  dS  cos
 
. Назовем величину dФ  E  dS потоком электрического поля через dS , тогда
поток через поверхность S равен
 
(10.4)
Ф  E  dS

S
Рассмотрим точечный заряд Q и окружим его сферой радиуса 𝑟1 .
Подставив выражение для напряженности точечного заряда и взяв интеграл,
получим
Q
(10.5)
Ф  E  (4r 2 )  (k
)(4r 2 )  4k Q
1
0
r12
1
0
Таким образом, полное число силовых линий, выходящих из точечного
заряда Q равно 4k 0 Q и эти линии непрерывны на всем пути до
бесконечности.
Пусть поверхность не сфера, тогда (рис.10.3)
   
E  dS  E  d
если их пересекает одинаковое число линий. Проинтегрировав,
получаем
 
 
Ф   E  dS   E  d
где S - сфера и  - гауссовская поверхность.
Рис. 10.3 Поток электрического поля
10.2.1. Теорема Гаусса
Рассмотрим систему из двух электрических зарядов Q1 и Q2 и поток
через гауссовскую поверхность (рис.10.4).
 
  
 
Фполн   E  dS   ( E1  E2 )dS   E1dS 
(10.6)
 
 E2 dS  4k0Q1  4k0Q2  4k0 (Q1  Q2 )
Аналогично можно сделать для
любого количества зарядов. Поэтому
справедлива теорема Гаусса
 
 E  dS  4k0Qвнутр
(10.7)
Теорема
Гаусса
справедлива
независимо от присутствия зарядов вне
замкнутой поверхности. Заметим, что
уравнение (10.7) – одно из четырех
уравнений Максвелла, описывающих
произвольное электромагнитное поле.
В электростатике поле внутри
проводника равно нулю (иначе было бы
движение зарядов). Покажем, что при
этом полный заряд внутри проводника
Рис. 10.4. К теореме Гаусса
также
равен
нулю.
Проведем
гауссовскую поверхность непосредственно под поверхностью проводника
(рис.10.5). Вследствие отсутствия поля внутри проводника поток через
поверхность нулевой а, следовательно, равен нулю полный заряд внутри
поверхности. Так как поверхность произвольная, то заряд отсутствует внутри
любой поверхности.
Рис. 10.5 Поле внутри проводника
10.2.2. Электрическая индукция
Явление электрической индукции состоит в перераспределении
электрического заряда вдоль поверхности проводника под воздействием
электрического поля. Проиллюстрируем это явление на примере заряда
внутри полой сферы (рис.10.6). Так как поток через гауссову поверхность
нулевой, то сумма зарядов на внутренней поверхности полой сферы равна
заряду в центре. Следовательно, равны суммарные заряды на обеих
поверхностях полой сферы.
Рис. 10.6. Явление электрической индукции
Если электрически нейтральное тело поместить в область, в которой
имеется электрическое поле, то на поверхности тела возникают
индуцированные заряды. При
этом внутри проводника E  0 , а внутри

изолятора (диэлектрика) E  0 . Посредством электрической индукции
электрически нейтральному проводнику можно сообщить заряд.
Вектор напряженности электрического поля перпендикулярен
поверхности проводника, так как если была бы составляющая параллельная
поверхности, то был бы электрический ток, что противоречит статичности
распределения зарядов.
10.3. Электрический потенциал
Согласно введенному нами ранее определению потенциальной энергии,
для электростатической силы разность потенциальных энергий в точках B и
C
C 
C 


(10.8)
U C  U B    Fd r   q  E d r
B
B
Если в качестве начальной точки взять бесконечно удаленную и
положить U   0
то потенциальная энергия равна

r 


U (r )  q  Edr
(10.9)

Найдем потенциальную энергию точечного заряда q в поле другого
точечного заряда Q
r
r
Q
 1
(10.10)
U  q  k0 2 dr  qQk0  
r
r




qQ
то есть U  k0
r
Электрическим потенциалом называется величина

U
q
(10.11)
Разность потенциалов между двумя точками представляет собой
работу, которую необходимо затратить дляC перемещения единичного заряда

из первой точки во вторую   С   B    Edr .
B
10.4. Конденсатор
Конденсаторы – это приборы для накопления энергии. Они бывают
сферические, цилиндрические, плоские и т.д. Возникает вопрос, какой заряд
может накопить конденсатор? Рассмотрим плоский конденсатор.
Напряженность электрического поля внутри конденсатора равна
E  4k0
(10.12)
где  
Q
S
Так как напряженность постоянна, то разность потенциалов между
обкладками конденсатора    Ex0
Здесь x 0 - расстояние между обкладками. Подставив выражения для E
и  получим
4k0 x0
(10.13)
 
Q
Ёмкостью
соотношением
S
называется
физическая
C
10.4.1. Накопление энергии
Q

величина,
задаваемая
(10.14)
Рассчитаем сколько необходимо энергии, чтобы изменить заряд
обкладки конденсатора от 0 до Q0 . Используя выражение для потенциала

q
C
(10.15)
рассчитаем работу по перемещению заряда dq с одной обкладки
конденсатора на другую dA  dU  dq
Проинтегрируем это выражение
Q0
Q0
q
U   dq   dq
(10.16)
C
0
0
Q02
получим U 
.
2C
10.4.2. Диэлектрики
Если пространство между обкладками конденсатора заполнить какимлибо диэлектриком, то ёмкость конденсатора увеличивается. При
неизменном заряде конденсатора напряжение (разность потенциалов) между
обкладками уменьшается, что свидетельствует о возрастании ёмкости.
Уменьшение разности потенциалов свидетельствует об уменьшении
напряженности электрического поля (рис. 10.7). Причиной изменения
напряженности служит возникновение индуцированных зарядов на
поверхностях диэлектрика. Как для полярных, так и для неполярных
диэлектриков их возникновение связано с выстраиванием дипольных
моментов молекул вдоль вектора напряженности электрического поля
конденсатора.
Рис. 10.7 Изменение поля в присутствии диэлектрика
Диэлектрическая проницаемость 𝜀– это безразмерная величина,
показывающая во сколько раз меняется напряженность электрического поля
в конденсаторе при том же заряде на обкладках.
Для плоского конденсатора
S
C
(10.17)
4k0 d
10.5. Законы электрического тока
10.5.1. Закон Ома
Для поддержания в проводнике постоянного тока необходим
постоянный источник электрической энергии. Распространенными типами
источников являются электрические батареи и электрические генераторы.
Они называются источниками электродвижущей силы (ЭДС),которая обычно
обозначается  .
В этих источниках электрическая энергия получается путем
преобразования из других форм энергии. Формально ЭДС определяется как
работа неэлектрических (сторонних) сил по перемещению единичного
электрического заряда внутри источника тока


   Fстор ds
(10.18)
Таким образом, заряд q , проходя от отрицательного полюса батареи к
положительному, приобретает энергию q .
Закон Ома связывает ток I , протекающий через резистор R ,с
падением напряжения U на нем
(10.19)
U  IR
Если ток переменный, то U и I - действующие значения напряжения и
тока соответственно.
Для замкнутой цепи закон Ома преобразуется к виду
(10.20)
  IR
где  - ЭДС, а R - суммарное сопротивление цепи.
Участки цепи с последовательно и параллельно включенными
резисторами можно преобразовать к одному резистору по следующим
правилам:
а) для последовательного включения R  R1  R2
б) для параллельного включения
R
R1 R2
R1  R2
10.5.2. Правила Кирхгофа
Правила
Кирхгофа
применяются
для
расчета
сложных(разветвленных) цепей и включают понятия узла и контура.
Узлом в разветвленной цепи называется точка, в которой сходятся
более двух проводников (рис.10.8).
Рис. 10.8 Узел электрической цепи
Первое правило Кирхгофа (правило узлов):алгебраическая сумма
токов I , сходящихся в узле, равна нулю:
n
I
k 1
k
0
где n - общее число проводников, сходящихся в узле. Токи считаются
положительными, если они подходят к узлу, отрицательными - вытекающие
из узла.
Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом замкнутом
контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи,
алгебраическая сумма произведений сил токов I на сопротивления R
соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме
приложенных в нем ЭДС:
n
m
I
k 1
k
Rk    j
j 1
При использовании второго правила Кирхгофа выбирается (рис. 10.9)
определенное направление обхода контура (например, по часовой стрелке):
токи 𝐼𝑘 , совпадающие по
направлению с направлением
обхода,
считаются
положительными. ЭДС 𝐸𝑗
источников тока считаются
положительными, если они
создают токи, направленные
в сторону обхода контура.
Если по ветви протекают
несколько контурных токов
Рис. 10.9 Контурные токи
необходимо учитывать их все.