Косинский Ю.И., «Взаимодействие волны электрического поля с

Косинский Ю.И.
Взаимодействие волны электрического поля с оптической средой в
микроструктурной модели в случае падения волнового вектора на
плоскость среды под углом, при этом вектор электрического поля
находится в плоскости падения
В работе [1] была решена задача прохождения и отражения электрической
волны сквозь оптическую среду в представлении микроструктурной модели
взаимодействия. При этом волновой вектор падал под произвольным углом к
плоскости среды, а электрический вектор находился перпендикулярно плоскости
падения луча.
Интегральное уравнение для волн электрического поля, излучаемых
диполями, находящимися в плоскости решетки структуры среды в случае падения
возбуждающей волны электрического поля под углом
имело такой вид.
zp
к
E l ( zl )  iA E 0  ikCos( ) zl  ik '  ikCos( ) zl  E j ( z j ) 
плоскости среды
ikCos ( ) z j
dz j 
zl
 ik ' 
ikCos ( ) zl
zl
 E j (z j ) 
 ikCos ( ) z j
dz j ,
z1
(1)
__
где
r
k
k  '  i
 2
N xyz  .
z
Cos( )
(2)
Соответствующее интегральному уравнению (1) волновое уравнение для
электрической волны, излучаемой плоскостью диполей, имело такую
функциональную зависимость
d2
(dz) 2
E l ( zl )  k 2 Cos 2 ( )(1  2
k '
) E l ( zl )  0 ,
kCos( )
(3)
решение которого совместно с уравнением (1) дает следующую зависимость для
амплитуд электрических волн, излучаемых плоскостями, в которых расположены
диполи
ikCos( )z
El (zl )  E0

D

 (1  u ) 
ikCos ( )u ( L  zl )
 (1  u ) 

 ikCos ( )u ( L  z l ) .(4)
Для амплитуд суммарного (суммируются волны, излучаемые плоскими
источниками переизлучения (4)) электрического поля волн двух направлений,
распространяющихся в среде, в случае падения возбуждающей волны под углом
к
плоскости среды, формулы
имели следующую функциональную
зависимость.
zl
i kCos ( ) ( zl  z j )

i kCos( ) zl
El  E0

E j (z j ) 
,
(5)
z j  z1


El1 
zp
 E j (z j ) 
i kCos( ) ( z j  z l 1 )
z j  z l 1
где значения амплитуд волн источников переизлучения
,
(6)
E j ( z j ) необходимо
брать из формулы (4).
В данной работе будет решена задача прохождения и отражения
электрической
волны
сквозь
оптическую
среду
в
представлении
микроструктурной модели взаимодействия. При этом волновой вектор падает под
произвольным углом к плоскости среды, а электрический вектор находится в
плоскости падения луча.
Электрический вектор в плоскости падения на границе раздела сред при
прохождении (Рис. 1) и отражении (Рис. 2) испытывает следующие
преобразования.
-

/2-


Рис.1
Согласно рис.1, электрический вектор падающей волны на входе в оптическую
среду

E
терпит преобразование, превращаясь в электрический вектор

преломленной волны E  , согласно соотношению:


E   E Cos(   ) .
(7)
/2––




Рис.2
Согласно рис.2, электрический вектор преломленной волны на выходе из

оптической среды, двигающийся в среде в обратном направлении E  терпит

преобразование, превращаясь в электрический вектор отраженной волны E  ,
согласно соотношению:



E  E Sin( / 2     )  E Cos(   ) .
(8)
Если электрический вектор находится в плоскости падения луча,
интегральное уравнение (1), (2) для волн электрического поля, излучаемых
диполями, находящимися в плоскости решетки структуры среды в случае падения

возбуждающей волны электрического поля под углом
к плоскости среды,
учитывая соотношения (7), (8) будет иметь такой вид.
E l ( zl )  iA E 0 ikCos( ) zl 
zp
ikCos ( ) z j
 iCos(   ) k '  ikCos( ) zl E j ( z j ) 
dz j 
zl
(9)

 iCos(   ) k ' 
ikCos ( ) zl
zl
 E j (z j ) 
 ikCos ( ) z j
dz j ,
z1
__
где
k  '  i
r
k
 2
N xyz  .
z
Cos( )
(10)
Для амплитуд суммарного (суммируются волны, излучаемые плоскими
источниками переизлучения (4)) электрического поля волн двух направлений,
распространяющихся в среде, в случае падения возбуждающей волны под углом
к плоскости среды, формулы будут иметь следующую функциональную
зависимость.

El  E0  i kCos( ) zl 
Cos(   )
zl
 E j (z j ) 
i kCos ( ) ( zl  z j )
,
(11)
z j  z1
El1  Cos(   )
zp
 E j (z j ) 
i kCos( ) ( z j  zl 1 )
,
z j  zl 1
где значения амплитуд волн источников переизлучения
(12)
E j ( z j ) необходимо
брать из решения уравнения (9).
При решении уравнения (9) для краткости записи введем обозначения:
k '  2N
k
,
Cos( )
A  k ' z , c  Cos(   ), d  Cos(   ),
(13)
__
k  kCos( ).
Чтобы решить уравнение (9), необходимо взять первую и вторую производную от
этого уравнения для получения волнового уравнения амплитуд волн источников
переизлучения.
d
E l (z l )   k A E 0  ikzl  ckk '   ikzl
dz l
zl
 d kk '  ikzl  E j (z j )
 ikz j
zp
 E j (z j )
ikz j
dz j  ick ' E l (z l ) 
zl
(14)
dz j  id k ' E l (z l ),
z1
d2
(dz l )
E l ( z l )  i ( k ) A E 0 
2
2
i kzl
 ic( k ) k '  
2
 i kzl
zp
 E j ( z j )
i kz j
dz j 
zl
id ( k ) k '  
2
i kzl
zl
 E j ( z j )
 i kz j
dz j  (c  d ) kk '  E l ( z l ) 
(15)
z1
i (c  d ) k ' 
d2
(dzl ) 2
d
E l ( z l ),
zl

2

E l ( zl )  ( k )  (c  d ) kk ' E l ( zl )  i (c  d ) k '
d
E l ( zl )  0 .
dzl
(16)
Корнями
соотношения
x1,2
характеристического
уравнения
(16)
являются
следующие

2  1/ 2 

c

d
k
'
k
'
c

d
k
'

  
 ik 
  1  (c  d )  
 ik (    u ) .


2 k 
k  2 k   


2

k '  c  d k ' 
u   1  (c  d )  
 

2
k
k 


(17)
1/ 2
,
(17A)
c  d k'
.
2 k
Решением волнового уравнения (16) является следующая функциональная
зависимость:
El ( zl )  C1 x1z  C2  x2 z ,
El ( zl )  C1i k ( u   ) zl  C2  i k ( u   ) zl .
(18)
Константы С1 и С2 находятся из уравнений (9), (18) путем подстановки
соотношений (18) в левую и правую часть интегрального уравнения (9).
C1
ik ( u  ) z
 C2 
 ik ( u  ) z
 iAE 0
ikz
 iC1ck ' 
 ikz
L

ik (1 u  ) z '
dz '
z
iC2 ck ' 
 ikz
L

ik (1 u  ) z '
dz 'iC1dk ' 
z
iC2 dk ' 
L
ikz

z
ikz

0
 ik (1 u  ) z '
 ik (1 u  ) z '
dz '
(19)
dz '.
0
Интегрирование в правой части соотношения (19) приводит к следующему
результату.
C1 i k ( u  ) z  C2  i k ( u  ) z  iAE 0  i kz  C1


ick '
 i kz *
ik (1  u   )
*  i k (1u  ) L   i k (1u  ) z 



ick '
 i kz  i k (1u  ) L   i k (1u  ) z 
ik (1  u   )
idk '
 C1
 i kz  i k (1u  ) z  1 
ik (1  u   )
idk '
 C2
ikz  ik (1 u  )z  1 .
ik (1  u   )
 C2
(20)



Уравнение (20) должно выполняться при любых значениях координаты z. Это
значит, что коэффициенты при одинаковых экспонентах в своей сумме должны
равняться нулю. Выпишем эти коэффициенты при экспонентах.

ikz 


idk '
idk '
 C2
iAE0  C1
  0.
ik (1  u   )
ik (1  u   ) 

 ikz
 ick ' ik (1 u   ) L
ick ' ik (1 u   ) L 
 C2
 C1
  0.
ik (1  u   )
ik (1  u   ) 



ick '
idk '
ik ( u  )z  C1  C1
 C1
  0.
ik (1  u   )
ik (1  u   ) 


ick '
idk '
i k ( u   ) z 

C2  C2 ik (1  u   )  C2 ik (1  u   )   0 .


Из соотношения (23) следует подтверждение формул (17А).
(21)
(22)
(23)
(24)
(1  u   )(1  u   ) 
k'
k'
c(1  u   )  d (1  u   )  0,
k
k
(25)
k'
(c  d )  u 2  1   2 .
k
Из соотношения (24) следует подтверждение формул (17А).
(1  u   )(1  u   ) 
k'
k'
c(1  u   )  d (1  u   )  0,
k
k
(26)
k'
(c  d )  u 2  1   2 .
k
Из соотношения (22) следует отношение между константами.
C2  C1
1  u   2i kuL

.
1 u  
(27)
Из соотношения (21) следует функциональная зависимость для константы С 1.
E0
i kuL
C1  i
k z(1  u   )
(28)
d
D ,
D 
(1  u   ) i kuL (1  u   ) i kuL


 .
(1  u   )
(1  u   )
(29)
Из (27), (28) следует функциональная зависимость для константы С2.
E0
i kuL
C2  i
k z(1  u   )
.
d
(30)
D
Из функциональных зависимостей для констант (28), (30) и соотношения для
амплитуды волны источника переизлучения (18) находим функциональную
зависимость для амплитуд волн плоских источников переизлучения.

E0
 i k  z
E ( z)  i
k z
(1  u   )i ku( L z )  (1  u   ) i ku( L z )
d
D

. (31)
Запишем формулы (11), (12) для амплитуд суммарного (суммируются
волны, излучаемые плоскими источниками переизлучения (31)) электрического
поля волн двух направлений в интегральгой форме.

E ( z)  E0
i kz
d z

E ( z' )i k ( z  z ') dz' ,

z 0
c L
E ( z) 
E ( z' )i k ( z '  z ) dz' .

z z
(32)

Подставим значения амплитуд волн
функциональные зависимости (32).

E (z )  E 0 
ikz
источников
переизлучения
(31)
z
E0
ikuL ikz
 ik
(1  u   )     ik (1 u  )z ' dz '
D
0
z
E0
 ikuL ikz
ik
(1  u   )
    ik (1 u  )z ' dz '.
D
0
Вычисление интегралов приводит к такому результату.
E 0 i kuL

D


(33)

E 0 i kuL 1  u  

 i kz  i k (1u   ) z  1 
D
ik (1  u   )
(34)
1 u  
i kz i k (1 u   ) z
 
1 .
ik (1  u   )
E  ( z )  E 0  i kz  ik
ik
в

После суммирования слагаемых при экспонентах и сокращений получим:
i kuL
 i kuL


1

u



1  u   
i kz 
E0   1 

 0,

D 1  u  
D 1  u   

E  ( z) 
(35)
E 0 i k  z 1  u   i k u ( L  z ) 1  u   i k u ( L  z ) 





.
D
1

u


1

u






(36)
D 
(1  u   ) i ku L (1  u   ) i ku L



.
(1  u   )
(1  u   )
(37)
Аналогично поступим при получении функциональной зависимости для
амплитуды волны, движущейся в обратном направлении.
L
c E0
i kuL i kz
E ( z) 
ik (1  u   ) 
i k (1u  ) z ' dz '

d D
z

L
c E0
i kuL i kz

ik (1  u   ) 

i k (1u  ) z ' dz '.

d D
z
Решение интегралов в правой части (38) приводит к результату.

(38)

c E0 i kuL i kz i k (1 u   ) L i k (1 u   ) z
E ( z) 
 



d D




c E0 i kuL  kz i k (1 u   ) L i k (1 u   ) z




.
d D
(39)
После группировки слагаемых при экспонентах, получим:


i kz i k (1  ) L  i k (1  ) L  0 ,
E  ( z) 

(40)
c E0 i k  z i k u ( L  z )


 i k u ( L  z )
d D

.
(41)
В формулах (36), (37), (41) введены обозначения:
c  Cos(   ), d  Cos(   ), k  kCos( ), k '  2 N
c  d k'
k'



, u  1  ( c  d )   2 


2 k
k
k
,
Cos( )
(42)
1/ 2
.
В формулах (36), (37), (41) для амплитуд прошедшей и отраженной волн, в случае
падения возбуждающей волны на плоскость пленки под углом, отличающемся от
нормального, реализована ситуация, когда электрический вектор волны
расположен в плоскости падения луча. Для случая, когда электрический вектор
расположен перпендикулярно плоскости падения луча, в отмеченных формулах
величины с и d равны единице. В случае падения луча нормально на плоскость
пленки: c=d=Cos()=1.
Для полубесконечной среды в формулах (36), (37), (41) L, uu+i,
откуда следуют функциональные зависимости для преломленной и отраженной
волн:
E  ( z)  E0 i k  z i ku z ,
Cos(   ) 1  u   i k  z i ku z
E ( z)  E0


,
Cos(   ) 1  u  
Cos(   ) 1  u  
E  ( z  0)  E0
Cos(   ) 1  u   .
(43)

(44)
(45)
Для полубесконечной среды преломление электрической волны изобразим
графически на рис.3.
х
x1


l


z1
z
Рис. 3.
Здесь волновые фронты возбуждающей волны изображены линиями,
расположенными под углом
к оси х, волновые фронты преломленной волны

отображены линиями, расположенными под углом
 . Согласно рисунка фазовая
задержка в точке х1 относительно начала координат равна целому числу длин
волн и выражается следующей зависимостью.
n  x1Sin( ),
n2  kx1Sin( ),
n
x1 
.
Sin( )
(46)
Амплитуда преломленной волны для случая падения возбуждающей волны под
углом (согласно (43)) равна
E1 ( z  z1 )  E0 ikCos( )( u   ) z1 ,
(47)
u
где значение  необходимо брать из формулы (17A).
При этом фазовая задержка для преломленной волны вдоль координаты z в точке
z1 согласно рисунка также равна целому числу длин волн.
n2  kCos( )(u   ) z1 ,
z1 
Значение угла преломления
n
.
Cos( )(u   )

(48)
находится из отношения координат точек.
tg (  ) 
z1
Sin( )

,
x1 (u   )Cos( )
tg ( ) Sin( )Cos(  )
u   

.
tg (  ) Cos( ) Sin(  )
(49)
Амплитуда отраженной волны в случае падения возбуждающей волны под
произвольным углом согласно (45) равна
E1 ( z
Cos(   ) 1  u  
 0)  E0
Cos(   ) 1  u  
.
(50)
Коэффициент отражения от полубесконечной плоскости соответственно равен
tg ( )
Cos(   ) 1  u   Cos(   )
tg (  )
R 


tg ( )
Cos(   ) 1  u   Cos(   )
1
tg (  ) .
Sin(   ) Cos(   )
tg (   )


Sin(   ) Cos(   )
tg (   )
1
(51)
Из формулы для коэффициента отражения (51) следует минимум
коэффициента отражения при угле Брюстера, когда
Cos( B   )  0,
   / 2  B.
(52)
При этом коэффициент замедления скорости в среде (42) принимает значение
c  Cos( B   )  0, d  Cos( B   ), k  kCos( B ),
k
c  d k'
k '  2 N
, 
,
Cos( B )
2 k
k'


u   1  (c  d )   2 


k
 uB  1 
1/ 2
2




N

d

N

d
 
 1  2

2
2

Cos ( B )  Cos ( B )  

1/ 2

(53)
Nd
..
Cos 2 ( B )
Используя соотношение (52), выразим коэффициент d через угол Брюстера.
d  Cos( B   )  Cos(2 B   / 2)  Cos( / 2  2 B )  Sin(2 B ) 
(54)
 d  2 Sin( B )Cos( B ).
Закон преломления, выражающий отношение между углом падения и углом
преломления (49) при угле Брюстера, используя соотношения (53), (54), примет
значение:
tg ( B )
 N d
 uB   B  1  2
 1  4 N tg ( B ).
2
tg ( )
Cos ( B )
(55)
При использовании соотношения (52) функциональная зависимость (55) примет
вид квадратного уравнения.
tg 2 ( B )  1  4 N tg ( B ).
(56)
Решением этого уравнения будет функциональная зависимость угла Брюстера от
параметров среды.
tg( B )  2 N  1  (2 N )2 , u0  1  4 N ,
(57)
где u0 – показатель замедления скорости в среде в случае нормального падения
луча на плоскость полубесконечной среды. Например, для показателя замедления
скорости u0=1.5 угол Брюстера равен  B  610 .
Литература
1. Косинский Ю.И., Взаимодействие волны электрического поля с
оптической средой в микроструктурной модели в случае падения
волнового вектора на плоскость cреды под углом, при этом вектор
электрического поля перпендикулярен плоскости падения луча, 1–15,
(2002).