Тема урока: Средняя линия треугольника. (8класс) Тип урока: Изучение нового материала Характеристика темы урока: В результате изучения §3.62. учащиеся должны знать теоремы о среднем линии треугольника, о точке треугольника, о точке пересечения медиан треугольника; уметь их доказывать и применять к решению задач типа 567, 568, 570; Цели урока: образовательная: выработка у учащихся навыков и умении, формирование новых понятий и знаний; в частности изучение теоремы о среднем линии и теоремы о медианах треугольника и научиться использовать их при решении задач; воспитательная: развивать аккуратность, целеустремленность и самостоятельность в ходе решения задач; развивающая: выработать потребности логического определения понятий, т.е. формирование логическогоматематического языка и навыков логического мышления, развивать образное мышление; Отбор основного содержания учебного материала. 1. Вспомнить определение, признаки подобных треугольников; вспомнить признаки параллельности прямых и свойства углов при параллельных прямых. 2. В процессе урока будут доказаны теорема о среднем линии треугольника, теорема о медианах треугольника и решены задачи с их применением. 3. Теорема о среднем линии треугольника и теорема о медианах треугольника необходимы для дальнейшего решения и доказательства задач. В качестве основного метода выбираю поисковый метод. Оборудование: учебник (Геометрия 7-9.Атанасян Л.С. и др.), ноутбук, проектор, карточки, чертежные инструменты. Структура урока: I. II. III. IV. V. Постановка цели урока (2 мин.) Проверка умений (10) Ознакомление новым материалом, формирование ЗУНов (15+10) Итоги (5) Задание на дом (2) Этапы урока Время (мин.) I 2 II 2-3 6-7 III ≈15 Деятельность Основное содержание учебного материала Учитель Постановка цели урока. Актуализация Проверка домашней работы. Повторение опорныхЗУНов (устно): - По каким признакам треугольники бывают подобными? - Как связаны соответствующие стороны и углы подобных треугольников? - Что такое коэффициент подобия, чему он равен? - Какие прямые называются параллельными? - Назовите признаки параллельности прямых. Проверка ЗУНов (письменно), при помощи разно уровневых карточек I - уровень II - уровень III - уровень Ознакомление новым материалом. Общая задача: Точки M и N – середины сторон ABи BCтреугольника∆ABC. MNǁAC иMN=AC:2. Ученик - Целью нашего урока является изучение новых свойств треугольника: теоремы о среднем линии и теоремы о медианах треугольника. И научиться использовать их при решении задач. Но сначала проверим домашнюю работу. Слушают. Слушает отчет Опираясь на то, как сделана домашняя работа и учитывая трудности, учитель задаёт вопросы. Спрашивает преимущественно тех, кто учиться на «3», «4» и у тех, кто затруднился в решении домашней работы. Дежурные командиры отчитываются перед учителем о результатах домашней работы. По степени сложности, раздаёт разные карточки. Обращает внимание учащихся на качество, т.е. на оформление и чистоту работ. Решают задачи на заранее подготовленных листах, которые потом сдают. Возможные подсказки: - Постарайтесь найти подобныетреугольники. - Попробуйте использовать второй признак подобия. - Какие выводы можно сделать из подобия этих треугольников? Решают задачу в тетради. После решения задачи вводится понятие «средняя линия треугольника». Опр.: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. - Как связаны между собой соответствующие стороны подобных треугольников? - Вспомните признаки параллельности двух прямых. - Каким свойствам обладают углы при параллельных прямых? B M A 1 2 N C Теорема: Средняя линия треугольника параллельна его стороне и равна её половине. Доказательство: Пусть MN– средняя линия ∆ABC. Докажем, что MNǁAC и MN=AC:2. ∆ABC∾∆MBN по второму признаку: ∠B – общий, BM/BA= BN/BC=1/2→ ∠1=∠2 и MN/AC=1/2. Из ∠1=∠2 следует, что MNǁAC, а из MN/AC=1/2→MN=AC/2. чтд. По результатам решенной задачи, предлагает найти среднюю линию, сделать выводы, используя новый термин. Предлагает сформулировать теорему. Возможные подсказки: - Назовите среднюю линию в решенной задаче. - Каким свойствам обладает средняя линия? - Объедините условия и результаты задачи в одном предложении. Учитель излагает окончательную формулировку теоремы, которая появляется на экране. Вопросы и указания: - Попробуйте соединить точки A, N и C, M. Какие отрезки вы получите? (медианы) - Сколько всего можно провести медиан в треугольнике? - Проведите третью медиану. - Каким свойством они обладают? Записывают определение средней линии. Делают выводы и предлагают свои формулировки теоремы. Записывают окончательную формулировку теоремы и его доказательство Выполняют задания учителя и отвечают на вопросы. Решенную задачу запишем как теорему Теорема: Три медианытреугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся на отрезки, длины которых относятся как 2:1, считая от соответствующих вершин. Доказательство: Рассмотрим произвольный ∆ABC. медиан AA1и BB1обозначим через O. Точку пересечения C B1 4 A1 2 O ≈10 Записывают теорему и доказывают вместе с учителем. Отвечают на вопросы В ходе доказательства теоремы целесообразно задавать следующие вопросы: - A1B1ǁAB. Почему? - Что следует изA1B1ǁAB? - Какой признак подобия следует применить в этом случае? - AB=2A1B1. Почему? - Как связаны между собой соответствующие стороны подобных треугольников? 3 B C1 И проведем среднюю линиюA1B1. A1B1ǁAB → ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Отсюда ∆ABO ∾∆A1B1O (по первому признаку подобия), где коэффициент подобияk = 1/2, т.к. AB = 2A1B1 → AO = 2 A1O и BO = 2 B1O. Точка O делит AA1 и BB1в соотношении 2:1. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан BB1иCC1 делит их в соотношении 2:1. Следовательно, она совпадает с точкой O. Можно сделать вывод, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся на отрезки, длины которых относятся как 2:1, считая от соответствующих вершин. чтд Обращает внимание на то, что эта теорема будет использоваться довольно часто. Физкультминутка Руководит Делают зарядку. Дежурные ведут физкультминутку. Закрепление материала. Задача (устно): Как разделить третью сторону треугольника пополам, используя только линейку, если проведена средняя линия треугольника. Возможные подсказки: - Вспомните определение средней линии треугольника. - Вспомните определение медианы треугольника. Решают задачку вместе с учителем, используя новый материал. A 1 1 - Но медианы обладают еще одним свойством. Эти свойства запишем в виде теоремы Теорема доказывается учителем, совместно с учениками. Решение (схема): - Попробуйте использовать последнюю теорему. Ученик решает задачу у доски, вместе с классом и учителем Подсказки и вопросы: - Обратите внимание на стороны нового треугольника. Чем они являются для ∆ABC? - В каком соотношении находятся ∆ABC и ∆MNP? Решают задачу вместе с учителем, используя теорему о средней линии. B M N O C P Точка Pдействительно является серединой стороны AC, т.к. AN и CM – медианы, а медианы, согласно последней теореме, пересекаются в одной точке. A Задача № 564 Решение Дано: ∆ABC, AB=8 см, BC=5 см, CA=7 см, AM=MB, BN=NC, CP=PA Найти: P∆MNP (чертеж прежний) т.к. AM=MB, BN=NC, CP=PA → MN, NP, PM – средние линии. Следовательно, ∆MNPпостроен из средних линии треугольника∆ABC. Отсюда имеем P∆MNP=MN+NP+PM= =AC/2+AB/2+BC/2=(7+8+5)/2= =10 (см). Ответ: P∆MNP =10 см. Вопрос: Ёще каким способом можно было решить эту задачу (№564)? Что можно было ещё использовать? (предполагается признак параллелограмма: если Задача № 567 (дополнительная). Дано:ABCD – четырехугольник;M, N, P, Q – середины сторон. Доказать:MNPQ – параллелограмм противоположные стороны параллельны и равны…) Доказательство: D Q C M P A IV 5 V 2 N B Рассмотрим ∆ACD, где MQ является средней линией → ACǁMQ. Аналогично в ∆ADCNPǁAC. ACǁMQ и NPǁAC → MQ ǁNP. Точно так же доказывается, что PQǁMN. По определению параллелограмма, MNPQ является параллелограммом. чтд Заключение. Повторяются определение средней линии, теоремы. Ставятся оценки. Задание на дом: № 565, № 566, знать теоремы и их доказательства. Спрашивает формулировки определения средней линии и теорем. По таблице, вместе с учениками, пересказывает доказательство. Ставит оценки. На экране записывает домашнее задание. Слушают учителя. Вместе с учителем вкратце пересказывают доказательства, отвечают на вопросы. Записывают домашнее задание. Билет № 1 I-уровень I-вар. A Билет № 2 I-уровень II-вар. C B P O O D C Q D Доказать,что ∆PQO ∾∆ DCO ABǁCD. Доказать,что ∆ABO∾∆DCO 9 Билет № 3 II-уровень I-вар. Билет № 4 II-уровень II-вар. C M A B P N Q D Доказать, ∆ACD∾ ∆CBD. Доказать, ∆ MPN ∾ ∆ QPM Билет № 5 III-уровень I-вар. Билет № 6 III-уровень II-вар. L S P R Q LP:LR = 2:3, LT :LQ = 3:2/ Доказать,∆ LPR ∾∆ LQT/ T D F FE:FS = 2:1, FD:FS = 2:1. Доказать,∆ FSD ∾∆ FES E