Лекция 8. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Понятие о деформации и упругом теле

Лекция 8.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Понятие о деформации и упругом теле
Все элементы сооружений или машин должны работать без угрозы поломки или опасного
изменения сечений и формы под действием внешних сил. Размеры этих элементов в большинстве
случаев определяет расчет на прочность. Элементы конструкции должны быть не только
прочными, но и достаточно жесткими и устойчивыми.
При расчете на жесткость размеры детали определяются из условия, чтобы при действии
рабочих нагрузок изменение ее формы и размеров происходило в пределах, не нарушающих
нормальную эксплуатацию конструкции. Расчет на устойчивость должен обеспечить сохранение
элементом конструкции первоначальной (расчетной) формы его равновесия. Чаще всего расчет
на устойчивость выполняют для сжатых стержней.
Все реальные элементы конструкций и машин под действием на них внешних сил изменяют
форму и размеры — деформируются. Способность деформироваться — одно из основных
свойств всех твердых тел. Приложение внешних сил изменяет расстояние между молекулами, и
тело деформируется. При этом изменяется межмолекулярное взаимодействие и внутри тела
возникают силы, которые противодействуют деформации и стремятся вернуть частицы тела в
прежнее положение. Эти внутренние силы называют силами упругости.
При малых значениях внешних сил твердое тело после разгрузки обычно восстанавливает свои
первоначальные размеры. Такое свойство твердых тел называется упругостью. Если тело после
снятия нагрузки полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, его
называют абсолютно упругим, а исчезающие после снятия нагрузки деформации — упругими
деформациями.
Опыты показывают, что упругая деформация наблюдается, пока действующие на тело силы не
превысят определенного для каждого тела предела; при действии большей нагрузки тело наряду
с упругой всегда получает и остаточную деформацию.
Нарушением прочности конструкции считают не только ее разрушение в буквальном смысле
слова или появление трещин, но и возникновение остаточных деформаций. Как правило, при
проектировании размеры элементов конструкций назначают таким образом, чтобы
возникновение остаточных деформаций было исключено.
Основные допущения и гипотезы
Для упрощения расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость
приходится прибегать к некоторым допущениям и гипотезам о свойствах материалов и характере
деформаций. Основные допущения о свойствах материалов сводятся к тому, что материалы, из
которых изготовляют конструкции, считают однородными, сплошными и изотропными, то есть
имеющими одинаковые свойства во всех направлениях.
Основные допущения о характере деформаций
1. Перемещения, возникающие в упругих телах под действием внешних сил, очень малы по
сравнению с размерами рассматриваемых элементов. Это допущение позволяет во многих
случаях не учитывать изменения размеров тел при деформации и связанного с этим изменения в
расположении сил.
Рассмотрим упругое тело под действием некоторой системы сил (рис. 53). Вследствие
деформации тела изменится взаимное расположение сил, точки их приложения переместятся:
точка приложения силы F1 перейдет из положения 1 в положение 1', а точка приложения силы F2
— из положения 2 в 2'. Расстояния от точек приложения сил F1 и F2 до жесткой заделки на
опоре уменьшатся.
Учитывая, что изменение расстояний весьма мало, можно принять l1  l и a1  a .
2. Перемещения точек упругого тела прямо пропорциональны действующим нагрузкам. Это
справедливо в известных пределах нагружения. Элементы и конструкции, подчиняющиеся этому
допущению, называют линейно деформируемыми.
Пример, поясняющий сущность прямо пропорциональной зависимости между нагрузками и
перемещениями, приведен на рис. 54. Под действием силы F точка А стержня, изображенного на
рис. 54, а, переместится на величину f , а под действием силы 3F перемещение этой точки будет
в три раза большим (рис. 54, б).
3. Вследствие малости перемещений, возникающих при расчете деталей машин и конструкций, и
прямо пропорциональной зависимости перемещений от нагрузок можно полагать, что внешние
силы действуют независимо друг от друга. Это положение известно под названием принципа
независимости действия сил (или принципа суперпозиции). Разъясним его на примере.
К телу, изображенному на рис. 54, в, приложена некоторая система сил F1 , F2 , F3 . Под
действием этих сил тело деформируется, и некоторая его точка К перемещается в положение К1.
Заданная нагрузка может быть приложена самыми различными способами. Все три силы могут
быть приложены одновременно или поочередно. Независимо от этого прогиб в точке К будет
одинаковым и равным сумме прогибов от каждой из приложенных сил.
Другие допущения и гипотезы применительно к отдельным видам деформаций изложены в
соответствующих разделах курса.
Многие положения статики, справедливые для абсолютно твердого тела, неприменимы при
изучении деформаций упругого тела. Так, в статике силу всегда можно было переносить по
линии ее действия. Делать это в упругом теле нельзя, так как перенос силы может резко изменить
картину нагружения. На рис. 55, а, б это показано для частного случая: в первом варианте
растяжение испытывает весь стержень АС, а во втором — растягивается только его часть ВС.
Аналогично не всегда возможна замена одной системы сил другой, статически эквивалентной.
Так, в частности, нельзя заменять систему сил их равнодействующей.
Упражнение 1
1. Нормальная работа зубчатого механизма была нарушена из-за возникновения слишком
больших упругих перемещений валов. Почему нарушилась нормальная работа передачи?
А. Из-за недостаточной прочности валов.
Б. Из-за недостаточной жесткости валов.
В. Из-за недостаточной устойчивости валов.
2. Велосипедная спица резко искривилась под действием сжимающей силы. Почему произошло
изменение прямолинейной формы спицы?
А. Из-за недостаточной прочности.
Б. Из-за недостаточной жесткости.
В. Из-за недостаточной устойчивости.
3. При подъеме груза оборвался канат. Что послужило причиной обрыва?
А. Недостаточная прочность каната.
Б. Недостаточная жесткость каната.
4. Для какой части стержня не изменится его деформированное состояние при переносе силы из
точки А в точку В (см. рис. 55)?
А. Для участка СВ.
Б. Для участка СА.
В. Для участка АВ.
Метод сечений. Виды деформаций
Стержнями (брусьями) называются такие элементы конструкций, длина которых значительно
превышает их поперечные размеры. Кроме стержней (брусьев) могут встречаться пластины или
оболочки, у которых только один размер (толщина) мал по сравнению с двумя другими, и
массивные тела, у которых все три размера примерно одинаковы. Расчеты на прочность пластин,
оболочек и массивных тел значительно сложнее, чем расчеты стержней, и рассматриваются в
специальных курсах.
Как отмечалось, внешние силы, действующие на тело, вызывают в нем дополнительные
внутренние силы, стремящиеся противодействовать деформации. Обнаружить возникающие в
нагруженном теле внутренние силы можно, применив метод сечений. Суть этого метода
заключается в том, что внешние силы, приложенные к отсеченной части тела, уравновешиваются
внутренними силами, возникающими в плоскости сечения и заменяющими действие
отброшенной части тела на остальную.
Стержень, находящийся в равновесии (рис. 56, а), рассечем на две части I и II (рис. 56, б). В
сечении возникают внутренние силы, уравновешивающие внешние силы, приложенные к
оставленной части. Это позволяет применить к любой части тела I или II условия равновесия,
дающие в общем случае пространственной системы сил шесть уравнений равновесия:
Эти уравнения позволяют отыскать составляющие главного вектора и главного момента
внутренних сил.
При действии пространственной системы сил из уравнения равновесия можно найти
возникающие в поперечном сечении три составляющие силы N z , Qx и Q y (составляющие
главного вектора внутренних сил), направленные по координатным осям, и три составляющие
момента Мx, My, Mz (составляющие главного момента внутренних сил). Указанные силы и
моменты, являющиеся внутренними силовыми факторами (рис. 56, в), соответственно
называются: Nz — продольная сила; Qz и Qy — поперечные силы; Мх и Му — изгибающие
моменты; Мz — крутящий момент.
В частных случаях отдельные внутренние силовые факторы могут быть равны нулю.
Так, при действии на стержень плоской системы сил (в продольной плоскости zy) в его сечениях
могут возникнуть только три силовых фактора: изгибающий момент М x и две составляющие
главного вектора этой системы — поперечная сила Qy и продольная сила Nz. Соответственно для
этого случая можно составить три уравнения равновесия:
Координатные оси всегда будем направлять следующим образом: ось z — вдоль оси стержня, оси
х и у — вдоль главных центральных осей его поперечного сечения, а начало координат в центре
тяжести сечения.
Для определения внутренних силовых факторов необходимо руководствоваться следующей
последовательностью действий:
1. Мысленно провести сечение в интересующей нас точке конструкции или стержня.
2. Отбросить одну из отсеченных частей и рассмотреть равновесие оставленной части.
3. Составить уравнения равновесия для оставленной части и определить из них значения и
направления внутренних силовых факторов.
Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении стержня, определяют
деформированное состояние.
При осевом растяжении и сжатии внутренние силы в поперечном сечении могут быть заменены
одной силой, направленной вдоль оси стержня (рис. 57) — продольной силой N (индекс z, как
правило, будем опускать). В случае, если сила направлена к отброшенной части наружу, имеет
место растяжение (рис. 57, а). Наоборот, если она направлена от отброшенной части внутрь (рис.
57, б), имеет место сжатие.
Сдвиг возникает в том случае, когда в поперечном сечении стержня внутренние силы приводятся
к одной силе, расположенной в плоскоcти сечения (рис. 58), — к поперечной силе Q.
При кручении возникает один внутренний силовой фактор – крутящий момент Мz = МK (рис. 59).
Если в сечении возникает только изгибающий момент Мх или Му (рис. 60), имеет место чистый
изгиб. Если же кроме изгибающего момента в сечении стержня возникает еще поперечная сила,
то изгиб называют поперечным. Случаи действия в поперечных сечениях стержня одновременно
нескольких внутренних силовых факторов относят к сложным видам деформированного,
состояния.
Для расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость прежде всего
необходимо с помощью метода сечений определить возникающие внутренние силовые факторы.
Пример. Брус, имеющий форму буквы Г, с защемленным нижним сечением (рис. 61, а) нагружен
на свободном конце вертикальной силой F. Определить деформированное состояние
горизонтального и вертикального участков бруса.
Решение. Расчетная схема бруса изображена на рис. 61, а. Рассмотрим вначале его горизонтальный участок. Рассечем этот участок на произвольном расстоянии z от свободного конца
плоскостью I — I перпендикулярно оси. Отбросим левую, закрепленную часть бруса. К
оставшейся части приложена внешняя сила F, а в проведенном сечении возникают внутренние
силовые факторы. Так как сила F лежит в плоскости оси рассматриваемой части бруса, то
внутренние силы образуют плоскую систему и могут дать лишь три составляющие: М — изгибающий момент, Q — поперечную силу, N — продольную силу (рис. 61, б).
Составим три уравнения равновесия для отсеченной части бруса:
откуда
откуда М = Fz.
Итак, в сечениях горизонтального участка возникают два внутренних силовых фактора:
изгибающий момент и поперечная сила (продольная сила отсутствует: N = 0).
Устанавливаем, что горизонтальный участок бруса испытывает поперечный изгиб.
Определим теперь вид деформированного состояния вертикального участка бруса. Рассечем
вертикальный участок плоскостью II — II (рис. 61, а) и отбросим нижнюю закрепленную часть
бруса. Рассмотрим оставленную часть. Проведем оси координат и изобразим внутренние силовые
факторы (рис. 61, в). Так же как и для горизонтального участка, внутренние силы образуют
плоскую систему, т. е. могут возникнуть три внутренних силовых фактора: М — изгибающий
момент, Q — поперечная сила, N — продольная сила.
Составим три уравнения равновесия для отсеченной части бруса:
oткуда
откуда
Итак, в сечениях вертикального участка возникают два внутренних силовых фактора:
изгибающий момент М и продольная сжимающая сила N (на самом деле сила N направлена к
сечению). Это значит, что вертикальный участок стержня испытывает чистый изгиб и сжатие.
Упражнение 2
1. Изменится ли значение внутренних силовых факторов в зависимости от того, будут ли они
вычислены по внешним силам, расположенным слева от сечения или справа от него?
А. Не изменится.
Б. Изменится.
2. Определите вид деформированного состояния бруса, если в его поперечных сечениях
возникают изгибающий момент М и растягивающая продольная сила N.
А. Чистый изгиб.
Б. Растяжение.
В. Чистый изгиб и растяжение.
3. На рис. 62 показан брус, состоящий из вертикального и горизонтального участков. Нижний
торец бруса жестко закреплен, а к верхнему приложена горизонтально направленная сила F.
Определите внутренние силовые факторы в сечениях I — I и II — II, установите вид
деформированного состояния горизонтального и вертикального участков стержня.