ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

П. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
2.1. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Теория вероятности не достигла бы такого расцвета и не была
бы столь широко используема, если бы она занималась только
случайными событиями. Вторым не менее важным объектом
изучения в теории вероятности является случайная величина (сл.
величина).
С точки зрения функционального анализа случайная величина
представляет собой обычную числовую функцию, заданную на
пространстве элементарных исходов Ω и измеримую относительно
борелевской σ-алгебры B R1  :   R и  : ()  B  F,
 
 
B  B R1 . Дадим формальное определение сл. величины.
Определение. Пусть (Ω,F,P) – некоторое вероятностное
пространство. Случайной величиной называется измеримая
функция ξ, ставящая в соответствие каждому элементарному
исходу   число   () . Случайные величины принято
обозначать греческими буквами , , ,  ,…. или большими
латинскими буквами X, Y, Z ,…
Термин «измеримая» означает, что для любого множества B из
 
борелевской σ–алгебры B R1 все множества  : ()  B  F , то
есть являются событиями.
 
Напомним, что σ–алгебра B R1
на прямой – это множество,
которое включает в себя все открытые и замкнутые интервалы на R
70
–
промежутки, обозначают
a,b ,    a  b   .
их
в
общем
виде
 
Отметим еще, что σ–алгебра борелевских множеств B R1
как
не
является единственной σ–алгеброй на прямой. Ее применение в
теории вероятности удобно, потому что если измеряется случайная
величина ξ, то основной вопрос, интересующий экспериментатора,
это вопрос о том, с какой вероятностью эта сл. величина принимает
то или иное свое значение, и всегда можно дать ответ на вопрос
имело ли место событие {ξ принадлежит данному промежутку
a, b }.
Чтобы получить ответ на этот вопрос, любой промежуток
a, b целесообразно представить в виде алгебраической суммы
конечного числа промежутков определенного вида, а именно
промежутков вида ,c , c  R . Приведем для каждого из видов
промежутков эти алгебраические суммы: a, b   , b   ,a  ,
 a,b    ,b    ,a ,
 a,b   ,b   ,a  и, наконец, a, b    , b    ,a .
Для
любого промежутка
a, b
имеет место включение
,a  ,b тех промежутков, в виде разности которых он
представим. Поэтому применимо следствие из
свойства Р3
вероятностей: Р{ξ попала в промежуток a, b }=Р{ξ попала в
промежуток , b } – Р{ξ попала в промежуток ,a }.
Следовательно, целесообразно отвечать не на вопрос: имело ли
место событие {ξ принадлежит данному промежутку
a, b }, а
отвечать на вопрос: имело ли место событие {ξ принадлежит
промежутку  ,c  , c  R }? Зная ответ на второй вопрос, будем
знать ответ и на первый.
Итак, будем рассматривать события  : ()  (, x) ,
x  R . Обычно используют один из более коротких вариантов
записи события  : ()  (, x) :  : ()  (, x) =
71
=  :     x   :     x   :   x    x , чаще всего
последний вариант: <x .
Функция распределения.
Важнейшей характеристикой сл. величины является ее функция
распределения.
Определение. Функцией распределения (вероятностей)
случайной величины ξ называется функция F (x) , значение
которой в точке x равно вероятности события <x , то есть
F (x)  P  :()<x  P <x , x  R
(2.1)
Функция распределения случайной величины есть самое полное
описание случайной величины, т.к. функция распределения
1
порождает вероятностную меру на измеримом пространстве (R ,
 
B R1 )
(см. ниже свойства функции распределения). В
дальнейшем, где это не будет приводить к недоразумениям, индекс
ξ в обозначении функции распределения F (x) будем опускать:
вместо F (x) будем писать просто F(x).
Основные свойства функции распределения.
F1. 0  F(x)  1 .
Это свойство очевидно, поскольку F(x) – вероятность.
F2. F(x) – неубывающая функция, то есть если x1  x 2 , то
F(x 2 )  F(x1 ) .
Результат следует из того факта, что событие <x1 входит в
<x 2  при условии x1  x 2 . Тогда по
вероятностей P <x1  P <x 2  или F(x 2 )  F(x1 ) .
событие
свойству Р3
F3. F()  lim F(x)  0; F()  lim F(x)  1 .
x 
x 
Событие    – невозможное событие, поэтому P    
= F()  0 . Событие
F()  1.
  
– достоверное событие, поэтому
72
F4. F(x) – непрерывная слева функция в каждой точке х.
Пусть x1 , x 2 ,... возрастающая последовательность чисел,
lim F(x n )  F(x 0 ) . Рассмотрим
сходящаяся к x 0 . Докажем, что
n 
события A1 = {ξ< x1 }, A 2 = {ξ< x 2 }, … , A    x 0  . Очевидно,
что A n+1  A n , n≥1, следовательно, последовательность
монотонная и ее предел lim A n 
n 

n 1
An 
An  A .
lim F(x)  lim F(x n )  lim P(A n )  |используем
Рассмотрим
x x 0 0
n 


n 
аксиому непрерывности А4|  P lim A n  P(A)  F(x 0 ) .
n 
F5. P x1    x 2   F(x 2 )  F(x1 ) .
  x 2  есть объединение двух несовместных
событий x1    x 2  и   x1 . По свойству Р7 вероятностей из
условия   x 2     x1  x1    x 2  следуют соотношения
P   x 2   P   x1  P x1    x 2   P x1    x 2   F(x 2 )  F(x1 )
Событие
F6. Р{ξ≤х}=F(x+0).
По определению F(x+0)= lim F(x n ) , где x n  – убывающая
n 
x n  x,
последовательность,
Множество
x n  x , т.е.
 :()  x   :()  x n  
x n  x  0, n  .
A n , обозначение
n
введено
An
при
P  :()  x 


доказательстве
свойства
F4.
An )  P lim An  lim P(An )  lim P  :()  x n  
 P(
n
n 
n 
n 
 lim F(x n )  lim F(x)  F(x  0).
n 
x x 0
F7. Р{ξ=х}= F(x+0)– F(x).
73
Тогда
и
 :()  x =  :()  x –  :()  x
 :()  x   :()  x  , то P :()  x = P :()  x –
P  :()  x = |следствие свойства Р3 вероятностей| =
Так
как
=F(x+0)– F(x).
На основании свойств F1÷F7 могут быть получены важные для
практических целей (вместе со свойством F5) результаты, а
именно:
P x1    x 2   F(x 2  0)  F(x1 )
(2.2)
P x1    x 2   F(x 2 )  F(x1  0)
P x1    x 2   F(x 2  0)  F(x1  0) ,
причем
P   x  F(x  0)  F(x)
(свойство F7)
Докажем одно из равенств, первое, например. Так как
x1    x 2   x1    x 2   {  x 2} , тогда Px1    x 2  
 P x1    x 2   P   x 2   F(x 2 )  F(x1 )  F(x 2  0)  F(x 2 ) 
 F(x 2  0)  F(x1 ).
Итак, с любой случайной величиной ξ связана функция
распределения F(x): неотрицательная, неубывающая, непрерывная
слева функция, F()  0, F()  1 .
Обратное утверждение также имеет место.
Любая
неубывающая, непрерывная слева функция, удовлетворяющая
условию F()  0, F()  1 , является функцией распределения
некоторой случайной величины ξ, то есть
существует
вероятностное пространство (Ω,F,P) и случайная величина ξ на
нем, такая что F (x)  F(x) .
Функция распределения F(х) является вероятностной мерой на
борелевских множествах из R1 : она удовлетворяет всем аксиомам
вероятности. Аксиома А1 выполняется в силу первого свойства
функции распределения. Аксиома А2 выполняется в силу третьего
свойства функции распределения. Справедливость аксиомы А3
легко показать, опираясь на определения функции распределения и
несовместных событий борелевской σ–алгебры.
74
Замечание 1. Иногда за функцию распределения случайной
величины ξ принимают вероятность события   x . Это ничего
не изменит в наших рассуждениях, кроме очевидного изменения
свойств F4 – F7 и в формулах (2.2), так как функция F(x) станет
непрерывной справа (свойство F4).
Замечание 2. Можно ввести сл. события, порожденные
конечным числом сл. величин, заданных на одном и том же
вероятностном пространстве, например, с помощью сл. величин ζ и
η
могут быть заданы события:  :()  ()     ,
 :()  ()     ,  :()  ()     ,    ,   
и т.д.
Замечание 3. Можно ли утверждать, что сумма, разность,
произведение, частное, если деление возможно, сл. величин
также будут случайными величинами? На этот счет справедливо
следующее утверждение [1]. Пусть ,F – измеримое
пространство. Сложная функция ()=(()), , является F –
измеримой, если ξ – F–измеримая функция, а функция φ –
борелевская функция.
Борелевскими
называются
функции,
заданные
на
1
действительной прямой, если они B(R ) – измеримы (измеримы
относительно борелевской σ–алгебры множеств в пространстве
R 1 ).
Примерами борелевских функций являются все кусочнонепрерывные функции.
Следовательно, если имеются сл. величины ξ и η, то ξ+η, ξη,
1
,  , max(, ), min(, ), sup(n ), inf (n ) являются также сл.
n

n
величинами.
75
2.2. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Из теории меры известно, что любая неубывающая функция
F(x) может быть представлена в виде суммы трёх функций:
абсолютно непрерывной функции Fc , ступенчатой функции Fd и
сингулярной функции Fs (непрерывной функции, множество точек
роста которой имеет лебегову меру нуль). Следовательно,
F(x)  Fc (x)  Fd (x)  Fs (x) .
В
реальных
задачах
теории
вероятностей сингулярная компонента почти не встречается, она
представляет собой математическую абстракцию, потому будем
F(x)  Fc (x)  Fd (x) . Остановимся на двух крайних
полагать
случаях: F(x)  Fd (x) и F(x)  Fc (x) .
В первом случае F(x) – ступенчатая функция, имеющая в точках
x1 , x 2 ,... cкачки. Величина скачков в этих точках равна
соответственно p1 , p 2 ,... то есть
p1  F(x1  0)  F(x1 )  P   x1 ,
p2  F(x 2  0)  F(x 2 )  P   x 2  ,... Случайная величина ξ, для
которой F(x) является функцией распределения, называется в этом
случае дискретной случайной величиной. Числа x1 , x 2 ,... – это те
значения, которые случайная величина принимает при различных
  , а числа p1 , p 2 ,... – это вероятности, с которыми сл.
величина принимает соответствующие значения x1 , x 2 ,...
Определение дискретной случайной величины можно дать и не
опираясь на её функцию распределения. Случайная величина ξ
называется дискретной, если она каждому элементарному исходу
ставит в соответствие одно число из конечного или счётного
множества чисел x1 , x 2 ,... , причём вероятность события
P   x k   pk  0, k  1, 2,...
 pk  1.
k
Обычно дискретные случайные величины задаются рядом
распределения. Это может быть таблица из двух строк, в первой,
верхней, строке перечислены все возможные значения случайной
76
величины x1 , x 2 ,... , а во второй строке проставлены вероятности
pk  P   x k  , k=1,2,...
Х
P
x1
р1
x2
р2
x3
р3
…
…
xk
рk
…
…
xn
рn
…
…
Очевидны ограничения на числа pk  P   x k  :
1) p k  0;
2)  pk  1.
(2.3)
k
Часто вместо таблицы просто указывают для сл. величины всё
множество её значений x k , k=1,2,… , и приводят формулу, по
которой можно вычислять вероятности событий   x k  для всех
x k : pk  P   x k  .
Такой способ задания дискретной сл.
величины также называют рядом распределения сл. величины.
Иначе говоря, рядом распределения сл. величины называют
соответствие x k  pk  P    x k  , k=1,2,...
Если при описании случайной величины ξ применяют какуюнибудь другую её характеристику вместо функции распределения и
при этом по этой характеристике возможно однозначно
восстановить функцию распределения, то такая характеристика
называется законом распределения случайной величины ξ или
просто распределением случайной величины. Ряд распределения –
это один из законов распределения случайных величин. В разделе
1.11 мы уже использовали термин «распределение» – называли
гипергеометрическое распределение, распределение Бозе –
Эйнштейна и т.д.
По ряду распределения можно однозначно восстановить
функцию распределения:
F(x) 

k:x k  x
pk
77
(2.4)
Пример 1.
Игрок выигрывает очко, если при подбрасывании монеты
выпадает герб, и проигрывает очко в противном случае. Записать
функцию распределения суммарного выигрыша игрока после двух
бросаний монеты.
Решение. Обозначим суммарный выигрыш игрока после двух
бросаний монеты через S; возможные значения этой сл. величины
-2, 0 и 2, вероятности, с которыми эти значения принимаются сл.
1 1 1
величиной равны
соответственно. Иначе говоря,
, ,
4 2 4
распределение сл. величины S выглядит следующим образом:
S
P
-2
0.25
0
0.5
2
0.25
Тогда
0, x   2;
1
 ,  2  x  0;

F(x)   4
3 , 0  x  2
4
1, x  2

Пример 2. Техническое устройство состоит из трех узлов,
работающих независимо друг от друга. Первый узел отказывает с
вероятностью 0.1, второй и третий – с равными вероятностями 0.3.
Устройство выходит из строя, если откажет первый узел или
второй и третий вместе. Производится испытание до первого
отказа, но не более 4 раз. Случайная величина Х – число
произведенных испытаний. Требуется найти ряд распределения и
функцию распределения сл. величины Х.
Решение. Как следует из условия задачи сл. величина Х может
принимать значения x1  1, x 2  2, x 3  3, x 4  4. Вычислим
вероятности p k  P  X  k  , k  1, 4 : p1  P {отказал первый узел
или первый узел не отказал, но отказали второй и третий
78
узлы}  0.1  0.9  0.09  0.18; p 2  P {прибор не отказал в первом
испытании, но отказал во втором испытании}= 0.82·0.18≈0.15;
p3  P {прибор не отказал в первых двух испытаниях, но отказал в
третьем испытании}= 0.822 ·0.18 0.12; p 4  P {прибор не отказал в
первых трех испытаниях}  0.823  0.18  0.82 0.55.
Построим ряд распределения для сл. величины Х:
Х
Р
1
0.18
2
0.15
3
0.12
4
0.55
Найдем по формуле (2.4) функцию распределения
0, если x  1
0.18, если 1  x  2

F  x   0.18  0.15  0.33, если 2  x  3
0.33  0.12  0.45, если 3  x  4

0.45  0.55  1, если x  4
Рассмотрим некоторые дискретные случайные величины, с
которыми будем работать в дальнейшем.
1. В качестве самой простой дискретной сл. величины
рассмотрим случайную величину, принимающую единственное
значение С. Очевидно, что это значение она принимает с
вероятностью, равной единице. Тогда функция распределения сл.
величины имеет вид:
0, если x  C
F x   
1, если x  C
2. Не менее простой дискретной сл. величиной является
функция, называемая индикатором события А:
1, если  A
I A    I  A   I A  
.
0, если  A
79
Рассмотрим сначала один из примеров использования функции
I  A  . Пусть (,F,P) – дискретное вероятностное пространство и ξ
– некоторая сл. величина, принимающая конечное множество
значений x1 , x 2 ,..., x k . Если положить Ai   : ()  x i  , i  1, k ,
k
то ξ можно представить в виде ()   x i IAi () , где события
i 1
A1 , A 2 ,..., A k образуют разбиение пространства Ω – они попарно не
пересекаются и их сумма равна Ω (т.е. это полная группа событий
– см. также п.1.8).
Ряд распределения сл. величины I A имеет вид:
IA
0
1
Р
P(A)
P(A)
Функция же распределения выглядит следующим образом:
0, если x  0

F  x   P  A  , если 0  x  1

1, если x  1
Пример 3. Выпадение 6 очков при бросании игральной кости
назовем событием А. Тогда сл. величина I A принимает значение
1, если выпадает 6 очков и 0 во всех остальных случаях. Ее ряд
распределения имеет вид:
IA
0
1
Р
5
6
1
6
80
а
функция
0, если x  0
5

F  x    , если 0  x  1 .
6
1, если x  1
распределения
имеет
вид
3. Распределение Бернулли. Случайная величина ξ имеет
распределение Бернулли с параметром 0  p  1 , если ξ принимает
только два значения 1 и 0 с вероятностями p и q=1–p
соответственно.
Ряд распределения этой сл. величины имеет вид
ξ
Р
0
Q
1
p
0, если x  0

а функция распределения – F  x   q, если 0  x  1 .
1, если x  1

Условное обозначение распределения Бернулли –
Bp . Тот
факт, что сл. величина ξ имеет распределение Бернулли,
обозначается символом:  Bp или  Bp .
4. Биномиальное распределение. Обратимся
к схеме
Бернулли. Пусть в этом эксперименте случайная величина ξ –
число успехов в серии из n независимых испытаний. Тогда
случайная величина ξ может принимать значения k  0,n .
Вероятность события   k ранее обозначалась нами как P(n,k),
теперь мы её будем обозначать просто через p k . Итак,
pk  P  k  Cnk pk qn k , k  0,n .
(2.5)
Формула (2.5) определяет распределение дискретной случайной
величины, называемое биномиальным законом распределения с
параметрами распределения n, p. Для краткости биномиальное
81
распределение обозначают символом В(n,p):  B(n,p)  имеет
место распределение (2.5).
На примере этого закона распределения рассмотрим более
подробно, как по нему можно однозначно восстановить функцию
распределения F(x). Поскольку x1  0, x 2  1, x 3  2,..., x n 1  n , то
для
всех
x  x1
событие
  x
–
невозможное, значит
F(x)  0, x  0 . Если x1  x  x 2 , то событие   x состоит из
тех и только тех элементарных исходов ω, для которых ()  x1 ,
следовательно, F(x)  p1 , 0  x  1. Если x 2  x  x 3 , то событие
()  x
состоит из тех элементарных исходов ω, для которых
()  x1 или ()  x 2 , следовательно F(x)  p1  p 2 , 1  x  2 , и
т. д.
Наконец, при x  x n событие   x достоверное событие и
F(x)  1, x  n. Сведем результаты в одну формулу:
0, x  0
p , 0  x  1
 1

F x   
p1  p 2  ...  p k , k  1  x  k


1, x  n
Очевидно, что описание случайной величины формулой (2.5)
выглядит проще, чем описание ее с помощью функции
распределения.
Пример 4. На зачете студент получил четыре задачи.
Вероятность решить каждую задачу правильно равна 0.4. Пусть ξ –
число правильно решенных задач. Описать закон распределения сл.
величины  .
Решение. По содержанию задачи случайная величина ξ может
быть описана биномиальным законом распределения, решенная
правильно
задача
–
успех.
По
формуле
(2.5)
P  k  pk  Cnk pk qn k , p  0.4, n  4, k  0,4 ,
82
это
ряд
распределения сл. величины ξ. Однако, в реальной задаче, когда
интерес представляют значения вероятностей p k ,
ряд
распределения удобно представить таблицей

P
0
0.1296
1
0.3456
2
0.3456
3
0.1536
4
0.0256
5. Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему
Бернулли. Пусть ξ – число испытаний, которое необходимо
провести, прежде чем появится первый успех. Предполагается, что
в каждом отдельном испытании успех достигается с вероятностью
р. Очевидно, что случайная величина ξ может принимать счетное
множество значений k=0, 1, 2, 3, …, n, … Определим вероятность
события   k , k  0, 1, .... . Если   k , то в первых k испытаниях
появилась неудача, а в (k+1)–м испытании – успех. Как дальше
будут развиваться события при изучении этой случайной величины
нас не интересует. Элементарный исход выглядит в этом случае
так: HH...H У . Следовательно, P   k  qq...q p  q k p, k  0,1, 2...
k
k
Проверим равенство

1
 pk  1 :  qk p  p  1  q  1.
k
k 0
Итак:
pk  P  k  qk p, k  0,1,2,...
(2.6)
Случайная величина ξ с законом распределения (2.6) носит
название
случайной
величины,
распределенной
по
геометрическому закону с параметром р. Для краткости закон
распределения обозначают символом G(p).
Пример 5. Вероятность успешно провести физический опыт
(получить ожидаемый эффект) равна 0.8. Пусть ξ – число “пустых”
опытов, прежде чем экспериментатор получит ожидаемый эффект.
Описать закон распределения сл. величины  .
Решение. ξ – дискретная случайная величина, имеющая
геометрическое распределение. Формула (2.6) полностью
83
описывает эту случайную величину при p=0.8, это ее ряд
распределения. Изобразим его в виде таблицы:

P
0
0.8
1
0.16
2
0.032
3
0.0064
4
0.00128
….
….
Замечание. В литературе по теории вероятностей случайную
величину ξ – номер первого успеха в серии из n независимых
одинаковых испытаний – также считают распределенной по
геометрическому закону: p k  q k 1p, k  1, 2,...
Пусть ξ имеет геометрическое распределение.
Тогда:
P nm n
P   n  m
P   n  m   n 


P   n
P   n




qnm p
p q q
n
n 1
 ...


qn m p
q
n
 q m p  P   m.
Cвойство сл. величины, выражаемое полученным равенством,
называется
отсутствием
последействия.
Его
можно
интерпретировать следующим образом. Пусть длительность
телефонного разговора есть целочисленная величина, и в начале
каждой минуты с вероятностью р принимается решение разговор
закончить и с вероятностью 1–р = q принимается решение разговор
продолжать. Тогда полученное равенство означает, что условная
вероятность того, что разговор будет продолжаться n+m минут,
если известно, что он не закончился за n минут, совпадает с
вероятностью того, что разговор будет продолжаться m минут.
Среди дискретных
сл. величин только геометрическое
распределение обладает этим свойством.
6. Пуассоновское распределение.
В разделе 1.11 мы
встречались с формулой Пуассона, ее не надо путать с
распределением Пуассона. Случайная величина ξ распределена по
закону Пуассона, если она принимает неотрицательные целые
значения с вероятностями
 k 
p k  P   k 
e , k  0,1, 2...,
(2.7)
k!
84
где λ >0 – параметр распределения Пуассона, это среднее
значение сл. величины (см. п. 2.5). Обозначается распределение
символом Ро(λ).

 k
k
e   e  
 1.
Равенство  p k  1 выполняется: 
k 0 k!
k k!
k 0
Это распределение играет важную роль в теории надежности,
теории массового обслуживания и т.д.
Пример 6. При работе аппарата возникают сбои. Количество
сбоев за сутки – сл. величина ξ, распределенная по закону
Пуассона или  Po(). Среднее число сбоев за сутки равно 1.5.
Определить вероятности событий A = {в течение суток произошел
хотя бы один сбой}, В = {за двое суток не будет ни одного сбоя}.
Решение. Из условия задачи и замечания к формуле (2.7)
следует,
что
P(A)  1  P(0)  1  e 1/ 5
λ=1.5,
0.78,
P(B)  (PX  0)2  e3  0.95.
7.
Гипергеометрическое
распределение.
С
этим
распределением мы уже встречались – см. примеры 17, 40 раздела
1.
2.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть теперь функция F(x) содержит только абсолютно
непрерывную компоненту. Это значит, что существует такая
x
функция f(x), что F(x) 
 f (t)dt,
x  R, (предполагается, что

интеграл сходится).
Функцию f(x) называют плотностью
распределения (вероятностей) случайной величины ξ.
Определение.
Непрерывной
случайной
величиной
называется случайная величина ξ, функция распределения которой
85
F(x)
представима
в
виде
сходящегося
интеграла
x
F(x) 
 f (t)dt,
x R .

На практике функция плотности распределения f(x) является
непрерывной почти всюду на области определения, потому почти
всюду справедливо равенство
(2.8)
f (x)  F'(x), x  R .
Для непрерывных случайных величин плотность распределения
– основная характеристика случайных величин, она определяет
закон распределения случайной величины. Аналогом ее для
дискретной случайной величины служит ряд распределения.
Пример 7. Пусть задан отрезок длины T, на котором случайным
образом выбирается две точки С и В. Обозначим через ξ
расстояние между этими двумя точками. Найти функцию
распределения и плотность распределения сл. величины ξ .
Решение. Из примера 25 раздела І известна вероятность
события A={длина отрезка СВ не превосходит
a, a≤Т}:
2
2a  a 
P(A) 
-   . С использованием этого результата получаем,
T T
что
x  0,
0,

2
 2x  x 
F(x)  
-   , 0  x  T,
T
T

1,
xT

п.в.
и плотность распределения f (x)  F(x) 
f (x)  0, x  0,T .
2 2x
, x  0,T ;
T T2
Простейшие свойства плотности распределения.
1) f(x) ≥ 0.
Этот результат есть следствие формулы (2.8) и того факта, что
функция распределения F(x) – неубывающая функция.
86

2)
 f (x)dx  1 .


По определению
 f (x)dx  F()  1
– свойство F3 функции

распределения.
b
3)  f (x)dx  P a    b .
a
Действительно,
b
P a    b  F(b)  F(a) 

a
f (x)dx 



b
f (x)dx   f (x)dx, a  b .
a
С геометрической точки зрения вероятность попадания сл.
величины в интервал  a, b  равна площади криволинейной
трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х=a, х=b и кривой
y=f(х). По свойству 2 вся площадь под кривой f(х) равна 1.
Очевидно, что, P x    x  x 
x x

f (t)dt 
x
 F(x  x)  F(x)  f (x)x  o(x), x  0.
Из полученного соотношения следует, что вероятность
попадания случайной величины на малый интервал длиной Δx
приблизительно (с точностью до о(Δx)) пропорциональна длине
этого интервала с коэффициентом пропорциональности f(x)
(зависящего от x). Отсюда и термин “плотность“ распределения
для функции f(x). Выражение f (x)x иногда называют элементом
вероятности.
Иногда для плотности распределения бывает полезной формула
f (x)  lim
x 0
P x    x  x
x
.
(2.9)
 
Свойство 3 для произвольного множества A  B R1
быть записано в виде
87
может
P   A   f (x)dx .
(2.10)
A
На основании свойства 3 плотностей распределений всем
событиям
вида
отвечает
x



x
,
x



x
,
x



x
,
x



x
1
2  1
2  1
2  1
2
b
одна
и
та
же
вероятность,
равная
 f (x)dx ,
при
этом
a
x
P   x   f (t)dt  0 .
x
В этом случае событие   x является примером возможного
события, имеющего нулевую вероятность, событие же   x не
является достоверным, но имеет вероятность 1.
1 x
Пример 8. Могут ли функции a)f (x)  e , b)f (x)  e x ,
2
быть
плотностями
c)f (x)  cos x, d)f (x)  1, x  R,
распределения?
Решение. Рассмотрим случай с): нет, не может, т.к. нарушается
первое свойство плотности распределения.
Проверить остальные варианты самостоятельно!
Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся в
практических задачах непрерывные случайные величины.
1. Равномерное распределение. Равномерно распределенная
на отрезке [a,b] случайная величина ξ имеет плотность
 1
, a  x  b,

распределения f  x    b  a
. Функция распределения

0, x  a, x  b
0, x  a
x
x  a

F(x)   f (t)dt, x  R, имеет вид F  x   
, a x b.
b

a


1, x  b
88
Вероятность попадания случайной величины на интервал
x  x1
, она
(x1, x 2 )  [a, b] равна Px1    x 2   F(x 2 )  F(x1 )  2
ba
пропорциональна длине этого интервала. Таким образом,
равномерное распределение реализует принцип геометрической
вероятности при бросании точки на отрезок [a,b]. Равномерное
распределение обозначается как Rav[a,b].
Замечание. В точках a и b функция F(x) не дифференцируема,
следовательно, функция f(x) в этих точках может принимать какие
угодно значения, потому наряду с обозначением Rav[a,b] будем
использовать и обозначение Rav(a,b).
Пример 9. На перекрестке стоит светофор – автомат, в котором
1 минуту горит зеленый свет, 0.5 минут горит красный и 0.1
минуту – желтый. Некто подъезжает к перекрестку на машине в
случайный момент времени, не связанный с работой светофора.
Какова вероятность того, что он проедет перекресток
не
останавливаясь?
Решение. Пусть сл. величина ξ – момент проезда автомашины
через перекресток. По условию сл. величина ξ имеет равномерное
распределение в интервале, равном периоду смены цветов в
светофоре, 1+0.5+0.1=1.6 мин. Для того, чтобы машина проехала
перекресток не останавливаясь, нужно, чтобы момент проезда
1
пришелся на интервал (0,1). Тогда P  (0,1) 
 0.625 .
1.6
2. Экспоненциальное распределение. Случайная величина
распределена по экспоненциальному (показательному) закону, если
ее определяет плотность распределения вида:
x
x0
0,

0, если x  0
f (x)   x
,
F(x)   f (t)dt  
, x  R,
x
e , x  0

1  e , x  0

λ > 0 – параметр распределения.
Для краткости показательное распределение с параметром λ
обозначается символом Exp() .
89
Примером такой случайной величины может служить время
1
распада атомов различных элементов. При этом величина T 

ln 2
носит название среднего времени распада, а T0 
– периода

полураспада.
Экспоненциально распределенная случайная величина ξ
обладает одним очень важным свойством – отсутствием
последствия.
Рассмотрим
события
A  x1    x1  x 2  , B  {  x1} . Найдем условную вероятность
P(AB) P(A)
, так как событие

P(B)
P(B)
B содержит в себе событие A:
А  B. Следовательно,
P(A)  x1    x1  x 2  
P(A B). По определению P(A B) 

 

P(B)  P  x   1  P  x   1  1  e
 e
 F(x1  x 2 )  F(x1 )  1  e(x1 x2 )  1  ex1  ex1 (1  ex 2 );
1
x1
1
x1
.
Тогда,
P(A B)  1  ex2  F(x 2 )  P  x 2  .
Если интерпретировать ξ как время распада атома, то событие
A при условии совершения события B, означает распад атома за
время x2 при условии, что он прожил уже перед этим время x1.
Событие C    x 2  означает распад атома за время x2. Получили,
что вероятности этих событий – условного A|B и безусловного – С
совпадают. Именно это свойство и интерпретируют как отсутствие
последствия. Допуская некоторую вольность речи, отсутствие
последствия можно трактовать как независимость остаточного
времени жизни атома от того, сколько времени он уже прожил.
В
общем
случае
отсутствие
последствия
можно
интерпретировать так: если непрерывная случайная величина
обладает этим свойством, то вероятность попадания в любой
интервал длины ∆ не зависит от того, где на числовой прямой
расположено начало интервала, эта вероятность зависит только от
длины интервала.
90
Может быть доказана справедливость обратного утверждения:
если непрерывная случайная величина обладает свойством
отсутствия последствия, то она будет иметь экспоненциальное
распределение.
Поэтому
отсутствие
последствия
является
характеристическим свойством экспоненциально распределенных
случайных величин.
По экспоненциальному закону распределено время между
падениями метеоритов в одном и том же районе, время между
поступлениями вызовов на телефонную станцию и т. д.
Экспоненциальное распределение тесно связано с законом
Пуассона: если промежутки времени между последовательными
наступлениями некоторого события представляют собой
независимые экспоненциально распределенные сл. величины с
одним и тем же параметром λ, то число наступлений этого
события за время t (дискретная случайная величина) распределено
по закону Пуассона с параметром λt.
Определение независимых случайных величин будет дано ниже
– см. формулу (3.22) раздела Ш.
Дискретным аналогом экспоненциального распределения
случайных величин является геометрическое распределение. Это
значит, что если в определении экспоненциального распределения
x полагать положительными целыми числами, то полученное
распределение дискретной случайной величины ξ – номера
появления первого успеха,
будет иметь вероятности
pk  P  k  qk 1p, k  1,2,..., q  e , p  1  e .
3. Нормальное распределение. Случайная величина ξ имеет
нормальное или гауссово распределение, если ее плотность

(x  m) 2
2 2
, x  R.
 2
Вещественные величины m и σ > 0 – параметры распределения, m
называют средним значением случайной величины ξ,
σ – ее
средним квадратическим отклонением. Формальное определение
этих понятий будет дано позже (см. п. 2.5 и 2.6 ).
распределения
имеет
вид
91
f (x) 
1
e
Функция распределения для нормального закона имеет вид:
F(x) 
1
x
e
 2 

(t  m) 2
22
dt, x  R.
Для краткости нормальное распределение с параметрами m и σ
обозначают символом N(m, ) .
Ниже приводятся графики функций f  x  , F  x  для некоторых
значений m и σ:
Прямая x=m является осью симметрии графика плотности
вероятности, тогда m на оси Ox является центром нормальной
плотности, величина σ – величина разброса значений случайной
величины относительно центра (по оси Ox).
Для вероятности попадания нормальной случайной величины в
интервал (x1 , x 2 ) имеем формулу P x1    x 2   F(x 2 )  F(x1 ) .
Если x1  m  3, x 2  m  3 , то P m  3    m  3  0.997 .
Для практических целей эта вероятность равна 1, событие
|   m | 3 – практически достоверное. Это дает «правило трех
сигм»: нормальная случайная величина практически никогда не
отклоняется от своего среднего значения m более чем на 3σ.
92
Если m=0, σ=1, то
такой нормальный закон называют
стандартным нормальным законом распределения. Плотность
распределения и функцию распределения стандартной нормальной
сл.
величины
чаще
всего
обозначают
символами
x2
x
1 2
(x) 
e
, x  R, и Ф(x)   (t)dt, x  R , соответственно.
2

С этими функциями мы встречались в теоремах Муавра –
Лапласа (см. п. 1.13).
Нормально распределенные случайные величины играют
огромную роль в
практических задачах математической
статистики, случайных процессов и т. д. Это вызвано тем, что они
обычно возникают при изучении таких явлений, которые
подвержены действию большого числа малых по величине
случайных воздействий.
Пример 10. Производится взвешивание некоторого вещества.
Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному
закону с параметрами m=0, σ=20. Найти вероятность того, что
взвешивание будет производиться с погрешностью, не
превосходящей по модулю 10.
Решение. Пусть случайная величина ξ – погрешность
взвешивания. Событие, о котором идет речь в задаче, может быть
записано в виде {|ξ|<10}. Использование формулы (2.10) дает нам
выражение
P    10 
10
 f  x  dx  20
10

20
20 2
Вычисления
1
2
e


t2
2 dt

1
2
10
1

2 10
x2
800 dx
1
2
2 t
e 2 dt
2

2 0
можно
e


x
t 
20
1
 2 0   .
2
выполнить
иначе:
 10 
 10 
P    10  P 10    10  F(10)  F(10)          
 20 
 20 
93
  10  
 10  
1
 0       0 
   2 0  
 20  
2
  20  

.
  10   1    10    2  1   1
 
 
  20  
 20  
2

4. Распределение Вейбулла. Случайная величина распределена
по закону Вейбулла, если она имеет плотность распределения вида
0, x  0
f x  
,
1  x
, x  0,
x e
параметры распределения.
величины
α, β>0 –
0, x  0
F x   
.
 x 
, x0
1  e
Считается, что закону Вейбулла подчиняется время безотказной
работы многих технических устройств.
Если β=1, то распределение Вейбулла превращается в
экспоненциальное распределение с параметром α>0.
Если β=2, то это так называемое распределение Рэлея.
5. Гамма – распределение. Характеристикой этого
распределения служит плотность вероятности – функция
0, x  0

f  x      x 1  x
     e , x  0,

положительные величины λ, γ– параметры распределения
и

      x 1e x dx – гамма функция Эйлера.
0
Гамма – распределение так же хорошо описывает время
безотказной работы технических устройств, оно похоже на
распределение Вейбулла.
94
Если γ=1, то из гамма – распределения получается
экспоненциальный закон распределения.
Если   k  Z , то имеем частный случай гамма–распределения
– распределение Эрланга, которое находит важное применение в
теории массового обслуживания.
k
1
Если γ – полуцелое, т. е.   , а   , то частный случай
2
2
этого распределения носит название распределения  2 (хиквадрат), без которого математической статистики просто не
существовало бы. Параметр k в  2 – распределении носит название
числа степеней свободы распределения  2 (см. также п. 3.5).
При изучении гамма – распределения полезными являются
следующие соотношения: Г(  1)  Г(); Г(n)  n! .
Пример 11. Непрерывная сл. величина задана плотностью
a
распределения: f (x)  0, если x  1, и f (x)  2 , если x  1. Опреде
x
лить: 1) постоянную величину а; 2) функцию распределения сл.
величины F(х); 3) вероятность события {0<ξ<3}; 4) вероятность
того, что при 4 независимых испытаниях сл. величина ξ ни разу не
попадет в интервал (2,3).
Решение. 1). Для нахождения постоянной а воспользуемся

свойством
2
плотности
a
 x 2 dx  1
вероятности:

1


a
 1  a  1.
x1
x
2). По определению F(x) 
F(x)  0, x  1.


x
f (t)dt  
1
dt
t2
x

1
x 1

, x  1;
t1
x
2
2
или (если
0
3
3
F(х) нет необходимости находить) P 2    3  P 1    3 
3). P 0    3  P 1    3  F(3)  F(1) 
95
3
dx
 x2
1
3

1
1
2
  1 .
x1
3
3
4). Р{ξ не попадет в интервал (2,3) при одном испытании}=
5
1
 1  P 2    3  ; поскольку P2    3  F(3)  F(2)  ;
6
6
Р{ξ
не
попадет
5
 
в
интервал
(2,3)
при
четырех
4
испытаниях}     0.48 .
6
2.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть
имеется
вероятности f   x 
случайная величина

с плотностью
и имеется некоторая функция сл. величины
 :       . Ставится задача нахождения закона распределения сл.
величины   f (y).
1. Рассмотрим сначала случай, когда  – непрерывная и
монотонная функция. Непрерывность функции  означает
измеримость  (см. замечание 3 п. 2.1), а монотонность –
существование обратной функции   1    g   , также
непрерывной и монотонной того же типа монотонности, что и
функция  .
Сначала найдем функцию распределения случайной величины
η: F (y)  P   y  P ()  y  P   g(y)  (полагаем функцию

неубывающей)= F (g(y)) .
Полученное
равенство
продифференцируем по y, получим f (y)  f  (g(y))g ' (y) .
Если 
невозрастающая функция, то вычисления дают
следующий
результат:
F (y)  P   y  P ()  y  P   g(y) 
 1  P  g(y)  1  F  g  y   ;  f (y)  f (g(y))g(y).
96
Запишем результат вычисления производной функции F(g(y))
для того и другого типа монотонности функции  одним
выражением: F  g  y    f  g  y   g  y  . Тогда
f (y)  f (g(y)) g' (y) ,
(2.11)
где g(y)  1 (y) , если y  (x) .
Замечание. Для вычислений можно не вводить обозначения
g(y) обратной функции, можно вместо x=g(y) писать соотношение:
x  x  y  , тем самым полагая, что сл. величина ξ принимает
значения х, а сл. величина η – значения y, и эти величины связаны
соотношением y=φ(x), тогда формула (2.11) примет вид:
f (y)  f (x(y)) x ' (y) .
Пример 12. Случайная величина
ξ
экспоненциальному закону с параметром λ ( 
Найти f  (y) .
распределена по
Exp() ), η = –lnξ.
Решение. Плотность распределения сл. величины ξ известна:
f (x)  e x , если x≥0, и f (x)  0 , если х <0. Функция
η –
непрерывная, убывающая, обратная функция существует и имеет
вид:
  g    e  . Для значений этих случайных величин
получим
аналогичные
соотношения: y   ln x, x  e  y ,
иначе
x  x  y 
 e  y , y  R. По формуле (2.11) (точнее, по замечанию к ней)
f  (y) :
запишем
выражение
для
f  (y)  e
 x  y 
x   y   e e
y
e  y  e  (y e
y
)
, y  R.
2. Снимем с функции φ(x) условие монотонности, пусть φ –
произвольная непрерывная функция. Тогда, если уравнение y=φ(x)
имеет конечное число корней x1  x1 (y), x 2  x 2 (y),...,
x m  x m (y) ,
то
событие
  y
  y  x k (y)  x  x k 1 (y) , здесь
k
97
представимо
в
виде
x k и x k 1 – те две соседние
точки, являющиеся корнями уравнения y=φ(x), между которыми
выполняется соотношение φ(x)<y, при этом функция y=φ(x) в
правосторонней окрестности точки x k убывает, в левосторонней
же окрестности точки x k 1 возрастает. Обозначим множество
таких точек ( x k и x k 1 для различных значений k) через Κ. Для
функции распределения F (y) на интервале
 x k , x k 1 
получим
выражение
F (y)  P   y  P x k (y)  x  x k 1 (y)  F (x k 1 (y))  F (x k (y)).
Согласно формуле (2.11), в каждой точке x k и x k 1 концов
f  (y)
интервала для функции
имеем соотношения
f (y)  f (x k (y)) x 'k (y)
f (y)  f  (x k 1(y)) x 'k 1(y) ,
и
следовательно, для всех точек x k   , получаем
f  y  
 f  x k  y   xk  y  .
(2.12)
kK
Пусть случайная величина  распределена по
1
закону Коши, f (x) 
, x  R ,    2 . Найти f  (y) .
2
(1  x )
Пример 13.
Решение.

 

F (y)  P  y  P 2  y  P  y    y 
 F ( y)  F ( y) , тогда f (y)  f ( y)

1 
 f  ( y)  

 2 y 
2 y


1
1  1
1 
1

, y  R.



(1

y)

(1

y)
2 y
  y(1  y)
1
Итак, f (y) 
, yR .
 y(1  y)
При решении задачи мы повторили схему вывода формулы
(2.12), можно было просто сразу этой формулой воспользоваться:

98
решаем уравнение
y  x 2  x   y  x1   y, x 2  y , при
этом  y  x  y , тогда f (y)  f ( y)

1
1
 f ( y)

2 y
2 y
1
, y  R.
 y(1  y)
2.5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
Как было отмечено выше, описание случайной величины с
помощью функции распределения или плотности распределения
является самым полным, самым подробным. Но задачи получения
закона распределения даже простейших функций случайных
величин приводят к вычислениям сложных интегралов. Кроме
того, эмпирическое (опытное) определение функции распределения
случайной величины требует большого числа измерений
(несколько сотен).
Поэтому возникает необходимость в описании случайных
величин другим способом, пусть не таком полном и подробном,
характеризующим только некоторые свойства случайных величин,
но зато более простом.
Такое достаточно простое описание случайной величины дают
числовые
характеристики
случайных
величин.
Они
многочисленны и могут быть разбиты на группы. Здесь мы
рассмотрим так называемые характеристики положения случайной
величины. Характеристика положения – это число, около которого
группируются значения случайной величины, оно является её
наиболее типичным значением. Из всех характеристик положения
важнейшей является математическое ожидание случайной
величины (иначе – среднее значение случайной величины).
Пусть  , F, P  – некоторое вероятностное пространство, и 
случайная величина, заданная на этом пространстве.
99
Определение.
Математическим
величины  называется число
ожиданием
случайной
M()  M   ()P(d)
(2.13)

Интеграл в правой части равенства понимается в смысле Лебега
(по мере Лебега).
Для математического ожидания используются и другие
обозначения, кроме обозначения M , а именно: E,  .
Для вычисления математического ожидания приведенная
формула не годится. В работе [1] доказано соотношение
M   ()P(d) 


 xdF (x)
(2.14)

Правый интеграл в равенстве (2.14) – интеграл в смысле Лебега–
Стилтьеса.
Доказательство этого соотношения опирается на тот факт, что
случайная величина, заданная на вероятностном пространстве
 , F, P  , индуцирует на измеримом пространстве R1,B(R1)
вероятностную
меру
P(A)   dF (x) ,


при
этом
A
P  : ()  A  P(A) .
Пусть
функция.
Математическим
  () измеримая
ожиданием случайной величины   () называется число
M()   (())P(d) 


 (x)dF  (x)
(2.15)

На соотношение (2.15) следует обратить особое внимание! Не
зная распределения случайной величины η, значение ее
математического ожидания, тем не менее, вычислить можно, если
имеет место соотношение   () .
Частные случаи.
100
1.  – дискретная случайная величина с конечным или счетным
множеством значений x k  k , которые она принимает
с
вероятностями pk  P   k , k  1,2,...
F(x) 

k:x k  x
pk .

M 
x k pk .
 xdF (x)  
k
(2.16)

Формула (2.16) справедлива, если сходится абсолютно ряд

 x k , т.е.
n 1

 xk
  , иначе полагают, что сл. величина не имеет
n 1
математического ожидания.
2. Пусть теперь  – непрерывная случайная величина. Тогда
dF (x)  F(x)dx  f (x)dx почти всюду на области определения сл.
величины, тогда

M 
 xf (x)dx
(2.17)


Формула корректна, если
 | x | dx   ,
иначе математическое

ожидание не существует.
Аналогичные выражения получим для M() :

  (x)dF (x)   (x k )  p k

k
M()  



  (x)dF (x)   (x)f (x)dx


(2.17 )
Поясним вероятностный смысл математического ожидания на
примере дискретной сл. величины. Пусть в результате
Ν
независимых опытов для сл. величины Х получены значения: 1
значений x1 ,
 2 значений x 2 ,…,  n значений x n ,
101
n
 i  N .
i 1
Рассмотрим
среднее
арифметическое
этих
значений
n
1
1
(x1  x1  ...  x1  x 2  x 2  ...  x n )    k x k . При этом число
N
N k 1
k
можно интерпретировать как относительную частоту события
N
X  x k  , и при большом числе испытаний Ν она близка к
вероятности этого события. Поэтому среднее арифметическое
n
1 n
приблизительно равно   k x k  x k pk  MX. Отсюда и второе
N k 1
k 1
название для математического ожидания – среднее значение сл.
величины.
Пример 14. Найдем математическое ожидание равномерно
распределенной на отрезке [a,b] случайной величины  .
Решение. Поскольку f (x)  0, x  a,b , то формула (2.17) дает
b
результат: M   x
a
1
1 x2 b b  a
dx 

 M совпадает с
ba
ba 2 a
2
центром (серединой) отрезка [a,b].
Пример 15. Вычислим математическое ожидание случайной
величины ξ, если  имеет нормальное распределение с
параметрами m и σ.
Решение.

M 
 x



1
2

e
 x  m 2
2
2
xm
y2


y
1
dx  

 ye 2 dy 
2


x  y  m
y2

2 dy m
y2
1 2
–

e
(y)dy  m , где
(y) 
e


2 
2

плотность распределения стандартной нормальной случайной
m

величины и по свойству 2 плотностей распределения
 (y)dy  1 .

Первое
слагаемое после замены переменных равно нулю как
102
интеграл по симметричному промежутку от нечетной функции.
Итак, M  m , откуда и пошло название параметра m – среднее
значение (второе название математического ожидания).
Пример 16. Вычислим математическое ожидание случайной
величины  , имеющей гамма-распределение.

Решение. M   x
0

. x 1 x
1
e dx  y  x 
y e y dy 
Г( )
Г( ) 0
1


Г(  1)  .
Г()

Пример 17. Распределение Коши не имеет математического

ожидания. Действительно, M 

1 x dx 1
 ln 1  x 2
 0 1  x 2 


0
 .
Замечание. Если математическое ожидание сл. величины равно
нулю, то такая сл. величина называется центрированной сл.
величиной.
Свойства математического ожидания.
Рассмотрим самые простые свойства, полезные при решении
задач. По сути, все свойства математического ожидания – это
свойства интеграла Лебега.
М1. MC  C , если С–const.
Согласно
формуле
(2.13)
получим
MC   CP(d)  C  P(d)  C 1  C .


M2. MC  CM .
MC   C()P(d)  C  ()P(d)  CM .


М3. M(  )  M  M .
M(  )   (  )()P(d)   ()P(d)   ()P(d)  M  M.


103

М4. M  MM , если  и  – независимые случайные
величины.
Доказательство проведем позднее (гл.III, пример 11).
М5. Если с вероятностью 1 a    b , то a  M  b .
b
b
b
b
a
a
a
a
M   xf (x)dx  b  f (x)dx  b ; M   xf (x)dx  a  f (x)dx  a .
В частности, если: 1)   0 с вероятностью 1, то M  0 ;
2)    с вероятностью 1, то M  M.
М6. M  M  .
Результат опирается на известное интегральное
неравенство
 ()P(d)   ()P(d) .


М7. M  M2 M2 – неравенство Шварца.
Рассмотрим
сл.
величину
λξ
+
η:
0  M(  ) 2 
 M 22  2  2   2 M2  2M  M2



квадратный
трехчлен
неотрицателен
относительно
λ,
следовательно,
его
дискриминант
не
положителен:
2
 M  M2

0

2 
M2
 M 
 M 2   M2 M2

M  M2 M2 .
М8. Если   I(A) , то M  P(A) .
Справедливость утверждения следует из формулы (2.16):
MI(A)  0  P(A)  1 P(A)  P(A).
2.6. ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Математическое ожидание не всегда является достаточной
характеристикой сл. величины, оно является наиболее типичным
104
значением сл. величины в серии испытаний, а в каждом отдельном
испытании значения сл. величины отклоняются от её
математического ожидания в ту или иную сторону. Поэтому
наряду со средним значением сл. величины хорошо бы иметь
величину, характеризующую отклонение сл. величины от своего
среднего. Ведь одна ситуация, если отклонение сл. величины от
своего среднего в ту или иную сторону (еще говорят разброс
вокруг среднего значения) составляет 1 единицу, но совсем другая
– если, например, 10 единиц.
Такой характеристикой обычно служит дисперсия сл. величины.
Определение. Дисперсией случайной величины  называют
число:
D  M    M 
2
(2.18)
Величина
() ≡  = D
(2.19)
называется средним квадратическим отклонением случайной
величины ξ.
Размерность среднеквадратичного отклонения такая же, как и у
сл. величины ξ, размерность же дисперсии равна квадрату
размерности сл. величины ξ; такое различие размерностей не очень
удобно, потому и вводится среднее квадратичное отклонение.
Вычисляют дисперсию по формуле:

D=  (x  M)2 dF (x) 


2
  (x  M) f (x)dx, если  непрерывна

 
 (x  M)2 p , если  дискретна
k
k

k
(2.20)
Пример 18. Вычислим дисперсию для сл. величины из примера
14:
105
b
D =  (x 
Решение.
a
ba 2 1
(b  a)2
.
)
dx 
2
ba
12
Пример19. Вычислим дисперсию сл. величины из примера 15.
Решение.
2
xm


2  (x  m)
y
(x  m)
2
D   (x  m) 2f (x)dx  
e 2 dx 



2



x  y  m

y2

2

y 2 e 2 dy 

2 

 y2
 
2

  ye
2 

2
u  y, du  dy
dv  ye

y2
2 dy,
v  e

y2
2


2

y2


2  y
  e 2 dy   
e 2 dy  2 .




2 

 

Из примера 19 видим, что вторым параметром в нормальном
распределении является среднее квадратическое отклонение.
Свойства дисперсии.
D1. DC  0, если C  const .
DC   (C  C) 2 dF(x)  0
D2. D(C)  C 2 D .
D(C)   (Cx  CM) 2 dF(x)  C 2  (x  M) 2 dF(x)  C 2 D .
D3. D(  )  D  D , если величины  и  независимы.
Рассмотрим
выражение
M(    (M(  )))2 
 M (  M)  (  M)  M(  M)2  M(  M)2 
2M(  M)(  M). По свойству математического ожидания
если
M(  M)(  M)  M(  M)M(  M) ,
 и 
2
106
независимы – это с одной
M(  M)M(  M)  0.
стороны;
с
другой
стороны
Следствия. 1) D(  C)  D ;
2) D(a  b)  a 2 D ,
3) D(  )  D  D, если  и  независимы .
D4. D  M2  (M) 2 .
Действительно, рассмотрим равенства
(  M)    2M  (M) 2  M(  M) 2  M 2  2MM  (M) 2 
2
2
 M2  (M)2 .
Пример 20. Вычислить дисперсию сл. величины из примера 16.
Решение. Для вычисления дисперсии сл. величины, имеющей
 –распределение,
воспользуемся
свойством
D4.


  x 1 x
1
(   2)
e dx  y  x  2
y 1e y dy  2


(  )
 (  ) 0
 (   1)
0
M2  

 (   1)

2
.
 D 
Из
(   1)
2
примера

16
возьмем
величину
M 


2

 2.
 
Замечание. Если сл. величина имеет математическое ожидание,
то дисперсия всегда определена, но может принимать значение,
равное ∞.
Пример 21. Пусть функция плотности распределения сл.
величины ξ задана формулой
   x  2
0,
1 2,
 2  x  1

f (x)  0,
1  x  2
4
 ,
x2
 x 3
107
В точках –2, –1 и 2 функция f(x) имеет разрывы. Всем свойствам
плотности вероятностей функция f (x) удовлетворяет, в частности,




f (x)dx   f (x)dx 
2

M 
1

1
dx
dx  4  3  1.

2 2
2x
1

2
2
11
dx

7
 xf (x)dx   dx  4  x 2  2  2  2   2  4 ,

D  M  M ;
2
2

M2 


1
x 2f (x)dx 

dx
  –конечной дисперсии нет.
x
2
2
 x dx  4 
2
Упражнение.
Получить выражения для математических
ожиданий и для дисперсий всех случайных величин, описанных
выше в этом разделе, исключая распределение Вейбулла и гаммараспределение.
2.7. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ДРУГИЕ
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
Математическое ожидание и дисперсия сл. величины являются
представителями
целого
класса
характеристик,
которые
называются моментами сл. величин.
Начальным моментом порядка k cл. величины  называется
число:

mk  M 
K
x
k
dF (x)
(2.21)

При k  1 m1  M  математическое ожидание – начальный
момент 1-го порядка.
Центральным моментом порядка k cл. величины 
называется число:
108

k  M(  M)k  M(  m1 )k 
 (x  m1)
k
dF(x)
(2.22)

При k  2  2  M(  M)  D  дисперсия сл. величины –
это центральный момент второго порядка. Интересно отметить, что
1  0.
Абсолютным
моментом порядка k
сл. величины ξ
2
k
называются число M  


k
x dF (x) .

Между начальными и центральными моментами существуют
связывающие их соотношения, для последующих вычислений нам
будут интересны только два:
2  m2  m12 (см. свойство D4)
(2.23)
m2  2  m12 .
Моменты служат в дополнение к математическому ожиданию
и дисперсии для более детального изучения особенностей
распределения сл. величины. Особенно важны моменты 3 и 4
порядков, так как через них выражаются некоторые числа (такие
как асимметрия и эксцесс), характеризующие распределение сл.
величин.
Таким образом, две характеристики положения, наиболее часто
используемые для описания
сл. величин, являются
представителями широкого класса характеристик сл. величин –
моментов сл. величин.
Из других характеристик положения наиболее часто
используют медиану и моду случайной величины, обозначают их
символами Me и Моξ соответственно.
Медиана случайной величины ξ – число Me – определяется
из соотношения P   Me  P   Me . Из определения следует,
что медиана сл. величины – это любое решение уравнения
1
F(x)  . Поскольку решение этого уравнения не единственно, то
2
медиана сл. величины определяется неоднозначно.
109
Модой непрерывной сл. величины ξ называют точку локального
максимума ее плотности распределения f(x). По числу мод
распределения бывают унимодальные (одна мода), бимодальные
(две моды) и мультимодальные (более двух мод). Нормальное
распределение, например, относится к числу унимодальных,
причем Me=Моξ=m – математическому ожиданию.
Модой дискретной сл. величины называют такое её значение x i ,
для которого pi  pi 1 и pi  pi 1 , при этом все её значения должны
быть расположены в порядке возрастания.
Пример 22.
Рассмотрим сл. величину, имеющую
1
1
распределение Коши f (x)  
, x  R. Известно, что эта сл.
 1  x2
величина не имеет математического ожидания (см. пример 17).
Однако функция f(х) имеет глобальный максимум в точке х=0,
1
f(0)= . Следовательно, Моξ = 0.

Широкое применение в математической статистике при
построении доверительных интервалов и при проверке
статистических гипотез находят α – квантили.
-квантилью (симметричной -квантилью) Q , 0    1, сл.
величины  называется число, удовлетворяющее уравнениям:
P   Q   , P   Q   1   ( P   Q    ). Отметим, что
Q0.5 – это медиана случайной величины Me: Q0.5  Me .
Пример 23. Найти -квантили и медиану экспоненциального
распределения.
Решение. P  Q   F(Q )    1  eQ   
ln(1  )
ln 2
.
, Me  Q0.5 


Для первой проверки сл. величины на нормальность в
математической статистике используют асимметрию и эксцесс.

Асимметрией 1 сл. величины  называется число 1  33 .

Q  
110
Если P   M  x  P   M  x для любого х, то 1  0, так
как в этом случае все центральные моменты нечетных порядков
равны нулю. Равенство вероятностей означает, что сл. величина
распределена симметрично относительно своего математического
ожидания.
Таким образом, коэффициент асимметрии 1 служит для
характеристики степени несимметричности функции плотности
распределения сл. величины. Если 1 >0, то функция плотности
распределения по отношению к ее математическому ожиданию
имеет сдвиг вправо; для 1 <0 – влево.
Пример 24.
Вычислить асимметрию 1 для случайной
величины, имеющей нормальный закон распределения.

Решение. Поскольку
1  33 , вычислим составляющие


этой формулы:
3 
 (x  m)
1
3

 2

e
( x  m)2
22
dx  0 –интеграл от
нечетной подынтегральная функции по
симметричному
промежутку. Тогда 1  0 .
Из примера следует, что нормальное распределение является
своего рода эталоном, с которым сравниваются другие
распределения.
Замечание. При сравнении сл. величин их нужно центрировать
и нормировать, то есть от сл. величины i переходить к сл.
  Mi
величине i
. Вновь полученные сл. величины имеют те же
Di
значения 1 , что и исходные.
Эксцессом  2 сл. величины  называется число  2 
Эксцесс, как правило, используется для
симметричности унимодальных распределений.
111
4
 3.
4
характеристики
Пример 25. Для нормального распределения


1
 4   (x  m) 4
e
 2

y2

1  2 3  2 2

 y e
 2 

y2

3  2  22

 ye
2 

(x  m)2
2
2

y2
 2 =0, так как:

1
4 22
dx 
y
e
dy 

 2 
u  y3
dv  ye


y2
2
2
dy

uy
y2

2 

3


2 22
dy 

y2
   2  y e

2


dv  ye 2 dy
 

2
2

  y
4  t
33
y
3

2

2 dy 
t 
e 2 dt 34 .

  2  e

2 


 
Если для некоторой сл. величины  2 >0, то кривая плотности
распределения более островершинна, чем при нормальном
распределении; если  2 <0, то кривая плотности распределения
более плоская, чем при нормальном распределении. При этом
справедливо
замечание
относительно
преобразования
сравниваемых сл. величин, сделанное выше. Более подробно эти
вопросы можно изучить по специальной литературе по теории
вероятностей и математической статистике.
2.8. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Метод характеристических функций был создан А.М.
Ляпуновым для доказательства центральных предельных теорем,
что и будет продемонстрировано в гл. 4 при доказательстве
некоторых предельных теорем. В дальнейшем метод стал
применяться для решения других вероятностных задач. В этом
разделе мы рассмотрим только определение характеристических
функций и некоторые из основных свойств характеристических
112
функций, благодаря которым они находят широкое применение в
теории вероятностей.
Определение. Характеристической функцией g  (u) скалярной
сл. величины  называется функция:

g (u)  Meiu 
e
iux
dF (x) 

  iux
  e f (x)dx, если   непрерывная,

 
 eixn p , если   дискретная
n

n
(2.24)
Первая формула в (2.24) есть ничто иное как преобразование
Фурье функции f(x), следовательно, закон распределения, в
частности функция распределения F (x) , однозначно определяют
характеристическую
утверждение:
определяет
функцию g  (u) .
характеристическая
функцию
Верно
функция
распределения
и
обратное
g  (u) однозначно
F (x) .
Последнее
утверждение может быть сформулировано в виде теоремы:
Теорема (единственности). Пусть F и G две функции
распределения, имеющие одну и ту же характеристическую
функцию. Тогда F = G.
Явное
выражение
функции
распределения F
через
характеристическую функцию g дает так называемая формула
обращения. Она представляет собой разновидность обратного
преобразования Фурье.
Теорема (формула обращения). Пусть F – функция
распределения сл. величины и g – ее характеристическая функция.
Тогда
а) для любых двух точек x и y, x>y, в которых функция F
непрерывна, имеет место соотношение
113
F x   F y 
1
e iuy  e iux
lim  g  u 
du ;
2 A  A
iu
A
(2.25)

б) если
 g  u  du   ,
то функция распределения F имеет

плотность распределения f и
f x 

1
e iux g  u  du

2 
(2.26)
Формула (2.25) справедлива и в точках разрыва функции F, если
F  x  0  F  x  0
считать, что в этих точках F  x  
.
2
Интеграл (2.26), если не выполняется условие б) теоремы,
понимается в смысле главного значения.
Пример 26. Вычислить характеристическую функцию
экспоненциально распределенной сл. величины.
Решение. Случайная
величина  распределена по
экспоненциальному закону, следовательно,
  0  параметр распределения. Тогда


0
0
g(u)  Meiu    eiux ex dx    e x(iu) dx 
f (x)  e x , x  0 ,


e(x iu) 
iu  
0

.
  iu
Пример 27. Вычислить характеристическую функцию
нормально распределенной сл. величины.
Решение. Пусть  – стандартная нормальная сл. величина,

x2
x2


1
1 2
eiux e 2 dx 
f (x) 
e , x  R. Тогда g(u)  Meiu 

2 
2

1


2 
1
 (x iu)2  u 2 

e 2
dx

1
2
e

u2 
2
e

114

(x iu)2
2 dx
e

u2
2 .
Итак, для нормального стандартного закона распределения

u2
2 .
g(u)  e
Пусть теперь параметры нормального закона распределения
равны m и , тогда
g(u) 


1

 2 

1
e
 2 
e

ium 

e
(x  m)
2
2
2
dx 
1



 2 
e
1 
2 2
2
2 4
(x (m iu ))  2ium  u  
22 
dx
2 u 2

2
 2
e
iux

e

1
2
2
(x (m iu2 ))2
dx  e
ium 
1
22
(x 2  2xm  m 2  2 2iux)
dx 

2 u 2
2 .
Итак,

2 u 2
ium 
2
e
– так выглядит характеристическая функция
g(u)
нормально распределенной сл. величины с параметрами m и .
Некоторые свойства характеристических функций.
1. g  u   g  0  1.
Это свойство может быть переписано в виде
g(u)  1  u  R.
Первое
утверждение

g(u) : g(u) 
e
очевидно.

iux

dF(x) 

Оценим
g(0)  1;
величину

eiux dF(x) 

 dF(x)  1,

eiux  1.
2. g  u   g  u  .
g  u    eiux dF  x    eiux dF  x   g  u  .
115
так
как
3. Характеристическая функция
является функцией
действительного переменного тогда и только тогда, когда
распределение F симметрично (то есть  dF  x    dF  x  ).
B
B
4. Если существует абсолютный начальный момент порядка N,
M
N
 ,
то
характеристическая
функция
сл.
величины
k
gξ (u) дифференцируема N раз, при этом g(k)
 (0)  i mk , k  1, N.

Так

как

eixu (ix)k dF(x) 


k
x dF(x)  , k  0, N  1, то


интеграл
e
ixu
(ix)k dF(x) равномерно по u сходится, значит, его

g( k
можно дифференцировать:

( u  )
1 )
i x u 
e
(k i 1 x )

1)
g(k
(0)  i k 1mk 1 .

Если k=1, то g (u)= im1.
Свойство 4 позволяет вычислять начальные моменты сл.
величины  более просто, чем с помощью функции распределения:
m k  (i) k g (k) (0), k  1, 2, ,N.
5. Если существует и конечна производная характеристической
2n
функции g   u  при некотором n, то M2n   .
Тогда, согласно свойству 4, существуют моменты m k всех
порядков до N=2n включительно и mk   i  g   0  , k  1, N .
6. Для того чтобы сл. величины ξ и η была независимы,
необходимо и достаточно чтобы характеристическая функция
суммы этих сл. величин
была равна произведению
их
характеристических функций.
Благодаря именно этому свойству характеристические функции
нашли такое широкое применение в ТВ. При суммировании
независимых сл. величин их плотности распределения
преобразуются по формуле свертки – формулы неудобной для
k
116
k
исследования. Гораздо проще
характеристических функций.
рассмотреть
произведение
7. Если  = a +b, то g (u)  g  (au) eibu .
Действительно,
g (u)  Meiu  M(eiua  eiub )  eiub Meiua = g  (au) eiub .
Замечание. Используя характеристическую функцию можно
вычислять
и
дисперсию
сл.
величины:
знаем,
что
2
2
2
2
1
D  M  (M) , M  m 2  ( i) g (0), M  m1  ( i) g (0) ,
тогда


2
D  (i)2 g(0)  (i)1 g(0) .
стандартного распределения g(u)  e

Так,
u2
2
для
нормального
(u 2  1), g(0)  1,
(i) 2 g(0)  1 , D  1 как и следовало ожидать.
Пример 28. Рассмотрим независимые сл. величины  и ,
распределенные по нормальному закону с параметрами m1 ,1 и
m 2 , 2 соответственно. Тогда для сл. величин  и  их
характеристические
функции
равны
соответственно
g
2 u 2
ium1  1
2
(u)  e
, g  (u)
характеристических
характеристическая
iu(m1  m2 ) 
g (u)  e
сл.
величины,
2 u 2
ium2  2
2 .
e
По
функций для сл.
функция
u2 2 2
( 1 2 )
2
.
свойству
величины
имеет
6
=+
вид
Но это характеристическая функция
распределенной
по
нормальному
закону
с
параметрами m1 + m 2 и 12  22 . В силу взаимно однозначного
соответствия
между
функциями
распределения
и
характеристическими функциями сл. величин можно утверждать,
что сумма независимых нормальных сл. величин также
распределена по нормальному закону с параметрами m1  m 2 и
12  22 .
117
Интересно, что и обратное свойство имеет место: если сумма
двух независимых сл. величин имеет нормальное распределение, то
и слагаемые – нормально распределенные сл. величины.
2.9. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Для дискретных сл. величин вместо характеристических
функций более эффективны производящие функции вероятностей.
Определение. Производящей функцией вероятностей или
просто производящей функцией для дискретно распределенной сл.
величины ξ называется функция
(2.27)
p  u   Mu    u k pk
k 1
Отметим три важных для практических целей свойства
производящих функций:
1. Если производящие функции двух сл. величин совпадают, то
совпадают и распределения этих сл. величин.
2. p 1  M, p 1  M2  M .
3. Если ξ и η – независимые сл. величины, то производящая
функция произведения этих сл. величин равна произведению
производящих функций сомножителей.
Ценность производящих функций заключается в связях
производных этой функции с математическими ожиданиями и
дисперсиями сл. величин – свойство 2. Так как M  p 1 , а
M2  p 1  M , то
D  p 1  p 1   p 1 
2
(2.28)
Пример 29. Пусть ξ имеет биномиальный закон распределения.
Найти р(u).
Решение. Знаем, что биномиальный закон распределения сл.
величины задается соответствием P  k  pk  Cnk pk q n k ,
118
k  0,1,...,n; q  1  p, 0  p  1. Согласно формуле (2.27) запишем
n
n
k 0
k 0
p  u    Ckn pk q n k u k   Ckn (pu)k q n k   pu  q  .
n
Зная производящую функцию достаточно просто найти M и
n 1
n2
p  u   np  pu  q  , p  u   n  n  1 p2  pu  q
D :

M  np; p 1  n  n  1 p2 . Тогда D  np  n  n  1 p2  n 2p2 
 np(1  p)  npq.
Пример 30. Пусть ξ имеет распределение Пуассона, требуется
найти р(u).
Решение. Знаем, что распределение Пуассона – это
 k 
e , k  0,1,2,... По определению
соответствие p k  P   k 
k!


k
(u)k  
 u 1
 u 1
p  u    e  u k  
e  e eu  e   , p  u   e   ,
k 0 k!
k 0 k!
 u 1
p  u    2e  
 M  p 1  
(см.
раздел
п.6),
2.2,
D  p 1  p 1   p 1   .
2
Пример 31. Пусть ξ имеет геометрическое распределение
P  k  pqk 1, k  1,2,... Найти р(u).

p  u 
Решение. По определению
k 1
 pu
1
. Далее,
1  uq
p  u  
2pq
1  uq 
3
p  u   p
, p(1) 
1  uq  qu
1  uq 
2


p q k u
k 1
p u k ( 1u
 k
p
1  uq 
2
;
1
1
p(1)  ;
p
1 2q 1
q
1
;  M  ; D   2  2  2 .
p p
p
p
p
p
2q
2
Примеры показывают, что вычисление математического
ожидания и дисперсии с помощью производящей функции намного
проще, чем по формулам (2.16) и (2.17).
119
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение сл. величины. Приведите примеры сл.
величин.
2. Сформулируйте определение дискретной сл. величины.
Опишите все известные Вам способы задания дискретных сл.
величин.
3. Какие сл. величины называются непрерывными?
4. Какую информацию о распределении заключает в себе
функция плотности распределения?
5. Перечислите свойства плотности распределения.
6. Чему равна вероятность попадания сл. величины в точку? В
область?
7. Может ли равняться нулю вероятность попадания значений
сл. величины в заданный промежуток?
8. Что называют законом распределения сл. величин?
9. Запишите формулы, задающие законы распределения
биномиальный, Пуассона, геометрический, гипергеометрический.
10. Как соотносятся между собой биномиальный закон
распределения и закон Пуассона?
11. Запишите плотности вероятностей для равномерного,
показательного, нормального законов распределения.
12. Чему равна вероятность попадания непрерывной сл.
величины, имеющей нормальное распределение, в заданную
область?
13. Когда нормальный закон распределения носит название
стандартного?
14. Что такое числовая характеристика сл. величины?
15. Дайте определение математического ожидания, дисперсии,
моды, медианы, начального, центрального и абсолютного
моментов сл. величины.
16. Перечислите свойства
математического ожидания,
дисперсии.
ЗАДАЧИ
120
85. Возможные значения сл. величины x1  2, x 2  5, x 3  8.
Известны вероятности, с которыми она эти значения принимает:
p1  0.4, p 2  0.15. Найти P   x 3  .
86. Игральная кость бросается 3 раза. Написать ряд
распределения числа появлений шестерки.
87. Составить закон распределения вероятностей числа
появлений события A в трех независимых испытаниях, если
вероятности появления события в каждом испытании равны 0.6.
88. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных
телевизора. Составить закон распределения случайной величины –
числа импортных из четырёх наудачу выбранных телевизоров.
Найти функцию распределения этой случайной величины и
построить её график.
89. Игрок выигрывает очко, если при подбрасывании монеты
выпадает герб, и проигрывает очко в противном случае. Найти и
построить график функции распределения суммарного выигрыша
игрока после двух бросаний.
90. Выразить через функцию распределения вероятности
следующих событий: P a  X  b , Pa  X  b , Pa  X  b ,
P a  X  b.
91. Каким свойством должна обладать функция распределения
F(x) случайной величины X, чтобы X и –X были одинаково
распределены?
92. Имеются три базы с независимым снабжением. Вероятность
отсутствия на базе нужного товара равна 0,1. Предприниматель
решил закупить некий товар. Составить закон распределения числа
баз, на которых в данный момент этот товар отсутствует. Найти
121
функцию распределения этой случайной величины и построить её
график.
93. Процент людей, купивших новое средство от головной боли
после того как увидели его рекламу по телевидению, есть
случайная величина, заданная так:

0
10
20
30
40
50
Р
0,10
0,20
0,35
0,20
0,10
0,05
1. Убедиться, что задан ряд распределения. 2. Найти функцию
распределения.
3. Определить вероятность того, что более 20% людей откликнутся
на рекламу.
94. Экзаменатор задаёт студенту вопросы, пока тот правильно
отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырёх
либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает
задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос
равна 2/3. Составить закон распределения числа заданных студенту
вопросов.
95. Вероятность правильного оформления счёта на предприятии
составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два
счёта. Какова вероятность, что только один из них оформлен
правильно?
96. Отдел маркетинга фирмы проводит опрос для выяснения
мнения потребителей по определённому типу продуктов. Известно,
что в местности, где проводятся исследования, 10% населения
являются потребителей интересующего фирму продукта и могут
дать ему квалифицированную оценку. Компания случайным
122
образом отбирает десять человек из всего населения. Чему равна
вероятность, что по крайней мере один человек из них может
квалифицированно оценить продукт?
97. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут
дать доход владельцу с вероятностью 0,5 (для каждого пакета).
Сколько пакетов акций различных фирм нужно приобрести, чтобы
с вероятностью, не меньшей 0,96875, можно было ожидать доход
хотя бы по одному пакету акций?
98. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность
обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин. равна 0.004.
Найти вероятность того, что в течение одной минуты произойдет
обрыв на 5 веретенах.
99. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов.
Вероятность того, что в течение 1 мин абонент позвонит на
коммутатор, равна 0.02. Какое из двух событий вероятнее: в
течение 1 мин позвонят 3 абонента или позвонят 4 абонента?
100. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин.,
равно 5. Найти вероятность того, что за две минуты поступит: а)
два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.
101. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если
вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну
опечатку, равна 0.95. Предполагается, что число опечаток
распределено по закону Пуассона.
102. Предположим, что в течение года цены на акции некоторой
компании подчинялись нормальному закону распределения с
математическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандартным
отклонением, равным 6 у.е. Чему равна вероятность того, что в
случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию
была более 60 у.е.? Ниже 60 у.е. за акцию? Выше 40 у.е. за акцию?
Между 40 и 50 у.е. за акцию?
103. Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в
течение которого телезрители помнят содержание коммерческого
рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону с λ =
123
0,25 дня. Найдите долю зрителей, способных вспомнить рекламу
спустя 7 дней?
104. В здании областной администрации случайное время
ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 5
мин. Чему равна функция распределения F(x) для этого
равномерного распределения? Чему равна вероятность ожидания
лифта более чем 3.5 мин? Чему равна вероятность того, что лифт
прибудет в течение первых 45 сек? Чему равна вероятность, что
время ожидания лифта находится в диапазоне от 1 до 3 мин
(между 1 и 3 мин)?
105. Найти математическое ожидание и дисперсию сл.
 m 
 e , m=0,1,2,…, б)P{=m}=
величины, если а) P{=m}=
m!
Cnmpmqn-m , q=1–p, m= 0,n .
106. Найти М, D , если ln имеет нормальное распределение с
параметрами (a,σ) (логарифмически нормальное распределение).
Найти моду сл. величины Мо, а также отношение М к моде.
107. Некоторая совокупность людей имеет средний вес m и
среднее квадратичное отклонение веса 3кг. Для m=60 и m=10
определить вероятность того, что вес случайно взятого человека
отличается от m не больше чем на 5кг, если а) вес имеет
нормальное распределение; б) вес имеет логарифмически
нормальное распределение.
108. Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных
независимых сл. величин равна 36. Найти дисперсию среднего
арифметического этих величин.
109. Испытывается устройство, состоящее из 4 независимо
работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы:
р1=0.3, р2=0.4, р3=0.5, р4=0.6. Найти математическое ожидание и
дисперсию числа отказавших приборов.
110. Неотрицательная
сл. величина  имеет функцию

распределения F(x)=P{<x}. Доказать, что М=  (1  F(x))dx .
0
124
111. Cлучайная величина  задана
функцией распределения

F(x). Доказать, что если M||<  , то М=  (1  F(x))dx 
0
0
 F(x)dx .

112. Случайная величина  имеет непрерывную функцию
распределения F(x). Показать, что сл. величина =F() имеет
равномерное распределение на [0,1].
113. Пусть сл. величина  равномерно распределена на [0,1],
a F1  y   sup x :F(x)  y , 0  y  1, функция, обратная к функции
распределения (не обязательно непрерывной ). Доказать, что сл.
величина   F1    имеет функцию распределения F(x).
114. Случайная
величина
имеет стандартное нормальное

распределение. Найти Мcos, M
, Msin.
1  2
115. Распределение случайной величины  определяется
формулами P{=k}=c/k(k+1), k=1,2,... Найти а) с; б) P{≤3}; в)
P k1    k 2 .
116. Случайная величина принимает только два значения: С и –
C, каждое с вероятностью 0.5. Найти дисперсию этой величины.
117. Cлучайная величина имеет показательное распределение
P  x  e x , x  0. Найти M 1-e-  .


118. Из 30 чисел 1,2,…,30 по схеме равновероятного выбора без
возвращения отбирается 10 чисел. Найти математическое ожидание
суммы выбранных чисел.
119. Найти P{| -M |<3 D} , если  имеет : а) нормальное
распределение; б) показательное распределение; в) равномерное на
 1,1 ; г) распределение Пуассона с М=0.09.
120. Случайная величина  имеет нормальное распределение с
m=0 и σ=1. Какое из двух событий {||<0,7} и {||0,7} имеет
большую вероятность?
121. Случайная величина  имеет стандартное нормальное
распределение. Что больше: P 0.5    0.1 или P 1    2 ?
125
122. Плотность распределения сл. величины  задается
c
формулами f (x)  4 , если х1 и f(х)=0, если х<1. Найти: а) с; б)
x
плотность распределения сл. величины =1/; в) Р{0.1<<0.3}.
k  
e откладывает k
123. Некоторое насекомое с вероятностью
k!
яиц, k=0,1,2,…,   0. Вероятность развития потомка из яйца равна
p. Какова вероятность того, что у насекомого будет ровно m
потомков?
124. Пусть в условиях задачи 123 у насекомого развилось 10
потомков. Какова вероятность, что при этом было отложено 20
яиц?
125. Какова вероятность того, что значение случайной величины
будет целым числом, если сл. величина распределена по
нормальному закону?
126. Распределение случайной величины  определяется
1
формулами{ P   i  , i  0,  1,  2. Найти распределение сл.
5
величин = –, =||. Найти математическое ожидание и
дисперсию сл. величин = –, =||.
127. Случайная величина  имеет показательное распределение
с параметром . Найти плотности распределений сл. величин
1
a)   ; b)   2 ; c)   ln ; d)   ; e)   1  e .

128. Случайная величина распределена равномерно на отрезке
[0,1].
Найти
плотность
распределения
случайных
величин a)   2  1; b)    ln(1  ).
129. Случайная точка В имеет равномерное распределение на
окружности x 2  (y  a) 2  r 2 , а сл. точка С=(, 0) является
пересечением оси абсцисс с прямой, проходящей через центр
окружности и точку В. Найти функцию распределения и плотность
распределения сл. величины  (распределение Коши).
126
130. Случайная величина ξ имеет стандартное нормальное

 , если   1
распределение. Пусть = 
. Найти
закон

,
если


1


распределения .
131. Случайная величина
 распределена нормально с
параметрами (a,σ) . Найти: а) плотность распределения сл.
величины =2 при а=0; б) плотность распределения сл. величины
=e при произвольных a и σ.
132. Случайная величина  подчинена распределению с
плотностью f   x  
1

x2
18
e , x  R. Найти плотность f   y  ,
3 2
если   A  B, A и В – постоянные, A>0.
133. Случайная величина  имеет показательное распределение
с параметром  = 2. Найти распределение случайной величины
 ln( 1) .
134. Случайная величина имеет плотность распределения

0,5 ,если 0,5  t  1,5
. Найти распределение случайной
f  t   

0, иначе
величины  2 2 1.
135. Найти MX2007 , если X имеет стандартное нормальное
распределение.
136. Вычислить момент k-го порядка m k для сл. величины,
имеющей равномерное распределение на [a,b].
127
128