Домашнее задание № 3.1 Определить значения всех токов и

Домашнее задание № 3.1
1. Определить значения всех токов и напряжений, а также их производных для моментов
времени t  0 , t  0 , t   . Результаты расчёта занести в таблицу 1.
Таблица 1.
t
iL (t )
diL
dt
uC
duC
dt
0
0

2. Определить законы изменения во времени токов и напряжений, указанных на схеме
стрелками. Построить временные зависимости рассчитанных токов и напряжений.
3. Определить длительность (время) переходного процесса.
Примечание. В соответствии с ГОСТ, в схемах указано начальное положение ключа.
E  180 В
J 1А
R1  20 Ом
R2  30 Ом
L  0.05 Гн
С  4 105 Ф
1. Определение значений токов и напряжений непосредственно до коммутации.
До коммутации ключ замкнут. Поэтому по первому закону Кирхгофа:
i1 (0 )  i2 (0 )  J  0
По второму закону Кирхгофа имеем для левого контура:
i2 (0 ) R2  i1 (0 ) R1  E
Решая совместно эти два уравнения, получим:
i1 (0 )  3 А
i2 (0 )  4 А
Напряжение на конденсаторе до коммутации равняется напряжению источника ЭДС:
uC (0 )  E  180 В
Напряжение на индуктивности до коммутации равняется нулю uL (0 )  0 В , так как
сопротивление индуктивности постоянному току равняется нулю. Напряжения на резисторах
равняются:
uR1 (0 )  i1 (0 ) R1  (3)  20  60 В
uR2 (0 )  i2 (0 ) R2  4  30  120 В
До коммутации имеет место установившийся процесс, в котором iL  i2  const и uC  const ,
поэтому:
 diL 

 0
 dt 0
 duC 

 0
 dt 0
2. Определение токов и напряжений непосредственно после коммутации.
После коммутации ключ разомкнут. Согласно законам коммутации ток через индуктивность и
напряжение на конденсаторе не могут измениться скачком, поэтому сразу после коммутации
они равняются их значениям до неё:
iL (0 )  i2 (0 )  4 А
uC (0 )  uC (0 )  E  180 В
Согласно первому закону Кирхгофа, имеем:
i1 (0 )  J  i2 (0 )  3 А
По второму закону Кирхгофа для контура, образованного первой и второй ветвями:
uL (0 )  i2 (0 ) R2  i1 (0 ) R1  uC (0 )  0
Откуда:
uL (0 )  3  20  180  4  30  0 В
 diL 
 di2 
  L
 , тогда:
 dt 0
 dt 0
Но так как u L (0 )  L 
 di2 

 0
 dt 0
Так как сразу после коммутации ток через конденсатор равняется i1 (0 )  3 А , тогда
i (0 )
3
 du 
 du 
i1 (0 )  С  C    C   1   
 7.5 104 В
5
с
dt
dt
С
4

10

 0

 0
Так как токи не изменились сразу после коммутации, то напряжения на резисторах такие же:
uR1 (0 )  i1 (0 ) R1  3  20  60 В
uR2 (0 )  i2 (0 ) R2  4  30  120 В
3. Установившийся режим после коммутации ( t   ).
В установившемся режиме сопротивление индуктивности постоянному току равняется нулю
(поэтому uL ()  0 В ), а сопротивление конденсатора постоянному току равняется
бесконечности, поэтому ток в первой ветви равен нулю:
i1 ()  0 А
Тогда ток во второй ветви равняется току источника:
i2 ()  J  1 А
И напряжение на резисторе R1 равняется нулю:
u R1 ()  0 B
Напряжение на резисторе R2 равняется:
uR2 ()  i2 () R2  1 30  30 В
Для левого контура по второму закону Кирхгофа и установившегося процесса имеем:
uC ()  i1 () R1  i2 () R2  0
Но так как ток
i1 ()  0 А
, то:
uC ()  i2 () R2  30 В
Составим таблицу:
t
iL (t )  i2 (t )
0
4А
diL
dt
0А
0
4А
0А

1А
0А
с
с
с
duC
dt
0В
с
u R1 (t )
uR2 (t )
uC (t )
60 В
120 В
180 В
60 В
120 В
180 В
7.5 104 В
0В
30 В
30 В
0В
По законам Кирхгофа для послекоммутационного режима:
i1  i2  J
di
1
i1dt  i1R1  i2 R2  L 2  0

C
dt
Для свободных составляющих токов:
с
iC (t )  i1 (t )
0А
с
3 А
0А
i1св  i2св  0
di
1
i1св dt  i1св R1  L 2св  i2св R2  0

C
dt
Поэтому характеристическое уравнение имеет вид:
1
1
1
 R1
pC
 Lp  R2
0
Или после нахождения определителя и приведения к общему знаменателю:
LCp 2  ( R1  R2 )Cp  1
0
pC
Его корни равняются:
( R1  R2 )C  ( R1  R2 ) 2 C 2  4 LC
p1,2 
2 LC
Подставляя числовые значения, получим:
p1 
50  4 105  2.5 103 16 1010  4  0.05  4 105
 500  500 j
2  0.05  4 105
p2 
50  4 105  2.5 103 16 1010  4  0.05  4 105
 500  500 j
2  0.05  4 105
Корни характеристического уравнения комплексно-сопряжённые вида p1,2    j0 ,
поэтому свободная составляющая тока i2 имеют вид:
i2 св (t )  A2 e 500t sin(500t  2 )
Его производная:
di2 св
 500  A2 e 500t sin(500t  2 )  500 A2e 500t cos(500t   2 )
dt
Ток i2 равняется сумме свободной и принуждённой составляющих:
i2 (t )  i2св (t )  i2 пр (t )
Принуждённая составляющая обусловлена источниками в схеме, поэтому принуждённая
составляющая токов равняется:
i2 пр (t )  i2 ()  1 А
Найдём значения свободной составляющей тока i2 в момент после коммутации t  0 :
i2 св (0 )  i2 (0 )  i2 пр (0 )  4  1  3 А
Таким образом, получим первое уравнения для нахождения
A2
и
2
:
i2св (0 )  A2 sin 2  3
Первая производная от свободной составляющей тока i2 , учитывая, что принуждённая
составляющая тока i2 пр (t )  1 А  const , в момент времени t  0 равняется:
di2 св
dt

t  0
di2
dt
0А
t  0
с
Таким образом, получим второе уравнение:
di2 св
dt
 500  A2 sin 2  500 A2 cos 2  0
t  0
Решим совместно систему уравнений:
A2 sin 2  3
500  A2 sin 2  500 A2 cos 2  0
чтобы найти A2 и  2 .
Отсюда получим:
tg 2  1   2  450
И A2 
3
 3 2  4.243 А .
sin 450
Значит, свободная составляющая тока i2 равняется:
i2 св (t )  4.243  e 500t sin(500t  450 )
Полный ток i2 равняется:
i2 (t )  i2св (t )  i2 пр (t )  3 2  e500t sin(500t  450 )  1  4.243  e500t sin(500t  450 )  1
Напряжение на конденсаторе тоже состоит из свободной и принуждённой составляющей:
uС (t )  uСсв (t )  uСпр (t )
Свободная составляющая напряжения на конденсаторе имеет вид:
uСсв (t )  Ae 500t sin(500t  )
Найдём значение свободной составляющей напряжения на конденсаторе в момент времени
t  0 :
uС (0 )  180 В
Таким образом:
uСсв (0 )  uС (0 )  uСпр (0 )  180  30  150 В
Так как производная от принуждённой составляющей напряжения на конденсаторе по
времени равна нулю (так как uСпр (t )  30 В  const ), первая производная от свободной
составляющей в момент времени t  0 равняется:
duCсв
dt
 7.5 104 В
t  0
с
Первая производная имеет вид:
duC
 500  Ae 500t sin(500t   )  500  Ae 500t cos(500t   )
dt
duC
 500  A sin  500  A cos
dt t 0
Таким образом, воспользовавшись начальными условиями, получим 2 уравнения:
A sin  150
500  A sin  500  A cos  7.5 104
Из этих уравнений найдём:
  arccos(0)  900
A  150 В
Таким образом, свободная составляющая напряжения на конденсаторе имеет вид:
uСсв (t )  150e 500t sin(500t  900 )
И напряжение на конденсаторе:
uС (t )  uСсв (t )  uСпр (t )  150e500t sin(500t  900 )  30
График uС (t ) :
Найдём ток i1 :
duC
 4 105 150  (500)  e 500t sin(500t  900 )  3e 500t sin(500t  90 0 )
dt
График i2 (t ) :
i1 (t )  C
Постоянная времени  цепи:

2
0

2
 0.013 с
500
Практическая длительность переходного процесса (4...5) , то есть порядка 0.065с .
Ответ:
t
iL (t )  i2 (t )
0
4А
diL
dt
0А
0
4А
0А

1А
0А
с
с
с
duC
dt
0В
с
u R1 (t )
uR2 (t )
uC (t )
60 В
120 В
180 В
60 В
120 В
180 В
7.5 104 В
0В
30 В
30 В
0В
i1 (t )  3e 500t sin(500t  900 )
i2 (t )  4.243  e 500t sin(500t  450 )  1
uС (t )  150e500t sin(500t  900 )  30
Длительность переходного процесса (4...5) , то есть порядка 0.065с
с
iC (t )  i1 (t )
0А
с
3 А
0А