Какой импульс больше по величине, фотона или протона в

Министерство высшего образования РФ
Томский политехнический университет
Физико-технический факультет
Кафедра 12
Теор-практикум
по дисциплине
“Теоретическая физика”
Подготовил: проф.
Трясучёв В.А.
Томск-2009
1
Часть.1.
Задание №1
Повторим математику.
1. Найти корни уравнения (arctgx )  0 .

2.Вычислить  x  sin 2 (3 x)dx
0
3.Записать ряды Маклорена для функций, используя известные
1 x
1 x
разложения:
.
e  x1 , sin( 3  x), lg(
),
1 x
1 x
4.Исследовать функцию
f ( x) 
x3
2(1  x) 2
и построить эскиз графика.
5. Найти все значения корня (формула Муавра)
(1  i 3) 7
3
( 1  i ) 4
и изобразить их на комплексной плоскости.
6. Найти общее решение
y(4) + y′ =0.
7. Записать общее решение дифференциального уравнения
y″ + 9y = 0 в трёх разных видах (формах).
Векторы и произведения векторов.
8. Даны векторы в координатной форме



a  {1,0,5}, b  {0,1,3}, c  {1,1,3}.
8a) Вычислить
             
a  c ; a  b ; a  c ; c  a; a  b  c ; b  c  a.
  
8б) Найти высоту пирамиды построенной на векторах a , b , c , опущенную
 
на плоскость векторов a ,b .
9. Распознать и изобразить кривые второго порядка:
y  3 1  x 2  2; 16 x 2  9 y 2  144; x    y;   3  cos .
2
Задание №2
Преобразования Галилея и Лоренца.
Теория. Что такое абберация света? Что измерялось в опытах Физо и Майкельсона?
Каковы результаты этих опытов? Почему результат опыта Майкельсона называют
отрицательным?
1. Две частицы с массой m1 и m2 связаны абсолютно упругой
пружиной ( F (1, 2)  F (2,1)  k (r2  r1 ) ). Записать уравнения Ньютона
для этих частиц в системе К и К′ (см. лекцию).
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
3
К в инерциальную систему и К′ (см. лекцию), оставляющих
неизменными фронт световой волны.
Указание: приравнять [ ]2x’t’=0.
Закон сложения скоростей в СТО. Скорости частиц во встречных
пучках равны: а) v1 = 1/3c = - v2; b) v1 = 2/3c = - v2; 3) v1 =0,99c = v2, где с-скорость света. Определить скорость одной частицы в
системе отсчета, в которой другая покоится. Нарисовать эскизы
относительного движения систем отсчета и частиц в них; сделать
выводы.
Записать ряды Маклорена для t|| и t в галилевской интерпретации
опыта Майкельсона.
В системе К частица движется по закону x = 0; y = 0; z = - ct. Найти
с помощью преобразования Галилея и Лоренца ее скорость в
системе К′, движущейся со скоростью V (см. лекции). Выводы.
Звезда расположена под углом α к горизонту, то есть
v  (c cos  , c sin  , 0) . Найти проекции скорости света для
наблюдателя, движущегося со скоростью V, и угол, под которым он
увидит звезду. Что можно сказать о количестве и цвете звезд,
наблюдаемых в носовой и кормовой иллюминаторы?
Расстояние до звезды α-Центавра равно 4,3 световых года.
Космический корабль полетит со скоростью v = 0,95c, где c −
скорость света. На сколько суток надо запасать продукты, если: а)
космонавты не учили СТО; b) они ее учили.
Вывести формулу для ускорения тела, равномерно движущегося
по окружности.
Из пункта А в пункт В вниз по реке пароход плывет сутки, а обратно
двое. За какое время можно сплавится из А в В на плоту?
Задание №3
1. Решить задачу о движении заряженной частицы в постоянном
2.
3.
4.
5.
6.
электрическом поле  с нулевыми начальными условиями v(0)
= r(0) = 0 с помощью уравнения Ньютона. Эту же задачу решить
с помощью уравнения Эйнштейна – Ньютона. Сравнить
полученные результаты. (Построить графики v(t) и r(t) = x(t).
Результат объяснить. Определить типы кривых x=f(t)), в каждом
из рассмотренных случаев.
Вывести связь между работой силы и кинетической энергией
релятивистской частицы (доказать правильность формул (9.4),
(9.6), (9.7) по лекциям. Провести сравнения с подобными
результатами механики Ньютона.
Вычислить энергию необходимую для того, чтобы частице
массой 1г сообщить скорость 0,9с, с – скорость света. Вычислить
энергию необходимую для увеличения скорости у этой частицы
от 0,9с до 0,95с; тоже -- от 0,95с до 0,99с. Результат объяснить.
Найти длину n-ой трубки дрейфа ЛРУ, если частота
ускоряющего поля , а энергия приобретаемая в зазоре eΔU.
Проверить на -радиоактивность изотоп 239Pu и вычислить
импульсы и кинетические энергии продуктов распада Проверить
на радиоактивность 39Ar и вычислить максимальную энергию
электрона.
Какая энергия выделяется при сгорании 1г смеси деитерия-
трития в термоядерной реакции H1  H1  He2  n ?
7. Построить из кварков первого поколения барионы: протон,
нейтрон и мезоны: π+, π- и π0 .
2
4
3
4
Задание №4
1. Записать матрицы поворота вокруг координатных осей на плоские
углы альфа, вокруг Z; бетта, вокруг Y; гамма, вокруг X с помощью
матрицы поворота в пространстве.
2. Записать матрицу поворота на пространственный угол,
определяемый последовательными поворотами на плоские углы, из
задачи 1 и найти координаты единичного вектора к ={0,0,1} в
новом базисе.
3. Доказать, что det L=1, L∙LT = E, где L - матрица Лоренца.
4. На какую энергию должен работать электрон - позитронный
коллайдер чтобы получить инвариантную энергию в системе
инерции сталкивающихся частиц такую же, как при столкновении
ускоренного в станфордском ускорителе до 50 ГэВ позитрона при
столкновении с покоящимся электроном?
5. Будет ли идти реакция   p    n при энергии Е = 155МэВ в
лабораторной системе?
Найти инвариантную энергию этой реакции (МэВ) при
Е=320МэВ в лабораторной системе.
Какой импульс больше по величине, фотона или протона в
СЦИ? Чему равны эти импульсы при Е=320МэВ.
6. Найти максимальный импульс электрона при распаде нейтрона.

Самостоятельная работа -1ч.
5
Часть.2.
Физические постоянные

h
 1,054589  10 34 Дж с
2
6,582173  10 16 эВ с
1 эВ  1,602189  10 19 Дж
c  2,997925  108 м/с
me  9,109534  10 31 кг
m p  1,672649  10 27 кг
mn  1,674954  10 27 кг
Занятие № 1(5)
p l E t
1. Определить размерности величин h , h , где p - импульс, l -
длина, E - энергия, t - время.
2. Найти длины волн, соответствующие красной границе фотоэффекта
и скорости фотоэлектронов, выбиваемых из Zn, Ag, Ni (работа выхода
равна 3,74, 4,28 и 4,84 эВ) светом с длиной волны 0,27 мкм.
3. Найти длину волны де Бройля для электронов и протонов с
кинетической энергией 1 кэВ, для пули (m=10 г, v=100 м/с), для
человека, бегущего стометровку (m=70 кг), для теплового нейтрона
(T=0,025 эВ). Можно ли экспериментально наблюдать дифракцию этих
объектов?
6
Теория
Определение: Оператором Â называется правило или закон, согласно
которому каждой функции f из некоторого класса функций ставится в
соответствие другая функция  ,
  Âf
(Оператор Â переводит f в φ)
Примеры:
ˆ
1) A  
2 ,
Aˆ f  f
2
3
ˆ
3
2) Aˆ  x , Af  x f
d
df
Aˆ 
Aˆ f 
dx ,
dx
3)
 dx Aˆ f   f ( x)dx
Aˆ   
4)
,
Оператор определен на некотором классе функций, своем для каждого
d
Aˆ 
dx определен на классе
оператора. Так, например, оператор
дифференцируемых функций.
Оператор считается заданным, если указано не только правило, с
помощью которого он преобразует одну функцию в другую, но и то
множество функций, на котором действует оператор. Это множество
функций называется областью определения оператора.
Определение: Произведение двух операторов Â и B̂ называется
оператор Aˆ Bˆ , действие которого на функцию f определяется
следующей формулой
Aˆ Bˆ  f  Aˆ ( Bˆ f )
Пример:
d
Aˆ 
dx , B̂  x2 ;
7
d
xf ( x) 
Aˆ Bˆ  f 
dx
Определение: Суммой (разностью) двух операторов называется
оператор Aˆ  Bˆ , который действует на f следующим образом
( Aˆ  Bˆ ) f  Aˆ f  Bˆ f .
Определение: Оператор Â называется линейным, если
Aˆ (c1 f1  c 2 f 2 )  c1 Aˆ f1  c 2 Aˆ f 2 ,
где C1 и C2 - числа.
Задачи
1. Доказать, что произведение двух линейных операторов Â и B̂
является линейным оператором.
2. Определение: оператор Â называется самосопряженным, если
b
b
a
a
 * ( x) Aˆ  ( x)dx    ( x) Aˆ * * ( x)dx
Какие из операторов являются самосопряженными, если непрерывные
функции  (x ) и  (x) заданы на отрезке [a,b], причём  (a)   (b)  0 ,
 (a)   (b)  0 .
d
Aˆ 
dx
а)
d
Aˆ  i
dx
б)
d2
ˆ
A 2
dx
г)
d 1
Aˆ 
dx x
в)

2




i

Следствие: операторы (
)и
- самосопряженные.
3. Вычислить коммутаторы
d

 x,i dx 
а)


 x,i y 

б) 
  
i x , i y 

в) 
d2
Hˆ   2  Uˆ ( x)
dx
5. Пусть
, вычислить коммутаторы
 ˆ d2 
ˆ d
 H , 2 
 H , i dx 
dx 
Hˆ , x

а)
8
 
б)
в)
 d d 
 x , x
г)  dx dx 

г) Hˆ ,U ( x)
.
Занятие № 2 (6)
Задача на собственные значения и функции
d2
Aˆ  2
dx в уравнении
1(а). Найти собственные функции оператора
2
Aˆ f ( x)  k f ( x) ,
где k - вещественное число.
1(б, дома). Решить уравнение
d3
f ( x)  a 3 f ( x)
3
dx
,
где a - вещественное число.
2. Показать, что если оператор Â в уравнении
Aˆ  n  an n
эрмитов, то его собственные значения - вещественны.
3. Доказать, что если операторы Â и B̂ эрмитовы и коммутируют, то
оператор Aˆ Bˆ - эрмитов.
4. Задача:
а) Найти собственные функции оператора в уравнении
d2
f ( x)  a 2 f ( x)
2
dx
2
отвечающие вещественным собственным значениям a .
б) Найти функции удовлетворяющие следующим граничным условиям
 3 
f a ( x), x  0,  
 2 ,
на отрезке:
9
3
f a (0)  f a (  )  0
2
.
в) Проверить ортогональность собственных функций и нормировать
их.
г) Как характеризовать спектр собственных значений оператора?
Найти спектр.
5. У оператора Â дискретный спектр собственных значений и
вещественные собственные функции,
Aˆ  n  an n ,
среди которых есть две вырожденные. Ортогонализовать

вырожденные функции на области определения функций n .
Попробуйте это сделать в случае трех вырожденных функций.
i
d
dx его собственные
6. При каких собственных значениях оператора
функции будут периодическими? Чему равен период?
10
Занятие № 3 (7) - Самостоятельная работа по лекции.
Частица в 1-D потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
1. Записать и решить уравнение Шредингера для частицы массы m,
которая находится в потенциальном поле следующего вида:
0, x  (0, a)
U ( x)  
, x  (0, a)
2. Доказать ортогональность собственных функций.
3. Нормировать собственные функции.
4. Нарисовать эскизы квадрата модуля волновой функции для четных и
нечетных n (n=1..5).
5. Вычислить средние значения координаты и импульса частицы в

состоянии n .
6. Записать гамильтониан заряженной частицы со спином в
электромагнитном поле. Выполнить операцию возведения в квадрат.
Записать гамильтониан в матричной форме.
11
Занятие № 4 (8) - Туннельный эффект
Занятие № 12 – Туннельный эффект
1. На лекции было получено:
A3 
4kk0eik0a
.
(k0  k )2 eika  (k0  k ) 2 eika
а) Доказать для E > U0, что коэффициент прозрачности D, D  A3 ,
равен
2
16k 2 k02
D
.
(k0  k )4  (k0  k )4  (k02  k 2 ) 2 2 cos 2ka
б) Показать, что при E  U 0 :
D
4 2 k02
,
(k02   2 )2 sh 2 a  4k02 2
где  2  k 2 .
в) Получить упрощенную формулу для коэффициента прозрачности:
16k02 2 2 a
D 2
e
 D0e2 a ,
2 2
( k0   )
если E  U 0 , а aα >> 1.
2. Оценить коэффициент прозрачности для электрона и протона, если D0
= 1, U0 – E =10-18 Дж, a=10-10 м. Чему равен коэффициент отражения?
3. Оценить для альфа-частицы коэффициент прозрачности барьера, если
его ширина равна 2,5∙10-15 м, а U0 – E = 7 МэВ. Принять D0 = 1.Каков
период полураспада соответствующего альфа-радиоактивного ядра?
12