Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений

Тема: Квадратные уравнения. Решение задач с помощью квадратных уравнений.
Цели: повторить теоретический материал, применять его при решении различных квадратных уравнений, учить учащихся решать задачи;
способствовать развитию логического мышления, математической речи;
расширять математический кругозор, способствовать воспитанию трудолюбия, взаимопомощи;
Оборудование: мультимедийный проектор, карточки с индивидуальными
заданиями, карточки – подсказки.
Урок-презентация
Ход урока:
I. Организационный момент.
Вступление учителя:
«Уравнения для меня важнее, потому что политика — для настоящего, а
уравнения — для вечности» (Альберт Эйнштейн)
— Многие задачи в математике, физике, технике решаются с помощью
квадратных уравнений.
Объявление темы и цели урока.
Оформление доски
Дата. Тема урока.
Формулы.
x 2  36  0
ax 2  c  0
àõ2  bx  c  0 *
8x2  4 x  0
ax 2  bx  0
2
D  b  4ac
3 2
ax 2  0
x 0
b  D

b

D
7
x1 
x2 
2a
2a
D1  k 2  ac
x1 
k  D1
k  D1
x2 
a
a
II. Теоретический материал (Слайд 1.)
Повторим теорию:
1. Что называется уравнением?
2. Что значит решить уравнение?
3. Какое уравнение называется квадратным?*
4. Можно ли назвать квадратными уравнения? * Как они называются? Как
они решаются?*
5. Какое уравнение называется приведенным квадратным уравнением?
6. Что такое Дискриминант? Запишите формулу Дискриминанта. Что показывает Д квадратного уравнения?
7. Напишите формулы решения квадратного уравнения.
8. Когда применяем Дискриминант (1)?
9. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?*
10. Где применяются квадратные уравнения?
11. Какие задачи решаются с помощью квадратных уравнений?
Немного истории математики.
1
— Кстати, а вы знаете, когда появились первые квадратные уравнения?
— Очень давно. Их решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры, а Европа отпраздновала 810 - летие квадратных уравнений, потому что именно в
1202 году итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в XVII веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид.
А вот понятие Дискриминанта придумал английский ученый Сильвестр, он
называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных
терминов.
III.
Решение уравнений (Слайд 2.)
3õ2  7 õ  4  0
14 õ2  5 õ  1  0
2 õ2  õ  67  0
2 y2  y  5  0
3x 2  7 x  4  0
D  49  48  1
7 1
x1, 2 
6
x1  1
x2 
4
3
2 x 2  x  67  0
D  1  8  67  0

8 x 2  14 x  5  0
12 x 2  16 x  3  0
4 x2  4 x  1  0
14 x 2  5 x  1  0
D  25  56  81
59
x1, 2 
28
1
x1  
7
1
x2 
2
2 y2  y  5  0
D  1  40  41
1  41
4
1  41
y1 
4
1  41
y2 
4
y1, 2 
2
12 x 2  16 x  3  0
D1  64  36  100
2 x 2  14 x  5  0
D1  49  40  9
x1, 2 
8  10
12
3
x1  
2
1
x2 
6
73
8
x1, 2 
1
2
5
x2 
4
x1 
4 x 2  4 x  1  0 (2 x  1) 2  0
2x 1  0
D1  4  4  0
x1  
1
2
2 x  1
x
1
2
IV. Составление уравнений к задачам (Слайд 3.)
 1. Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа,
если одно из них на 8 больше другого.
x( x  8)  273 или x( x  8)  273
 2. Площадь прямоугольника 480 кв. м. Найдите его стороны, если периметр прямоугольника равен 94 м.
S  480
P=94
P
 47
2
x(47-x) = 480
 3. В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов
в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места?
x(x + 8)=884
V. Решение задач
1. № 565 (Слайд 4.)
 Площадь доски прямоугольной формы равна 4500 кв. см. Доску распилили на две части, одна из которых представляет собой квадрат, а другая – прямоугольник. Найдите сторону получившегося квадрата, если
длина отпиленного прямоугольника равна 120 см.
2
S=4500 ñì
Пусть х см – ширина прямоугольника,
(120+х) см – длина прямоугольника.
2
Так как S=4500 ñì , составим и решим уравнение:
х
120
х(120+х)=4500
õ2  120 õ  4500  0
3
D1  3600  4500  8100
k  k 2  ac
õ1, 2 
a
õ1, 2  60  90
õ1  150 , õ2  30
По смыслу значение х должно быть положительным числом. Этому условию
удовлетворяет только второй корень, то есть число 30.
Ответ: 30 см.
VI. Путешествие в прошлое математики.
 Задачи на квадратные уравнения впервые встречаются в работе, составленной в 449 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.
 Другой индийский математик, Брахмагунта (VII век) изложил общее
правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.
 В Древней Индии проводились соревнования в решении трудных задач, вот одна из них.
2. № 569. Старинная задача. (Слайд 5.)
Вот задача Бхаскары:
Обезьянок резвых стая,
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На полянке забавлялась.
А 12 по лианам
Стали прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
Пусть х обезьян было,
тогда по условию задачи составим и решим уравнение:
2
x
   12  x
8
x2
 12  x  0
64
x 2  64 x  768  0
D1  1024  768  256
x1, 2  32  16
x1  16
x2  48
Проверка:
1) если х = 16, то 16 : 8 = 2,
2) если х = 48, то 48 : 8 = 6,
22  4 , 12 + 4=16;
6 2  36 , 36 + 12 = 48.
4
Ответ: 16 или 48.
3. № 567. (Слайд 6.)
 В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой – на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.
 x  3   x  6 
2
2
 Пусть х см – гипотенуза, тогда ( х – 3) см один катет, а ( х – 6) см другой катет,
Тогда по теореме Пифагора имеем
 x2
x 2  6 x  9  x 2  12 x  36  x 2  0
x 2  18 x  45  0
D1  81  45  36
x1, 2  9  6
x1  3
x2  15
По смыслу задачи первый корень не подходит, значит, гипотенуза равна 15см.
VI. Самостоятельная работа. (Слайд 7.)
– Теперь посмотрим, как вы умеете работать самостоятельно. Вам предлагается трехуровневая работа. Если вы еще не уверены в своих силах и желаете
закрепить решение уравнение, то выбираете уровень А (1 балл за задание).
Если считаете, что материал усвоен хорошо – В (2 балла за задание). Ну, а
если желаете испробовать свои силы на более сложных заданиях – уровень С
(3 балла за задание) для вас. В процессе решения я проверяю ваши работы и
проставляю заработанные баллы.
(Используются карточки – подсказки)
3x 2  x  4  0
x 2  10 x  9  0
D  1  48  49
D1  25  9  16
1 7
x1, 2 
x1, 2  5  4
6
x1  1
x1  1
x2  9
4
x2 
3
Задача.
Одно число меньше другого на 4, а их произведение равно 221. Найдите эти
числа.
1 способ.
2 способ.
5
x  x  4   221
x  x  4  221
x 2  4 x  221  0
D1  4  221  225
x1, 2  2  15
x1  17
x2  13
Пусть – 17 – первое число, тогда второе число – 13.
Пусть 13 – первое число, тогда второе число 17.
Ответ: -17 и -13 или 13 и 17.
VII. Проверка написанного.
По окончании работы ребята оценивают свою работу по следующим критериям:
а) решил сам без ошибок и помог товарищу – «5»;
б) решил сам, но консультировался у товарища – «4»;
в) решал с помощью карточки-подсказки и учителя – «3»;
VIII. Дом. зад. № 578, № 573
IX. Итог урока
Оценка работы класса (активность, полнота ответов, работа отдельных учеников, прилежание)
(Слайд 8).
«Математика нужна для изучения многих наук, но сама не нуждается ни в
какой науке»
П. Каптерев
6