Лабораторная работа №7 ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Лабораторная работа №7
ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Исследования характеристик свободных затухающих элек тромагнитных колебаний, возникающих в колебательном
контуре, составленном из сосредоточенных R, L, C элементов. Приобретение экспериментальных навыков работы
с электронным осциллографом.
МЕТОДИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
РАБОТЫ
В данной работе исследуется колебательный контур, со держащий последовательно соединенные индуктивность,
емкость и активное сопротивление. Свободные затухающие
колебания в колебательном контуре обусловлены перехо дом электрической энергии конденсатора C в магнитную
энергию индуктивности L и R в виде тепловой потери.
Дифференциальное управление затухающих свободных ко лебаний в электрическом контуре имеет вид:
L
d 2q
dt
2
R
dq q
  0,
dt C
(7.1)
где q – заряд на обкладках конденсатора C .
Решение уравнения (7.1) имеет вид:
q  q0  e  βt  cos(t  ),
(7.2)
95
где q 0 – начальный заряд на обкладках конденсатора ;
R

– коэффициент затухания;
2L
   02   2 – циклическая частота затухающих колебаний;
1
– частота собственных колебаний контура;
0 
LC
 0 – начальная фаза колебаний.
Напряжение на обкладках конденсатора изменяется со
q
временем по аналогичному закону, т.к. U  .
C
U  U 0  e  βt  cos(t  ),
(7.3)
q0
.
C
Амплитуда колебательного процесса U 0  e  βt убывает со
временем по экспоненте (рис.7.1).
где U 0 
U
A(t )
U
A(t  nT )
t
0
0
  t  nT
б)
а)
Рис.7.1. График затухающих колебаний:
а) потери в контуре малы( R  Rкр );
б) потери в контуре велики( R  Rкр ).
96
t
Для возникновения в контуре свободных затухающих ко лебаний необходимо выполнение условий:
  0 .
(7.4)
При этом
R

2L
L
1
.
или R  2
C
LC
(7.5)
L
, то процесс разряда конденсатора в конту C
ре перестает быть колебательным и становится апериоди ческим (рис. 7.1,б).
Сопротивление, при превышении которого в контуре не
возникают периодические колебания, называется критичес ким и определяется из условия:
Если R  2
Rкр  2
L
.
C
(7.6)
Количественной характеристикой затухающих колебаний
является логарифмический декремент затухания, который
определяется как натуральный логарифм отношения ампли туд, вычисленных через период:
  ln
A(t )
.
A(t  T )
(7.7)
Для большей точности при проведении экспериментов
удобнее сравнивать амплитуды, отстоящие друг от друга не
на один, а на n периодов (например, на рис.7.1,а n  2 ).
Легко убедиться, что в этом случае

1
A(t )
ln
.
n A(t  nT )
(7.8)
97
Логарифмический декремент затухания можно опреде лить как величину, обратную числу колебаний, после кото рых амплитуда уменьшается относительно значения A(t ) в
e раз.
Для характеристики затухания колебательно контура поль зуются также величиной, называемой добротностью:
Q


.
(7.9)
Добротностью контура тем выше, чем меньше затухания
в нем.
В радиотехнических устройствах (радиоприемники, пе редатчики и другие) важной характеристикой является ши рина полосы пропускания или избирательность контура. Чем
больше добротность, тем уже полоса пропускания и, соот ветственно, выше избирательность и помехозащищенность
устройств.
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Моделирующая установка (рис. 7.2) состоит из последо вательного R, L, C – контура, генератора прямоугольных
импульсов (ГИ) и электронного осцил лографа (ЭО). Последовательный контур может быть собран из элементов раз личного конструктивного исполнения. В общем случае ин дуктивность, емкость и сопротивление могут быть пере менными, как показано на рис. 7.2. В других модификациях
схемы какие-либо элементы (например, индуктивность) мо гут иметь постоянную величину. При этом контур состоит
из постоянной индуктивности и переменных емкости ( C ) и
сопротивления ( R ), величины которых могут изменяться
дискретно или плавно. Указанные отличия в схемах измере ний не оказывают принципиального влияния на порядок
выполнения работы, поэтому в дальнейшем будет рассмат 98
риваться один из возможных вариантов включения контура
( L  const , R, C –мкф) с рекомендациями по адаптации к другим видам соединений.
Генератор
сигнала
ГИ
R
R
R3
C
L
ЭО
Рис.7.2. Электрическая схема измерительной установки
Генератор (ГИ) является источником однократных и пов торяющихся импульсов длительностью от 0,1 до 10 мкс. Од нократные импульсы могут быть использованы только при
наличии запоминающего электронного осциллографа. В п ротивном случае частота повторения импульсов должна быть
порядка 50 Гц и более.
Максимально допустимая частота повторения импульсов
при изучении свободных колебаний определяется из ус ловия:
Fповт 
1
,
tк
(7.10)
где t k – длительность затухающих свободных колебаний в
контуре.
Назначение, функциональная схема и порядок работы с
электронным осциллографом рассмотрены в его описании, с
которым целесообразно ознакомиться перед началом ра боты.
Вместе с тем, учитывая широкую распространенность
ЭО в области исследований и измерений параметров элект 99
рических сигналов, ниже приводятся некоторые сведения
об основных принципах их построения и использования.
Электронно-лучевой осциллограф – это прибор для наблюдения формы и исследования других параметров элек трических сигналов. Принцип работы осциллографа может
быть рассмотрен на примере функциональной схемы, при веденной на рис. 7.3.
Основным исполнительным элементом осциллографа яв ляется электронно-лучевая трубка. Электроны, испускаемые
катодом, который накаливают с помощью внутреннего низ ковольтного источника питания, вначале проходят через
специальную систему двух взаимно-перпендикулярных отклоняющих систем. Отклонения луча в горизонтальном на правлении пропорциональны промежуткам времени, а отклонения в вертикальном направлении пропорциональны
напряжению изучаемого сигнала. Ускоряются электроны под
действием высокого напряжения, подключенного между ка тодом и проводящим слоем, нанесенным на боковые стенки
трубки.
На практике при исследовании временной зависимости
изучаемый сигнал поступает на вход усилителя (или атте нюатора), подключенного к пластинам вертикального от клонения луча. Горизонтальное перемещение электронного
луча осуществляется с помощью генератора развертк и, который вырабатывает периодически повторяющейся сигнал
линейно-падающего напряжения («пилообразное» напряже ние). При этом достигается скорость перемещения луча (в
универсальных осциллографах) порядка 1500 км/с, что обес печивает возможность исследования сигналов в диапазоне
частот от 0 Гц до сотен МГц.
Таким образом, электронный пучок оставляет на экране,
покрытом флюоресцирующим веществом, след, представля ющий собой развернутую во времени картину исследуемых
электрических колебаний.
Любой осциллограф имеет также ряд дополнительных
систем (устройства фокусировки луча, регулировка яркос ти, синхронизации и другие), которые обеспечивают его нор 100
мальное функционирование и рассмотрены в описании,
прилагаемом к прибору. Приведенная на схеме линия за держки обеспечивает согласованную (синхронизированную)
во времени работы вертикальной и горизонтальной схем
отклонения.
Вход
Усилительаттенюатор
вертикального
отклонения
Внутрен- Внешняя
няя
Синхронизация
Линия
задержки
Внешний сигнал
синхронизации
Генератор
развертки
Усилитель
горизонтального
отклонения
Электроннолучевая
трубка
_
+
Высоковольтный
источник
Низковольтный
источник
Блок питания
Рис.7.3. Функциональная схема осциллографа
101
По назначению осциллографы подразделяются на уни версальные, запоминающие, стробоскопические, скорост ные и специальные. Постоянно совершенствуются схемотехнические решения отдельных узлов и элементов ЭО.
Вместе с тем, основные принципы работы различных типов
осциллографов в основном соответствуют приведенному вы ше описанию.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Ознакомиться со схемой установки, проверить правильность подключения генератора сигнала к осциллогра фу. Генератор подключается при помощи кабеля к каналу А
осциллографа (обозначение: A
1MΩ 25pF).
Установить средние значения регулируемых параметров
контура R, L, C и включить приборы. Для получения устойчивой картинки элементы управления осциллографа должны быть поставлены в положения, указанные в таблице:
Таблица установок элементов управления осциллографа
Группа
Элемент
Положение
элементов
управления
Синхронизация Уровень
Нажата
Режим
Ждущий
Источник
А
Пауза
Нажата
X-Y
Отпущена
Канал А
~
|
–―
-
~
~
Режим верт.
Канал Б
Развертка
102
V/дел.
2
Режим верт.
А
Не задействован
Плавно
Крайнее левое
Время/дел
2
Добиться устойчивого изображения электрического сиг нала свободных затухающих колебаний в контуре на экране
осциллографа (рис.7.1,а).
2. Определить зависимость длительности периода коле баний от величины емкости контура ( C ) при фиксированных значениях R и L . Для этого установить и поддерживать
в ходе дальнейших исследований неименным фиксирован ное значение индуктивности L .
Схема измерений может быть выполнена в одном из двух
вариантов. В первом варианте индуктивность может плавно
или дискретно изменяться в некоторых пределах. В этом
случае необходимо установить ее произвольное фиксиро ванное значение вблизи середины шкалы или возможного
диапазона изменений. В другом варианте индуктивность не
может изменяться и ее значение указано на схеме. Занести
в лабораторный журнал фиксированное значение L Гн.
Установить значение сопротивления контура вблизи се редины шкалы или возможного диапазона изменений. За нести в таблицу 1 значение R Ом.
Изменяя емкость от минимального до максимального
значения, измерить длительности периодов формируемых
колебаний. Результаты измерений занести в таблицу 1.
№ пп.
R =
Величина
C, Ф
Oм; L =
n
Гн; R L =

TЭ , мкс
TЭ 

n
Таблица 1
T р , мкс
Ом
Определение длительности периодов колебаний произво дится следующим образом. Измеряется горизонтальное рас стояние (в больших делениях) между выбранными точками
как показано на рис.7.1,а, после чего полученное растояние
умножается на коэффициент развертки (см. Приложение 3).
103
Экспериментальная величина периода колебаний равна:

TЭ  ,
n
(7.11)
где n -число периодов на интервале времени  .
Целесообразно отсчет величины  начинать относительно второй или третьей от начала отсчета амп литуды колебаний и принимать n  3 , как указано на рис.7.1,а.
Рассчитать теоретические значения периодов колебаний:
Tp 
2
2
 1   R  RL 


 
LC

  2L 
2
,
(7.12)
где R – сосредоточенное омическое сопротивление ,
RL – омическое сопротивление индуктивности.
Построить зависимость длительностей теоретических зна чений периода колебаний от величины емкости. Нанести на
полученный график соответствующие экспериментальные
значения длительностей TЭ .
При расчете погрешности теоретического значения ( T p )
2
1
 R  RL 
 
можно учесть, что в формуле (7.12)
 и тогда
LC
2
L


T p  2 LC . Тогда относительную ошибку этой величины
можно определить по формуле:
 Tp 
1
 L2  C 2
2
,
(7.13)
где  L и  C – относительные ошибки измерения L и C . Они
равны систематической погрешности измерения этих вели чин, деленной на соответствующее значение L и C .
104
Например, L  52 мГн, тогда L  0,5 мГн,  L 
0,5
 0,0096  1%
52
Рассчитав  Tp , нужно вычислить абсолютную ошибку
T p   Tp  T p .
(7.14)
При расчете TЭ надо указать величину систематической
ошибки TЭ :
TЭ 

,
n
(7.15)
где  – систематическая погрешность прибора при измерении  .
Делать вывод о совпадении или несовпадении T p и TЭ
надо с учетом ошибок измерения (см. рис. 7.4).
T p  T p
T p  T p
Tp
TЭ  TЭ
TЭ  TЭ
TЭ
Рис. 7.4
R  RL
L
 , относительную ошибку  T
2
C
можно рассчитать по формуле:
Учитывая, что
 T 
 L2
  C2

R 2  RL2
( R  RL )
2
,
(7.16)
где R и RL – систематические ошибки R и RL (например,
R  120,1 Ом, тогда R  0,05 Ом).
Абсолютная ошибка T   T  T , а ответ указываем в
виде:
 T   Tср  T .
(7.17)
105
Логарифмический декремент затухания  Э рассчитываем
по формуле (7.8). Относительную ошибку определения  Э
вычислим по формуле:
2
 Э
2
 A   A 
 
  
 ,
A
(
T
)
A
(
t

nT
)

 

(7.18)
где A – систематическая погрешность при измерении ам плитуды, A(T ) и A(t  nT ) – наибольшее и наименьшее значения амплитуд, измеренных в данном опыте.
3. Исследовать зависимость логарифмического декремен та затухания от сопротивления контура и определить доб ротность контура.
Для этого установить и впредь поддерживать неизменной
некоторую величину емкости (вблизи середины возможного
диапазона изменений). Занести указанную величину в лабо раторный журнал. Установить минимальное значение со противления контура и по шкале осциллографа определить
значения (рис.7.1,а) двух амплитуд A(t ) и A(t  nT ) , где желательно выбирать n  3 . Результаты измерений занести в
таблицу 2. Повторить измерения при всех положениях пере ключателя сопротивлений (или для 5 значений сопротив лений, если оно изменяется плавно).
Полученные результаты каждый раз заносятся в таблицу 2.
№ пп.
L =
Гн;
R , Ом
C=
Ф;
R  R L , Ом
RL =
Таблица 2
A(t ) , B
A(t  nT ) , B
Ом
Рассчитать экспериментальные значения логарифмичес кого декремента затухания  Э по формуле (7.8) и соответ106
ствующее значение добротности (QЭ ) по формуле (7.9). Результаты расчетов занести в таблицу 3.
Рассчитать и занести в таблицу 3 теоретические значения логарифмического декремента затухания и доброт ности:
 ( R  RL )

;
(7.19)
T 
QT 
.
2

T
L ( R  RL )

C
4
Рассчитать и занести в таблицу 3 величины отношений
 Э QЭ
,
.
 Т QТ
№ пп.
R  RL ,
Ом
Э
QЭ
Т
QТ
Э
Т
Таблица 3
QЭ
QТ
Построить графики зависимостей теоретических зн аний
 Т и QТ от величины сопротивления R  RL . Нанести на
указанные графики соответствующие экспериментальные
значения  Э и QЭ .
4. Определение критического сопротивления колебательного контура.
Установить минимальное значение емкости контура. Из меняя величину сопротивления R от минимального до максимального значения, наблюдать изменение формы собст венных затухающих колебаний. При
R  RL  Rкр
(7.20)
107
форма колебаний будет иметь вид апериодических колеба ний, приведенных на рис.7.1,б.
Если при минимальном значении емкости не удается до биться равенства (7.20), следует перейти к следующему
значению емкости контура, после чего, изменяя величину R
от минимального до максимального значения, продолжить
поиски условий, при которых будет соблюдаться условие
(7.20). Работа продолжается до тех пор, пока не будет опре делена величина Rкр или исчерпаны возможности магазина
емкостей.
После определения экспериментального значения Rкр.э
необходимо по формуле (7.6) рассчитать теоретическую ве личину Rкр.T и выполнить сравнительный анализ получен ных результатов.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Выведите дифференциальное уравнение затухающих ко лебаний.
2. По какому закону изменяется со временем заряд на об кладках конденсатора при затухающих колебаниях?
3. Сформулируйте определения фазы и начальной фазы ко лебаний.
4. Объясните, при каком значении R разряд конденсатора становится апериодическим.
5. Объясните, чему равен коэффициент затухания коле баний.
6. Сформулируйте определение времени релаксации.
7. Укажите соотношение между собственной частотой контура  0 и частотой затухающих колебаний  .
8. Покажите, как меняется амплитуда затухающих коле баний со временем.
9. Сформулируйте, что называется логарифмическим де крементом затухания  .
10. Покажите, как зависит величина  от параметров R, L, C .
108
11. Выведите выражение для зависимости полной энер гии системы от времени.
12. Сформулируйте определение добротности контура.
13. Выведите связь между величиной добротности и логарифмическим декрементом затухания.
14. Выведите связь между величиной добротности и сред ней мощностью потерь энергии в контуре.
15. Объясните, как сказывается на периоде колебаний из менение параметров системы:
а) ёмкости C ;
б) сопротивления R ;
в) индуктивности L.
16. Расскажите о принципах работы осциллографа.
17. Начертите функциональную схему осциллографа, расскажите о назначении отдельных блоков.
18. Расскажите о принципах работы измерительной уста новки.
19. Чему равна систематическая ошибка (прибора) изме рения времени t при измерении его при помощи осциллографа.
20. Оцените наибольшую для всех измерений относительную ошибку в определении  и, соответственно, TЭ .
21. Укажите систематические ошибки (прибора), с ко торыми измерены (или даны) величины R, RL , L, C .
22. Оцените, для какой из величин( R, RL , L, C ) относительная ошибка будет наибольшей; вычислите ее величину E max .
23. Сравните экспериментальные и рассчитанные теоретически значения периодов. Оцените абсолютную ошибку
Tэксп.  Tэксп.  E , где E – наибольшая относительная ошибка  .
24. Укажите, с какой точностью измерены значения ам плитуды A(t ) , A(t  nT ) , т.е. чему равна величина система тической ошибки (прибора) в этом случае.
25. Оцените величину наибольшей относительной ошибки при измерении амплитуд; для какого значения ампли туды она максимальна?
109
26. Укажите попадает ли теоретическое значение периода
Tтеор в интервал Tэксп  Tэксп В случае несовпадения приблизительно оцените абсолютную ошибку Tтеор через наибольшую из относительных ошибок величин R, RL , L, C (см. вопрос 7),
как Tтеор  Emax  Tтеор . Проверьте, не перекрываются ли интервалы Tэксп  Tэксп и Tтеор  Tтеор.
27. Сравните среднее значение a   Э  Т с единицей, рассчитайте абсолютную a и относительную ошибку этой величины E a . Если Ea  0.3 , обязательно выполните пункт 13.
28. Напишите возможные причины несовпадения  Э и
 T ; сравните величину E a и величины относительных ошибок, вычисленных вопросах (7) и (9), сделайте выводы.
29. Сравните среднее значение b  QЭ QТ с единицей, рассчитайте абсолютную b и относительную ошибку E b ; если
она больше 30%, обязательно выполните пункт (15).
30. Укажите возможные причины несовпадения QТ и Q Э ;
сравните величину E b и величины относительных ошибок,
вычисленных в вопросах 27 и 29.
110