10_Tema_12_urok_5

(Класс 10, модуль XII, урок 5)
Урок 5. Обратные тригонометрические функции
План урока






5.1. Арксинус
5.2. Арккосинус
5.3. Арктангенс
5.4. Арккотангенс
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
Рассмотреть способы получения обратных функций в условиях, когда
рассматриваемая функция не удовлетворяет условию обратимости,
привести
определения
арксинуса,
арккосинуса,
арктангенса,
арккотангенса, изучить их свойства и графики.
5.1. Арксинус
Функция y  sin x возрастает на отрезке [ 2  2 ] и, следовательно,
удовлетворяет условию обратимости: если  2  a  b  2 , то sin a  sin b .
Рассмотрим сужение функции y  sin x на отрезок [ 2  2 ] , то есть часть
функции y  sin x , считая ее определенной только на указанном отрезке.
Тогда полученное сужение функции удовлетворяет условию обратимости, а
поэтому существует обратная функция. Обратная функция y  g ( x)
определена на множестве значений синуса, то есть на промежутке [11] , и
связана с функцией y  sin x следующими условиями: если y  g ( x) , то
 2  y  2 и x  sin y .
Напомним, что арксинусом числа x  [11] называется такое число
y , принадлежащее промежутку [ 2  2 ] , что x  sin y . Значит, обратная
функция для sin x на отрезке [ 2  2 ] есть arcsin x .
Изобразим часть графика функции y  sin x на отрезке от  2 до 2
(рис. 1). Симметрично отразив эту часть относительно прямой y  x ,
получим график функции y  arcsin x (рис. 2).
5.2. Арккосинус
Функция y  cos x убывает на отрезке [0  ] и поэтому удовлетворяет
на этом отрезке условию обратимости: если 0  a  b   , то cos a  cos b .
Следовательно, сужение функции y  cos x на отрезок [0  ] имеет
обратную функцию.
Обратная функция y  g ( x) определена на множестве значений
косинуса, то есть на промежутке [11] , и связана с функцией y  cos x
следующими условиями: если y  g ( x) , то 0  y   и x  cos y . Вспомним,
что арккосинусом числа x  [11] называется такое число y ,
принадлежащее отрезку [0  ] , что cos y  x . Таким образом, g ( x ) есть
arccos x .
График функции y  arccos x симметричен части графика функции
[0  ]
y  cos x
yx
на
отрезке
относительно
прямой
(рис. 3).
5.3. Арктангенс
Функция y  tgx возрастает на интервале ( 2  2 ) и поэтому
удовлетворяет на этом промежутке условию обратимости: если
 2  a  b  2 , то tga  tgb . Следовательно, сужение функции y  tgx на
промежуток ( 2  2 ) имеет обратную.
Обратная функция y  g ( x) определена на всей числовой прямой –
области
значений
тангенса,
и
удовлетворяет
условиям:
y  g ( x) , если  2  y  2 и x  tgy . Значит, y  g ( x) удовлетворяет
определению арктангенса числа x , а поэтому g ( x ) есть arctgx .
График функции y  arctgx симметричен ветви тангенсоиды на
промежутке ( 2  2 ) относительно прямой y  x (рис. 4).
5.4. Арккотангенс
Сужение функции y  ctgx на интервал (0  ) удовлетворяет условию
обратимости: если 0  a  b   , то ctga  ctgb . Поэтому существует
обратная функция y  g ( x) , определенная на всей числовой прямой и
удовлетворяющая условиям: y  g ( x) , если 0  y   и x  ctgy .
Построенная таким образом обратная функция называется арккотангенсом и
обозначается arcctgx .
График функции y  arcctgx симметричен ветви графика функции
y  ctgx на промежутке (0  ) относительно прямой y  x (рис. 5).
Обратные тригонометрические функции y  arcsin x , y  arccos x ,
y  arctgx , y  arcctgx иногда называют круговыми функциями. Эти
функции позволяют по значениям тригонометрических функций находить
соответствующие им углы в радианах. Приближенные значения круговых
функций можно находить либо с помощью специальных таблиц, либо с
помощью вычислительной техники.
Проверь себя. Обратные тригонометрические функции
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
5 1
1 5
Известно, что cos 72o 
. Какое значение имеет arccos
?
4
4
 1. 108o
 2. 108o
 3. 
3
5
3
5
(Правильный вариант: 4)
 4.
Известно, что sin165o 
 1. 165o
 2.

6
 3.
5
6
6 2
6 2
. Какое значение имеет arcsin
?
4
4
 4. 15o
(Правильный вариант: 2)
Каково множество значений функции f ( x)  arccos 2 x на всей области
определения?
 1. 0;  
 
 2.   ; 
 2 2
 3.   ;  
 4. 0; 2 
(Правильный вариант: 1)
Какова естественная область определения функции f ( x)  arcsin(2 x  1) ?
 1.  2;0
 2.  1;0
 3. 0;1
 4.  2;0
(Правильный вариант: 2)
Проверь себя. Обратные тригонометрические функции
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа
.
Какие из указанных функций являются нечетными?
 1. y  arcsin x
 2. y  arccos x
 3. y  arctgx
 4. y  arcctgx
(Правильные варианты: 1, 3)
Какие из указанных функций возрастают на всей области определения?
 1. y  arcsin(1  x)
 2. y  arcsin(2 x  3)
 3. y  arccos(2  x)
 4. y  arccos(3  x)
(Правильные варианты: 2, 4)
Какие из указанных функций убывают на всей области определения?
 1. y  arctg(2 x  1)
 2. y  arctg(5  4 x)
 3. y  arcctg(3x  2)
 4. y  arcctg( x  2)
(Правильные варианты: 2, 3, 4)
Какие из указанных функций являются обратимыми?
 1. y  (arctgx)2
 2. y  (arcsinx)2
 3. y  (arcctgx)2
 4. y  (arccosx)2
(Правильные варианты: 3, 4)
Домашнее задание
1. Найти обратную функцию для функции y  sin x , рассматриваемой на
отрезке [ 2  32 ] .
2. Найти обратную функцию для функции y  cos x , заданной на отрезке
[   0] .
3. Найти область определения функции y  arcsin(2 x  1) .
4. Найти область значений функции y  2arccos x  2 .
5. Изобразить график функции y  2arctgx .
6. Изобразить график функции y  arctgx  2 .
y  arccos x  2 x
7.
Вычислить
значение
функции
при
x   23 .
8. На промежутке [ 1 0] найти наибольшее и наименьшее значение функции
y  arccos x  arcsin x .
9. Найти область определения и область значений функции
y  arctg (arcsin x) .
10. На одном чертеже построить графики функций y  arccos x и
y  arccos 2 x , и по чертежу указать, при каком значении x разность
arccos 2x  arccos x должна быть наибольшей.
11. С помощью графиков функций y  arcsin x и y  arccos x найти знак
каждой из разностей:
а) arccos 0 7  arccos 0 5 ;
б) arcsin( 2  1)  arcsin( 5  2) ;
в) arccos( 53 )  arccos( 43 ) ;

).
г) arccos(sin 12 )  arccos(sin 13
12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:
1 3 
а) y  arcsin x на промежутке  ;
;
2
2


 1 
б) y  arccos( x  x 2 ) на промежутке   ;0  .
 2 
Словарь терминов
Арксинус. При  a  1 арксинусом числа a называется число  из
промежутка [ 2  2 ] , для которого sin   a .
Арккосинус. При  a  1 арккосинусом числа a называется такое
число  из промежутка [0  ] , для которого cos   a .
Арктангенс. Для любого действительного числа a арктангенсом
числа a называется величина в радианах такого угла из промежутка
  2  2  , что tg  a .
Функция арксинус. Функция, обратная к сужению функции
y  sin x на промежуток [ 2  2 ] .
Функция арккосинус. Функция, обратная к сужению функции
y  cos x на промежуток [0  ] .
Функция арктангенс. Функция, обратная к сужению функции
y  tgx на промежуток   2  2  .
Функция арккотангенс. Функция, обратная к сужению функции
y  ctgx на промежуток  0;   .
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 10-12-28.EPS
Рисунок 2. 10-12-29.EPS
Рисунок 3. 10-12-30.EPS
Рисунок 4. 10-12-31.EPS
Рисунок 5. 10-12-32.EPS