Найти проекцию точки P(-6,4) на прямую, прохо

ВАРИАНТ 1
1. Составить уравнение прямой, перпендикулярной прямой 5x  5 y  6  0 и проходящей через точку пересечения прямых 2 x  5 y  7  0 и 3x  7 y  4  0 .
2. Записать уравнение прямой проходящей через точки
A(3;2) и B(2;5) и найти расстояние от точки
C(4;3) до этой прямой.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные (доказать) прямые
x 1 y  2 z  3
y  z  2  0
и 
.


3
2
2
2 x  3 y  7  0
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 ( 4;1;1) перпендикулярно вектору N  {1;2;2} .
Найти острый угол, который эта плоскость образует с
плоскостью x  z  6  0 .
5. Прямая проходит через точку M 0 ( 3,7,2 ) параллельно
вектору l  {5;8;1} . Записать уравнение прямой и указать, при каком значении C прямая будет параллельна
плоскости 2 x  y  Cz  2  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 4;3;3) и M 2 ( 2;6;9) . Доказать, что она пересекается с прямой
x  3 y 1 z  7
. Найти


3
4
2
точку пересечения и угол между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  9 y  2 x  54 y  73  0
2
8. x  2 x  4 y  5  0
ВАРИАНТ 2
1. Найти проекцию точки P(-6,4) на прямую, проходящую через две точки M1(3,3) и M2(8,7).
2. Записать уравнение прямой, отсекающей на оси Ox
отрезок a = 2 и составляющей с осью Ox угол 120  .
Найти тупой угол, который эта прямая образует с пря-
x
 1.
3
мой y 
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
пересекающиеся (доказать) прямые
 x  3t  7
x 1 y  2 z  5
и  y  2t  2 .


2
3
4
 z  2t  1
4. Найти расстояние от точки P(5;3;3) до плоскости,
M 1 ( 4;3;1) ,
проходящей через три точки
M 2 ( 2;0;3) и M 3 ( 2;1;0) .
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 (12;9;1) и M 2 ( 4;3;1) . Доказать, что она перпендикулярна плоскости 4 x  3 y  z  2  0 .
6. Доказать, что прямые
 x  2t  1
 y  3t  2 и
 z  6t  1
2 x  y  4 z  2  0

4 x  y  5z  4  0
скрещиваются. Найти расстояние между ними
Построить кривые
2
2
7. 9 x  4 y  18 x  8 y  31  0
2
8. y  6 y  2 x  3  0
ВАРИАНТ 3
1. Точки А(3,2), В(5,-2) и С(1,0) являются вершинами
треугольника. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на медиану, проведенную из
вершины А.
2. Найти площадь квадрата, две стороны которого лежат
на прямых 3x  4 y  10  0 , 6 x  8 y  5  0 .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через линию пресечения плоскостей
3x  y  2 z  9  0 ,
x  z  3  0 параллельно оси Oy .
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 (1;0;1) , M 2 ( 1;12;2) и M 3 ( 2;1;1) . Найти
угол, который эта плоскость образует с плоскостью
x  9 y  3z  2  0 .
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 ( 7;4;5 ) параллельно вектору l  {5;1;4} . Доказать,
что
она
пересекается
с
плоскостью
3x  y  2 z  5  0 . Найти их точку пересечения и
угол между ними.
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 7;5;9) и M 2 ( 1;3;17) . Доказать, что она параллельна прямой
2 x  2 y  z  10  0

 x  y  z  22  0
и найти расстояние между ними
Построить кривые
2
2
7. x  y  2 x  4 y  1  0
2
8. x  2 x  4 y  5  0
ВАРИАНТ 4
1. Даны вершины треугольника А(6,2), В(3,-2), С(-3,-2).
Найти точку пересечения биссектрисы, проведенной из
вершины В, и медианы, проведенной из вершины А.
2. Написать уравнения прямых, проходящих через точку
A(1;1) под углом 45 к прямой 2 x  3 y  6  0 .
3. Найти точку Q , симметричную точке P(3;4;6)
относительно плоскости x  y  4 z  13  0 .
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 ( 6;1;5) , M 2 (7;2;1) , M 3 (10;7;1) Доказать, что она будет параллельна плоскости
x  y  4z  7  0 и найти расстояние между ними.
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 ( 2;1;3) параллельно вектору l  {3;4;4} и
доказать,
что
она
лежит
в
плоскости
4 x  3 y  6z  7  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
A(1;0;2) и B(4;2;3) и доказать, что она скре-
 x  2 y  3z  1  0
. Найти угол
2 x  z  5  0
щивается с прямой 
между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  9 y  36 y  72  0
2
8. y  2 x  6 y  11  0
ВАРИАНТ 5
1.
Даны
уравнения двух сторон прямоугольника
x  2 y  0 , x  2 y  15  0 и уравнение одной из
его диагоналей 7 x  y  15  0 . Найти уравнения
двух других сторон.
2. Выяснить, лежат ли точки A(3;4), B(1;2) и C(-1;2) на
одной прямой. Если нет – то найти расстояние от точки
C до прямой AB.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через линию пресечения плоскостей
2x  z  0, x  y  z  5  0
перпендикулярно к плоскости 7 x  y  4 z  3  0 .
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 ( 6;1;1) перпендикулярно вектору N  {1;2;2} .
Найти тупой угол, который эта плоскость образует с
плоскостью x  y  4  0 .
5. Доказать, что прямая
 x  2 y  3z  5  0

2 x  y  z  1  0
параллельна плоскости 12 x  y  z  0 .
6. Найти точку Q , симметричную точке P(2;5;7) относительно
прямой,
проходящей
M 1 (5;4;6) и M 2 ( 2;17;8) .
Построить кривые
2
2
7. x  y  4 y  5  0
2
8. x  2 x  3 y  8  0
через
точки
ВАРИАНТ 6
1. Найти проекцию точки
P(5;13) на прямую
2x  3y  3  0 .
2. Даны вершины треугольника A(2;2) , B(3;5) ,
C(5;7) . Записать уравнение высоты и медианы, проведенных из вершины A . Найти угол между ними.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
пересекающиеся (доказать) прямые
x y 1 z
3x  y  5z  13  0
и 
.


2
x

3
y

8
z

25

0
1 2 3

4. Точка A(1;3;0) – вершина куба, одна из граней которого лежит на плоскости 3x  2 y  6z  17  0 . Вычислить объем куба.
5. Записать уравнения прямой, проходящей через точки
M 1 (1;1;0) и M 2 (0;3;2) . Указать m и l при
которых эта прямая и плоскость lx  4 y  mz  1  0
перпендикулярны.
6. Доказать, что прямые
x 1 y  3 z  2


3
2
1
и
2 x  y  z  3  0

x  2 y  z  5  0
скрещиваются. Найти расстояние между ними
Построить кривые
2
2
7. 2 x  y  4 x  4 y  2  0
2
8. x  4 x  4 y  16  0
ВАРИАНТ 7
1. Даны вершины треугольника А(1,2), В(-3,-2), С(3,-2).
Найти точку пересечения высоты, проведенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины А.
2. Проверить, что прямые
и
2x  3y  6  0
4 x  6 y  25  0 параллельны и найти расстояние
между ними.
3. Найти точку Q , симметричную точке P(3;2;5) относительно плоскости 2 x  4 y  z  2  0 .
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 (1;1;2) , M 2 ( 1;2;1) и M 3 ( 2;3;8) . При каком
эта плоскость будет ортогональна плоскости
m
x  my  z  5  0 .
5. Доказать, что прямая проходящая через точку
M 0 (1;0;1) параллельно вектору l  {1; 2 ;1} и плоскость x  2 y  z  2  0 пересекаются. Найти точку пересечения и угол между ними.
6. Записать канонические уравнения прямой, проходящей
через точки M 1 (1;2;3) и M 2 ( 4;4;5) . Доказать,
что она параллельна прямой
y  z  2  0

2 x  3 y  7  0
и найти расстояние между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  4 y  4 x  8 y  4  0
2
8. y  4 x  2 y  5  0
ВАРИАНТ 8
1. Точки А(-3;-1) и В(2;2) – две смежные вершины параллелограмма ABCD, а P(3;0) – пересечение его диагоналей. Найти уравнения сторон BC и DC.
2. Через точку M 0 ( 4;1) перпендикулярно прямой
x 1 y  2

1
3
проведена прямая. Записать ее уравнение и найти угол,
который она составляет с прямой 2 x  3 y  5  0 .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
 x  2 y  3z  12  0
.
P(6;5;1) и прямую 
3x  y  z  2  0
4. Определить, при каких значениях m и l пара уравнений 2 x  ly  3z  5  0 и mx  6 y  6z  2  0
будет определять параллельные плоскости. Найти расстояние между ними.
5. Записать уравнения прямой, проходящей через точки
M 1 (1;3;2) и M 2 ( 2;1;3) . Доказать, что она лежит в
плоскости 13x  14 y  11z  7  0 .
6. Записать уравнения прямой, проходящей через точку
M 0 (1;2;1) параллельно вектору l  {2;3;6} . Доказать, что она скрещивается с прямой
2 x  y  4 z  2  0

4 x  y  5z  4  0
и найти угол между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  y  6 x  2 y  6  0
2
8. x  2 x  4 y  5  0
ВАРИАНТ 9
1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямых x  y  6  0 и 2 x  y  13  0
и отсекающей на осях координат равные отрезки.
2. Известно, что уравнение одной из сторон квадрата
x  3 y  7  0 а P(0;-1) – точка пересечения его диагоналей. Найти площадь квадрата.
3. Найти точку Q , симметричную точке P(5;2;1) относительно плоскости 2 x  y  3z  23  0 .
4. Вычислить расстояние d от точки P(1;1;2) до
плоскости, проходящей через точки
M 2 ( 2;1;3) и M 3 ( 4;5;2) .
M 1 (1;1;1) ,
5. Записать уравнения прямой, проходящей через точки
M 1 (1;1;0) и M 2 (0;3;2) и указать m , при котором
эта
прямая
параллельна
плоскости
2 x  my  5z  1  0 .
6. Доказать, что прямая проходящая через точку
M 0 ( 1;0;0) параллельно вектору l  {3;2;2} и прямая
3x  z  19  0

3x  2 y  7  0
пересекаются. Найти точку пересечения и угол между
ними.
Построить кривые
2
2
7. x  25 y  50 y  24  0
2
8. x  2 x  6 y  17  0
ВАРИАНТ 10
1. Найти проекцию точки P(3;6) на прямую, проходящую через две точки M 1 (3;1) и M 2 (9;2) .
2. Записать уравнения прямых, проходящих через начало
координат под углом 45 к прямой 2 x  y  4  0 .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
пересекающиеся (доказать) прямые
 x  5t  3
x  8 y 1 z  6
и  y  2t  1 .


3
1
2
 z  4t  2
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 (1;1;2) , M 2 (3;1;1) и M 3 ( 2;3;1) . Найти угол,
который
она
образует
с
плоскостью
x  2 y  3z  5  0 .
5. Записать уравнения прямой, проходящей через точки
M 1 (0;1;1) и M 2 (1;1;4) и доказать, что она перпендикулярна плоскости x  2 y  3z  0 .
6. Доказать, что прямые
x y 1 z


1 2 3
и
3x  y  5z  1  0

2 x  3 y  8z  3  0
скрещиваются. Найти расстояние между ними
Построить кривые
2
2
7. x  y  6 x  7  0
2
8. y  4 x  2 y  5  0
ВАРИАНТ 11
1. Точка A(5;-1) является вершиной прямоугольника, две
стороны которого лежат на прямых 4 x  3 y  7  0 и
3x  4 y  3  0 . Составить уравнения прямых, на которых лежат две другие стороны прямоугольника.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
A(4; 4) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью S=4.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через линию пресечения плоскостей
x  2 y  3z  4  0 ,
3x  z  5  0 и отсекающей на осях Oy и Oz равные отрезки.
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 (1;1;2) перпендикулярно вектору N  {2;2;1} .
Найти тупой угол, который эта плоскость образует с
плоскостью y  z  3  0 .
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 (1;1;0) и M 2 (0;3;12 ) . Доказать, что эта прямая пересекается с плоскостью 2 x  3 y  z  1  0 .
Найти их точку пересечения и угол между ними.
6. Доказать, что прямая, проходящая через точку
M 0 ( 2;1;0) параллельно вектору l  {3;4;2} и пря-
2 x  3 y  3z  20  0
– параллельны. Найти
2 x  y  5z  0
мая 
расстояние между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  9 y  2 x  36 y  28  0
2
8. x  8 x  3 y  22  0
ВАРИАНТ 12
1. Найти точку М1, симметричную точке М2(8;-9) относительно прямой, проходящей через точки А(3;-4)
и В(-1;-2).
2. Даны вершины треугольника A(2;2) , B(3;5) ,
C(5;7) . Найти угол между высотой и биссектрисой,
проведенными из вершины A .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные (доказать) прямые
x 1
y
z2
3x  y  2 z  0
и 
.


x

3
y

2
z

0
2
4
5

4. Указать значения m и l , при которых плоскости
x  2 y  2 z  11  0 и mx  2 y  lz  25  0 параллельны. Найти расстояние между ними.
5. Записать уравнение прямой проходящей через точку
M 0 (1;2;2 ) параллельно вектору l  {2;3;2} и доказать, что она лежит в плоскости x  8 y  13z  9  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 (1;3;2) и M 2 ( 2;1;1) и доказать, что она скрещивается с прямой
2 x  y  z  3  0
.

x

2
y

z

5

0

Найти угол между этими прямыми.
Построить кривые
2
2
7. x  y  6 x  4 y  1  0
2
8. y  4 x  6 y  5  0
ВАРИАНТ 13
1. Точки А(2,-2), В(3,-5) и С(5,7) являются вершинами
треугольника. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на медиану, проведенную из
вершины А.
2. Выяснить, лежат ли точки A(-1; 1), B(3; 3) и C(3; –2)
на одной прямой. Если нет – то найти расстояние от
точки C до прямой AB.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через линию пресечения плоскостей
x  z  1  0 , 2x  2 y  z  8  0
перпендикулярно к плоскости 3x  2 y  z  5  0 .
4. Найти острые углы, которые образует плоскость
2 x  y  z  7  0 с координатными плоскостями.
5. Доказать, что прямая
3x  y  2 z  4  0

x  3y  2z  1  0
параллельна плоскости 8x  y  4 z  0 .
6. Найти точку Q , симметричную точке P(9;4;5)
относительно
прямой, проходящей
M 1 ( 1;4;7) и M 2 (5;1;2) .
Построить кривые
2
2
7. 4 x  y  4 y  0
2
8. x  4 x  6 y  14  0
через
точки
ВАРИАНТ 14
1. Найти проекцию точки P(-3; 0) на прямую, проходящую через две точки M1(-1; 6) и M2(3;-2).
2. Записать уравнение прямой проходящей через начало
N  {3;2} .
координат перпендикулярно вектору
Найти тупой угол, который она образует с прямой
5x  y  7  0 .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
P(2;3;4) и ось Oz
4. На оси Oy найти точки, отстоящие от плоскости
x  2 y  2 z  2  0 на расстоянии d  4 .
5. Найти значения l и C при которых прямая
x  2 y 1 z  5


l
4
2
перпендикулярна к плоскости 3x  2 y  Cz  1  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 1;0;0) и M 2 ( 4;2;2) и доказать, что она
скрещивается с прямой
3x  z  4  0
.

3
x

2
y

7

0

Найти расстояние между этими прямыми.
Построить кривые
2
2
7. x  9 y  2 x  36 y  44  0
2
8. y  4 x  6 y  5  0
ВАРИАНТ 15
1. Равнобедренная трапеция с основаниями 10 и 4 имеет
острый угол  / 4 . Написать уравнения сторон трапеции, приняв за ось Ox большее основание, а за ось Oy
– ось симметрии трапеции.
2. Доказать, что прямые
5x  12 y  52  0 и
10 x  24 y  33  0 параллельны и найти расстояние
между ними.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
пересекающиеся (доказать) прямые
 x  5t  7
x  3 y 1 z  2
и  y  2t
.


2
1
3
 z  5t  3
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 (1;1;2 ) перпендикулярно вектору N  {2;1;1} .
Найти тупой угол, который она образует с плоскостью
x  2y  z  5  0.
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 6;6;5) и M 2 (12;6;1) . Доказать, что эта прямая пересекается с плоскостью XOY . Найти их точку
пересечения и угол между ними.
6. Записать уравнение прямой, проходящей параллельно
вектору l  {2;1;1} через точку M 0 (5;2;7) . Доказать, что она параллельна прямой
x  3y  z  2  0
.

 x  y  3z  2  0
Построить кривые
2
2
7. x  y  4 x  6 y  12  0
2
8. y  2 x  8 y  20  0
ВАРИАНТ 16
1. Точки А(-5;3) и В(1;7) – две смежные вершины параллелограмма ABCD, а P(0;3) – пересечение его диагоналей. Найти уравнения сторон BC и DC.
2. Записать уравнение прямой, отсекающей на осях координат Ox и Oy отрезки 1,5 и 1 соответственно.
Найти угол, который эта прямая составляет с прямой
3x  2 y  7  0 .
3. Найти точку Q , симметричную точке P(1;3;4) относительно плоскости 3x  y  2 z  0 .
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 (0;1;1) , M 2 ( 6;4;4) и M 3 (5;1;3) и доказать,
что она параллельна плоскости 4 x  3 y  5z  12  0 .
Найти расстояние между этими плоскостями.
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 (3;1;2) и M 2 ( 2;3;2) и доказать, что она
лежит в плоскости 2 y  z  4  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 ( 0;1;0 ) параллельно вектору l  {1;2;3} . Доказать, что эта прямая скрещивается с прямой
3x  y  5z  1  0

2 x  3 y  8z  3  0
и найти угол между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  4 y  4 x  8 y  4  0
2
8. x  2 x  2 y  5  0
ВАРИАНТ 17
1.
Даны
уравнения двух сторон прямоугольника
5x  2 y  7  0 , 5x  2 y  36  0 и уравнение одной из его диагоналей 3x  7 y  10  0 . Найти уравнения двух других сторон.
2. Точка А(4,6) является вершиной прямоугольника, две
стороны которого лежат на прямых x  2 y  2  0 ,
2 x  y  6  0 . Найти площадь прямоугольника.
3. Плоскость проходит через линию пресечения плоскостей 2 x  y  z  1  0 , x  y  2 z  1  0 параллельно прямой
x 2 y 5 z 3
. Записать ее


1
7
5
уравнение.
4. Найти острый угол между плоскостями
4 x  5 y  3z  1  0 и x  4 y  z  9  0 .
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 4;4;0) и M 2 (1;2;1) . Доказать, что она параллельна плоскости x  5 y  7 z  7  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 (1;0;2) параллельно вектору l  {5;4;1}. Доказать, что она пересекается с прямой
 x  2 y  3z  21  0
.

2 x  z  5  0
Найти точку пересечения и угол между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  y  8 y  12  0
2
8. y  3x  4 y  16  0
ВАРИАНТ 18
1. Найти проекцию точки P(-1; 6) на прямую, проходящую через две точки M1(5; 4) и M2(-1; 1).
2. Даны вершины треугольника A(2;2) , B(3;5) ,
C(5;7) . Найти угол между биссектрисой и медианой,
проведенными из вершины A .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные (доказать) прямые
x  5 y 1 z  4
3x  z  5  0
и 
.


1
2
3
3x  3 y  z  1  0
4. Найти расстояние от точки A(4;3;0) до плоскости,
проходящей через точки M 1 (1;3;0) , M 2 ( 4;1;2) и
M 3 (3;0;1) .
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 1;2;3) и M 2 ( 2;3;1) . Доказать, что она параллельна плоскости 9 x  3 y  6z  7  0 .
6. Доказать, что прямые
 x  5t  1
и
 y  2 t
 z  t  2
 x  2 y  3z  1  0

2 x  z  5  0
скрещиваются. Найти расстояние между ними
Построить кривые
2
2
7. x  2 y  2 x  8 y  5  0
2
8. x  6 x  2 y  5  0
ВАРИАНТ 19
1. Точка A(4;6) является вершиной прямоугольника, две
стороны которого лежат на прямых x  2 y  2  0 и
2 x  y  6  0 . Составить уравнения прямых, на которых лежат две другие стороны прямоугольника.
2. Записать уравнение прямой, содержащей биссектрису
острого угла, образованного прямыми y  3x  4 и
y  4.
3. Найти точку Q , симметричную точке P(3;1;0) относительно плоскости 2 x  3 y  z  5  0 .
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 (1;2;1) , M 2 ( 1;1;4) и M 3 ( 2;1;0) . Найти
острый угол, который она образует с плоскостью
x  2y  z  5  0.
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 (12;9;1) параллельно вектору l  {4;3;1} . Найти
угол, под которым эта прямая пересекает плоскость
3x  5 y  z  2  0 и точку их пресечения.
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 2;1;0) и M 2 ( 1;5;2) . Доказать, что эта
прямая параллельна прямой
x  7 y 1 z  3


3
4
2
и найти расстояние между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  y  6 x  2 y  1  0
2
8. y  3x  8 y  10  0
ВАРИАНТ 20
1. Найти точку М1, симметричную точке М2(7,-2) относительно прямой, проходящей через точки А(-3,0)
и В(9,8).
2. Найти уравнения прямых, проходящих через точку
M (1;2 3)
и составляющих угол

3
с прямой
x  5 3 y  15  0 .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
пересекающиеся (доказать) прямые.
 x  3t  7
x 1 y  2 z  5
и  y  2t  2 .


2
3
4
 z  2t  1
4. Две грани куба лежат на плоскостях
3x  6 y  2 z  5  0 и 3x  6 y  2z  72  0 .
Найти объем куба.
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 (3;1;3) и M 2 ( 1;5;4) и доказать, что она лежит в плоскости 3x  2 y  4 z  23  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 ( 1;0;0) параллельно вектору l  {3;2;2} и доказать, что она скрещивается с прямой
3x  z  4  0
.

3
x

2
y

7

0

Найти угол между этими прямыми.
Построить кривые
2
2
7. x  16 y  32 y  0
2
8. x  2 x  6 y  17  0
ВАРИАНТ 21
1. Составить уравнение прямой, перпендикулярной прямой 5x  5 y  6  0 и проходящей через точку пересечения прямых 2 x  5 y  7  0 и 3x  7 y  4  0 .
2. Записать уравнение прямой, отсекающей на оси Ox
отрезок a = 2 и составляющей с осью Ox угол 120  .
Найти тупой угол, который эта прямая образует с прямой y 
x
 1.
3
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через линию пресечения плоскостей
3x  y  2 z  9  0 ,
x  z  3  0 параллельно оси Oy .
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 ( 6;1;5) , M 2 (7;2;1) , M 3 (10;7;1) Доказать, что она будет параллельна плоскости
x  y  4z  7  0 и найти расстояние между ними.
5. Доказать, что прямая
 x  2 y  3z  5  0
2 x  y  z  1  0

параллельна плоскости 12 x  y  z  0 .
6. Доказать, что прямые
x 1 y  3 z  2


3
2
1
и
2 x  y  z  3  0
x  2 y  z  5  0

скрещиваются. Найти расстояние между ними
Построить кривые
2
2
7. x  4 y  4 x  8 y  4  0
2
8. x  2 x  4 y  5  0
ВАРИАНТ 22
1. Найти проекцию точки P(-6,4) на прямую, проходящую через две точки M1(3,3) и M2(8,7).
2. Найти площадь квадрата, две стороны которого лежат
на прямых 3x  4 y  10  0 , 6 x  8 y  5  0 .
3. Найти точку Q , симметричную точке P(3;4;6)
относительно плоскости x  y  4 z  13  0 .
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
M (6;1;1) перпендикулярно вектору N  {1;2;2} .
Найти тупой угол, который эта плоскость образует с
плоскостью x  y  4  0 .
5. Записать уравнения прямой, проходящей через точки
M 1 (1;1;0) и M 2 (0;3;2) . Указать m и l при
которых эта прямая и плоскость lx  4 y  mz  1  0
перпендикулярны.
6. Записать канонические уравнения прямой, проходящей
через точки M 1 (1;2;3) и M 2 ( 4;4;5) . Доказать,
что она параллельна прямой
найти расстояние между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  y  6 x  2 y  6  0
2
8. x  2 x  6 y  17  0
y  z  2  0
2 x  3 y  7  0

и
ВАРИАНТ 23
1. Точки А(3,2), В(5,-2) и С(1,0) являются вершинами
треугольника. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на медиану, проведенную из
вершины А.
2. Написать уравнения прямых, проходящих через точку
A(1;1) под углом 45 к прямой 2 x  3 y  6  0 .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через линию пресечения плоскостей
2x  z  0, x  y  z  5  0
перпендикулярно к плоскости 7 x  y  4 z  3  0 .
4. Точка A(1;3;0) – вершина куба, одна из граней которого лежит на плоскости 3x  2 y  6z  17  0 . Вычислить объем куба.
5. Доказать, что прямая проходящая через точку
M 0 (1;0;1) параллельно вектору l  {1; 2 ;1} и плоскость x  2 y  z  2  0 пересекаются. Найти точку пересечения и угол между ними.
6. Записать уравнения прямой, проходящей через точку
M 0 (1;2;1) параллельно вектору l  {2;3;6} . Доказать, что она скрещивается с прямой
2 x  y  4 z  2  0
4 x  y  5z  4  0

и найти угол между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  25 y  50 y  24  0
2
8. y  4 x  2 y  5  0
ВАРИАНТ 24
1. Даны вершины треугольника А(6,2), В(3,-2), С(-3,-2).
Найти точку пересечения биссектрисы, проведенной из
вершины В, и медианы, проведенной из вершины А.
2. Выяснить, лежат ли точки A(3;4), B(1;2) и C(-1;2) на
одной прямой. Если нет – то найти расстояние от точки
C до прямой AB.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
пересекающиеся (доказать) прямые
x y 1 z
3x  y  5z  13  0
и 
.


2
x

3
y

8
z

25

0
1 2 3

4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 (1;1;2) , M 2 ( 1;2;1) и M 3 ( 2;3;8) . При каком
эта плоскость будет ортогональна плоскости
m
x  my  z  5  0 .
5. Записать уравнения прямой, проходящей через точки
M 1 (1;3;2) и M 2 ( 2;1;3) . Доказать, что она лежит в
плоскости 13x  14 y  11z  7  0 .
6. Доказать, что прямая проходящая через точку
M 0 ( 1;0;0) параллельно вектору l  {3;2;2} и пря-
3x  z  19  0
пересекаются. Найти точку пе3x  2 y  7  0
мая 
ресечения и угол между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  y  6 x  7  0
2
8. x  8 x  3 y  22  0
ВАРИАНТ 25
1.
Даны
уравнения двух сторон прямоугольника
x  2 y  0 , x  2 y  15  0 и уравнение одной из
его диагоналей 7 x  y  15  0 . Найти уравнения
двух других сторон.
2. Даны вершины треугольника A(2;2) , B(3;5) ,
C(5;7) . Записать уравнение высоты и медианы, проведенных из вершины A . Найти угол между ними.
3. Найти точку Q , симметричную точке P(3;2;5) относительно плоскости 2 x  4 y  z  2  0 .
4. Определить, при каких значениях m и l пара уравнений 2 x  ly  3z  5  0 и mx  6 y  6z  2  0
будет определять параллельные плоскости. Найти расстояние между ними.
5. Записать уравнения прямой, проходящей через точки
M 1 (1;1;0) и M 2 (0;3;2) и указать m , при котором
эта
прямая
параллельна
плоскости
2 x  my  5z  1  0 .
6. Доказать, что прямые
x y 1 z


1 2 3
и
3 x  y  5z  1  0
2 x  3 y  8z  3  0

скрещиваются. Найти расстояние между ними
Построить кривые
2
2
7. x  9 y  2 x  36 y  28  0
2
8. y  4 x  6 y  5  0
ВАРИАНТ 26
1. Найти проекцию точки
P(5;13) на прямую
2x  3y  3  0 .
2. Проверить, что прямые
и
2x  3y  6  0
4 x  6 y  25  0 параллельны и найти расстояние
между ними.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
x  2 y  3z  12  0 .
P(6;5;1) и прямую 
3 x  y  z  2  0
4. Вычислить расстояние d от точки P(1;1;2) до
M 1 (1;1;1) ,
плоскости, проходящей через точки
M 2 ( 2;1;3) и M 3 ( 4;5;2) .
5. Записать уравнения прямой, проходящей через точки
M 1 (0;1;1) и M 2 (1;1;4) и доказать, что она перпендикулярна плоскости x  2 y  3z  0 .
6. Доказать, что прямая, проходящая через точку
M 0 ( 2;1;0) параллельно вектору l  {3;4;2} и пря-
2 x  3 y  3z  20  0 – параллельны. Найти
2 x  y  5z  0
мая 
расстояние между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  y  6 x  4 y  1  0
2
8. x  4 x  6 y  14  0
ВАРИАНТ 27
1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямых x  y  6  0 и 2 x  y  13  0
и отсекающей на осях координат равные отрезки.
2. Через точку M 0 ( 4;1) перпендикулярно прямой
x 1 y  2

1
3
проведена прямая. Записать ее уравнение и найти угол,
который она составляет с прямой 2 x  3 y  5  0 .
3. Найти точку Q , симметричную точке P(5;2;1) относительно плоскости 2 x  y  3z  23  0 .
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 (1;1;2) , M 2 (3;1;1) и M 3 ( 2;3;1) . Найти угол,
который
она
образует
с
плоскостью
x  2 y  3z  5  0 .
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 (1;1;0) и M 2 (0;3;12 ) . Доказать, что эта прямая пересекается с плоскостью 2 x  3 y  z  1  0 .
Найти их точку пересечения и угол между ними.
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 (1;3;2) и M 2 ( 2;1;1) и доказать, что она скрещивается с прямой
2 x  y  z  3  0
x  2 y  z  5  0 . Найти угол

между этими прямыми.
Построить кривые
2
2
7. 4 x  y  4 y  0
2
8. y  4 x  6 y  5  0
ВАРИАНТ 28
1. Точки А(-3;-1) и В(2;2) – две смежные вершины параллелограмма ABCD, а P(3;0) – пересечение его диагоналей. Найти уравнения сторон BC и DC.
2. Известно, что уравнение одной из сторон квадрата
x  3 y  7  0 а P(0;-1) – точка пересечения его диагоналей. Найти площадь квадрата.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
пересекающиеся (доказать) прямые
x  5t  3
x  8 y 1 z  6

и  y  2t  1 .


3
1
2
z  4t  2
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 (1;1;2) перпендикулярно вектору N  {2;2;1} .
Найти тупой угол, который эта плоскость образует с
плоскостью y  z  3  0 .
5. Записать уравнение прямой проходящей через точку
M (1;2;2) параллельно вектору l  {2;3;2}и доказать, что она лежит в плоскости x  8 y  13z  9  0 .
6. Найти точку Q , симметричную точке P(9;4;5)
относительно прямой, проходящей через точки
M 1 ( 1;4;7) и M 2 (5;1;2) .
Построить кривые
2
2
7. x  9 y  2 x  36 y  44  0
2
8. y  2 x  8 y  20  0
ВАРИАНТ 29
1. Даны вершины треугольника А(1,2), В(-3,-2), С(3,-2).
Найти точку пересечения высоты, проведенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины А.
2. Записать уравнения прямых, проходящих через начало
координат под углом 45 к прямой 2 x  y  4  0 .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через линию пресечения плоскостей
x  2 y  3z  4  0 ,
3x  z  5  0 и отсекающей на осях Oy и Oz равные отрезки.
4. Указать значения m и l , при которых плоскости
x  2 y  2 z  11  0 и mx  2 y  lz  25  0 параллельны. Найти расстояние между ними.
5. Доказать, что прямая
3 x  y  2 z  4  0
x  3 y  2 z  1  0

параллельна плоскости 8x  y  4 z  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 1;0;0) и M 2 ( 4;2;2) и доказать, что она
3x  z  4  0
. Найти рас3x  2 y  7  0
скрещивается с прямой 
стояние между этими прямыми.
Построить кривые
2
2
7. x  y  4 x  6 y  12  0
2
8. x  2 x  2 y  5  0
ВАРИАНТ 30
1. Найти проекцию точки P(3;6) на прямую, проходящую через две точки M 1 (3;1) и M 2 (9;2) .
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
A(4; 4) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью S=4.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные (доказать) прямые
x 1
y
z2
3 x  y  2 z  0 .
и 


2
4
5
x  3 y  2 z  0
4. Найти острые углы, которые образует плоскость
2 x  y  z  7  0 с координатными плоскостями.
5. Найти значения l и C при которых прямая
x  2 y 1 z  5


l
4
2
перпендикулярна к плоскости 3x  2 y  Cz  1  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей параллельно
вектору l  {2;1;1} через точку M 0 (5;2;7) . Доказать, что она параллельна прямой
x  3 y  z  2  0
 x  y  3z  2  0

и найти расстояние между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  4 y  4 x  8 y  4  0
2
8. y  3x  4 y  16  0
ВАРИАНТ 31
1. Точка A(5;-1) является вершиной прямоугольника, две
стороны которого лежат на прямых 4 x  3 y  7  0 и
3x  4 y  3  0 . Составить уравнения прямых, на которых лежат две другие стороны прямоугольника.
2. Даны вершины треугольника A(2;2) , B(3;5) ,
C(5;7) . Найти угол между высотой и биссектрисой,
проведенными из вершины A .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через линию пресечения плоскостей
x  z  1  0 , 2x  2 y  z  8  0
перпендикулярно к плоскости 3x  2 y  z  5  0 .
4. На оси Oy найти точки, отстоящие от плоскости
x  2 y  2 z  2  0 на расстоянии d  4 .
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 6;6;5) и M 2 (12;6;1) . Доказать, что эта прямая пересекается с плоскостью XOY . Найти их точку
пересечения и угол между ними.
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M (0;1;0) параллельно вектору l  {1;2;3} . Доказать, что эта прямая скрещивается с прямой
3 x  y  5z  1  0
2 x  3 y  8z  3  0

и найти угол между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  y  8 y  12  0
2
8. x  6 x  2 y  5  0
ВАРИАНТ 32
1. Найти точку М1, симметричную точке М2(8;-9) относительно прямой, проходящей через точки А(3;-4)
и В(-1;-2).
2. Выяснить, лежат ли точки A(-1; 1), B(3; 3) и C(3; –2)
на одной прямой. Если нет – то найти расстояние от
точки C до прямой AB.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
P(2;3;4) и ось Oz
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
M (1;1;2) перпендикулярно вектору N  {2;1;1} .
Найти тупой угол, который она образует с плоскостью
x  2y  z  5  0.
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 (3;1;2) и M 2 ( 2;3;2) и доказать, что она
лежит в плоскости 2 y  z  4  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 (1;0;2) параллельно вектору l  {5;4;1}. Доказать, что она пересекается с прямой
x  2 y  3z  21  0
.
2 x  z  5  0

Найти точку пересечения и угол между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  2 y  2 x  8 y  5  0
2
8. y  3x  8 y  10  0
ВАРИАНТ 33
1. Точки А(2,-2), В(3,-5) и С(5,7) являются вершинами
треугольника. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на медиану, проведенную из
вершины А.
2. Записать уравнение прямой проходящей через начало
N  {3;2} .
координат перпендикулярно вектору
Найти тупой угол, который она образует с прямой
5x  y  7  0 .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
пересекающиеся (доказать) прямые
 x  5t  7
x  3 y 1 z  2
и  y  2t
.


2
1
3
 z  5t  3
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 (0;1;1) , M 2 ( 6;4;4) и M 3 (5;1;3) и доказать,
что она параллельна плоскости 4 x  3 y  5z  12  0 .
Найти расстояние между этими плоскостями.
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 4;4;0) и M 2 (1;2;1) . Доказать, что она параллельна плоскости x  5 y  7 z  7  0 .
6. Доказать, что прямые
x  5t  1

x  2 y  3z  1  0
и 
 y  2t
2 x  z  5  0
z  t  2
скрещиваются. Найти расстояние между ними
Построить кривые
2
2
7. x  y  6 x  2 y  1  0
2
8. x  2 x  6 y  17  0
ВАРИАНТ 34
1. Найти проекцию точки P(-3; 0) на прямую, проходящую через две точки M1(-1; 6) и M2(3;-2).
2. Доказать, что прямые
и
5x  12 y  52  0
10 x  24 y  33  0 параллельны и найти расстояние
между ними.
3. Найти точку Q , симметричную точке P(1;3;4) относительно плоскости 3x  y  2 z  0 .
4. Найти острый угол между плоскостями
4 x  5 y  3z  1  0 и x  4 y  z  9  0 .
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 1;2;3) и M 2 ( 2;3;1) . Доказать, что она параллельна плоскости 9 x  3 y  6z  7  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 2;1;0) и M 2 ( 1;5;2) . Доказать, что эта
прямая параллельна прямой
x  7 y 1 z  3


3
4
2
и найти расстояние между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  16 y  32 y  0
2
8. x  2 x  4 y  5  0
ВАРИАНТ 35
1. Равнобедренная трапеция с основаниями 10 и 4 имеет
острый угол  / 4 . Написать уравнения сторон трапеции, приняв за ось Ox большее основание, а за ось Oy
– ось симметрии трапеции.
2. Записать уравнение прямой, отсекающей на осях координат Ox и Oy отрезки 1,5 и 1 соответственно.
Найти угол, который эта прямая составляет с прямой
3x  2 y  7  0 .
3. Плоскость проходит через линию пресечения плоскостей 2 x  y  z  1  0 , x  y  2 z  1  0 параллельx 2 y 5 z 3


но прямой
. Записать ее уравнение.
1
7
5
4. Найти расстояние от точки A(4;3;0) до плоскости,
проходящей через точки M 1 (1;3;0) , M 2 ( 4;1;2) и
M 3 (3;0;1) .
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 (12;9;1) параллельно вектору l  {4;3;1} . Найти
угол, под которым эта прямая пересекает плоскость
3x  5 y  z  2  0 и точку их пресечения.
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 ( 1;0;0) параллельно вектору l  {3;2;2} и дока-
3x  z  4  0
.
3x  2 y  7  0
зать, что она скрещивается с прямой 
Найти угол между этими прямыми.
Построить кривые
2
2
7. x  9 y  2 x  54 y  73  0
2
8. y  6 y  2 x  3  0
ВАРИАНТ 36
1. Точки А(-5;3) и В(1;7) – две смежные вершины параллелограмма ABCD, а P(0;3) – пересечение его диагоналей. Найти уравнения сторон BC и DC.
2. Точка А(4,6) является вершиной прямоугольника, две
стороны которого лежат на прямых x  2 y  2  0 ,
2 x  y  6  0 . Найти площадь прямоугольника.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные (доказать) прямые
x  5 y 1 z  4
3 x  z  5  0
и 
.


1
2
3
3 x  3 y  z  1  0
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 (1;2;1) , M 2 ( 1;1;4) и M 3 ( 2;1;0) . Найти
острый угол, который она образует с плоскостью
x  2y  z  5  0.
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 (3;1;3) и M 2 ( 1;5;4) и доказать, что она лежит в плоскости 3x  2 y  4 z  23  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 4;3;3) и M 2 ( 2;6;9) . Доказать, что она пересекается с прямой
x  3 y 1 z  7
. Найти


3
4
2
точку пересечения и угол между ними.
Построить кривые
2
2
7. 9 x  4 y  18 x  8 y  31  0 .
2
8. x  2 x  4 y  5  0 .
ВАРИАНТ 37
1.
Даны
уравнения двух сторон прямоугольника
5x  2 y  7  0 , 5x  2 y  36  0 и уравнение одной из его диагоналей 3x  7 y  10  0 . Найти уравнения двух других сторон.
2. Даны вершины треугольника A(2;2) , B(3;5) ,
C(5;7) . Найти угол между биссектрисой и медианой,
проведенными из вершины A .
3. Найти точку Q , симметричную точке P(3;1;0) относительно плоскости 2 x  3 y  z  5  0 .
4. Две грани куба лежат на плоскостях
3x  6 y  2 z  5  0 и 3x  6 y  2z  72  0 .
Найти объем куба.
5. Прямая проходит через точку M (3,7,2) параллельно
вектору l  {5;8;1} . Записать уравнение прямой и указать, при каком значении C прямая будет параллельна
плоскости 2 x  y  Cz  2  0 .
6. Доказать, что прямые
 x  2t  1
2 x  y  4 z  2  0
 y  3t  2 и 4 x  y  5z  4  0

 z  6t  1
скрещиваются. Найти расстояние между ними
Построить кривые
2
2
7. x  y  2 x  4 y  1  0
2
8. y  2 x  6 y  11  0
ВАРИАНТ 38
1. Найти проекцию точки P(-1; 6) на прямую, проходящую через две точки M1(5; 4) и M2(-1; 1).
2. Найти уравнения прямых, проходящих через точку
M (1;2 3)
и составляющих угол

3
с прямой
x  5 3 y  15  0 .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
пересекающиеся (доказать) прямые.
 x  3t  7
x 1 y  2 z  5
и  y  2t  2 .


2
3
4
 z  2t  1
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
M (4;1;1) перпендикулярно вектору N  {1;2;2} .
Найти острый угол, который эта плоскость образует с
плоскостью x  z  6  0 .
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 (12;9;1) и M 2 ( 4;3;1) . Доказать, что она перпендикулярна плоскости 4 x  3 y  z  2  0 .
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
M 1 ( 7;5;9) и M 2 ( 1;3;17) . Доказать, что она параллельна прямой
2 x  2 y  z  10  0
x  y  z  22  0

и найти расстояние между ними
Построить кривые
2
2
7. x  9 y  36 y  72  0
2
8. x  2 x  3 y  8  0
ВАРИАНТ 39
1. Точка A(4;6) является вершиной прямоугольника, две
стороны которого лежат на прямых x  2 y  2  0 и
2 x  y  6  0 . Составить уравнения прямых, на которых лежат две другие стороны прямоугольника.
2. Записать уравнение прямой, содержащей биссектрису
острого угла, образованного прямыми y  3x  4 и
y  4.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные (доказать) прямые
x 1 y  2 z  3
y  z  2  0 .
и 


3
2
2
2 x  3 y  7  0
4. Найти расстояние от точки P(5;3;3) до плоскости,
проходящей через точки M 1 ( 4;3;1) , M 2 ( 2;0;3) и
M 3 ( 2;1;0) .
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M (7;4;5) параллельно вектору l  {5;1;4} . Доказать,
что она пересекается с плоскостью 3x  y 2z 5  0 .
Найти их точку пересечения и угол между ними.
6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
A(1;0;2) и B(4;2;3) и доказать, что она скрещивается с прямой
x  2 y  3z  1  0
. Найти угол
2 x  z  5  0

между ними.
Построить кривые
2
2
7. x  y  4 y  5  0
2
8. x  4 x  4 y  16  0
ВАРИАНТ 40
1. Найти точку М1, симметричную точке М2(7,-2) относительно прямой, проходящей через точки А(-3,0)
и В(9,8).
2. Записать уравнение прямой проходящей через точки
A(3;2) и B(2;5) и найти расстояние от точки
C(4;3) до этой прямой.
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через две
пересекающиеся (доказать) прямые
 x  3t  7
x 1 y  2 z  5
и  y  2t  2 .


2
3
4
 z  2t  1
4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 (1;0;1) , M 2 ( 1;12;2) и M 3 ( 2;1;1) . Найти
угол, который эта плоскость образует с плоскостью
x  9 y  3z  2  0 .
5. Записать уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 ( 2;1;3) параллельно вектору l  {3;4;4} и
доказать,
что
она
лежит
в
плоскости
4 x  3 y  6z  7  0 .
6. Найти точку Q , симметричную точке P(2;5;7) относительно прямой, проходящей через точки
M 1 (5;4;6) и M 2 ( 2;17;8) .
Построить кривые
2
2
7. 2 x  y  4 x  4 y  2  0
2
8. y  4 x  2 y  5  0
4 шт. 10. Записать уравнение пл-ти, проходящей через две
пересекающиеся (доказать) прямые.
3 шт. 11. Записать уравнение плоскости, проходящей через
две параллельные (доказать) прямые.
5 шт. 12. Найти т-ку, симметричную данной отн-но пл-ти.
3 шт. 13. Записать уравнение плоскости, проходящей через
линию пресечения плоскостей параллельно прямой
2 шт. 14. Записать уравнение пл-ти, проходящей через линию пресечения плоскостей перпендикулярно плоскости
15. Записать уравнение плоскости, проходящей через
точку перпендикулярно прямой.
2 шт. 16. Записать уравнение плоскости, проходящей через
точку и прямую (ось)
Прямая и пл-ть
Прямая в пространстве
плоскость
1. Записать уравнение прямой. Доказать, что она параллельна плоскости. 5шт.
2. Записать уравнение прямой. Доказать, что она
перпендикулярна плоскости. 5шт.
3. Записать уравнение прямой. Найти угол, под которым прямая пересекает плоскость и точку пресечения. 5шт
4. Записать уравнение прямой и доказать, что она
лежит в плоскости 5шт.
5 шт. 5. Доказать, что прямая (уравнение надо составить)
параллельна прямой и найти расстояние между ними
3 шт. 6. Д-ть, что две прямые пересекаются (ур-е одной
надо составить). Найти т-ку пересечения и угол между ни5 шт.
ми.
7. Д-ть, что прямые скрещиваются (уравнение одной
прямой требуется записать). Найти угол между ними
5 шт. 8. Д-ть, что прямые скрещиваются (одна в каноническом виде, другая в общем. Найти расстояние между ними
2 шт. 9. Найти т-ку, симметричную данной отн-но прямой
Соответствия задач – см таблицы
Прямая
Прямая
Плоскость (одна из)
и пл-ть
в пр-ве
(зад 3)
(зад 5)
(зад 6)
1,5,9,13,17 1
6(9)
11(16), 12, 13(14)
2,6,10,14,18 2
8
10, 11(16)
3,7,11,15,19 3
5
10, 12, 13(14)
4,8,12,16,20 4
7
10, 11(16), 12, 13(14)
Прямая и
пл-ть
(зад 5)
1
Вар-т
зад 3,
зад 5,
зад 6,
Вар-т
зад 3,
зад 5,
зад 6
Прямая
Плоскость (зад 3)
в пр-ве
Номера вариантов для комбинации
(зад 6) 1-4 5-8 9-12 13-16 17-20
6,9
11 13,14 12 13,14 13
12
12
2
8
10
10
10 11,16 11 11,16 11
3
5
13
12
13
10
12
4
7
12 11,16 11
12
10 13,14 10
1
11,
1,
6,
11
13,
3,
5,
2
10,
2,
8,
12
11,
4,
7,
3
13,
3,
5,
13
14,
1,
9,
4
12,
4,
7,
14
16,
2,
8,
5
14,
1,
9,
15
10,
3,
5,
6
10,
2,
8,
16
12,
4,
7,
7
12,
3,
5,
17
13,
1,
6,
10
8
16,
4,
7,
18
11,
2,
8,
Уравнение прямой
через две точки
через точку параллельно вектору (прямой)
через точку перпендикулярно плоскости
13
9
12,
1,
6,
19
12,
3,
5,
10
10,
2,
8,
20
10
4,
7,
через точку перпендикулярно оси (прямой!) (уравнение плоскости, пересечение плоскости и прямой)
Уравнение плоскости
1) Через три точки
2) Через точку и прямую (ось)
3) через точку, перпендикулярно прямой
4) Через точку параллельно двум векторам (прямым)
5) Через точку и отсекающую отрезки на осях (Через
линию пересечения плоскостей и отсекающей отрезки на
осях)
6) Через линию пересечения плоскостей параллельно
прямой (вектору)
7) Через линию пересечения плоскостей перпендикулярно плоскости
Проекция точки на плоскость
Точка симметричная данной относительно плоскости
(зад 6.5,
Расстояние от точки до прямой (1.5, 3.5, 8,3
Проекция точки на прямую