2. Решение уравнения Шредингера для дискретного спектра

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
«Решение задач по курсу “Квантовая теория”»
для студентов, обучающихся по направлению 010700 «физика»
Ростов-на-Дону
2007
Методическое
пособие
разработано
ассистентом
теоретической и вычислительной физики Л.А. Авакяном.
кафедры
Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и
вычислительной физики физического факультета ЮФУ, протокол №___ от
“___”_____________2007 года.
2
Содержание
Содержание .................................................................................................................. 3
1. Операторы. Вычисление средних величин........................................................... 4
2. Решение уравнения Шредингера для дискретного спектра. .............................. 8
3. Соотношение неопределенности. Волновые пакеты. ....................................... 10
4. Теория представлений. Матрицы ........................................................................ 13
5. Атом водорода. ...................................................................................................... 15
Ответы и пояснения. ................................................................................................. 16
1. Операторы. Вычисление средних величин. ................................................... 16
2. Решение уравнения Шредингера для дискретного спектра .......................... 20
3. Соотношение неопределенности. Волновые пакеты. .................................... 22
4. Теория представлений. Матрицы ..................................................................... 25
5. Атом водорода.................................................................................................... 27
Рекомендуемая литература ...................................................................................... 30
3
1. Операторы. Вычисление средних величин.
1.1. Возвести в квадрат оператор
d
 x.
dx
d 1
 .
dx x
1.2. Возвести в третью степень оператор
1.3. Возвести в квадрат оператор
d2
 x3 .
2
dx
1.4. Проверить следующее операторное равенство:
2
d 
d
d2

1    1  2  2 .
dx dx
 dx 
2
2
d
d
1.5. Сравнить операторы  x  и  x  .
 dx 
 dx 
2
2
d
d
1.6. Сравнить операторы  x 2  и  x 2  .
 dx 
 dx 
2
 d2 
 d2
1.7. Сравнить операторы  x 2  и  2
 dx 
 dx
3
2

x  .

3
d
d
1.8. Сравнить операторы  x  и  x  .
 dx 
 dx 


1.9. Возвести в квадрат оператор i  A(r ) .
1.10. Найти коммутатор
d
d
xx
.
dx
dx
1.11. Найти коммутатор
d n
d
x  xn .
dx
dx
1.12. Найти коммутатор оператора x и оператора Лапласа.
1.13. Найти оператор, переводящий x  в x  a .



1.14. Найти оператор, переводящий r  в r  a  .
1.15. Найти оператор, переводящий  
в     , где   угловая
переменная (оператор поворота пространства на угол  ).
1.16. Найти оператор, эрмитово-сопряженный оператору
4

.
x
1.17. Проверить самосопряженность оператора i

.
y
1.18. Проверить самосопряженность оператора Лапласа.
1.19. Найти оператор эрмитово-сопряженный оператору трансляции на

вектор a из задачи 1.14.
1.20. Найти оператор, эрмитово-сопряженный оператору exp( i
1.21. Найти
оператор,

эрмитово-сопряженный

).

произведению

операторов A и B .
1.22. Показать, что среднее значение квадрата физической величины
является положительным.

и f ( x, y , z ) .
x
 
 
1.24. Перемножить операторы L  M и L  M .
1.23. Найти коммутатор оператора
1.25. Предполагая  малой величиной, найти разложение оператора
A  B 1 по степеням  .

1.26. Показать, что произвольный оператор L можно представить в виде

  

L  A  iB , где A и B  эрмитовы операторы.


1.27. Эрмитов оператор f удовлетворяет соотношению а) f 2  c 2 ;




б) f 2  cf ; в) f 3  c 2 f , где c  вещественный параметр. Каковы
собственные значения такого оператора?
1.28. Найти собственные функции и собственные значения операторов
d
d
иi .
dx
dx
1.29. Найти собственные функции и собственные значения оператора
x
d
.
dx
1.30. Найти собственные функции и собственные значения оператора
d
.
d
5
1.31. Найти собственные функции и собственные значения оператора
sin
d
.
d

d2
1.32. Найти собственное значение оператора A   2 , принадлежащее
dx
собственной функции   C sin 2 x , C  постоянная.
1.33. Найти собственные функции и собственные значения оператора
cos(i
d
).
d
1.34. Найти собственные функции и собственные значения оператора
exp( ia
d
).
d
1.35. Найти собственные функции и собственные значения оператора
d2 2 d
.

dx 2 x dx
1.36. Доказать самосопряженность оператора момента количества

 
движения L  r  p .
1.37. Пусть f  p, x  целая функция операторов pk , xk . Показать, что из
коммутационных правил следуют соотношения
f
  f , pk  ,
xk
f
  f , xk  .
pk
1.38. Пусть
A  среднее значение не зависящего явно от времени
оператора A в состоянии  , которое меняется с течением времени.
Выяснить, как меняется
A со временем. Что можно сказать об
изменении средних значений xk и pk ?
1.39. Показать, что основное уравнение классической ньютоновской
динамики
частицу,
dp
 F , где p  импульс, F  сила, действующая на
dt
для
пространственных
средних
ожиданий) имеет место и в квантовой механике.
6
(математических
1.40. Показать, что для пространственных средних, классическая связь
между моментом количества движения L  r  p и моментом силы
T  r  F (здесь p  импульс, а F  сила)
dL
 T имеет место и в
dt
квантовой механике.
1.41. Частица находится в сферически-симметричном потенциальном
поле
в
состоянии,
описываемом
нормированной
волновой
функцией
 (r ) 
1 exp( r a)
,
r
2a
где r  расстояние от центра поля, a  постоянная. Найти r .
1.42. Для
частицы,
 x   A exp( 
состояние
которой
описывается
функцией
x2
 ik 0 x) , найти средние координату и импульс.
a2
1.43. Для условий задачи 1.43 вычислить x 2 , p 2
соотношение неопределенностей.
7
и проверить
2. Решение уравнения Шредингера для дискретного спектра.
2.1. Частицы находится в одномерной потенциальной яме 0  x  a ,
внутри которой V  0 , а вне V   . Найти решение стационарного
уравнения Шредингера для этого случая.
2.2. Частицы находится в одномерной потенциальной яме  a  x  a ,
внутри которой V  0 , а вне V   . Найти решение стационарного
уравнения Шредингера для этого случая.
2.3. Показать, что среднее значение силы, действующей на частицу в
стационарном состоянии дискретного спектра, равно нулю.
2.4. Доказать, что состояния дискретного спектра в одномерном случае
не вырождены.
2.5. Частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме.
Вычислить среднюю силу, с которой частица действует на каждую
из стенок ямы в стационарном состоянии.
2.6. Решить уравнение Шредингера для частицы в бесконечно глубокой
сферически
симметричной
потенциальной
яме,
задаваемой
потенциалом
 0, при r  a
V r   
, при r  a
2.7. Частица заключена внутри трехмерного потенциального ящика с
потенциальной энергией вида:
 ax  x  ax
 0,
 0,
 ay  y  ay

V  x, y , z   
 az  z  az
 0,
, остальные случаи.
Найти возможные значения энергии и волновые функции
состояний, соответствующих этим значениям энергии.
8
2.8. В стационарных состояниях частицы из задачи 2.1 найти функцию
распределения по координатам, среднее значение этой величины и
ее флуктуацию.
2.9. Найти среднюю кинетическую энергию и ее флуктуацию в
стационарных состояниях из задачи 2.2.
2.10. Состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме
ширины a ( 0  x  a )описывается волновой функцией вида:
 x 
  x   B sin 2   . Найти распределение вероятностей различных
a
значений
энергии
частицы,
среднее
значение
и
средне
квадратичную флуктуацию энергии.
2.11. Состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме
ширины a ( 0  x  a )описывается волновой функцией вида:
  x   Ax ( x  a) . Найти распределение вероятностей различных
значений
энергии
частицы,
среднее
значение
и
средне
квадратичную флуктуацию энергии.
2.12. Найти связанные состояния и соответствующие им собственные
значения в случае прямоугольной потенциальной ямы (см. рис.)
вида
 V ,
V x    0
 0,
9
для x  a
для x  a
3. Соотношение неопределенности. Волновые пакеты.
3.1. Показать, что если два оператора
перестановочному соотношению
эрмитовы,
то
имеет

A

и B
A, B   iC
место
удовлетворяют


, причем A и B 
следующее
соотношение:
2
C
A 2  B 2  4 .


3.2. Найти соотношение неопределенности для операторов q и F ( p) ,


если q и p удовлетворяют перестановочному соотношению
  
qp  pq  i .

Указание. Считать функцию F ( p) заданной в виде ряда
Тейлора.
3.3. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной
яме с очень высокими «стенками». Ширина ямы l . Оценить с
помощью
соотношения
неопределенности
силу
давления
электрона на стенки ямы при минимально возможной его энергии.
3.4. Оценить энергию электрона на K оболочке атома с порядковым
номером Z в нерелятивистском и релятивистском случае.
3.5. Оценить энергию основного состояния двухэлектронного атома,
заряд
ядра
которого
равен
Z,
с
помощью
соотношения
неопределенности.
3.6. Оценить энергию основного состояния осциллятора, используя
соотношение неопределенности.
3.7. Найти
общее
решение
одномерного
временного
уравнения
Шредингера для свободной частицы.
3.8. В момент времени t  0 свободная частица описывается функцией
 x   A exp( 
x2
 ik 0 x) . Определить коэффициент A и область, где
a2
локализована частица. Найти плотность тока j.
10
3.9. Найти коэффициенты Фурье для функции, приведенной в задаче
3.8, и определить ширину волнового пакета в k  пространстве.
3.10. Рассмотреть поведение волнового пакета во времени, если в t  0
он
представляется
функцией
x2
x,0  A exp( 2  ik 0 x)
a
.
Определить x, t  , плотность вероятности  x, t  и плотность тока
j x  x, t  .
3.11. Волновая функция свободной частицы в момент времени t  0
задана следующим образом   x,0    x  exp( ip0 x ) . Функция
 x,0 действительна и заметно отличается от нуля лишь для
значений x , лежащих в области    x   . Определить в какой
области значений x будет отлична от нуля волновая функция в
момент времени t .
3.12. Найти изменение волновой функции, заданной в момент времени
t  0:
а) свободное движение
 r,0 
1
2 
3
2
 ip r 
exp 0  ;
  
б) движение в однородном поле
 r,0 
1
 
2
3
4
 ip 0 r r 2 
exp
 2 ;
2 
 
в) движение частицы в потенциальном поле V 
 2 x 2
2
 ip 0 x  2  x  x0 2 

 ,  
  x,0  c exp

.

2



3.13. Поскольку уравнение Шредингера является уравнением первого
порядка по времени,  t  однозначно определяется заданием  0  .


Запишем эту связь в виде  t   S t  0 , где S t   некоторый
оператор.
11

а) Показать, что оператор S t  удовлетворяет уравнению

dS t   
i
 HS t 
dt


и является унитарным оператором, т.е. S   S 1 .


б) Показать, то в случае, когда H не зависит от времени, S t 
имеет
вид

i 
S t   exp( Ht ) .


3.14. Определить зависящий от времени оператор координаты x (в
координатном представлении) для:
а) свободного движения частицы,
б) осциллятора.
3.15. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, определить
зависимость
от
времени
дисперсии
свободного движения.
12
координаты
в
случае
4. Теория представлений. Матрицы
4.1. Дана волновая функция (x) в координатном представлении.
Найти волновую функцию в импульсном представлении (p).
4.2. Частица
находится
в
бесконечно
глубокой
одномерной
4 2  2
потенциальной яме в состоянии, отвечающем энергии Е2 
.
2ma 2
Определить для нее распределение по импульсам.

4.3. Найти оператор x в импульсном представлении и определить его
собственные функции и спектр собственных значений.
4.4. Для частицы, находящейся в однородном потенциальном поле,
определить
собственные
значения
и
собственные
функции
оператора энергии в импульсном представлении.
4.5. Определить матричные элементы дипольного момента, x 2 и p для
частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме,
расположенной в области 
a
a
x .
2
2
4.6. Найти волновые функции в x  и p  представлениях для частицы,
локализованной в точке x 0 , и для частицы, движущейся с
определенным импульсом p0 .

4.7. Найти оператор p в координатном представлении и определить его
собственные функции и спектр собственных значений.
4.8. Найти оператор
1
в импульсном представлении.
r
4.9. Найти оператор
1
в координатном представлении.
p
4.10. Найти вид оператора
4.11. Найти оператор
1
в импульсном представлении.
r2
1
в импульсном представлении.
x
13
4.12. Найти
в
состояния
импульсном
представлении
частицы,
которая
волновую
функцию
имеет
вид:
x  C expip0 x   ( x  x0 ) 2 2a 2  , где p0 , x 0 , a  вещественные
параметры.
14
5. Атом водорода.
5.1. Решить уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода.
5.2. Найти составляющие плотности тока для электрона в атоме
водорода.
5.3. Электрон находится в атоме водорода в основном состоянии.
Определить для этого случая r , r 2
и наиболее вероятное
значение r0 .
5.4. Найти волновую функцию и спектр энергии атома водорода,
учитывая движение ядра.
5.5. Показать, что в основном состоянии атома водорода:
а) 1 r  1 a ,
б) 1 r 2  1 a ,
2
2
где a  2 .
e
5.6. Электрон атома водорода находится в стационарном состоянии,
описываемом волновой функцией  r   A exp  r  , где A и
  некоторые постоянные. Найти энергию E электрона и
постоянную  .
5.7. Найти средний электростатический потенциал  0 , создаваемый
электроном в центре атома водорода, если электрон находится в
основном состоянии, описываемом нормированной   функцией
 r   A exp  r r1  , где A  1 r13 , r1  первый Боровский радиус.
5.8. Найти наиболее вероятное расстояние электрона от ядра атома
водорода в состоянии 2 p .
15
Ответы и пояснения.
1. Операторы. Вычисление средних величин.
1.1. Применяя двукратно оператор к произвольной функции  , получим
2
d
d

d
 d
 d
 x  
 2x
 x 2   ,
  x      x 
2
dx
dx
dx
dx
dx





2
и, следовательно,
2
d2
d
d

2
  x   2  2x  x  1.
dx
dx
 dx

1.2.
d3 3 d2

.
dx 3 x dx 2
1.3.
2
d4
3 d

2
x
 6x  x 6 .
4
2
dx
dx
1.4. Имея в виду, что Qˆ 2  Qˆ (Qˆ  ) , запишем:
 
 
   2 

2 




 1  2  2  .
1   
  
x 
x
x x 2 
x x 
 x 
Равенство, таким образом, доказано.
2
2
d
d2
d
d
d2
d
1.5.  x   x 2 2  x ;  x   x 2 2  3x  1 . Операторы различны.
 dx 
dx
dx  dx 
dx
dx
1.6. Операторы различны.
1.7. Операторы различны.
1.8. Операторы различны.
1.9.   2   2i( A  )  idiv( A)  A2 .
1.10. Действуя оператором
d
d
xx
на произвольную функцию, имеем:
dx
dx
d
d
d 
d
d
d
xx
1
( x )  x
  , т.е.
 x  x  
dx
dx
dx 
dx
dx
 dx
1.11. nxn-1.
16
1.12. 2

.
x
1.13. Определим оператор T̂a равенством
Tˆa ( x)   ( x  a)
и представим  ( x  a) в виде ряда по степеням a:
 ( x  a )   ( x)  a
Замечая, что


d a 2 d 2
an d n


...

 ( x) .

n
dx
2! dx 2
n 0 n! dx
n
 n!  e , можем записать
n 0
Tˆa  e
a
d
dx
.
1.14. Подобно задаче 1.13 определим оператор Tˆa равенством

 
Tˆa (r )   (r  a )



и, разлагая  (r  a ) в ряд вблизи точки r , получаем:
 
T̂a  e a .
1.15. По определению, Tˆ ( )   (   ) , и, представляя
n
 d 


 
d 

 (   )  
 ( ) ,
n!
n $0
n
d


 d  1
замечаем, что Tˆ      e d .
d  n!
n 0 
1.16. 
d
.
dx

  

1.17.  i   i .
y
 y 
1.18.    .


1.19. Ta  T a .
 i 
1.20.  e 



i

  e  (если  действительно).


1.21. ( Aˆ Bˆ )   Bˆ  Aˆ  .
17
1.22.  2   | Lˆ2 |   Lˆ | Lˆ   Lˆ  | Lˆ  | Lˆ  | 2  0 .
1.23.
f ( x, y, z )
.
x
1.24. ( Lˆ  Mˆ )( Lˆ  Mˆ )  Lˆ2  Mˆ 2  ( Lˆ Mˆ  Mˆ Lˆ ) .
1
1.25. Записав Aˆ  Bˆ    n Cˆ n , умножим обе части равенства слева на
n
Aˆ  Bˆ . Приравнивая в получающемся соотношении члены при одинаковых
степенях , находим:
Aˆ Cˆ n 1  Bˆ Cˆ n ,
Сˆ т 1  Aˆ 1 Bˆ Cˆ n ,
Cˆ 0  Aˆ 1 ,
так что искомое разложение имеет вид
Aˆ  Bˆ 
1

 Aˆ 1  Aˆ 1 Bˆ Aˆ 1  ...  Aˆ 1  n Bˆ Aˆ 1

n
.
n
1.26. Aˆ  Lˆ  Lˆ / 2,


Bˆ  Lˆ  Lˆ / 2i .
1.27. а) f1, 2  c ; б) f1  0, f 2  c ; в) f1  0, f 2,3  c . Никаких других с.з. быть
не может.
1.28.    e x ,  - чисто мнимое число;    e ix ,  - вещественное число. В
обоих случаях спектр непрерывный.
1.29.    Ce
x 
x2
2
,  - произвольное комплексное число (спектр
непрерывный).
1.30.   ( )  Ce  ,   im , где m = 0,±1, ±2,….
1.31.  m ( )  Ce im , с.з.   sin( im) , m – целое число.
1.32. По определению собственных функций и собственных значений
оператора,
имеем: 
2
  A .
x 2
Подставив
сюда
продифференцировав, получим собственное значение A=4.
1.33.  m ( )  Ce im , с.з.   cos(m) , m – целое число.
1.34.  m ( )  Ce im , с.з.   a  am , m – целое число.
1.35.   ( x)  C
sin x
,  - вещественное число.
x
18
функцию  и
 
 
1.36. Ограничится доказательством для оператора Lˆ x  i y  z  .
 z
y 
1.37. Функцию f  pˆ , xˆ  всегда можно представить через произведение и
сумму операторов p̂ и x̂ . Поэтому, достаточно доказать эти соотношения
для f  pˆ и f  xˆ , а также показать, что они выполняется и для функций
вида f  c1 g1  c2 g 2 и f  g1 g 2 , при условии что функции g1,2 заранее
удовлетворяют доказываемым равенствам.
1.38.
 
d
Hˆ
d
Hˆ
d
 x k   |
|  ,
 p k     |
|  .
 A   | Hˆ , Aˆ |   .
dt
dt
pˆ k
dt
xˆ k
Таким образом, средние значения подчиняются каноническим уравнениям
классической механики.
1.39. Аналогично предыдущей задачи.
1.40. Аналогично предыдущей задачи.
1.41. В данном случае, нужно учесть, что интегрирование проводится по
всему пространству. Эту задачу лучше решать в сферической системе
координат, элемент объема в которой имеет вид: dV  r 2 drd . Тогда:


e 2 r / a
2
r    * rr drd  
4r 3 dr   e 2 r / a rdr (здесь учтено, что интеграл по
2
a0
0 2ar
2
всему телесному углу  d  4 ). Полученный интеграл по r берется по

частям. В результате получаем <r>=a/2.
1.42.  x  0 ,  p  k 0 .
1.43.  x 2 
a2
2
2
,  p 2  2 .  x 2  p 2  .
2
4
2a
19
2. Решение уравнения Шредингера для дискретного спектра
2.1. Разбить все пространство на три области: I (x<0), II (0<x<a), III(x>a) и
сшить решения для каждой области в точках x=0 и x=a. В результате
получим:
2  nx 
n 2 2  2
,
sin 
,


0
;
E

 III
n
a  a 
2ma 2
 I  0, II 
где n=1,2,3….
2.2.
En 
n 2 2  2
1
1
 nx 
 nx 
; I , III  0, II 
cos
sin 
, n - нечетное, II 
, n - четное .
2
8ma
a
a  2a 
 2a 
2.3.  F  
U ( x)
U ( x)
   ( x)e iEnt / 
 ( x)e iEnt /  dx  const (t ) .
x
x
2.4. Доказательство вести от противного.
2.5. Сила, действующая на частицу в состоянии с номером n: Fn 
2.6.  nlm (r , ,  )  e im Plm (cos  )
1
r
l  1 (k n r ), k n  bn(l ) , E n(l ) 
2
n 2 2  2
2ma 2
 2 (bn(l ) ) 2
,
2ma 2
где Plm(cos()) – полиномы Лежандра, k(x) - функции Бесселя, bn(l) – корни
уравнения l  ( x)  0 .
1
2

2.7.  n n n (r ) 
1 2 3
E n1n2 n3
 2 2

2m
 n   x   n2  y   n3  z 
8
 sin 
 sin 
,
sin  1
 a   a 
ax a y az
a
x
y
z


 
 
 n12 n22 n32 
 
 .
a
a
a z 
y
 x
n1, n2, n3 – положительные целые числа, начиная с единицы.
nx 
;
 a 
2.8. Плотность вероятности  ( x) |  ( x) |2  sin 2 
2
a
 x 
a
a2
, (x) 2  .
2
12
20
2.9. В данном случае Eˆ кин  Hˆ , т.к. потенциальная энергия равна нулю в
области, где волновая функция ненулевая. Тогда:
 Eкин  n | Hˆ |  n  n | En |  n  En   n | n  En ;
2
 Eкин
 n | Hˆ 2 | n  Hˆ  n | Hˆ  n  En n | En n  En2   n | n  En2 ;
Eкин  Eкин 2    Eкин  2  0 .
 Aex , x  0


2.12.  ( x)   sin( kx)   cos( kx),

 Ae x , x  a

где   
2mE
, k
2
0 xa
2m(V0  E )
.
2
Уровня энергии являются корнями уравнения: 2  k 2  2kctg(2ka)  0 .
21
3. Соотношение неопределенности. Волновые пакеты.
3.1. Воспользоваться неравенством Коши-Буняковского в следующей
для векторов   ( Aˆ  A ) и
форме:   |      |  |  |  |2 | Im   |  |2
  ( Bˆ  B ) .
3.2. Нетрудно убедится, что [qˆ, pˆ n ]  i(2 pˆ ) n1 . Тогда:


 
n
n
[qˆ , F ( pˆ )]  qˆ ,  an pˆ    an [qˆ , pˆ ]  a0 qˆ  i  an (2 pˆ ) n1 .
n 1
 n 0
 n 0
Воспользовавшись результатом задачи 3.1 получим:
1
 

 (q) ( F ( p))   a02 q 2   2   an (2 p ) n1 
4 
 n1

2

.


3.3. В данном случае x  l . Кроме того, при минимальной энергии можно
считать, что p x  p . Тогда согласно соотношению неопределенности,
p   / l и полная энергия электрона в яме (учитывая, что потенциальная
энергия здесь равна нулю) определяется как
EK
p2
2

.
2m 2ml 2
Теперь представим себе, что одну из стенок ямы отодвинули на малое
расстояние dl. Это значит, что сила F, с которой электрон действует на эту
стенку, совершила работу Fdl за счет убыли энергии E:


Fdl  dE   2 / ml 3 dl .
Отсюда искомая сила F   2 / ml 3 .
3.4. E0 ~ 
1 Z 2 m2e4
.
2 2
3.6. E0 ~  .
3.7. Ищем частное решение уравнения i
 ( x, t )
 2  2  ( x, t )

в виде
t
2m x 2
 ( x, t )  U ( x)   (t ) , т.к. уравнение допускает разделение переменных. Тогда
22
i d
 2 d 2U

 const .
 dt
2mU dx 2
Чтобы U(x) было конечным при |x| должно постоянная const должна
быть положительной. Обозначая
 (t )  e
2m  const
 k 2 , получаем
2


i k 2
t
2m
U ( x)  e ikx ,
;
где k – любое вещественное число. Общее решение имеет вид:

( x, t )   C (k )  e
ikxi
k 2
t
2m
dk .

Нормировочный
3.8.

 |  ( x ,0) |
2
dx  1
.
коэффициент
Подставляя
A
определяется
из
-функцию,
заданную
условия
получим


| A|
2
x
e
2
/ a2
dx | A | 2 a   1 , откуда

| A |2 
1
a 
.
Чтобы определить область локализации частицы, следует найти
 ( x) | ( x,0) |2 | A |2 e  x
2
/ a2
.
Эта функция имеет максимальное значение в точке x=0 и быстро убывает
при |x|>a. Ширина пакета, задаваемого такой функцией, порядка a.
Плотность тока:
x2
k  2 k
i   
 
 
 | A |2 0 e a  0  .
jx 
 
2m 
x
x 
m
m
Конечное значение для jx совпадает с классическим, причем
k 0
является
m
аналогом классической скорости частицы.
3.9. Представим, согласно решению задачи 3.7,  (x,0) в виде пакета волн:

 ( x ,0 ) 
 C (k )  e
ikx
dk . Отсюда

23
1
C (k ) 
2

 ( x,0)e
ikx

Aa 
dx 
e
2
a 2 ( k0  k ) 2
2
.
Значение C(k) отлично от нуля вблизи k = k0. Выражение
| C (k ) |2 
A 2 a 2  a 2 ( k0  k ) 2
e
dk
2
пропорционально вероятности найти частицу с волновым числом в
интервале k-(k+dk); k~1/a определяет ширину пакета в k-пространстве.

3.10. Взяв из задачи 3.7 решение ( x, t )   C (k )  e
ikxi
k 2
t
2m
dk и подставив C(k)

из решения задачи 3.9, получим:
( x, t ) 
Aa
2


a 2 k02 
k 2t a 2 k 2
2

dk .
exp
ikx

i


a
kk

0
 
2m
2
2 

Этот интеграл сводится к интегралу Пуассона после выделения полного
квадрата в показателе экспоненты. В результате получаем плотность
вероятности:
2
 
k 0 t  
x





| A |2
m  

2

 |  | 
exp 
.
 
 2t 2  2 
 2t 2
 1  2 4   a 
1 2 4
m a
  m a 

Это выражение показывает, что максимум кривой вероятности
передвигается со скоростью
k 0
, а ширина этой кривой растет со временем
m
 2t 2
как a(t )  a 1  2 4 .
m a
Плотность потока можно представить в виде:
tx
k
ma 4 k 0
i  
 
 
   0
.
jx 
 
2m 
x
x 
m
 2t 2
1 2 4
m a
1


3.12.  (r , t ) 
 
1
ip0 r /   p02t /( 2 m )
e
.
(2) 3 / 2
24
4. Теория представлений. Матрицы
4.1.  ( p) 
1
2

  ( x )e
ipx / 
dx .

4.2. Волновая функция частицы в импульсном представлении имеет вид:
1
e ipa /   1
4a 2 2 2
4   p 2 a 2
2ah
 ( p) 
и, следовательно, вероятность найти эту частицу с импульсом, лежащим в
интервале [p,p+dp], равна
 pa 
32a 3 sin 2  
 2  dp .
dW ( p) |  ( p) |2 dp 
2 2
2 2 2
a p  4 

4.3. xˆ  i


,  x ( p)  Ce ixp /  , с.зн. x принимает любые вещественные
p
значения.

4.4. Для частицы в однородном потенциальном поле Vˆ  Axˆ  Ai
(см.
p
задачу 4.3). Уравнение для собственных функций оператора энергии в
импульсном представлении имеет вид:
p2

  iA
 E .
2m
p
Разделим переменные:
d


p2

i  p 2
 Ep 

2m dp , откуда  ( p)  Ce A 6 m  .
E
iA
E
Конечность  E ( p) обеспечена при любом вещественном E, т.е. спектр
энергии непрерывный. Постоянную C определяем из условия нормировки:




E
( p) E ' ( p)dp | C |

2
e
i
( E ' E ) p
A
dp   ( E  E ' ) .

1
Так как  ( E  E ' ) 
2

e
i ( E  E ') y
dy , то | C |2  1 2A .

25
4.5.  n | ex | m  (1)
n  m 1
2
8aemn
 2 n 2  m 2 
2
если n и m имеют разную четность. В
других случаях  n | ex | m  0 .
 n | x 2 | m  (1)
 n | x 2 | m 
nm
2
8a 2 nm
 2 n 2  m 2 
2
4a 2 n 2  m 2
 2 n 2  m 2 2
если n и m четные;
если n и m нечетные;
 n | x 2 | m  0 если n и m имеют разную четность.
 n | p | m  0 если n и m имеют одинаковую четность.
 n | p | m  (1) nm1
 4mn
если n и m имеют разную четность.
ia n 2  m 2
4.6. Для локализованной в точке x = x0 частицы:  x ( x)   ( x  x0 ) ,
0
 x ( p) 
0
1 ix0 p / 
e
.
2
Для частицы движущейся с импульсом p0:  p ( x)  eip x /  ,  p ( p)   ( p  p0 ) .
0
0
0
4.7. Оператор импульса в собственном представлении сводится к
умножению на величину импульса: pˆ  p . Собственные функции
 p ( p )   ( p  p0 ) , собственные значения p пробегает все действительные
0
числа (см. задачу 4.6).
4.8. Оператор
1̂
в импульсном представлении является интегральным
r
оператором с ядром K ( p, p' ) 
1
1
.
2  ( p  p' ) 2
2
x
1̂
i
4.9.  ( x)   ( x' )dx' .
p
 
4.10. Ядро искомого оператора имеет вид: K ( p, p' ) 
1̂
x
4.11.  ( p)  
4.12. ( p) 
p
i
 ( p ' )dp ' .
 


a2
2
C exp   i p  p0 x0   a 2  p  p0  2 .

26
1
1
.
2
4 | p  p'|
5. Атом водорода.
5.1. En  
Z 2 e 4
2 2 n 2
(n=1,2,3...),
n 1
 nlm  Rnl (  ) Plm (cos  )e im  e   / n  ak  k  Plm (cos  )e im ,
k l
где l=0,1,2,…,n-1, m=0,±1, ±2,…, ±l и ak 
aБ 
2k / n  1
ak 1 ,   r / aБ ,
k (k  1)  l (l  1)
2Z
.
e 2
Степень вырождения уровня En равна n2.
5.2. jr  0,
j  0,
j 
m
|  nlm |2 .
r sin 
5.3. Электрон в основном состоянии характеризуется квантовыми числами:
n = 1, l = 0, m = 0. Согласно задаче 5.1 этому состоянию соответствует
функция  100  Ce  r / a . Константа C определяется из условия нормировки:

  x n

2
2
2 r / a 2
2
3
  e x dx  n!
.
|

|
dV

4

|
C
|
e
r
dr


|
C
|
a

1
 100
0


0

Тогда | 100 | dV выражает вероятность обнаружить электрон в объеме dV, и
с ее помощью вычисляем:

3
 r   r |  100 |2 4r 2 dr  a ;
2
0

 r 2   r 2 |  100 |2 4r 2 dr  3a 2 .
0
Наиболее вероятное значение r0 соответствует максимуму радиальной
функции
распределения
| 100|2 r 2  C 2 e 2r / a r 2
,
который
определяется
стандартными методами математического анализа. В результате получаем
r0=a.
27
5.4.   FP ( RC ) lmn (r , , ) , En,P
меняется непрерывно,  

2
PRC
4

i
P
e

 2 2 , где FP ( RC )  e  вектор P
2(m  M ) 2 n
mM
, m и M соответственно массы электрона и
mM
ядра.
5.5. Доказывается путем взятия соответствующих интегралов.
5.6. В данном случае уравнение Шредингера для радиальной части будет
иметь вид
 2 2  2m 
e2 

  0 .


E

r 
r 2 r r  2 
Вычислив первую и вторую производные  -функции, подставим их в это
уравнение и сгруппируем следующим образом:
2me 2  1
 2 2mE  

  0.



2




 2  
 2  r

Из этого соотношения видно, что равенство его нулю при любых
значениях r возможно лишь в том случае, когда обе скобки по отдельности
равны нулю. Отсюда
E
 2 2
2m

,
me 2
.
2
5.7. Заряд электрона в 1s состоянии – это заряд сферически-симметричного
электронного облака, плотность которого   e (r ) . Выделим мысленно
2
тонкий сферический слой с радиусами r и r+dr. Полный заряд этого слоя
dq    4r 2 dr
создает
в
центре
атома
потенциал
d  dq / r
.
Проинтегрировав последнее выражение по r от 0 до , получим искомый
потенциал:

 0   d  
0

r
4r 2 dr  4 A

2
e
 2 r / r1
rdr .
0
Обезразмерив интеграл, получим:
28
0  

e x
e
e xdx   .

r1 0
r1
Этот интеграл берется по частям или из таблиц интегралов.
5.8. В 2p состоянии электронное облако не является сферическисимметричным. Найдем сначала вероятность dP обнаружения электрона в
элементе объема dV  r 2 drd :
dP   dV  R(r )Y ( ,  ) r 2 drd
2
2
Для того чтобы найти вероятность пребывания
электрона в сферическом слое радиусами r и r+dr
нужно
проинтегрировать
это
выражение
по
телесному углу d:
dP  R(r ) r 2 dr  Y ( ,  ) d .
2
2

Интеграл по телесному углу здесь не зависит от r, то есть, это некоторое
число, которое мы обозначим символом B. Тогда
dP  B R (r ) r 2 dr
2
и плотность вероятность в расчете на единицу толщины слоя:
dP / dr  Br 2 R (r )
2
Для 2p состояния радиальная часть волновой функции имеет вид:
R(  )  C 2 e  
где  
r
, r1 – первый Боровский радиус. Тогда плотность вероятности:
r1
dP / dr ~  2 R 2 (r ) ~  4 e   .
Функция f (  )   4 e   имеет максимум. Найдем значение  , при котором
он будет наблюдаться. Для этого продифференцируем f (  ) по  и
полученный
результат
приравняем
к
нулю.
В
результате
получим  в ер  4 или r = 4r1. Заметим, что найденное значение соответствует
второму Боровскому радиусу.
29
Рекомендуемая литература
1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Том 3. - М.: Наука.
1974. 752 с.
2. В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган. Задачи по кантовой
механике. - М.: Наука. 1992. 880 с.
3. Л.Г. Гречко и др. Сборник задач по теоретической физике. - М.:
Высшая школа. 1972. 336 с.
4. З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. Том 1. - М.: Мир. 1974. 341 с.
5. И.Е. Иродов. Квантовая физика. Основные законы. Изд.3. М.: Бином.
2007. 256 с.
30