n-го члена последовательности

Последовательности
План изучения темы:
1.
2.
3.
4.
Определение
последовательности.
Определение членов
последовательности.
Виды последовательности.
Способы задания
последовательности.
Определение:
 Упорядоченное
множество
чисел называется
числовой
последовательностью.
И
Приведем примеры:
 Запишите в порядке возрастания
положительные четные числа.
 2; 4; 6; 8; …
 На пятом месте будет стоять число 10.
 На десятом месте будет стоять число 20.
 На сотом месте – число 200.
 Вообще для любого натурального n
можно указать соответствующее ему
положительное четное число.
 2n.
Приведем примеры:
 Выпишите в порядке убывания
правильные дроби с числителем
равным 1.
 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; …
 1/(n+1)
Числа, образующие
последовательность
называются
членами последовательности.


а ; а ; а ; а ;…
а - n-й член последовательности.
1
2
3
4
п
Сама последовательность
обозначается (ап), (ьп), (сп )…

Последовательность
бывает бесконечной и
конечной.


Пример бесконечной
последовательности.
Пример конечной
последовательности.
И
Запишите последовательность
двузначных чисел по возрастанию:
10; 11; 12; 13; 14; …;98; 99.
Существует два способа
задания последовательности,
позволяющие найти любой член
последовательности с любым
номером.
1 способ: указать формулу n-го члена
последовательности.
2 способ: указать рекурентную формулу.
Определение:
 Формула, позволяющая найти любой
член последовательности через его
номер, называется формулой n-го
члена последовательности.
И
Формула n-го члена
последовательности:
а = 2n
n
2
Формула n-го члена
последовательности:
b = 1/(n+1)
n
Решим несколько задач, по
нахождению последовательностей,
заданных формулой n-го члена:
 Пример 1: № 329
 Пример 2: № 330
 Пример 3: № 331
Пример 1: № 329
 3, 6, 9, 12, …
 а1=3, а5=15, а10=30, а100=300.
 аn=3n.
Пример 2: № 330
 -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0,…
 с10=0, с25=-1, с200=0, с253=-1.
 с2k=0, с2k+1=-1.
Пример 3: № 331
1,4,9,16,25,36,49, 64,81,100…
 а =400, а =1600.
 а =n^2.

20
n
40
Формула, выражающая любой член
последовательности, начиная с некоторого, через
предыдущие, называется рекурентной.
(от латинского слова recurro –возвращаться)
Пример:
 Пусть первый член последовательности (ап) равен 3,
а каждый последующий равен квадрату
предыдущего.
 Другими словами ап+1 = ап².
 Найдите первые четыре члена
И
последовательности.
А вот и ответ:
3; 9; 81; 6561;…
Найдите первые четыре члена
последовательности, заданной
рекурентной формулой:
а = а +3, если а = 8.
n+1
n
1
аn+1 = 2 ·аn, если а1=3.
Подведем итог
Проверьте себя:

8, 11, 14, 17, …
 3, 6, 12, 24, …
Арифметическая
прогрессия
1.
2.
3.
Определение.
Формула n – го члена.
Формулы суммы n первых
членов.
Определение :
Арифметической прогрессией
называется последовательность, каждый
член которой, начиная со второго, равен
предыдущему члену, сложенному с
одним и тем же числом.
 Рекурентная формула арифметический

прогрессии:
а =а +d
n+1
n
где d – разность арифметической
прогрессии.

Формула n – го члена
арифметический прогрессии:
а =а
n
1
d
+ (n – 1)
Формулы суммы n первых членов
арифметической прогрессии:
(a1 + an)n
Sn =
Sn = (a1+
d)n
Геометрическая
прогрессия
1. Определение.
2. Формула n – го члена.
3. Формула суммы n первых
членов.
Определение :
 Геометрической прогрессией
называется последовательность
отличных от нуля чисел, каждый член
которой, начиная со второго, равен
предыдущему члену, умноженному на
некоторое число.
 Рекурентная формула геометрической
прогрессии:
b = b ·q
n+1
q–
n
знаменатель геометрической
прогрессии.
Формула n – го члена
геометрической прогрессии:
b
n
= b1 · q
Формулы суммы n первых
членов геометрической
прогрессии: