Вариационный метод определения несущей способности

УДК 624.04
ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
УСИЛИВАЕМЫХ КОНСТРУКЦИЙ
М. Н. Серазутдинов, М. Н. Убайдуллоев, Х. А. Абрагим
Казанский государственный технологический университет. Казань, Россия
Изложим вариационный метод определения напряженно-деформированного
состояния стержневых систем, усиливаемых под нагрузкой с учетом пластических
свойств материала. Расчеты основываются на алгоритме, описанном в работе [1]
применительно к упругим системам. В данной работе предполагается, что за пределом
упругости материал является идеально пластическим. Отличительная особенность
описанной в [1] и представленной здесь методик состоит в том, что они позволяют
рассчитывать сложные (криволинейные, естественно закрученные) стержневые
системы на основе соотношений для прямолинейного стержня.
Используем основные допущения и соотношения теории стержней с учетом
сдвигов [2]. Рассмотрим деформирование стержневых систем, при котором
превалирующими являются нормальные напряжения. Поэтому полагаем, что для
касательных напряжений справедлив закон Гука, а связь между нормальными
напряжениями и деформациями описывается диаграммой Прандтля. Следовательно, в
области упругих деформаций
 x  E x ,  xy  G xy ,  xz  G xz .
В области пластических деформаций
 x   т ,  xy  G xy ,  xz  G xz .
Вариационное уравнение Лагранжа для стержневой системы можно представить в
виде:
отс
 U уобщ   U уотс   U пл
 W  0 ,
(1)
где  U уобщ – вариация потенциальной энергии стержневой системы при упругом
деформировании;
 U уотс
– вариация потенциальной энергии системы в зоне
отс
пластических деформаций в предположении упругого деформирования;  U пл
–
вариация потенциальной энергии части сечения стержня в пластической стадии
деформирования,  W – вариация работы внешних сил. В выражении (1)


(2)
 U уобщ      E x x  G xy xy  G xz xz  dA  dl ,
l  A





(3)
 U уотс      E x x  dA  dl ,  U плотс      т x  dA  dl ,




lпл  Aпл
lпл  Aпл


 W    q1 u1  q2 u2  q3 u3  dl 
l
(4)
F1i u1  xi   F2i u2  xi   F3i u3  xi   m1k1k  xk   m2 k 2 k  xk   m3k3k  xk  ,
du1
d
d
du
d
du
d
 y 3  z 2 ,  xy  2   3  z 1 ,  xz  3   2  y 1 .
(5)
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
В формулах (2) деформации вычисляются в локальной ортогональной системе
координат 0xyz , с осью 0x , направленной по касательной к продольной оси стержня;
x 
1
u1 , u2 , u3 , 1 ,  2 ,  3 – перемещения и углы поворота в этой системе координат,  т –
предел текучести.
При решении задачи на основе условия (1) вводится глобальная ортогональная
т
система координат 0xyz , векторы перемещения u   u1 , u2 , u3 и углов поворота
   1 ,  2 ,  3 с компонентами относительно осей 0x , 0 y , 0z . Стержневая система
разбивается на N участков, на каждом из которых компоненты векторов u и 
представляются в следующем виде [3]:
т
M
M
m 1
m 1
i
i
uk  uki   Ckm
f m  t  ,  k   ki   Dkm
fm t  ,
(6)
i
i
где k  1, 2, 3 , i  1, N , C km
, Dkm
– неизвестные постоянные на участке с номером i ;
t  s / li  0  t  1 , s – длина продольной оси стержня, отсчитываемая от начала
участка до точки, в которой вычисляются перемещения, деформации и напряжения, li –
длина стержня на участке с номером i
f1  t   1  t , f 2  t   t , f m  t   1  t  t m2 , m  3, M .
Перемещения и углы поворота в локальной и глобальной системах координат
связаны соотношениями
3
3
k 1
k 1
u j   n jk uk ,  j   n jk k , j  1, 2, 3 ,
(7)
где n jk – направляющие косинусы локальной системы координат.
Удовлетворяя кинематическим граничным условиям и условиям стыковки
участков стержней, после подстановки (2) – (7) в условие (1) и интегрирования,
получаем систему алгебраических уравнений
 K C  F ,
где
K 
– матрица жесткости стержневой конструкции,
постоянных, F  – вектор внешних нагрузок.
C
– вектор неизвестных
i
i
Решая эту систему, находим неизвестные коэффициенты C km
, Dkm
.
Отметим, что при вычислении слагаемых, входящих в условие (1),
интегрирование по длине стержней проводится численно.
Для определения решения при наличии пластических деформаций используется
итерационный метод. На первой итерации деформации считаются упругими, на
последующих (при численном интегрировании) в каждой точке интегрирования
проверяется выполнение условия  x   т . Если это условие выполняется, то Aпл  0 ,
если не выполняется – нужно находить Aпл . При этом, на первой итерации полагается
1
n
используется условие
Aпл  Aпл
 0 , а на последующих при определении Aпл
 n 1
 n 1
 n 1
 n1
N пл
 N n  , M пл
 M n , n  1, 2, 3,...
(8)
Здесь N пл , M пл – продольная сила и изгибающий момент, выражения для которых
записываются с учетом того, что поперечное сечение в точке интегрирования состоит
 n 1
 n 1
из двух подобластей – области упругих деформаций Aуп
и области Aпл
, в которой
n
возникают пластические деформации; N  n  , M   – усилие и моменты, определенные из
n
n
решения задачи (1) в предположении, что Aуп  Aуп
, Aпл  Aпл
. Итерационный процесс
заканчивается при выполнении условия
заданная величина погрешности.
2
A
n
пл

 Aплn1 Aплn1  100%   , где 
–
Отметим, что в силу принятых гипотез при нахождении Aпл кроме равенств (8)
используется условие, что линия, отсекающая площадь Aпл , параллельна нулевой
линии для напряжения  x в сечении.
В некоторых частных случаях для определения величины Aпл из уравнений (8)
получаются аналитические выражения, а в ряде случаев целесообразно использовать
численные методы нахождения Aпл .
При расчете конструкций, усиливаемых под нагрузкой с учетом пластических
деформаций, величины, входящие в условие (8), в соответствии с [3] необходимо
выразить в виде

N пл
n 1

M пл
n 1
  N р  N   N пл 
 n 1
  M р  M   M пл 
, N  n    N р  N   N пл  ,
 n 1
n 
n
, M     M р  M   M пл  ,
n 
(9)
(10)
где N р , M р – продольная сила и изгибающий момент, действующие в сечении стержня
в период ремонта (усиления); N  , M  – добавочные продольная сила и изгибающий
момент, воспринимаемое областью упругих деформаций сечения стержня после
ремонта (усиления); N пл , M пл – то же, воспринимаемое областью пластических
деформаций сечения.
Усилия и моменты, входящие в выражения (9) и (10), определяем в соответствии с
методикой, приведенной в [3].
Для иллюстрации достоверности и точности полученных результатов рассмотрен
расчет усиления защемленной на одном конце балки, которая повреждена по всей
длине. Усиление балки прямоугольного сечения производилось до первоначальных
размеров при уровне ремонтных напряжений   0.6 . Длина балки l  1 м , ширина
сечения b  5 см , высота сечения h  8 см высота сечения в поврежденном состоянии
hп  7 см , характеристики основного и ремонтного материалов: E  2 105 МПа ,
 т  240 МПа . Нагрузка, действующая в период ремонта Fр  3.92 кН .
По результатам расчетов изгибающий момент, воспринимаемый сечением балки
после восстановления M ус  13.31кНм , что совпадает с результатом, полученным по
методике, приведенной в работе [3] (расхождение составляет 0,54%).
ЛИТЕРАТУРА
1. Серазутдинов М.Н., Хайруллин Ф.С. Метод расчета криволинейных стержней //
Строительство и архитектура. – 1991. – № 5. – С. 104–108.
2. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. – М.: Мир, 1976. – 672 с.
3. Убайдуллоев М.Н., Серазутдинов М.Н. Оценка эффективности усиления
нагруженных конструкций с учетом пластических деформаций // Изв. ВУЗов.
Строительство. – 2009. – № 1. – С. 106–111.
3