1 Дифференциальные уравнения n-ого порядка. y ( n ) F ( x, y, y / ,, y ( n 1) ) (1) F ( x, y, y / ,, y ( n 1) , y ( n ) ) 0 (2) Если уравнение разрешимо относительно старшей производной то имеет вид (1). Так же уравнение n-го порядка можно представить в виде системы из n уравнений первого порядка. y / y1 / y 1 y2 / y n 2 yn 1 y / n 1 f ( x, y, y , y , 1 2 (3) , yn 1 ) Для уравнения n-ого порядка выполнены условия теоремы о существовании и единственности для системы так как (1)~(2)~(3). Простейшие случаи понижения порядка. 1. Уравнение не содержат искомой функции и ее производной до порядка k-1 включительно, то есть F ( x, y ( k ) , y ( k 1) , , y ( n) ) 0 . (4) В этом случае порядок может быть понижен до n k заменой y ( k ) p, F ( x, p, p / ,, p ( nk ) ) 0 . Если из этого уравнения выразить p p( x, C1 , C2 ,, Cnk ) тогда решение y можно определить k-кратным интегрируемым функции p. Пример. d3y 1 d2y d2p 0, p dx 3 x dx 2 dx 2 . dp 1 3 2 p 0 p( x ) C1 x y ( x ) C1 x C2 x C3 dx x 2. Уравнение, не содержащие неизвестного переменного F ( y, y / ,, y ( n ) ) 0 (5) 2 В этом случае порядок можно понизить на единицу подстановкой y P( y ). / d 2 y dp dp dy dp p dx 2 dx dy dx dy d n y d n1 p n1 dp n1 p dx n dy dy n1 p. 2 d 2 y dy dy d 2 y dp y 2 p( y ), 2 p dx dx dx dx dy Пример. . dp dy x y p, p( y ) Cy C1 y, y ( x) C1e C2 dy dx 3. Левая часть уравнения F ( x, y, y / ,, y ( n) ) 0 (6) есть производная некоторого дифференциального выражения (n-1)го порядка. F dФ ( xy , y / ,, y ( n 1) ) dx dФ 0 . Если y (x) - решение dx последнего уравнения, следовательно, существует Ф( x, y, y / ,, y ( n 1) ) C . Мы получили первый интеграл уравнения (6) и понизили на единицу степень решаемого уравнения. Замечание. Иногда левая часть (6) становится производной дифференциального уравнения (n-1)-го порядка только при умножении на ( x, y, y / ,, y ( n 1) ) поэтому здесь могут появиться лишнее решения (обращающие в ноль) или мы можем потерять решение, если разрывная функция. yy // ( y / ) 2 0 Пример. d ( yy / ) 0 yy / C1 ydy C1dx, y 2 C1 x C2 y ( x) (C1 x C2 )1 / 2 3 4. Уравнение F ( x, y, y / ,, y ( n) ) 0 (7) однородно относительно y и его производных. F ( x, ky, ky/ ,, ky( n) ) k p F ( x, y, y / ,, y ( n) ) . Или F (kx, k m y, k m y / , , k m y ( n ) ) k p F ( x, y, y / , , y (n) ) , где показатель m определяется из условий однородности. Порядок этого уравнения может быть понижен на единицу заменой: y e , y z( x)e , y ( z 2 ( x) z / ( x))e ,... y ( k ) e zdx zdx zdx z ( x ) dx Ф( z, z / , , z ( k 1) ) . Если подставить эти соотношения в (7) и учесть однородность p z ( x ) dx функции F , то в итоге в получим: e f ( x, z, z / ,, z ( n 1) ) 0 p const . Пример. yy // ( y / )2 6 xy 2 , y e z ( x ) dx z / 6 x, z 3x 2 C1 , y C2e x C1x 3 . Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. 1. Пусть дано уравнение F ( x, y // ) 0 . Подстановка y / p( x) F x, Если (8) dp 0. dx уравнение (8) можно разрешить относительно производной, то уравнение y // f ( x) старшей два раза интегрируется по переменной x. Можно ввести параметрическим параметр и заменить представлением: уравнение (8) его d2y (t ), x (t ) . dx 2 Воспользовавшись соотношением для дифференциалов: dy / y // dx , 4 dy / (t ) / (t )dt y / (t ) / (t )dt C1 получаем: и dy y / dx; y (t ) (t )dt C1 / (t )dt C2 F ( y / , y // ) 0 II . (9) Воспользуемся параметрическим представлением: y / (t ), y // (t ) dy y / dx, dx dy dy / / (t )dt / (t ) , x (t ) dt C1 y/ y // (t ) dy (t ) (t )/ (t ) / (t ) dt , y dt C2 (t ) (t ) F ( y / , y // ) 0 . III. Понизить порядок можно заменой: Если уравнение (10) (10) dy d2y dp p( y), 2 p . dx dx dy разрешимо относительно старшей производной y // f ( y) , то помножим правую и левую часть на 2 y / dx 2dy . Получим: 2 f ( y)dy C d ( y / )2 2 f ( y)dy y / ( x) уравнение с разделяющимися переменными: x C2 Можно уравнение (10) заменить .Это 1 его dy 2 f ( y)dy C1 . параметрическим представлением: y (T ), y // (t ), dy / y // dx . Воспользуемся свойствами дифференциала: dy y / dy / 1/ 2d ( y / )2 d ( y / )2 y // dy (t ) / (t )dt y // y // 2 y / 2 (t ) / (t )dt C1 , dy y / dx, dx dy / (t )dt y/ y/ x C2 / (t )dt y/ . 5 y // 2 y 3 , d ( y / ) 2 4 y 3dy Пример. x C2 y / y 4 C1 . dy y 4 C1 Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Определение. Линейными дифференциальными уравнениями n-го n порядка называются уравнения вида: y ( n ) Pi ( x) y ( n i ) . (1) i 1 Если коэффициенты Pi непрерывны на a, b , то в окрестности любых начальных значений вида: y( x0 ) y0 , y / ( x0 ) y1,0 ,..., y ( n1) ( x0 ) yn1,0 , где x0 принадлежит интервалу, то в окрестности этих начальных значений удовлетворяются условия единственности. Линейность теоремы и о существовании однородность уравнения и (1) сохраняется при любом преобразовании x (t ) , где - произвольная n раз дифференцируемая функция. Причем / (t ) 0, t . Линейность и однородность сохраняется при линейном и однородном преобразовании неизвестной функции y ( x) y ( x) ( x) z ( x) . Введем линейный L y y ( n ) P1 ( x ) y ( n 1) дифференциальный оператор: Pn ( x ) y , тогда (1) можно записать так: L[ y ] 0 . Определитель Вронского для L[ y ] будет иметь вид: y1 y/ W ( x) 1 ( n 1) y1 y2 y2/ y2( n 1) yn yn/ , где yi - линейно независимые решения yn( n 1) уравнения (1). Теорема 1. Если линейно независимые функции y1 , y2 ,, yn - это решение линейного однородного уравнения (1) с непрерывными на 6 [a, b] коэффициентами Pi ( x ) , то определитель Вронского W (x ) не обращается в ноль ни в одной точке отрезка [a, b] . ( доказывается аналогично случаю системы линейных дифференциальных уравнений) Теорема 2. Общим решением линейного однородного уравнения (1) с непрерывными на [a, b] коэффициентами Pi ( x) будет линейная комбинация решений yi , то есть n y ( x ) Ci yi ( x ) (2), где i 1 yi ( x ) линейно независимые на отрезке [a, b] частные решения (1). ( доказывается аналогично случаю системы линейных дифференциальных уравнений) Следствие. Максимальное число линейно независимых решений (1) равно его порядку. Зная одно нетривиальное частное решение уравнения (1) y1 ( x) 0 , можно сделать подстановку y y1 ( x ) U ( x )dx и понизить порядок уравнения, сохранив его линейность и неоднородность. Обычно эту подстановку разбивают на две y y1 ( x) z( x), z / ( x) U ( x) . Поскольку это линейно однородное представление, то оно сохраняет линейность и однородность (1), а значит (1) должно быть приведено к виду a0 ( x) z ( n ) a1 ( x) z ( n 1) an ( x) z ( x) 0 . Решению y y1 в силу y y1z соответствует решение z 1 , и, следовательно, an 0 . Сделав замену z / U , получим уравнение с порядком n 1 . Лемма. y ( n) P1 ( x) y ( n1) ... Pn ( x) y 0 (3) y ( n) Q1 ( x) y ( n1) ... Qn ( x) y 0 (4) 7 Два уравнения вида (3) и (4), где Qi и Pi – непрерывные на [a,b] функции, имеющие общую фундаментальную систему решений, совпадают, т.е. Qi(x)= Pi(x), i=1,2,…n, x[a,b] На основании леммы можно сделать вывод, что фундаментальная система решений y1 y2 …yn полностью определяет линейное однородное уравнение (3). Найдем вид уравнения (3), имеющего фундаментальную систему решений y1 y2 …yn . Любой решение y(x) уравнения (3) линейно зависит от фундаментальной системы решений, а это значит, что W[y1 y2 …yn y]=0. Разложим определитель Вронского W[y1 y2 …yn y] по последнему столбцу. y1 y 1 . (n) y1 y2 y2 . . yn yn . . . . y (n) 2 y (n) n y y1 y y W [ y1 y2 ... yn ]* y ( n ) 1 . . (n) (n) y y1 y2 y2 . . . . . y ( n) 2 yn yn ( n 1) * y ... 0 (5) . yn( n ) Уравнение (5) является искомым линейным дифференциальным уравнением, имеющим данную систему фундаментальных решений. Мы можем (5) разделить на W[y1 y2 …yn], т.к. он не равен нулю x[a,b]. Тогда: y2 . yn y1 y y2 . yn 1 . . . . (n) (n) (n) y y2 . yn P1 ( x) 1 , а W [ y1 y2 ... yn ] y1 y 1 . (n) y1 y2 y2 . y2( n ) yn . yn d W [ y1 y2 ... yn ] . . dx . yn( n ) . (*) По правилу дифференцирования определителя, производная от определителя равна сумме по i=1,2…n определителей, i-ая строка каждого из которых равна производной от i –ой строки исходного 8 определителя. В этой сумме все определители, кроме последнего, равны нулю (т.к. у них по две одинаковые строки), а последний равен (*). Таким образом, получим: P1 ( x) d W [ y1 y2 ... yn ] ln | W | P1 ( x)dx ln C W dx , тогда: W [ y1 y2 ... yn ] W W C exp( P1 ( x)dx) (6) P1 ( x ) dx W W ( x0 )e Определение. (7) Формулы (6) и (7) называются формулами Остроградского-Лиувиля. Используем (7) для интегрирования линейного однородного уравнения второго порядка. И пусть нам известно одно из решений y1 уравнения (8). y P1 ( x) y P2 ( x) y 0 (8) Согласно (7) любое решение (8) должно удовлетворять следующему соотношению: y1 y1 y P1 ( x ) dx y1 y yy1 C1e y Воспользуемся методом интегрирующего множителя. y y y yy C P1 ( x ) dx 1 d 1 2 1 21 e y ( x) y1 y1 y1 P1 ( x ) dx P1 ( x ) dx C1e y e dx C 2 y ( x) y1 [C1 dx C 2 ] y1 y12 y12 2 1 (9) 9 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Если в линейном однородном уравнении все коэффициенты постоянны, a0y(n)+a1y(n-1)+….+any=0, (1) L[y]=0, (2) то частные решения (1) могут быть определены в виде: y=ekx, где k - постоянная. a0knekx+a1kn-1ekx+….+an k0ekx=0 a0kn+a1kn-1+….+an=0 (3) Определение. (3) - характеристическое уравнение. Вид решения (1) определяется корнями характеристического уравнения (3). 1). Все корни вещественные и различные, тогда: y C1e k1 x C2e k 2 x ... Cn e k n x 2). Если все коэффициенты вещественные, то корни могут быть комплексно-сопряженные. k1=+i k2=-i Тогда решения имеют вид: y1 ek1 x e( i ) x e x (cos x i sin x) y2 ek 2 x e( i ) x e x (cos x i sin x) Согласно теореме: если оператор с вещественными коэффициентами имеет комплексно-сопряженные 10 решения, то их действительная и мнимая части также являются решениями. Тогда: ~ y1 e x cos x ~ y e x sin x 2 Пример. y 2 y 3 y 0 Решение представим в виде y e kx , тогда характеристическое уравнение имеет вид: k 2 2k 3 0 k D 4 3 * 4 8 D 2 2i 2 2 2i 1 i 2 2 y1, 2 e( 1 i 2) , получим два решения: ~ y1 e x cos 2 x тогда искомая функция: y ( x) e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) x ~ y2 e sin 2 x 3). Имеются кратные корни: ki с кратностью i. В этом случае число различных решений y ekx будет меньше n, следовательно, нужно искать недостающие линейно-независимые решения в другом виде. Например: xeki x , x 2eki x x i 1eki x Доказательство: Допустим, ki=0, если подставить его в (3), то получим, что an an 1 an i 1 0 , тогда: a0k n a1k n 1 an i k i 0 (4) a0 y ( n) a1 y ( n 1) an i y ( i ) 0 (5) 1, x, x 2 ,..., x i 1 - частные решения (3). Пусть ki0, сделаем замену y ekx z (6) Подставим (6) в (1), получим относительно z линейное однородное уравнение коэффициентами (7). n-го порядка с постоянными 11 b0 z ( n ) b1 z ( n 1) bn z 0 Корни (3) (7) отличаются от корней характеристического уравнения (7) на слагаемое ki. y e k i x e px e kx k ki p b0 p n b1 p n 1 bn 0 (8) Если k=ki , то тогда этому k соответствует решение уравнения (7) с корнем p=0 , т.е. соответствуют решения вида z=1, x, x 2 ,..., x 1 , i тогда y= ek x , xek x , x 2ek x x 1ek x - решение уравнения (1). А общее i i i i i решение имеет вид: i 1 y( x) (Ci xi )eki x решение для ki i 0 m i 1 y ( x ) (Cij x i )e j 1 i 0 kjx Уравнение Эйлера. Определение. Уравнение вида: a0 x n y ( n ) a1 x n 1 y ( n 1) an xy 0 , (1) ai-постоянные коэффициенты, называется уравнением Эйлера. Уравнение Эйлера заменой x=et сводится к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами. dy dy dx yx et dt dx dt d 2 y d 2 y dx dy d 2 x 2 2 yxx et yx et 2 dt dx dt dx dt Можно искать решения в виде y=xk, тогда они имеют вид: x ki , x ki ln x, x ki ln 2 x,, x ki ln i 1 x 12 Линейные неоднородные уравнения. a0 x n y ( n ) a1 x n 1 y ( n 1) an xy ( x) (1) Если a0(x)0, то разделив на этот коэффициент уравнение (1), получим: y ( n ) b1 ( x) y ( n 1) bn ( x) y f ( x) . (2) L[ y ] f ( x ) . Если на [a,b] bi и f непрерывны, то (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее соответствующим начальным условиям y ( k ) ( x0 ) y0( k ) , k 0,1,..., n 1 x0 [a, b] . Если в явном виде выразить старшие производные из (2), то получим уравнение, правая часть которого удовлетворяет теореме о существовании и единственности. Так как оператор L линейный, значит, для (2) выполняется: 1). ~y y1 - решение (2), если ~y - решение неоднородного уравнения (2), а y1 - решение соответствующего однородного уравнения. m 2). Если yi - решения L[ y] fi , то y ( x) i yi решение уравнения i 1 m L[ y ] i f i . i 1 Свойство 2 – принцип суперпозиции, он справедлив при m , если ряд y ( x) i 1 i i - сходится и допускает m-кратное почленное дифференцирование. 3) Пусть дано операторное уравнение L[ y ] U iV , где L – это оператор с коэффициентами pi , все pi - вещественные. Функции U и V тоже вещественные. Тогда, если это уравнение имеет решение y ( x) u~ ( x) iv~ ( x) , то решением этого же уравнения будут и мнимая и 13 вещественная части y: u~ ( x ) и v~( x) . При чем каждый из них соответствует решению L[ y ] U ( x ), L[ y ] V ( x ) . Теорема. Общее решение неоднородного уравнения nпорядка L[ y ] f ( x ) на отрезке [a,b] при условии, что все коэффициенты pi ( x ) и правая часть f ( x ) - непрерывные функции, можно представить в виде суммы общего решения, n соответствующей однородной системы y ( x ) Ci yi ( x ) и частного i 1 решения неоднородной - y ( x ) . ~ Т.е. решение y ( x) ~y ( x) ~y ( x) . Если невозможно в явном виде подобрать частные решения неоднородной системы, то можно воспользоваться методом вариации постоянной. Решение будем искать в виде: n y ( x) Ci ( x) yi ( x) (3) i 1 где yi (x) решения однородной системы, Ci (x) - неизвестные функции. Всего неизвестных функций Ci (x) - n. Они должны удовлетворять исходному уравнению (2). Подставив в уравнение (2) выражение y(x), мы получим условия для определения только одной неизвестной функции. Чтобы определить остальные (n-1)-ну функции, необходимо еще (n-1)-но дополнительное условие, их можно выбрать произвольно. Выберем их так, чтобы решение (2) - y(x) имело вид такой же, как если бы Ci (x) были константами. n n i 1 i 1 y( x) Ci( x) yi ( x) Ci ( x) yi( x) , 14 т.к. Ci (x) ведут себя как константы, то Ci( x) 0 , значит, и n C ( x) y ( x) 0 . i 1 i i n n i 1 i 1 y( x) Ci( x) yi( x) Ci ( x) yi( x) … n n i 1 i 1 y ( n ) ( x) Ci( x) yi( n1) ( x) Ci ( x) yi( n ) ( x) Т.о. мы получим (n-1)-но условие дополнительно к уравнению (1). Если подставить выражение для производных в уравнение (1) и учесть все полученные условия и то, что yi – решение соответствующей однородной системы, то мы получим последнее условие для Ci (x) . Перейдем к системе: n Ci( x) yi ( x) 0 i 1 n Ci( x) yi( x) 0 i 1 n Ci( x) yi( n 2) ( x) 0 i 1 n Ci( x) yi( n 1) ( x) f ( x) i 1 (3) Определитель системы (3) – это (W) определитель Вронского, а т.к. yi – это решения однородной системы, то W0 на [a,b]. ~ Ci ui ( x) Ci ( x) ui ( x)dx Ci i 1, n (4) Пример. Неоднородное уравнение y y 1 , соответствующее ему однородное уравнение y y 0 cos x 15 Решение ищем в виде y=ekx. Характеристическое уравнение k2+1=0, т.е. k1,2=i y=eix=cos x +i sin x, общее решение - y( x) C1 cos x C2 sin x Воспользуемся методом вариации постоянной: ~ y ( x) C1 ( x) cos x C2 ( x) sin x Условия для Ci (x) : C1( x) y1 C2 ( x) y2 0 1 C1( x) y1 C2 ( x) y2 cos x , что эквивалентно записи: cos x sin x C1 0 sin x cos x C 1 2 cos x Отсюда: sin x , C2 ( x) 1 cos x ~ C1 ( x) ln(cos x) C1 ~ C2 ( x) x C2 C1( x)