Конспект урока по алгебре в 9 классе по теме «Прогрессии

Конспект урока по алгебре в 9 классе по теме «Прогрессии.
Решение задач»
«ПРОГРЕССИО - ДВИЖЕНИЕ ВПЕРЕД»
ЦЕЛИ УРОКА:
1)Обобщить и закрепить знания учащихся по данной теме;
2) развивать умения видеть и применять изученное на практике;
3)развивать познавательный интерес к предмету, к истории родного
края.
ОБОРУДОВАНИЕ: настенная таблица с формулами, карточки с
тестовым заданием, проектор.
Структура урока
-постановка целей урока;
-математическая разминка;
-о прогрессиях, решение задач;
-выступление ученицы;
-подведение итогов урока;
-задание на дом.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Приведите пример последовательности, заданной формулой n-го
члена. Назовите какой - нибудь член этой последовательности.
2. Приведите пример последовательности, заданной рекуррентной
формулой.
2. Какая последовательность называется арифметической (геометрической) прогрессией? Приведите пример.
4. Как задать арифметическую (геометрическую) прогрессию?
5. Запишите формулу n-го члена прогрессии.
6. Запишите формулу суммы и первых членов арифметической
(геометрической) прогрессии.
7. Что называется суммой бесконечной геометрической прогрессии при
условии |q | < 1? Запишите формулу суммы этой прогрессии.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ РАЗМИНКА
1. В конечной последовательности аn: 3; 0 ; - 3 ; - 6 ; - 9 ; - 1 2 назовите первый, третий, шестой члены.
2. Последовательность задана формулой n-го члена: an = Зп - 1. Найдите a1 , а 2 , а3 .
3. Какие из последовательностей, заданных формулой n-го члена,
являются арифметической прогрессией:
а) хn = 2n + 5; б) хn = Зn ( n+ 2).
4. Назовите три члена геометрической прогрессии, следующие за
_1 2
данными числами 3; 3;…..
5. Найдите сумму n первых членов геометрической прогрессии, если
в1 =3, q = 2, n = 3.
6. Найдите сумму n первых членов арифметической прогрессии, если
al = 1, аn=20, n = 6.
Для выполнения шестого задания мы воспользовались формулой
al + an
Sn= 2 n. (*)
С этой формулой связан интересный эпизод из жизни немецкого математика
К.Ф. Гаусса
(1777-1855).
Когда ему было 9 лет, учитель, занятый
проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно:
1+2+3+ ....+100
Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был
Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил». Большинство учеников
после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса
было только одно число, но зато верное.
ЗАДАНИЕ. За 1 минуту подсчитать сумму натуральных чисел от 1 до
40 включительно, не применяя формулу (*)
РЕШЕНИЕ.
Вот схема рассуждения Гаусса. Сумма чисел в каждой паре равна 41: 1,
1, 2, 3, ......, 20
40, 39, 38, ...... , 21
41, 41, 41,...., 41.
Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41 ∙ 20 = 820.
Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с
древних времен. Греческих математиков интересовала связь прогрессий с так
называемыми многоугольными числами, вычислением площадей, объемов,
красивыми числовыми соответствиями типа:
1=12
1=12
1+3 = 22
3+5 = 22
1+3+5 = З2
7+9+11=3 2
1+3+5+7 = 4 2
13+15+17+19 = 42
Большой популярностью даже в наши дни пользуются магические
квадраты. Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что
суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали
равны.
ЗАДАНИЕ:
Составить магический квадрат 3 x 3 .
Выступление ученицы.
Наш известный земляк Александр Засс (он провел свои детские и
юношеские годы в Саранске и Рузаевке), в основном, известен за рубежом и
в России под своим цирковым псевдонимом «Железный Самсон». Этот талантливейший атлет и борец является изобретателем современной изометрической системы тренировок тяжелоатлетов. Он же является изобретателем
кистевого силомера, рисунок которого можно увидеть в учебнике физике.
Поистине, удивительные вещи делал Александр Засс в своей яркой жизни на
цирковых аренах Европы. Он трижды бежал из германского плена (выламывая все решетки тюрьмы). Он ложился под загруженный грузовик и вставал
после этого испытания невредимым. Он ложился на плиту с множеством
остро отточенных гвоздей, направленных острием вверх. На грудную клетку
ему, при этом, клали камень в полтонны весом и разбивали этот камень молотами. Острые гвозди не «входили» в железные мускулы Железного
Самсона.
Двенадцатилетним мальчиком он побывал с отцом в проезжающем через Саранск цирке, и его мечтой стало - стать таким же силачом и цирковым
артистом. Он начал тренироваться с 10-ти килограммовым мешком, наполненным опилками. Раз в три дня он вынимал из мешка горсть опилок и заменял их горстью речного песка. Когда опилки закончились, он один раз в каждые три дня стал заменять горсть песка - горстью свинцовой дроби. И
продолжал делать упражнения с мешком - гирей, которая становилась все
тяжелее и тяжелее.
Его рекорд был поистине удивителен: при собственном весе в 66 килограммов он поднимал левой рукой мешок, весящий 80 кг!
ЗАДАНИЕ: установите - сколько времени он шел к этому своему рекорду (непревзойденному и поныне)? Разница между горстью опилок и песка,
или горстью песка и свинцовой дроби - одна и та же. Она приблизительно
составляет 0,04 г.
РЕШЕНИЕ:
применим свойства арифметической прогрессии
80 = 10 + (n-1)-0,04
n = 1751 — это число замен горстей (каждые три дня)
1751∙ 3 = 5253 дня, т.е. около 14,5 лет.
При q = 1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической прогрессией, при этом
S п =n∙в1
При |q| < 1 существует предел суммы первых n чисел геометрической
прогрессии при n -> ∞ , равный
_В1_
S= 1 - q .
Если |q| > 1 , то члены геометрической прогрессии быстро растут. В
результате при сравнительно небольших номерах n получаются числагиганты. С древних времен известны задачи и легенды, связанные с
неправдоподобной на первый взгляд скоростью роста членов геометрической
прогрессии 1,2,4,8,16, ......................... Одна из наиболее известных легенд легенда об изобретателе шахмат.
Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого
звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание
интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной
им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной
доски одно пшеничное зерно, за вторую -два, за третью ещё в два раза
больше и т.д. Клеток на шахматной доске - 64. В одном пуде 40 000 зерен.
Задание на дом. Сколько пудов зерен будет на 64 клетке?
ТЕСТ. Укажите правильный ответ среди предложенных вариантов
1. Выпишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой.
an = n (n-3)
аn = n (n-4)
Варианты ответа:
Варианты ответа:
а) 1,2, 3,4, 5;
а) 1,2, 3,4, 5;
б) -2,-4,0,16,50;
б) -3,-16,-27,0,125;
в) 0,-2,-4,-16,-50;
в) 0,-3,-16,-27,-125;
г) 1, 2, 4, 16, 50.
г) 0,3, -16, -27, 125.
2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если
а7 =21 а 9=29.
а7 = 22, а9 = 32.
Варианты ответа:
Варианты ответа:
а) a l =-3, d = 4;
a) a 1 =-38, d=10;
б) a 1 = 3, d = 4;
6) a l = -5, d = 2;
в) a l = 4, d =8;
в) a l =-13, d = 5;
r) a l =47, d = -4.
r) al = -8, d = 5.
3. Укажите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у
которой
1
в1=32, q= 2
Варианты ответа:
а) 64,
б) 201,
1
в) 65 4,
г)
63 .
1
в1 =81, q = 3.
Варианты ответа:
a) S6 = 364,
1
б) S6 = 121 3,
1
в) S6 = 60 3 ,
г) S6= 182
Подведение итогов
Домашнее задание
По горизонтали
1. Первый из двух стоящих рядом членов
последовательности
2. Разность последовательно одинаковых
членов
3. Способ задания последовательности
4. Число в арифметической прогрессии
5. Элементы, из которых состоит
последовательность
6. Натуральное число, обозначающее место
члена в последовательности
По вертикали
1. Функция, заданная на множестве
натуральных чисел
7. Вид последовательности
8. Последовательность, содержащая конечное
итогов урок.
число членов
Использованная литература.
1. Ш.А. Алимов. Алгебра 9.
2. Г.А. Богомолова, З.Я. Якупов. Актуальные проблемы преподавате
ля математики. МРИ ПКРО, 1998 г.
3. Ю.Н. Макарычев. Н.Г. Миндюк. Алгебра в 6-8 классах.
Москва «Просвещение», 1988 г.
4. А.П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика. Москва
«Педагогика», 1989 г.